高考数学_函数经典题型

函数常考题型及方法
题型一：函数求值问题
★（1）分段函数求值→“分段归类”
例1．已知函数3log ,0()2,0
x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1
(())9f f =( )
A.4
B. 1
4
C.-4 D-14
例2．若2tan ,0(2)log (),0
x x f x x x ≥⎧+=⎨
-<⎩，则(2)(2)4f f π
+⋅-=（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2
D ．2-
例3．定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=⎩
⎨⎧>---≤-0),2()1(0),
4(log 2x x f x f x x ，则f （2017）的值为( )
A.-1
B. -2
C.1
D. 2
★（2）已知某区间上的解析式求值问题→“利用周期性、奇偶性、对称性向已知区间上进行转
化”
例4．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=）且当[0,2)x ∈时，
2()log (1f x x =+），(2008)(2009)f f -+的值为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
例5．已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2
x ；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝（ ）
（A ）
124 （B ）1
12
（C ）18 （D ）
38 例6．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=
（ ）
（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 (D)3 ★（3）抽象函数求值问题→“反复赋值法”
例7．已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有
)()1()1(x f x x xf +=+，则)2
5
(f 的值是（ ）
A. 0
B. 2
1 C. 1 D.
25
例8．若函数()f x 满足：()114
f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈则()2010f =____________题型二：函数定义域与解析式 例1
．函数y =
的定义域为（ ）
A ．(4,1)--
B ．(4,1)-
C ．(1,1)-
D ．(1,1]- 例2
．函数y =
的定义域为（ ）
A.( 34
,1) B(34
,∞) C （1，+∞） D. ( 34
,1)∪（1，+∞） 例3
．函数2()f x =
的定义域为 ．
例4．求满足下列条件的()f x 的解析式： （1）已知33
1
1
()f x x x
x +=+
，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x
+=，求()f x ；
（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；
（4）已知()f x 满足1
2()()3f x f x x
+=，求()f x ．
例5.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切
线方程是(()（ ）
（A ）21y x =- （B ）y x = （C ）32y x =- （D ）23y x =-+ 题型四：函数值域与最值
关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，常用的方法有：1.利用基本函数
求值域（观察法）2.配方法；3.反函数法；4.判别式法；5.换元法；6.函数有界性（中间变量法）7.单调性法；8.不等式法；9.数形结合法；10.导数法等。

例1.
函数y =( )
（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4)
例2.函数()()2log 31x f x =+的值域为( )
A. ()0,+∞
B. )0,+∞⎡⎣
C. ()1,+∞
D. )1,+∞⎡⎣ 例3.设函数2
()2()g x x x R =-∈，
()4,(),
(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是( )
（A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9
,0(2,)4⎡⎤
-⋃+∞⎢⎥⎣⎦
例4.已知0t >，则函数241
t t y t
-+=的最小值为____________ .
例5.已知函数13x x -+M ,最小值为m ,则m
M
的值为( ) (A)14
(B)12
(C)
22
3例6.若函数()y f x =的值域是1[,3]2
，则函数1
()()()
F x f x f x =+
的值域是( ) A ．1[,3]2
B ．10[2,]3
C ．510[,]23
D ．10
[3,]3
题型五：函数单调性
例1.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠，有2121()(()())0x x f x f x -->.则当*n N ∈时,有
(A)()(1)(1)f n f n f n -<-<+ (B) (1)()(1)f n f n f n -<-<+ (C) (1)()(1)f n f n f n +<-<- (D) (1)(1)()f n f n f n +<-<-
例2.下列函数()f x 中,满足“对任意1x ,2x ∈(0,+∞),当1x <2x 时,都有1()f x >2()f x 的是
A.()f x =1
x
B.()f x =2(1)x - C .()f x =x e D.()ln(1)f x x =+ 例 3.给定函数①12
y x =，②12
log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间（0，1）上
单调递减的函数序号是
（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 例4.定义在R 上的偶函数()f x 的部分图像如右图所示,则在
()2,0-上,下列函数中与()f x 的单调性不同的是
A.21y x =+
B. ||1y x =+
C. 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩
D.,,0
x x e x o
y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩
例5.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加,则满足(21)f x -<1()3
f 的x 取值范围是 (A)(1
3
,23
) (B) [13
,23
) (C)(12
,23
) (D) [12
,23
)
例6.用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值设f(x)=min{2x , x+2,10-x} (x ≥0),
则f(x)的最大值为
A.4
B.5 C .6 D.7
例7．设函数⎩
⎨⎧<+≥+-=0,60
,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）
A ．),3()1,3(+∞⋃-
B ．),2()1,3(+∞⋃-
C ．),3()1,1(+∞⋃-
D ．)3,1()3,(⋃--∞ 例8．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式
()()
0f x f x x
--<的解集为（ ）
A ．(10)(1)-+∞，，
B ．(1)(01)-∞-，，
C ．(1)(1)-∞-+∞，，
D ．(10)(01)-，， 例9．定义域为R 的函数()f x 满足条件:①12121212[()()]()0,(,,)f x f x x x x x R x x +-->∈≠;
②()()0f x f x +-= ()x R ∈; ③(3)0f -=.则不等式()0x f x ⋅<的解集是( ) A.{}|303x x x -<<>或 B.{}|303x x x <-≤<或 C.{}|33x x x <->或 D.{}|3003x x x -<<<<或
例10．已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)
0(,4)3()0(,)(x a x a x a x f x .满足对任意的21x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f
成立,则a 的取值范围是( )
A. ]41,0(
B. )1,0(
C. )1,4
1[ D. )3,0(
题型六：函数奇偶性与周期性 例1．若1
()21
x
f x a =
+-是奇函数,则a =____________.
例2．函数3()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a -=，则()f a 的值为
A ．3
B ．0
C ．-1
D ．-2
例3．设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x ∈R)是偶函数，则实数a =__________
例4．已知函数)(x f 是),(+∞-∞上的偶函数，若对于0≥x ，都有）x f x f ()2(=+，且当)
2,0[∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2017()2018(f f +-值为（ ） A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
例5．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+=,若(1)2f =,则(99)f =（ ）
A.13
B.2
C.
132 D.2
13
例6．若函数f （x ）=3x +3-x 与g （x ）=3x -3-x 的定义域均为R ，则（ ）
A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数 B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数 例7．已知函数()y f x =的图象与函数22()log (2)g x x x =++的图象关于直线2x =对称，则
(3)f =__________.
例8．已知定义在R 上的函数()y f x =满足()()22.f x f x +=-,若方程()0=x f 有且仅有三个根，
且x =0为其一个根，则其它两根为___________。

例9．对于定义在R 上的函数()f x ，有下述四个命题：
①若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点A （1，0）对称；
②若对x ∈R ，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称； ③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数； ④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称。

其中正确命题的序号为__________（把你认为正确命题的序号都填上） 例10．函数y=2
2log 2x
y x
-=+的图像( ) （A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称 （C ） 关于y 轴对称 （D ）关于
直线y x =对称
例11．定义在R 上的偶函数()f x 满足[](1)(),()0f x f x f x +=-且在－１，上是增函数，下列五个
关于()f x 的命题中
①()f x 是周期函数； ②()f x 的图象关于1x =对称；
③()f x 在［0，1］上是增函数 ④()f x 在［1，2］上是减函数； ⑤(2)(0)f f =
正确命题的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
例12．若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅- 是（ ）
（A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数 （C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数
例13．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( ) (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数
例14．（2008安徽）若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，
则有（ ）
A ．(2)(3)(0)f f g <<
B ．(0)(3)(2)g f f <<
C ．(2)(0)(3)f g f <<
D ．(0)(2)(3)g f f <<
题型七：函数图像
例1.函数x x
x x e e y e e
--+=-的图像大致为( ).
D
例2.设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是( ).
例3.函数22x y x =-的图像大致是（ ）
例4．函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）
例5．如图所示，一质点(,)P x y 在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其
在x 轴上的投影点(,0)Q x 的运动速度()V V t =的图象大致为
y
x
O
(,)
P x y (,0)
Q x O ()V t t O ()
V t t
O ()
V t t
O ()V t t
A B C D 例6．函数y ＝lncos x (-2
π＜x ＜)2
π的图象是( )
题型八：函数性质的综合应用
例1. 一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得
到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是
1
（A ） （B ） （C ） （D ）
例2.已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λ
λλ++=
-≠x x a λλβ++=11
2x x ，
若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ）
（A ）0<λ （B ）0=λ （C ）10<<λ （D ）1≥λ
例3.设函数2()0)f x ax bx c a ++<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形
区域，则a 的值为（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．8-
D ．不能确定21世纪教育网 例 4.设函数()y f x =在（-∞，+∞）内有定义。

对于给定的正数K ，定义函数
(),()(),()k f x f x K
f x K f x K
≤⎧=⎨
>⎩ 取函数()f x =12x e ---。

若对任意的(,)x ∈+∞-∞，恒有()k f x =()f x ，则 （ ）
A ．K 的最大值为2 B. K
的最小值为2
C ．K 的最大值为1 D. K 的最小值为1
x
y
O
1
x
y
O 1 1
x
y
O 1 1
x
y
O
1 1
例5.在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使
2
)
()()2(
2121x f x f x x f +>
+恒成立的函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
例6.函数()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2b
x a
=-
对称。

据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程[]2
()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是 A. {}1,2 B {}1,4 C {}1,2,3,4 D {}1,4,16,64
二．函数与方程的思想方法
例1.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方
程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++= 例2.已知函数2()2f x x x a =++,2()962f bx x x =-+,其中x R ∈,,a b 为常数，则方程()0
f ax b +=的解集为 .
例3.函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是
(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）
例4.直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .
例5.若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和215
94
y ax x =+
-都相切，则a 等于 A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．7
4
-或7
例6.若1x 满足2x+2x =5, 2x 满足2x+22log (x －1)=5, 1x +2x ＝（ ） （A ）52 (B)3 (C)
7
2
(D)4。