2020高中数学 第三章 导数及其应用章末综合检测 苏教版选修1-1

第三章 导数及其应用
(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
1．如果质点按规律s (t )＝t 2
－t (距离单位：m ，时间单位：s)运动，则质点在3 s 时的瞬时速度为________． 解析：质点在3 s 时的瞬时速度即s ′(3)＝5 m/s. 答案：5 m/s
2．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.
解析：∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋x ·1
x
＝ln x ＋1，
∴由f ′(x 0)＝2得ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e. 答案：e
3．若函数f (x )＝2x 2
－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不单调，则实数k 的取值范围是________．
解析：∵f (x )＝2x 2
－ln x 的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝4x －1x ，由f ′(x )＝0得x ＝1
2
.
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
k －1<12<k ＋1k －1≥0
，解得1≤k <3
2
.
答案：1≤k <3
2
4.函数f (x )＝(x －1)2(x －2)2的极大值是________．,解析：∵f (x )＝(x －1)2(x －2)2
，,∴f ′(x )＝2(x －
1)(2x －3)(x －2)；,令f ′(x )＝0，得可能的极值点x 1＝1，x 2＝3
，x 3＝2.列表如下：
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1
16
是函数的极大值． 答案：1
16
5.若直线y ＝kx －3与曲线y ＝2ln x 相切，则实数k ＝________.,解析：依题意，设切点为(x 0，y 0)，则有,⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝
2x 0
kx 0－3＝2ln x 0
，由此得2－3＝2ln x 0，∴x 0＝e －1
2
.
∴k ＝2x 0＝2
e －
12＝2 e.
答案：2 e
6．已知x ∈R ，奇函数f (x )＝x 3－ax 2
－bx ＋c 在[1，＋∞)上单调递增，则a ，b ，c 应满足的条件是________． 解析：由f (x )是奇函数，得a ＝c ＝0.
∴f ′(x )＝3x 2
－b ，
又f (x )在[1，＋∞)上单调递增，故b ≤3x 2
， 在[1，＋∞)上恒成立，即b ≤3. 答案：a ＝c ＝0，b ≤3
7．已知函数f (x )＝ln a ＋ln x
x
在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．
解析：∵f ′(x )＝1
x
·x －a ＋ln x x 2
＝1－
a ＋ln x
x 2
，
又f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立，
故ln a 应大于等于φ(x )＝1－ln x 的最大值， ∵φ(x )max ＝1，故ln a ≥1， ∴a ≥e.
答案：[e ，＋∞)
8．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对于任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________． 解析：设h (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则h ′(x )＝f ′(x )－2>0， 故h (x )在R 上为增函数，又∵h (－1)＝f (－1)－2＝0， ∴当x >－1时，h (x )>0，即f (x )>2x ＋4. 答案：(－1，＋∞)
9．已知f (x )＝x 3＋ax 2
＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________．
解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，由已知，f ′(x )＝0应该有两个不等的实数根，∴Δ＝4a 2
－12(a ＋6)>0，解得a >6或a <－3.
答案：a >6或a <－3
10．函数y ＝x 3
－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为________．
解析：∵y ′＝3x 2－3a ，令y ′＝0，可得：a ＝x 2
. 又x ∈(0,1)，∴0<a <1. 答案：0<a <1
11．设f (x )＝x 3
－12
x 2－2x ＋5，当x ∈[－2,2]时，f (x )－m <0恒成立，则实数m 的取值范围为________．
解析：f ′(x )＝3x 2－x －2，由f ′(x )>0得3x 2
－x －2>0，即x <－23
或x >1；
由f ′(x )<0得3x 2
－x －2<0，即－23<x <1，
所以函数的单调增区间是⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－23，(1，＋∞)； 函数的单调减区间是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，1； ∵f (x )<m 恒成立，∴m 大于f (x )的最大值；
∵当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－2，－23时，f (x )为增函数， 所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝157
27
；
当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－23，1时，f (x )为减函数， 所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝157
27
；
当x ∈[1,2]时，f (x )为增函数，所以f (x )max ＝f (2)＝7；
因为7>157
27
，∴f (x )在x ∈[－2,2]上的最大值为7；
∴m 的取值范围为m >7. 答案：m >7
12．方程x 3－6x 2
＋9x －10＝0的实根个数是________．
解析：设f (x )＝x 3－6x 2＋9x －10，则f ′(x )＝3x 2
－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，故函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数；而f (1)＝－6，f (3)＝－10；故函数f (x )的图象与x
轴有且只有1个交点，即方程x 3－6x 2
＋9x －10＝0的实根个数是1个．
答案：1
13．一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20千米时，每小时消耗的煤的费用为40元；火车行驶的其它费用为每小时200元，则火车行驶的速度为________(千米/小时)时，火车从甲城开往乙城的总费用最省(已知甲、乙两城距离为a 千米，且火车最高速度为每小时100千米)．
解析：设火车速度为x 千米/小时，每小时消耗的煤的费用为p 元，依题意有p ＝kx 3
(k 为比例系数)，由x
＝20时，p ＝40，解得k ＝1200，故总费用y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1200x 3＋200·a x ＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2
200＋200x (0<x ≤100)，
由于y ′＝a ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 100－200x 2，令y ′＝0，解得x ＝10
320， 又当0<x <103
20时，y ′<0； 当103
20<x ≤100时，y ′>0，
∴当x ＝10320时，y 取最小值，即要使费用最省，火车速度应为103
20千米/小时．
答案：103
20
14．设a >0，b >0，e 是自然对数的底数．则下列结论正确的是________．
①若e a ＋2a ＝e b
＋3b ，则a >b ；
②若e a ＋2a ＝e b
＋3b ，则a <b ；
③若e a －2a ＝e b
－3b ，则a >b ；
④若e a －2a ＝e b
－3b ，则a <b . 解析：∵a >0，b >0，
∴e a ＋2a ＝e b ＋3b ＝e b ＋2b ＋b >e b
＋2b .
对于函数y ＝e x ＋2x (x >0)，∵y ′＝e x
＋2>0，
∴y ＝e x
＋2x 在(0，＋∞)上单调递增，因而a >b 成立． 答案：①
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分) 设函数f (x )＝x 3＋ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示，且与y ＝0在原点相切，若函数的极小值为－4，
(1)求a ，b ，c 的值； (2)求函数的递减区间．
解：(1)函数的图象经过(0,0)点，
∴c ＝0，又图象与x 轴相切于(0,0)点，y ′＝3x 2
＋2ax ＋b ，
∴0＝3×02
＋2a ×0＋b ，得b ＝0，
∴y ＝x 3＋ax 2，y ′＝3x 2
＋2ax ；
令y ′＝0得：x ＝0或x ＝－2
3
a ，
结合f (x )图象知：－2
3
a >0，
当0<x <－23a 时，y ′<0，当x >－2
3a 时，y ′>0；
∴当x ＝－2
3
a 时，函数有极小值－4；
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 3＋a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2a 32
＝－4，得a ＝－3. ∴a ＝－3，b ＝0，c ＝0.
(2)由(1)可得f (x )＝x 3－3x 2，∴f ′(x )＝3x 2
－6x <0，解得0<x <2， ∴递减区间是(0,2)．
16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3
＋bx .
(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；
(2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．
解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2
＋b .
因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)， 即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b ， 解得a ＝3，b ＝3.
(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )，当a ＝3，b ＝－9时， h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋6x －9.
令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1.
h (x )与h
当k ≤－3时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值为 h (－3)＝28；当－3<k <2时，函数h (x ) 在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．
17．(本小题满分14分) 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2
＋4x 的极小值为－8，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(－2,0)，如图所示．
(1)求f (x )的解析式；
(2)若函数y ＝f (x )－k 在区间[－3,2]上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．
解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋4，且y ＝f ′(x )的图象过点(－2,0)，所以－2为3ax 2
＋2bx ＋4＝0的根，代入得：3a －b ＋1＝0，①
由图象可知，f (x )在x ＝－2时取得极小值， 即f (－2)＝－8，得b ＝2a .②
由①②解得a ＝－1，b ＝－2，∴f (x )＝－x 3－2x 2
＋4x .
(2)由题意，方程f (x )＝k 在区间[－3,2]上有两个不等实根，
即方程－x 3－2x 2
＋4x ＝k 在区间[－3,2]上有两个不等实根．
f ′(x )＝－3x 2－4x ＋4，令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或x ＝2
，可列表：
由表可知，当k ＝－8或－3<k <4027
时，方程－x 3－2x 2
＋4x ＝k 在区间[－3,2]上有两个不等实根，即函数y ＝
f (x )－k 在区间[－3,2]上有两个不同的零点．
18．(本小题满分16分)烟囱向其周围散落烟尘造成环境污染．已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比．现有A ，B 两座烟囱相距20 km ，其中B 烟囱喷出的烟尘量是A 烟囱的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点C ，使该点的烟尘浓度最低．
解：不妨设A 烟囱喷出的烟尘量为1，则B 烟囱喷出的烟尘量为8， 设AC ＝x (0<x <20)，则BC ＝20－x .
依题意得点C 处的烟尘浓度y ＝k x 2＋8k
－x
2(k 为比例系数)．
∴y ′＝－2k x 3＋16k
－x 3
＝2k x 3－60x 2
＋1 200x －x 3－x
3
. 令y ′＝0，得(3x －20)·(3x 2
＋400)＝0，又0<x <20，
∴x ＝203
.
∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，y ′<0；当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫203，20时，y ′>0；
∴在区间(0,20)上，当x ＝20
3时，y 取最小值．
故当点C 位于距A 点20
3
km 处时，该点的烟尘浓度最低．
19．(本小题满分16分) 如图，四边形ABCD 是一块边长为4 km 的正方形地域，地域内有一条河流MD ，其经过的路线是以AB 的中点M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)的一部分．新世纪公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN ，问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积．
解：以M 为原点，AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则D (4，2)．设抛物线方程为y 2
＝2px (p >0)．由
点D 在抛物线上，得22
＝8p ，解得p ＝12
.
∴抛物线方程为y 2
＝x (0≤x ≤4，y ≥0)．
设P (y 2
，y )(0≤y ≤2)是曲线MD 上任一点，
则PQ ＝2＋y ，PN ＝4－y 2
，
∴矩形游乐园面积S ＝PQ ·PN ＝(2＋y )·(4－y 2)＝8－y 3－2y 2
＋4y .
∴S ′＝－3y 2
－4y ＋4，令S ′＝0，
解得y ＝2
3
或y ＝－2(舍去)．
∵当y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23时，S ′>0，S 为增函数； 当y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，S ′<0，S 为减函数． ∴当y ＝2
3
时，S 有极大值，
此时PQ ＝2＋y ＝2＋23＝8
3
，
PN ＝4－y 2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝32
9
，S ＝83×329＝25627(km 2)．
又当y ＝0时，S ＝8；当y ＝2时，S ＝0.
∴当y ＝23，x ＝4
9时，游乐园面积最大，
最大面积为25627
km 2
.
故当点P 到x 轴距离为23、到y 轴距离为49时，游乐园面积最大，最大面积为25627
km 2
.
20．(本小题满分16分)设f (x )＝x 3
－kx (k >0)．
(1)若f ′(2)＝0，求f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；
(2)若函数f (x )＝x 3
－kx (k >0)在[1，＋∞)上是单调函数，设x 0≥1，f (x 0)≥1，且满足f (f (x 0))＝x 0，已知0<k ≤3，求证：f (x 0)＝x 0.
解：(1)由f (x )＝x 3－kx 得f ′(x )＝3x 2－k ，∵f ′(2)＝0，∴3×22
－k ＝0，即k ＝12；
∴f (x )＝x 3－12x ，故f (2)＝23
－12×2＝－16，
∴f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －f (2)＝f ′(2)·(x －2)，即为y ＋16＝0.
(2)证明：设f (x 0)＝m ，则由f (f (x 0))＝x 0得f (m )＝x 0；又f (x )＝x 3
－kx (k >0)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 30－kx 0＝m m 3－km ＝x 0， 两式相减得(x 30－m 3
)－k (x 0－m )＝m －x 0，
即(x 0－m )(x 20＋m 2
＋x 0m ＋1－k )＝0. ∵x 0≥1，f (x 0)≥1即m ≥1， ∴x 20＋m 2
＋x 0m ＋1－k ≥4－k ，而0<k ≤3， ∴x 20＋m 2
＋x 0m ＋1－k ≥1>0，从而只有x 0－m ＝0， 即m ＝x 0，∴f (x 0)＝x 0.。