高中数学人教A版选修1-1练习：导数单元测试卷

第三章 导数
时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π
2附近的瞬时变化率为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关
系为( A )
A ．k 1>k 2
B ．k 1<k 2
C ．k 1＝k 2
D ．不确定
[解析] y ＝sin x ，y ′＝cos x ，∴k 1＝cos 0＝1，k 2＝cos π
2＝0，k 1>k 2.
2．y ＝x α在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( B ) A ．4 B ．－4 C ．1
D ．－1
[解析] y ′＝(x α)′＝αx α－
1， 由条件知，y ′|x ＝1＝α＝－4. 3．函数y ＝x 2cos x 的导数为( A ) A ．y ′＝2x cos x －x 2sin x B ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin x C ．y ′＝x 2cos x －2x sin x
D ．y ′＝x cos x －x 2sin x
[解析] y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2·(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 4．函数y ＝12x －x 3的单调递增区间为( C ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(－2,2)
D ．(2，＋∞)
[解析] y ′＝12－3x 2＝3(4－x 2)＝3(2＋x )(2－x )，令y ′>0，得－2<x <2，故选C ． 5．(2016·福建宁德市高二检测)曲线f (x )＝ln x x 在x ＝e 处的切线方程为( A )
A ．y ＝1
e
B ．y ＝e
C ．y ＝x
D ．y ＝x －e ＋1
e
[解析] f ′(x )＝1－ln x x 2，∴f ′(e)＝1－ln e
e 2＝0，
∴曲线在x ＝e 处的切线的斜率k ＝0. 又切点坐标为(e ，1e )，∴切线方程为y ＝1
e
.
6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝( D )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＝5. 7．三次函数f (x )＝mx 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( C ) A ．m <0 B ．m <1 C ．m ≤0
D ．m ≤1
[解析] f ′(x )＝3mx 2－1，由题意知3mx 2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，当m ＝0时，－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立；当m ≠0时，由题意得m <0，综上可知m ≤0.
8．已知抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( C )
A ．20
B ．9
C ．－2
D ．2
[解析] 由题意得y ′|x ＝2＝1，又y ′＝－4x ＋b ， ∴－4×2＋b ＝1，∴b ＝9， 又点(2，－1)在抛物线上，
∴c ＝－11，∴b ＋c ＝－2，故选C ．
9．三次函数当x ＝1时，有极大值4；当x ＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是( B )
A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x
B ．y ＝x 3－6x 2＋9x
C ．y ＝x 3－6x 2－9x
D ．y ＝x 3＋6x 2－9x
[解析] 设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， ∵函数图象过原点，∴d ＝0.f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，
由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0f ′(3)＝0f (1)＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＋c ＝027a ＋6b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝1
b ＝－6
c ＝9，
∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，故应选B ．
10．(2016·山西大同高二月考)某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P 元，销售量为Q ，则销售量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( D )
A ．30元
B ．60元
C ．28 000元
D ．23 000元
[解析] 设毛利润为L (P )，由题意知L (P )＝PQ －20Q ＝Q (P －20)＝(8 300－170P －P 2)(P －20)＝－P 3－150P 2＋11 700P －166 000，所以L ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700.令L ′(P )＝0，解得P ＝30或－130(舍)．此时L (30)＝23 000，因为在P ＝30附近的左侧L ′(P )>0，右侧
L ′(P )<0.所以L (30)是极大值也是最大值．
11．(2016·山东滕州市高二检测)已知f ′(x )是函数f (x )在R 上的导函数，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( C )
[解析] ∵x ＝－2时， f (x )取得极小值，∴在点(－2,0)左侧，f ′(x )<0，∴xf ′(x )>0，在点(－2,0)右侧f ′(x )>0，∴xf ′(x )<0，故选C ．
12．(2016·山西晋城月考)已知f (x )＝x 3－3x ，过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围是( D )
A ．(－1,1)
B ．(－2,3)
C ．(－1,2)
D ．(－3，－2)
[解析] 设切点为(t ，t 3－3t )，f ′(x )＝3x 2－3，则切线方程为y ＝(3t 2－3)(x －t )＋t 3－3t ，整理得y ＝(3t 2－3)x －2t 3.把A (1，m )代入整理，得2t 3－3t 2＋m ＋3＝0 ①.因为过点A 可作三条切线，所以①有三个解．记g (t )＝2t 3－3t 2＋m ＋3，则g ′(t )＝6t 2－6t ＝6t (t －1)，所以当t ＝0时，极大值g (0)＝m ＋3，当t ＝1时，极小值g (1)＝m ＋2.要使g (t )有三个零点，只需m ＋3>0且m ＋2<0，即－3<m <－2.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝x 3－f ′(1)x 2＋2x －5，则f ′(2)＝ 22
3
. [解析] ∵f ′(x )＝3x 2－2f ′(1)x ＋2， ∴f ′(1)＝3－2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝53.
因此f ′(2)＝12－4f ′(1)＋2＝22
3
.
14．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为 c <1
4 .
[解析] ∵f ′(x )＝x 2－x ＋c 且f (x )有极值， ∴f ′(x )＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c >0.
解得c <1
4
.
15．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为1
3，则实数m 的值为__2__.
[解析] f ′(x )＝x 2－2x －1， 令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋2，
∴f (x )在(1－2，1＋2)上单调递减，即f (x )在[0,1]上单调递减，∴f (x )min ＝f (1)＝1
3－1
－1＋m ＝1
3
，解得m ＝2.
16．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是__a <－1__.
[解析] ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . 当a ≥0时，y 不可能有极值点，故a <0. 由e x ＋a ＝0，得e x ＝－a ，∴x ＝ln(－a )． ∴x ＝ln(－a )即为函数的极值点． ∴ln(－a )>0，即ln(－a )>ln1. ∴a <－1.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝x 2＋cx ＋d ，又f (2x ＋1)＝4g (x )，且f ′(x )＝g ′(x )，f (5)＝30.求g (4)．
[解析] 由f (2x ＋1)＝4g (x )，
得4x 2＋2(a ＋2)x ＋(a ＋b ＋1)＝4x 2＋4cx ＋4d .
于是有⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋2＝2c ， ①a ＋
b ＋1＝4d ， ②
由f ′(x )＝g ′(x )，得2x ＋a ＝2x ＋c ，∴a ＝c ，③ 由f (5)＝30，得25＋5a ＋b ＝30.④ 由①③可得a ＝c ＝2，由④得b ＝－5， 再由②得d ＝－12，∴g (x )＝x 2＋2x －12.
故g (4)＝16＋8－12＝47
2
.
18．(本题满分12分)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋15
4x －9都相切，求
实数a 的值.
[解析] 设直线与曲线y ＝x 3的切点坐标为(x 0，y 0)，
由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
y 0＝x 30y 0x 0－1＝3x 20， 解得x 0＝0或x 0＝32
.
当x 0＝0时，切线的斜率k ＝0， ∴切线方程为y ＝0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝0y ＝ax 2＋154x －9，得ax 2＋154x －9＝0. Δ＝(15
4)2＋36a ＝0，
解得a ＝－25
64.
当x 0＝32时，k ＝27
4，
其切线方程为y ＝27
4
(x －1)．
由⎩⎨⎧
y ＝27
4(x －1)y ＝ax 2
＋15
4
x －9，得ax 2－3x －9
4
＝0.
Δ＝(－3)2＋9a ＝0，解得a ＝－1. 综上可知a ＝－1或a ＝－25
64
.
19．(本题满分12分)(2016·安徽合肥高二检测)已知函数f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0，求f (x )的极值.
[解析] ∵f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0， ∴f ′(x )＝48x 2－40ax ＋8a 2＝8(6x 2－5ax ＋a 2) ＝8(2x －a )(3x －a )，
令f ′(x )＝0，得x 1＝a 2，x 2＝a 3.
(1)当a >0时，a 3<a
2，则随着x 的变化，
f ′(x )、 f (x )的变化情况如下表：
单调递增
单调递减
单调递增
∴当a ＝a 3时，函数取得极大值f (a 3)＝a 3
27；
当x ＝a 2时，函数取得极小值f (a
2)＝0.
(2)当a <0时，a 2<a
3，则随着x 的变化，
f ′(x )、 f (x )的变化情况如下表：
单调递增
单调递减
单调递增
∴当x ＝a 2时，函数取得极大值f (a
2)＝0；
当x ＝a 3时，函数取得极小值f (a 3)＝a 3
27
.
综上所述，当a >0时，函数f (x )在x ＝a 3处取得极大值f (a 3)＝a 327，在x ＝a 2处取得极小值f (a 2)
＝0；
当a <0时，函数f (x )在x ＝a 2处取得极大值f (a 2)＝0在x ＝a 3处取得极小值f (a 3)＝a 3
27.
20．(本题满分12分)(2017·全国Ⅲ文，21)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性； (2)当a <0时，证明f (x )≤－
3
4a
－2. [解析] (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1
x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x .
若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a <0，则当x ∈(0，－1
2a )时，f ′(x )>0.
当x ∈(－1
2a
，＋∞)时，f ′(x )<0.
故f (x )在(0，－12a )上单调递增，在(－1
2a
，＋∞)上单调递减．
(2)证明：由(1)知，当a <0时，f (x )在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f (－12a )＝ln(－1
2a )
－1－1
4a
.
所以f (x )≤－34a －2等价于ln(－12a )－1－14a ≤－3
4a
－2，
即ln(－12a )＋1
2a ＋1≤0.
设g (x )＝ln x －x ＋1， 则g ′(x )＝1
x
－1.
当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，
所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0. 所以当x >0时，g (x )≤0.
从而当a <0时，ln(－12a )＋1
2a ＋1≤0，
即f (x )≤－3
4a
－2.
21．(本题满分12分)(2017·全国Ⅰ文，21)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x . (1)讨论f (x )的单调性；
(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围．
[解析] (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．
①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减． 在(ln a ，＋∞)上单调递增．
③若a <0，则由f ′(x )＝0得x ＝ln(－a 2)．
当x ∈(－∞，ln(－a
2))时，f ′(x )<0；
当x ∈(ln(－a
2)，＋∞)时，f ′(x )>0.
故f (x )在(－∞，ln(－a
2))上单调递减，
在(ln(－a
2
)，＋∞)上单调递增．
(2)解：①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，所以f (x )≥0.
②若a >0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln a )＝－a 2ln a ， 从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即a ≤1时，f (x )≥0.
③若a <0，则由(1)得，当x ＝ln(－a
2
)时，f (x )取得最小值，
最小值为f (ln(－a 2))＝a 2[34－ln(－a 2)]，从而当且仅当a 2[34－ln(－a 2)]≥0，即a ≥－2e 3
4时，
f (x )≥0.
综上，a 的取值范围是[－2e 3
4
，1]．
22．(本题满分12分)某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x ).
(1)求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；(提示：利润＝产值－成本) (2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
(3)求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
[解析] (1)P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3240x －5000(x ∈N ＋，且1≤x ≤20)； MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－30x 2＋60x ＋3275(x ∈N ＋，且1≤x ≤19)． (2)P ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x －12)(x ＋9)， ∵x >0，∴P ′(x )＝0时，x ＝12，
∴当0<x <12时，P ′(x )>0，当x >12时，P ′(x )<0， ∴x ＝12时，P (x )有最大值．
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大． (3)MP (x )＝－30x 2＋60x ＋3275＝－30(x －1)2＋3305. 所以，当x ≥1时，MP (x )单调递减， 所以单调减区间为[1,19]，且x ∈N ＋.
MP (x )是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘比较，利润在减少．。