七年级下册包头数学期末试卷（提升篇）（Word版 含解析）

七年级下册包头数学期末试卷（提升篇）（Word 版 含解析）
一、选择题
1．9的算术平方根是（）
A ．81
B ．3
C ．3-
D ．4
2．下列汽车商标图案中，可以由一个“基本图案”通过连续平移得到的是( ) A ． B ． C ． D ． 3．下列各点中，在第四象限的是（ ）
A ．3,0
B ．()2,5-
C ．()5,2--
D ．()2,3- 4．在以下三个命题中，正确的命题有（ ）
①a ，b ，c 是三条不同的直线，若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交
②a ，b ，c 是三条不同的直线，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c
③若∠α与∠β互补，∠β与∠γ互补，则∠a 与∠γ互补
A ．②
B ．①②
C ．②③
D ．①②③ 5．如图，直线//a b ，三角板的直角顶点在直线b 上，已知125∠=︒，则2∠等于（ ）．
A ．25°
B ．55°
C ．65°
D ．75°
6．如图，下列各数中，数轴上点A 表示的可能是（ ）
A ．4的算术平方根
B ．4的立方根
C ．8的算术平方根
D ．8的立方根 7．如图，AB //CD ，∠EBF ＝2∠AB
E ，∠EC
F ＝3∠DCE ，设∠ABE ＝α，∠E ＝β，∠F ＝γ，则α，β，γ的数量关系是（ ）
A ．4β﹣α+γ＝360°
B ．3β﹣α+γ＝360°
C ．4β﹣α﹣γ＝360°
D ．3β﹣2α﹣γ＝360°
8．在平面直角坐标系中，对于点P （x ，y ），我们把点P ′（y ﹣1，﹣x ﹣1）叫做点P 的友
好点，已知点A 1的友好点为点A 2，点A 2的友好点为点A 3，点A 3的友好点为点A 4，⋯⋯以此
类推，当点A 1的坐标为（2，1）时，点A 2021的坐为（ ）
A ．（2，1）
B ．（0，﹣3）
C ．（﹣4，﹣1）
D ．（﹣2，3）
二、填空题
9．若x ＝x ，则x 的值为______．
10．点()2,1M -关于y 轴的对称点的坐标为______．
11．如图，C 在直线BE 上，∠ABC 与∠ACE 的角平分线交于点1A ，∠A=m,若再作∠1A BE 、∠1A CE 的平分线，交于点2A ；再作∠2A BE 、∠2A CE 的平分线，交于点3A ；……；依次类推，则A n ∠为_______.
12．如图，AD 是∠EAC 的平分线，AD ∥BC ，∠B ＝40°，则∠DAC 的度数为____．
13．如图，将一条对边互相平行的长方形纸带进行两次折叠，折痕分别为AB 、CD ，若//CD BE ，且156∠=︒，则2∠=_____．
14．将2,3,6按下列方式排列，若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则（20，9）表示的数的相反数是___
15．若点P （2x ，x-3）到两坐标轴的距离之和为5，则x 的值为____________. 16．在平面直角坐标系中，点A 与原点重合，将点A 向右平移1个单位长度得到点A 1，将A 1向上平移2个单位长度得到点A 2，将A 2向左平移3个单位长度得到A 3，将A 3向下平移4个单位长度得到A 4，将A 4向右平移5个单位长度得到A 5…按此方法进行下去，则A 2021点坐标为_______________．
三、解答题
17．计算：(1)()4129-⨯()432054⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭
18．求下列各式中的x ：
（1）3641250x -=； （2）3(1)8x +=； （3）3(21)270x -+=．
19．如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠B ＝∠3，请你判断DE 和BC 平行吗？说明理由．（请根据下面的解答过程，在横线上补全过程和理由）
解：DE ∥BC ．理由如下：
∵∠1+∠4＝180°（平角的定义），∠1+∠2＝180°（ ），
∴∠2＝∠4（ ）．
∴ ∥ （ ）．
∴∠3＝ （ ）．
∵∠3＝∠B （ ），
∴ ＝ （ ）．
∴DE ∥BC （ ）．
20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC 的顶点A 的坐标为A （-1，4），顶点B 的坐标为（-4，3），顶点C 的坐标为（-3，1）．
（1）把三角形ABC 向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A ′B ′C ′，请你画出三角形A ′B ′C ′，并直接写出点A ′的坐标；
（2）若点P （m ，n ）为三角形ABC 内的一点，则平移后点P 在△A ′B ′C ′内的对应点P ′的坐标为 ．
（3）求三角形ABC 的面积．
21．已知某正数的两个平方根分别是12a -和4,421a a b ++-的立方根是3,c 13部分．
（1）求, , a b c 的值；
（2）求2a b c ++的算术平方根．
二十二、解答题
22．工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为24平方分米的长方形的工件．
（1）求正方形工料的边长；
（2）若要求裁下的长方形的长宽的比为4:3，问这块正方形工料是否满足需要？（参考数2 1.414≈3 1.732≈）
二十三、解答题
23．已知：AB ∥CD ，截线MN 分别交AB 、CD 于点M 、N ．
（1）如图①，点B 在线段MN 上，设∠EBM ＝α°，∠DNM ＝β°，且满足30-a +（β﹣60）2＝0，求∠BEM 的度数；
（2）如图②，在（1）的条件下，射线DF 平分∠CDE ，且交线段BE 的延长线于点F ；请写出∠DEF 与∠CDF 之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点P 在射线NT 上运动时，∠DCP 与∠BMT 的平分线交于点Q ，则∠Q 与∠CPM 的比值为 （直接写出答案）．
24．已知直线//AB CD ，M ，N 分别为直线AB ，CD 上的两点且70MND ∠=︒，P 为直线CD 上的一个动点．类似于平面镜成像，点N 关于镜面MP 所成的镜像为点Q ，此时,,NMP QMP NPM QPM MNP MQP ∠=∠∠=∠∠=∠．
（1）当点P 在N 右侧时：
①若镜像Q 点刚好落在直线AB 上（如图1），判断直线MN 与直线PQ 的位置关系，并说明理由；
②若镜像Q 点落在直线AB 与CD 之间（如图2），直接写出BMQ ∠与DPQ ∠之间的数量关系；
（2）若镜像PQ CD ⊥，求BMQ ∠的度数．
25．如图，已知直线a ∥b ，∠ABC ＝100°，BD 平分∠ABC 交直线a 于点D ，线段EF 在线段AB 的左侧，线段EF 沿射线AD 的方向平移，在平移的过程中BD 所在的直线与EF 所在的直线交于点P ．问∠1的度数与∠EPB 的度数又怎样的关系？
（特殊化）
（1）当∠1＝40°，交点P 在直线a 、直线b 之间，求∠EPB 的度数；
（2）当∠1＝70°，求∠EPB 的度数；
（一般化）
（3）当∠1＝n°，求∠EPB 的度数（直接用含n 的代数式表示）．
26．如果三角形的两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么我们称这样的三角形是“准互余三角形”．
（1）如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，求证：ABD △是“准互余三角形”；
（2）关于“准互余三角形”，有下列说法：
①在ABC 中，若100A ∠=︒，70B ∠=︒，10C ∠=︒，则ABC 是“准互余三角形”； ②若ABC 是“准互余三角形”，90C ∠>︒，60A ∠=︒，则20B ∠=︒；
③“准互余三角形”一定是钝角三角形．
其中正确的结论是___________（填写所有正确说法的序号）；
（3）如图2，B ，C 为直线l 上两点，点A 在直线l 外，且50ABC ∠=︒．若P 是直线l 上一点，且ABP △是“准互余三角形”，请直接写出APB ∠的度数．
【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a a
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，解题时注意算术平方根与平方根的区别．
2．B
【分析】
根据旋转变换，平移变换，轴对称变换对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】
解：A、可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项错误；
B、可以由一个“基本图案”平移得到，故把本选项正
解析：B
【分析】
根据旋转变换，平移变换，轴对称变换对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项错误；
B、可以由一个“基本图案”平移得到，故把本选项正确；
C、是轴对称图形，不是基本图案的组合图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是基本图案的组合图形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了生活中的平移现象，仔细观察各选项图形是解题的关键．
3．B
【分析】
根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数解答．
【详解】
解：A、（3，0）在x轴上，不合题意；
B、（2，-5）在第四象限，符合题意；
C、（-5，-2）在第三象限，不合题意；
D、（-2，3），在第二象限，不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4．A
【分析】
根据直线与直线的位置关系、平行线的判定定理和同角的补角相等逐一判断即可．
解：①a，b，c是三条不同的直线，若a与b相交，b与c相交，则a与c不一定相交，如下图所示，故①错误；
②a，b，c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，故②正确；
③若∠α与∠β互补，∠β与∠γ互补，则∠a与∠γ相等，故③错误
综上：正确的命题是②．
故选A．
【点睛】
此题考查的是直线的位置关系的判断和补角的性质，掌握直线与直线的位置关系、平行线的判定定理和同角的补角相等是解决此题的关键．
5．C
【分析】
利用平行线的性质，可证得∠2=∠3，利用已知可证得∠1+∠3=90°，求出∠3的度数，进而求出∠2的度数．
【详解】
解：如图
∵a//b
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠3=180°-90°=90°
∴∠3=90°-∠1=90°-25°=65°
∴∠2=65°．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，灵活运用“两直线平行、同位角相等”是解答本题的关键．6．C
【详解】
解：由题意可知4的算术平方根是2，43434的算术平方根是2
2<22，8的立方根是2，
故根据数轴可知,
故选C
7．A
【分析】
由∠EBF ＝2∠ABE ，可得∠EBF ＝2α．由∠EBF +∠BEC +∠F +∠ECF ＝360°，可得∠ECF ＝360°
﹣（2α+β+γ），那么∠DCE ＝13
ECF ∠．由∠BEC ＝∠M +∠DCE ，可得∠M ＝∠BEC ﹣∠DCE ．根据AB //CD ，得∠ABE ＝∠M ，进而推断出4β﹣α+γ＝360°．
【详解】
解：如图，分别延长BE 、CD 并交于点M ．
∵AB //CD ，
∴∠ABE ＝∠M ．
∵∠EBF ＝2∠ABE ，∠ABE ＝α，
∴∠EBF ＝2α．
∵∠EBF +∠BEC +∠F +∠ECF ＝360°，
∴∠ECF ＝360°﹣（2α+β+γ）．
又∵∠ECF ＝3∠DCE ，
∴∠DCE ＝11(3602)33ECF a βγ︒∠=---． 又∵∠BEC ＝∠M +∠DCE ，
∴∠M ＝∠BEC ﹣∠DCE ＝β﹣1(3602)3
a βγ︒---． ∴β﹣1(3602)3
a βγ︒---＝α． ∴4β﹣α+γ＝360°．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，角度的计算，构造辅助线转化角度是解题的关键．
8．A
【分析】
根据友好点的定义及点A1的坐标为（2，1），顺次写出几个友好点的坐标，可发现循环规律，据此可解．
【详解】
解：观察，发现规律：A1（2，1），A2（0，-3），A3（-4，-1），A
解析：A
【分析】
根据友好点的定义及点A1的坐标为（2，1），顺次写出几个友好点的坐标，可发现循环规律，据此可解．
【详解】
解：观察，发现规律：A1（2，1），A2（0，-3），A3（-4，-1），A4（-2，3），A5（2，1），…，
∴A4n+1（2，1），A4n+2（0，-3），A4n+3（-4，-1），A4n+4（-2，3）（n为自然数）．
∵2021=505×4+1，
∴点A2021的坐标为（2，1）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了规律型的点的坐标，从已知条件得出循环规律：每4个点为一个循环是解题的关键．
二、填空题
9．0或1
【分析】
根据算术平方根的定义(一般地说，若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个数x叫做a的算术平方根)求解.
【详解】
∵02=0,12=1,
∴0的算术平方根为0，1的算术平方根
解析：0或1
【分析】
根据算术平方根的定义(一般地说，若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个数x叫做a的算术平方根)求解.
【详解】
∵02=0,12=1,
∴0=0，1
=
1.
故答案是：0或1.
【点睛】
考查了算术平方根的定义，解题关键是利用算术平方根的定义(一般地说，若一个非负数x 的平方等于a，即x²=a，则这个数x叫做a的算术平方根)求解.
10．【分析】
关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.
【详解】
∵关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数
∴点关于y轴的对称点的坐标为.
故答案为：
【点睛】
考核知识点：轴对称与点
解析：()
2,1
【分析】
关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.
【详解】
∵关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数
∴点()2,1
M-关于y轴的对称点的坐标为()2,1.
故答案为：()
2,1
【点睛】
考核知识点：轴对称与点的坐标.理解轴对称和点的坐标关系是关键.
11．【分析】
根据角平分线定义与三角形的外角等于与其不相邻两个内角和求出规律，利用规律解题即可
【详解】
当∠A=m时，∠=，以此类推，∠=，∠=，∠=
故答案为
【点睛】
本题主要考查了角平分线性质
解析：
2n
m
【分析】
根据角平分线定义与三角形的外角等于与其不相邻两个内角和求出规律，利用规律解题即可
【详解】
当∠A=m时，∠1A=1
2
m，以此类推，∠
2
A=
1
4
m，∠
3
A=
1
8
m，∠
n
A=
1
2n
m
故答案为
2n
m
【点睛】
本题主要考查了角平分线性质与三角形外角和定理，根据题意以及相关性质找到规律解题是关键
12．40°
【分析】
根据平行线的性质可得∠EAD=∠B，根据角平分线的定义可得∠DAC=∠EAD，即
可得答案．
【详解】
∵AD∥BC，∠B＝40°，
∴∠EAD=∠B=40°，
∵AD是∠EAC的平
解析：40°
【分析】
根据平行线的性质可得∠EAD=∠B，根据角平分线的定义可得∠DAC=∠EAD，即可得答案．
【详解】
∵AD∥BC，∠B＝40°，
∴∠EAD=∠B=40°，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠DAC=∠EAD=40°，
故答案为：40°
【点睛】
本题考查平行线的性质及角平分线的定义，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．
13．68°
【分析】
利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到∠5=∠DCF=∠4=∠3=∠1=56°，进而得出∠2=68°．
【详解】
解：如图，延长BC到点F，
∵纸带对边互相平行，∠1=56°，
解析：68°
【分析】
利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到∠5=∠DCF=∠4=∠3=∠1=56°，进而得出
∠2=68°．
【详解】
解：如图，延长BC到点F，
∵纸带对边互相平行，∠1=56°，
∴∠4=∠3=∠1=56°，
由折叠可得，∠DCF=∠5，
∵CD∥BE，
∴∠DCF=∠4=56°，
∴∠5=56°，
∴∠2=180°-∠DCF-∠5=180°-56°-56°=68°，
故答案为：68°．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
14．【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：
1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列
解析：3
-
【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．
【详解】
（20，9）表示第20排从左向右第9个数是从头开始的第1+2+3+4+…+19+9=199个数，÷=……，即12363
∵1994493
∴33
故答案为3
-
【点睛】
此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化是关键．
15．或
【详解】
【分析】分x<0，0≤x<3，x≥3三种情况分别讨论即可得.
【详解】当x<0时，2x<0，x-3<0，由题意则有-2x-(x-3)=5，解得：x=，当0≤x<3时，2x≥0，x-3
解析：2或
2 -3
【详解】
【分析】分x<0，0≤x<3，x≥3三种情况分别讨论即可得.
【详解】当x<0时，2x<0，x-3<0，由题意则有-2x-(x-3)=5，解得：x=
2
3 -，
当0≤x<3时，2x≥0，x-3<0，由题意则有2x-(x-3)=5，解得：x=2，
当x≥3时，2x>0，x-3≥0，由题意则有2x+x-3=5，解得：x=8
3
<3（不合题意，舍去），
综上，x的值为2或
2
3 -，
故答案为2或
2 3 -.
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，根据x的取值范围分情况进行讨论是解题的关键. 16．（1011，﹣1010）
【分析】
求出A1（1，0），A5（3，﹣2），A9（5，﹣4），A13（7，﹣6），•••，探究规律可得A2021（1011，﹣1010）．
【详解】
解：由题意A1（1
解析：（1011，﹣1010）
【分析】
求出A1（1，0），A5（3，﹣2），A9（5，﹣4），A13（7，﹣6），•••，探究规律可得
A2021（1011，﹣1010）．
【详解】
解：由题意A1（1，0），A5（3，﹣2），A9（5，﹣4），A13（7，﹣6），•••，
可以看出，3＝51
2
+
，5＝
91
2
+
，7＝
131
2
+
，各个点的纵坐标等于横坐标的相反数+1，
故20211
2
+
＝1011，
∴A2021（1011，﹣1010），
故答案为：（1011，﹣1010）．
【点评】
本题考查坐标与图形变化平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中
考常考题型．
三、解答题
17．(1)-1；(2)-1
【分析】
（1）根据乘方及二次根式的化简即可求解；
（2）根据乘法的分配率计算即可.
【详解】
（1）
（2）
【点睛】
本题考查的是实数的运算，掌握运算法则及乘法的分配率是
解析：(1)-1；(2)-1
【分析】
（1）根据乘方及二次根式的化简即可求解；
（2）根据乘法的分配率计算即可.
【详解】
（1）()4
12-⨯ （2）()()()434320=-20--20=-1615=-15454⎛⎫-⨯-⨯⨯+ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查的是实数的运算，掌握运算法则及乘法的分配率是关键.
18．（1）；（2）1；（3）-1．
【分析】
（1）根据立方根的定义解方程即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可；
（3）根据立方根的定义解方程即可．
【详解】
解：（1），
∴ ，
∴，
∴；
（2
解析：（1）54
；（2）1；（3）-1． 【分析】
（1）根据立方根的定义解方程即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可；
（3）根据立方根的定义解方程即可．
【详解】
解：（1）3641250x -=，
∴ ()3
34=5x ， ∴4=5x ， ∴5=4
x ； （2）3(1)8x +=
∴33(1)2x +=
∴12x +=
∴1x =；
（3）3(21)270x -+=，
∴()3
3(21)3x -=-， ∴213x -=-，
∴1x =-．
【点睛】
本题考查了利用立方根的含义解方程，熟知立方根的定义是解决问题的关键．
19．已知；同角的补角相等；AB ；EF ；内错角相等，两直线平行；∠ADE ；两直线平行，内错角相等；已知；∠B ；∠ADE ；等量代换；同位角相等，两直线平行
【分析】
求出∠2＝∠4，根据平行线的判定得出AB
解析：已知；同角的补角相等；AB ；EF ；内错角相等，两直线平行；∠ADE ；两直线平行，内错角相等；已知；∠B ；∠ADE ；等量代换；同位角相等，两直线平行
【分析】
求出∠2＝∠4，根据平行线的判定得出AB ∥EF ，根据平行线的性质得出∠3＝∠ADE ，求出∠B ＝∠ADE ，再根据平行线的判定推出即可．
【详解】
解：DE ∥BC ，理由如下：
∵∠1+∠4＝180°（平角定义），∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠4（同角的补角相等），
∴AB ∥EF （内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE （两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B （已知），
∴∠B ＝∠ADE （等量代换），
∴DE ∥BC （同位角相等，两直线平行），
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质定理及判定定理是解题的关键． 20．（1）作图见解析，A′（4，0）；（2）（m+5，n-4）；（3）3.5．
【分析】
（1）首先确定A 、B 、C 三点平移后的位置，再连接即可；
（2）利用平移的性质得出P （m ，n ）的对应点P′的坐标即
解析：（1）作图见解析，A ′（4，0）；（2）（m +5，n -4）；（3）3.5．
【分析】
（1）首先确定A 、B 、C 三点平移后的位置，再连接即可；
（2）利用平移的性质得出P （m ，n ）的对应点P ′的坐标即可；
（3）直接利用△ABC 所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：△A ′B ′C ′即为所求：
A ′（4，0）；
（2）∵△ABC 先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△A ′B ′C ′， ∴P （m ，n ）的对应点P ′的坐标为（m +5，n -4）；
（3）△ABC 的面积=3×3−12×2×1−12×3×1−12
×3×2=3.5． 【点睛】
本题主要考查了坐标与图形的变化－平移，三角形面积求法以及坐标系内图形平移，正确得出对应点位置是解题关键．
21．（1），，c=4；（2）4
【分析】
（1）由题意可得出，得出a 的值，代入中得出b 的值，再根据即可得出c 的值；
（2）代入a 、b 、c 的值求出代数式的值，再求算术平方根即可．
【详解】
解：（1）∵某
解析：（1）5a =，4b =，c=4；（2）4
【分析】
（1）由题意可得出(12)(4)0a a -++=，得出a 的值，代入3421327a b +-==中得出b 的
值，再根据34<即可得出c 的值；
（2）代入a 、b 、c 的值求出代数式的值，再求算术平方根即可．
【详解】
解：（1）∵某正数的两个平方根分别是12a -和4a
∴(12)(4)0a a -++=
∴5a =
又∵421a b +-的立方根是3
∴3421327a b +-==
∴4b =
又∵34<，c
∴3c =
（2）2524316a b c ++=+⨯+=
故2a b c ++的算术平方根是4．
【点睛】
本题考查的知识点是平方根、算术平方根、立方根、估算无理数的大小，属于基础题目，解此题的难点在于c 值的确定，学会用“逼近法”求无理数的整数部分是解此题的关键． 二十二、解答题
22．（1）6分米；（2）满足．
【分析】
（1）由正方形面积可知，求出的值即可；
（2）设长方形的长宽分别为4a 分米、3a 分米，根据面积得出方程，求出，求出长方形的长和宽和6比较即可．
【详解】
解：（
解析：（1）6分米；（2）满足．
【分析】
（1
（2）设长方形的长宽分别为4a 分米、3a 分米，根据面积得出方程，求出a ，求出长方形的长和宽和6比较即可．
【详解】
解：（16分米；
（2）设长方形的长为4a 分米，则宽为3a 分米．
则4324a a ⋅=，
解得：a =
∴长为4 5.6566a ≈<，宽为3 4.242 6.a ≈<
∴满足要求．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根及实数大小比较，用了转化思想，即把实际问题转化成数学问题．
二十三、解答题
23．（1）30°；（2）∠DEF+2∠CDF＝150°，理由见解析；（3）
【分析】
（1）由非负性可求α，β的值，由平行线的性质和外角性质可求解；
（2）过点E作直线EH∥AB，由角平分线的性质和平行
解析：（1）30°；（2）∠DEF+2∠CDF＝150°，理由见解析；（3）1
2
【分析】
（1）由非负性可求α，β的值，由平行线的性质和外角性质可求解；
（2）过点E作直线EH∥AB，由角平分线的性质和平行线的性质可求∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°，由角的数量可求解；
（3）由平行线的性质和外角性质可求∠PMB＝2∠Q+∠PCD，∠CPM＝2∠Q，即可求解．【详解】
解：（1）∵30
α-+（β﹣60）2＝0，
∴α＝30，β＝60，
∵AB∥CD，
∴∠AMN＝∠MND＝60°，
∵∠AMN＝∠B+∠BEM＝60°，
∴∠BEM＝60°﹣30°＝30°；
（2）∠DEF+2∠CDF＝150°．
理由如下：过点E作直线EH∥AB，
∵DF平分∠CDE，
∴设∠CDF＝∠EDF＝x°；
∵EH∥AB，
∴∠DEH＝∠EDC＝2x°，
∴∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°；
∴∠DEF＝150°﹣2∠CDF，
即∠DEF+2∠CDF＝150°；
（3）如图3，设MQ与CD交于点E，
∵MQ 平分∠BMT ，QC 平分∠DCP ，
∴∠BMT ＝2∠PMQ ，∠DCP ＝2∠DCQ ，
∵AB ∥CD ，
∴∠BME ＝∠MEC ，∠BMP ＝∠PND ，
∵∠MEC ＝∠Q +∠DCQ ，
∴2∠MEC ＝2∠Q +2∠DCQ ，
∴∠PMB ＝2∠Q +∠PCD ，
∵∠PND ＝∠PCD +∠CPM ＝∠PMB ，
∴∠CPM ＝2∠Q ，
∴∠Q 与∠CPM 的比值为12， 故答案为：12．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，准确计算是解题的关键． 24．（1）①，证明见解析，②，（2）或．
【分析】
(1) ①根据和镜像证出，即可判断直线与直线的位置关系，②过点Q 作QF ∥CD ，根据平行线的性质证即可；
(2)过点Q 作QF ∥CD ，根据点P 的位置不同，
解析：（1）①//MN PQ ，证明见解析，②70DPQ BMQ ∠∠+=︒，（2）160︒或20︒．
【分析】
(1) ①根据//AB CD 和镜像证出NMP QPM ∠=∠，即可判断直线MN 与直线PQ 的位置关系，②过点Q 作QF ∥CD ，根据平行线的性质证DPQ BM MQP Q ∠=∠∠+即可；
(2)过点Q 作QF ∥CD ，根据点P 的位置不同，分类讨论，依据平行线的性质求解即可．
【详解】
（1）①//MN PQ ，
证明：∵//AB CD ，
∴NPM QMP ∠=∠，
∵,NMP QMP NPM QPM ∠=∠∠=∠，
∴NMP QPM ∠=∠，
∴//MN PQ ；
②过点Q 作QF ∥CD ，
∵//AB CD ，
∴////AB CD QF ，
∴1BMQ ∠=∠，2QPD ∠=∠，
∴DPQ BM MQP Q ∠=∠∠+，
∵70MNP MQP ∠=∠=︒，
∴70DPQ BMQ ∠∠+=︒；
（2）如图，当点P 在N 右侧时，过点Q 作QF ∥CD ，
同（1）得，////AB CD QF ，
∴180NP FQP Q ∠=∠+︒，FQM BMQ ∠=∠，
∵PQ CD ⊥，
∴90NPQ ∠=︒，
∴90FQP ∠=︒，
∵70MND PQM ∠=∠=︒，
∴20FQM ∠=︒，
∴20BMQ ∠=︒，
如图，当点P 在N 左侧时，过点Q 作QF ∥CD ，同（1）得，////AB CD QF ，
同理可得，90FQP ∠=︒，
∵70MND ∠=︒，
∴110MNP PQM ∠=∠=︒，
∴20FQM ∠=︒，
∵//AB QF ，
∴180
∠+︒，
∠=
FQM Q
BM
∴160
∠=︒；
BMQ
∠的度数为160︒或20︒．
综上，BMQ
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是恰当的作辅助线，熟练利用平行线的性质推导角之间的关系．
25．（1）∠EPB＝170°；（2）①当交点P在直线b的下方时：∠EPB＝20°，②当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝160°，③当交点P在直线a的上方时：∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；（3）①当
解析：（1）∠EPB＝170°；（2）①当交点P在直线b的下方时：∠EPB＝20°，②当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝160°，③当交点P在直线a的上方时：∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；（3）①当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝180°﹣|n°﹣50°|；②当交点P在直线a上方或直线b下方时：∠EPB＝|n°﹣50°|.
【分析】
（1）利用外角和角平分线的性质直接可求解；
（2）分三种情况讨论：①当交点P在直线b的下方时；②当交点P在直线a，b之间时；③当交点P在直线a的上方时；分别画出图形求解；
（3）结合（2）的探究，分两种情况得到结论：①当交点P在直线a，b之间时；②当交点P在直线a上方或直线b下方时；
【详解】
解：（1）∵BD平分∠ABC，
∠ABC＝50°，
∴∠ABD＝∠DBC＝1
2
∵∠EPB是△PFB的外角，
∴∠EPB＝∠PFB+∠PBF＝∠1+（180°﹣50°）＝170°；
（2）①当交点P在直线b的下方时：
∠EPB ＝∠1﹣50°＝20°；
②当交点P 在直线a ，b 之间时：
∠EPB ＝50°+（180°﹣∠1）＝160°；
③当交点P 在直线a 的上方时：
∠EPB ＝∠1﹣50°＝20°；
（3）①当交点P 在直线a ，b 之间时：∠EPB ＝180°﹣|n°﹣50°|；
②当交点P 在直线a 上方或直线b 下方时：∠EPB ＝|n°﹣50°|；
【点睛】
考查知识点：平行线的性质；三角形外角性质．根据动点P 的位置，分类画图，结合图形求解是解决本题的关键．数形结合思想的运用是解题的突破口．
26．（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°
【分析】
（1）由和是的角平分线，证明即可；
（2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；
（3）根据“准互余三角
解析：（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°
【分析】
（1）由90ABC A ∠+∠=︒和BD 是ABC 的角平分线，证明290ABD A ∠+∠=︒即可； （2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；
（3）根据“准互余三角形”的定义，分类讨论：①2∠A +∠ABC =90°；②∠A +2∠APB =90°；③2∠APB +∠ABC =90°；④2∠A +∠APB =90°，由三角形内角和定理和外角的性质结合“准互余三角形”的定义，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，
∴90ABC A ∠+∠=︒，
∵BD 是ABC ∠的角平分线，
∴2ABC ABD ∠=∠，
∴290ABD A ∠+∠=︒，
∴ABD △是“准互余三角形”；
（2）①∵70,10B C ∠=︒∠=︒，
∴290B C ∠+∠=︒，
∴ABC 是“准互余三角形”，
故①正确；
②∵60A ∠=︒， 20B ∠=︒，
∴210090A B ∠+∠=︒≠︒，
∴ABC 不是“准互余三角形”，
故②错误；
③设三角形的三个内角分别为,,αβγ，且αβγ<<，
∵三角形是“准互余三角形”，
∴290αβ+=︒或290αβ+=︒，
∴90αβ+<︒，
∴180()90γαβ=︒-+>︒，
∴“准互余三角形”一定是钝角三角形，
故③正确；
综上所述，①③正确，
故答案为：①③；
（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°；
如图①，
当2∠A +∠ABC =90°时，△ABP 是“准直角三角形”，
∵∠ABC =50°，
∴∠A =20°，
∴∠APB =110°；
如图②，当∠A +2∠APB =90°时，△ABP 是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠A+∠APB=50°，
∴∠APB=40°；
如图③，当2∠APB+∠ABC=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠APB=20°；
如图④，当2∠A+∠APB=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠A+∠APB=50°，
所以∠A=40°，
所以∠APB=10°；
综上，∠APB的度数是10°或20°或40°或110°时，ABP
△是“准互余三角形”．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题关键是理解题意，根据三角形内角和定理和三角形的外角的性质，结合新定义进行求解．。