【全程复习方略】(广西专用)高中数学 14.2导数的应用配套课件 理 新人教A版

f (1) 10 (4)f′(x)=3x2+2ax+b，由题意 , f (1) 0
1 a b a 2 10 即 , 得a=4或a=-3. 3 2a b 0
但当a=-3时，b=3,f′(x)=3x2-6x+3≥0，故不存在极值，
∴a=4，b=-11，∴f(2)=18.
那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤 ①明确函数的定义域，求f′(x)； f′(x)=0 的根； ②求方程_________ 左正右 f′(x)=0 的根的左右的符号.如果______ ③检查f′(x)在方程_________
负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正 __ ________，那么 f(x)在这个根处取得极小值.
提示：不一定.因为导数研究的函数的单调性是一个区间概 念，如果定义域为一个连续的区间，则一定是增函数，反之， 则不一定是增函数，如f(x)= 1 在其定义域(-∞,0)∪(0,+∞)
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内恒有f′(x)＞0，f(x)在每个区间上都是递增的，但f(x)不
是增函数.
(2)函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π )上的单调情况是_________. 【解析】在(0，2π)上有f′(x)=1-cosx＞0，所以f(x)在 (0,2π)上单调递增. 答案：单调递增
(3)设函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在
［a,b］上的最大值和最小值的步骤如下： 极值 ； ①求f(x)在(a,b)内的_____ f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大 ②将f(x)的各极值与_________ 值，最小的一个为最小值.
【即时应用】 (1)思考：最值是否一定是极值？ 提示：不一定.如果最值在端点处取得就不是极值 .
(3)若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围 是_________.
【解析】函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需
y′=3x2+2x+m≥0恒成立，
即Δ=4-12m≤0，∴ m 1 .
答案：m 1
3 3
2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极大(小)值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， f′(x)＜0 f′(x)＞0 右侧__________, ①如果在x0附近的左侧__________, 那么f(x0)是极大值. f′(x)＞0 ， f′(x)＜0 ，右侧__________ ②如果在x0附近的左侧__________
f(2)=______.
【解析】(1)①不一定.导数为零只是函数在该点取极值的必要 条件，对于可导函数，x=x0为其极值点，需满足两个条件，一 是f′(x0)=0,二是x=x0两侧的导数f′(x)的符号异号.例如 f(x)=x3,虽有f′(0)=0,但x=0不是极值点，因为f′(x)≥0恒 成立. ②正确，③f(x0)为极小值，故错误.
答案：(1)①× ②√ ③× (2)1 (3)1和-3 (4)18
3.函数的最值 (1)在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大 值与最小值. f(a) 为函数的最小 (2)若函数f(x)在［a,b］上单调递增，则_____ f(b) 为函数的最大值；若函数f(x)在［a,b］上单调递 值，_____ f(b) 为函数的最小值. f(a) 为函数的最大值，_____ 减，则_____
【即时应用】 (1)判断下列结论的正误.(请在括号中填“√”或“×”) ①导数为零的点一定是极值点 ( )
②f(x)在x0及其附近有定义，如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，
右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值 ( )
③f(x)在x0及其附近有定义，如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，
右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极大值 ( )
(2)从f′(x)的图象可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依
次为增→减→增→减，所以f(x)在(a，b)内只有一个极小值点；
(3)由f′(x)=3x2+6x-9=0得x=1或x=-3, 当x＜-3时，f′(x)＞0, 当-3＜x＜1时，f′(x)＜0, 当x＞1时，f′(x)＞0, ∴1和-3都是f(x)的极值点.
1.函数的单调性与导数的符号的关系(在某个连续区间上)
导数f′(x)的符号
f′(x)＞0
函数f(x)的单调性
在该区间内递增
f′(x)＜0
在该区间内递减
f′(x)=0
在该区间内为常函数
【即时应用】 (1)思考:如果f(x)在其定义域内恒有f′(x)＞0,则f(x)是否一 定是其定义域上的增函数？为什么？
第二节 导数的应用
三年23考高考指数:★★★★★ 1.理解可导函数的单调性与其导数的关系.
2.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
3.会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.
1.利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间、求函数的 极值(最值)是考查重点； 2.含参数的函数单调区间与极值情况的讨论是高考的重点和难 点； 3.题型有选择题和填空题，难度较小；与方程、不等式等知识 点交汇则以解答题为主，难度较大.
(2)函数f(x)=3x-4x3，x∈[0,1]的最大值是______.
【解析】由f′(x)=3-12x2=0得x= 1 ，
∵f(0)=0，f( 1 )=1，f(1)=-1，
2 2
∴f(x)max=1. 答案：1
4.导数的实际应用 导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、
效率最高等问题中，解决这类问题的关键是建立恰当的数学模
型(函数关系)，再利用导数研究其单调性和最值.解题过程中 要时刻注意实际问题的意义.
(2)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b) 内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点 的个数为______.
(3)函数f(x)=x3+3x2-9x的极值点为_______.
(4)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10，则