2018年高中数学课时跟踪检测一转变率问题导数的概念新人教A版选修2_2

课时跟踪检测（一）转变率问题导数的概念
层级一学业水平达标
1．若是一个函数的瞬时转变率处处为0，则那个函数的图象是( )
A．圆B．抛物线
C．椭圆D．直线
解析：选D 当f(x)＝b时，瞬时转变率li m
△x－0Δy
Δx
＝li m
△x－0
b－b
Δx
＝0，因此f(x)的图象为一条直线．
2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变成时，函数的平均转变率为( ) A．B．
C．2 D．0
解析：选A Δy
Δx
＝
f－f1
－1
＝错误!＝.
3．设函数f(x)在点x0周围有概念，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( ) A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
解析：选C f′(x0)＝li m
△x－0f x0＋Δx－f x0
Δx
＝li m
△x－0
(a＋b·Δx)＝a.
4．若是质点A依照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( ) A．6 B．18
C．54 D．81
解析：选B ∵s(t)＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2.∴Δs
Δt
＝18＋3Δt.∴li m
△x－0
Δs
Δt
＝li m
△x－0
(18＋3Δt)＝18，故应选B.
5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0
解析：选C f′(0)＝li m
△x－00＋Δx2－30＋Δx－02＋3×0
Δx
＝li m
△x－0Δx2－3Δx
Δx
＝li m
△x－0
(Δx－3)＝－3.故选C.
6．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
解析：∵f′(1)＝li m
△x－0f1＋Δx－f1
Δx
＝li m
△x－0a1＋Δx＋4－a＋4
Δx
＝a，∴a＝2.
答案：2
7.汽车行驶的路程s 和时刻t 之间的函数图象如图，在时刻段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，
t 3]上的平均速度别离为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．
解析：v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图象知k OA ＜k AB ＜k BC . 答案：v 1＜v 2＜v 3
8．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______． 解析：∵Δy ＝43π×23－43π×13
＝28π3，
∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π
3. 答案：28π3
9．质点按规律s (t )＝at 2
＋1做直线运动(s 单位：m ，t 单位：s)．若质点在t ＝2时的瞬时速度为8 m /s ，求常数a 的值．
解：∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[a (2＋Δt )2＋1]－(a ×22＋1)＝4a Δt ＋a (Δt )2
，∴Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，
∴在t ＝2时，瞬时速度为li m △x －0
Δs
Δt
＝4a,4a ＝8，∴a ＝2. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－1x ，x >0，1＋x 2，x ≤0求f ′(4)·f ′(－1)的值．
解：当x ＝4时，Δy ＝－
1
4＋Δx
＋
14
＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝
Δx
24＋Δx
4＋Δx ＋2
.
∴Δy Δx ＝
1
24＋Δx
4＋Δx ＋2
.
∴li m Δx →0 Δy
Δx ＝li m Δx →0
1
24＋Δx 4＋Δx ＋2
＝
1
2×4×
4＋2
＝116
. ∴f ′(4)＝1
16.
当x ＝－1时，Δy Δx
＝
f
－1＋Δx －f －1
Δx
＝
1＋－1＋Δx 2－1－－12
Δx
＝Δx －2，
由导数的概念，得f ′(－1)＝li m Δx →0 (Δx －2)＝－2， ∴f ′(4)·f ′(－1)＝116×(－2)＝－18
.
层级二 应试能力达标
1．已知函数f (x )＝2x 2
－4的图象上一点(1，－2)及临近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx 等于( )
A ．4
B ．4x
C ．4＋2Δx
D ．4＋2(Δx )2
解析：选C Δy Δx
＝
f
1＋Δx －f 1Δx
＝
2
1＋Δx 2－4＋2Δx
＝
2
Δx 2
＋4Δx
Δx
＝2Δx ＋4.
2.甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时刻t 的关系如图，则在[0，t 0]那个时刻段内，
甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )
A ．v 甲＞v 乙
B ．v 甲＜v 乙
C ．v 甲＝v 乙
D ．大小关系不确信
解析：选B 设直线AC ，BC 的斜率别离为k AC ，k BC ，由平均转变率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均转变率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均转变率v 乙＝k BC .因为k AC ＜k BC ，因此v 甲＜v 乙．
3．若可导函数f (x )的图象过原点，且知足li m Δx →0 f Δx
Δx
＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1
D ．2
解析：选B ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝li m Δx →0 f 0＋Δx －f 0Δx ＝li m Δx →0 f Δx
Δx
＝－1， ∴选B.
4．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－1
2，则m 的值等于( )
A ．－4
B ．2
C ．－2
D ．±2
解析：选D f ′(x )＝li m △x －0
f x ＋Δx －f x Δx ＝－2x 2，于是有－2m 2＝－12
，m 2
＝4，解得m ＝±2.
5．已知函数f (x )＝－x 2
＋x 在区间[t,1]上的平均转变率为2，则t ＝________. 解析：∵Δy ＝f (1)－f (t )＝(－12
＋1)－(－t 2
＋t )＝t 2
－t ， ∴Δy Δx ＝t 2
－t 1－t ＝－t . 又∵Δy
Δx ＝2，∴t ＝－2. 答案：－2
6．一物体的运动方程为s ＝7t 2
＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 解析：Δs Δt
＝
7t 0＋Δt
2
＋8－7t 2
0＋8
Δt
＝7Δt ＋14t 0，
当li m Δx →0 (7Δt ＋14t 0)＝1时，t ＝t 0＝1
14. 答案：114
7．枪弹在枪筒中运动能够看做匀加速运动，若是它的加速度是×105
m/s 2
，枪弹从枪口射出时所历时刻为×10－3
s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
解：位移公式为s ＝12
at 2
，
∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2
，
∴
Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴li m Δx →0 Δs Δt ＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫at 0＋12a Δt ＝at 0
， 已知a ＝×105
m/s 2
，t 0＝×10－3
s ，∴at 0＝800 m/s. 因此枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
8．设函数f (x )在x 0处可导，求下列各式的值． (1) li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0
Δx
；
(2li m Δx →0
f x 0＋4Δx －f x 0＋5Δx
Δx
.
解：(1) li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0
Δx
＝－m li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0
－m Δx
＝－mf ′(x 0)．
(2)原式 ＝li m Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 0－[f x 0＋5Δx －f x 0]
Δx
＝li m Δx →0
f x 0＋4Δx －f x 0Δx －li m Δx →0 f x 0＋5Δx －f x 0
Δx ＝4li m Δx →0
f x 0＋4Δx －f x 04Δx －5li m Δx →0 f x 0＋5Δx －f x 05Δx
＝4f ′(x 0)－5f ′(x 0)＝－f ′(x 0)．。