专题05 立体几何-2019年高考数学(文)考试大纲解读

（三）立体几何初步
1.空间几何体
（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. （2）能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图, 能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.
（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.
（4）会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不做严格要求).
（5）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
2.点、直线、平面之间的位置关系
（1）理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.
• 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.
• 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
• 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
• 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
• 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.
（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.
理解以下判定定理.
• 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.
• 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.
• 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.
• 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.
理解以下性质定理,并能够证明.
• 如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.
• 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.
• 垂直于同一个平面的两条直线平行. 学科#网
• 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
预计2019年高考对该部分的考查，依然会保持“两小一大”的命题形式，命题着重考查直观想象、数学运算、数学建模与逻辑推理四大核心素养.由三视图确定几何体，几何体体积或表面积的求解，球与棱柱、棱锥的切接问题仍是小题的命题热点，此类问题一般一般属于中档题目，难度不大，球与棱柱、棱锥的切接问题有可能作为小题的压轴题出现，此时有一定的难度.
以解答题的形式考查时，一般位于第18题或第19题的位置，通常设计两问：第一问点考查空间线面位置关系的证明，尤其是空间线面平行或垂直的证明，也有可能加强对学生动手能力与探究意识的考查，如在几何体中作出与已知平面平行或垂直的直线，类问题可能成为今后命题的一个趋势，其本质仍然是空间线面位置关系的逻辑推理，但对推理的严密性要求不高；第二问命题的重点为多面体体积的求解，以锥体与组合体主），锥体中主要考查根据几何体的结构特征灵活换底求三棱锥的体积，组合体体积的求解多由规则几何体——柱体切割而成，所以利用切割过程将其转化为规则几何体的体积之差求解，或直接根据其结构特征转化为规则几何体的体积之和求解，难不大，属于中档题目.
考向一空间几何体的三视图和直观图
样题1 （2018新课标全国Ⅲ文科）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
【答案】A
样题2 某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧），则该几何体的表面积为
A ．66π+
B ．46π+
C ．43π+
D ．63π+
【答案】B
【解析】该几何体为一个圆柱体的一半，所以表面积2
312346S =π⨯+π⨯+⨯=π+.
【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:学科#网
或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.
样题3 （2017新课标全国Ⅱ文科）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A．90πB．63π
C．42πD．36π
【答案】B
【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．
考向二球的组合体
样题4 （2017新课标全国Ⅲ文科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A．πB．3π4
C．π
2
D．
π
4
【答案】B
【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示：
【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.学*科网
样题5 （2017江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12
O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则
1
2
V V 的值是
.
【答案】
32
【解析】设球半径为r ，则
213223423
V r r V r π⨯==π．故答案为32． 【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
样题6 （2017年新课标I 文科）已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若
平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【答案】36π
【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的各顶点的距离相等，然后用同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．
考向三空间线面的位置关系
样题7已知α，β是平面，m、n是直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.
其中命题正确的是__________．
【答案】①④
【解析】①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；
②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；
③中，还可能n∥α，所以③不正确；
④中，由于n∥m，n⊄α，m⊂α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．
故填①④.
样题8 （2018新课标I 文科）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为
折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2
3
BP DQ DA ==
，求三棱锥Q ABP -的体积．
【解析】（1）由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥．
又BA ⊥AD ，且AC
AD A =，
所以AB ⊥平面ACD ． 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC ．
【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积
的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.学科@网
考向四 空间角和距离
样题9 （2018新课标全国Ⅱ）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA 1AD 与
1DB 所成角的余弦值为
A ．15
B
C D 【答案】C
【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2
π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
样题10 (2017年高考新课标Ⅲ卷) a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC 所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）
【答案】②③
由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，则直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误.
故正确的是②③.学.科网
【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是
π
0,
2
⎛⎤
⎥
⎝⎦
，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条
异面直线所成的角.
（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.。