江苏高考数学大一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算

5.1 平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
3.向量共线定理
对于两个向量a (a ≠0)，b ，如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 【知识拓展】
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ―――→＝A 1A n →
，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.
2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →
).
3.OA →＝λOB →＋μOC →
(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1. 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关.( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )
(4)若向量AB →与向量CD →
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( √ )
1.给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →
相等.则所有正确命题的序号是________. 答案 ①
解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →
互为相反向量，故③错误.
2.(教材改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →
＝______________. 答案 －BC →＋12BA →
解析 如图，
CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12
BA →.
3.(教材改编)若2(y －13a )－1
2(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y
＝________. 答案
421a －17b ＋1
7
c 解析 由2(y －13a )－1
2(c ＋b －3y )＋b ＝0，
得2y －23a －12c －12b ＋3
2y ＋b ＝0，
即72y －23a －12c ＋1
2b ＝0， 所以y ＝421a －17b ＋17
c .
4.(教材改编)已知实数m ，n 和向量a ，b ，给出下列命题： ①m (a －b )＝m a －m b ； ②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ； ④若m a ＝n a (a ≠0)，则m ＝n . 其中正确的命题是________. 答案 ①②④
解析 若m ＝0，则m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故③不正确.
5.(2016·江苏徐州四校联考)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →
，
则λ＝______. 答案 23
解析 由AD →＝2DB →
， 得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →
＝CA →＋23(CB →－CA →
)＝13CA →＋23
CB →，
结合CD →＝13CA →＋λCB →
，知λ＝23
.
题型一 平面向量的概念 例1 给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →
是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；
④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________. 答案 ②③
解析 ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. ②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →
， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →.
③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .
④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度.
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.
(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度.
(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线.
设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，
则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.
上述命题中，假命题的个数是________. 答案 3
解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3. 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算
例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
＝__________.
(2)(2015·课标全国Ⅰ改编)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则AD →
＝____________. 答案 (1)23b ＋13c (2)－13AB →＋43AC →
解析 (1)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →
＝2(AC →－AD →
)， ∴3AD →＝2AC →＋A B →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝2
3b ＋13
c .
(2)∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →
＝－13AB →＋43AC →.
命题点2 根据向量线性运算求参数
例3 (1)(2017·江苏昆山中学月考)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →
(m ，n ∈R )，则m －n ＝________.
(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →
，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →
，则x 的取值范围是______________.
答案 (1)－2 (2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，0 解析 (1)直接利用向量共线定理，得BC →＝3DC →
， 则AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3DC →＝AB →＋3(AC →－AD →) ＝AB →＋3AC →－3AD →，
AC →
＝－12AB →＋32
AD →，
则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－3
2＝－2.
(2)设CO →＝yBC →
， ∵AO →＝AC →＋CO →
＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.
∵BC →＝3CD →
，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，
∴y ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，
∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.
(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.
如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交
对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12
AD →，AK →＝λAC →
，则λ的值为________.
答案 2
9
解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →
，
∴AB →＝52
AE →，AD →＝2AF →
.
由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →，
∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)
＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52AE →＋2AF → ＝52
λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝2
9.
题型三 共线定理的应用
例4 设两个非零向量a 与b 不共线. (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.
(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →
＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →
， ∴AB →，BD →
共线.
又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线. (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .
又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.
消去λ，得k 2
－1＝0，∴k ＝±1.
思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线.
设两个向量a 与b 不共线.
(1)试证：起点相同的三个向量a ，b,3a －2b 的终点在同一条直线上(a ≠b )； (2)求实数k ，使得k a ＋b 与2a ＋k b 共线. (1)证明 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝3a －2b . 因为AC →＝OC →－OA →
＝(3a －2b )－a ＝2(a －b )，
AB →＝OB →－OA →
＝b －a ，
所以AC →＝－2AB →，故AC →，AB →
共线.
又AC →，AB →
有公共起点A ，所以A ，B ，C 在同一条直线上. (2)解 因为k a ＋b 与2a ＋k b 共线，
所以设k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )，λ∈R ，即k a ＋b ＝2λa ＋k λb ， 又a
与b 不共线，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝2λ，
1＝k λ，
所以k ＝± 2.
4.容易忽视的零向量
典例 下列叙述错误的是________. ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .
②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同. ③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同.
④向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . ⑤AB →＋BA →
＝0.
⑥若λa ＝λb ，则a ＝b . 错解展示
解析 ⑤中两个向量的和仍是一个向量，∴AB →＋BA →
＝0. 答案 ⑤ 现场纠错
解析 对于①，当b ＝0时，a 不一定与c 平行.
对于②，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都 不相同. 对于③，当a ，b 之一为零向量时结论不成立.
对于④，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0或a ≠0但b ＝0时，λ不存在.
对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量， 所以AB →＋BA →
＝0.
对于⑥，当λ＝0时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b . 故①②③④⑤⑥均错.
答案 ①②③④⑤⑥
纠错心得 在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.
1.(2016·徐州模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是________. ①a ＋b ＝0 ②a ＝b
③a 与b 共线反向
④存在正实数λ，使a ＝λb 答案 ④
解析 因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线同向，故D 正确. 2.(教材改编)对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0成立”的____________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 必要不充分
解析 由a ＋b ＝0，可得a ＝－b ，即得a ∥b ，但a ∥b ，不一定有a ＝－b ，所以“a ∥b ”是“a ＋b ＝0成立”的必要不充分条件.
3.已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝________. 答案 0
解析 依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.
4.(教材改编)已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →
＝b ，给出下列命题： ①AD →
＝－12a －b ；
②BE →
＝a ＋12b ；
③CF →
＝－12a ＋12
b ；
④AD →＋BE →＋CF →
＝0.
其中正确的命题是________.(填序号) 答案 ①②③④
解析 AD →＝AC →＋CD →＝－CA →－DC →
＝－12a －b ，
BE →＝BC →＋CE →
＝a ＋12
b ，
CF →
＝12
(CB →＋CA →
)＝－12a ＋12
b ，
所以AD →＋BE →＋CF →
＝0.
5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
，则m ＋n 的值为________.
答案 2
解析 ∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12
(AB →＋AC →)
＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n
2＝1，
∴m ＋n ＝2.
6.设P 为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)，AP →＝k (AB →＋AC →
)(k ∈R )，若cos∠BAC ＝25，
则k ＝________. 答案
514
解析 取BC 的中点D ，连结PD ，AD ， 则PD ⊥BC ，AB →＋AC →＝2AD →
， ∵AP →＝k (AB →＋AC →
)(k ∈R )，
∴AP →＝2kAD →
，∴A ，P ，D 三点共线， ∴AB ＝AC ，
∴cos∠BAC ＝cos∠DPC ＝DP PC ＝
DP PA ＝2
5
， ∴AP ＝57AD ，∴2k ＝57，解得k ＝514
.
7.(2016·江苏无锡一中质检)在△ABC 中，D 在线段BC 上，BD →＝2DC →.若AD →＝mAB →＋nAC →
，则m n
＝
________.
答案 12
解析 因为AD →＝AB →＋BD →，AD →＝AC →＋CD →，BD →＝2DC →，所以AD →＝13AB →＋23
AC →＝mAB →＋nAC →， 所以m ＝13，n ＝23，所以m n ＝12
. 8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.
答案 135
解析 如图，取单位向量i ，j ，则：
a ＝i ＋2j ，
b ＝2i －j ，
c ＝3i ＋4j .
∴c ＝x a ＋y b ＝x (i ＋2j )＋y (2i －j )＝(x ＋2y )i ＋(2x －y )j ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3，2x －y ＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝115，y ＝25，
∴x ＋y ＝135
. 9.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的
值是________.
答案 －1
解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，
∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .
又∵A ，B ，D 三点共线，
∴AB →，BD →共线.
设AB →＝λBD →，
∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，
∵a ，b 不共线，
∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.
10.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝
______.
答案 3
解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，
∴M 为△ABC 的重心.
如图所示，连结AM 并延长交BC 于点D ，则D 为BC 的中点.
∴AM →＝23
AD →. 又AD →＝12
(AB →＋AC →)， ∴AM →＝13
(AB →＋AC →)， 即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.
11.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，
n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________.
答案 3
解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13
(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13
b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13
λb ，
从而⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，
消去λ得1n ＋1m
＝3. 12.在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC
→＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.
解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .
AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →
＝AB →＋13(BA →＋BC →)
＝23AB →
＋13(AC →－AB →
)
＝13AB →
＋13AC →
＝13a ＋13b .
13.设a ，b 是不共线的两个非零向量.
(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线；
(2)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值.
(1)证明 由已知得，
AB →＝OB →－OA →＝3a ＋b －2a ＋b ＝a ＋2b ，
BC →＝OC →－OB →＝a －3b －3a －b ＝－2a －4b ，
故BC →＝－2AB →，
又BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线.
(2)解 AC →＝AB →＋BC →＝3a －2b ，CD →＝2a －k b .
因为A 、C 、D 三点共线，所以AC →＝λCD →，
即3a －2b ＝2λa －k λb ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝2λ，2＝k λ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝32，k ＝43.
综上，k 的值为43. 14.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延
长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值.
解 由N 是OD 的中点得AN →＝12AD →＋12
AO → ＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14
AB →， 又因为A ，N ，E 三点共线，
故AE →＝λAN →，
即mAB →＋AD →＝λ(34AD →＋14
AB →)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13
.。