2022年北京密云县第五中学高三数学文月考试题含解析

2022年北京密云县第五中学高三数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若非零向量满足，则的夹角为（）．
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
直接利用数量积的运算法则化简已知即得解.
【详解】由题得，
所以.
故选：D
【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2. 若，则下列不等式不成立的是
A． B． C． D．
参考答案：
D
3. 已知双曲线的离心率为2，则其两条渐进线的夹角为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得c=2a，由双曲线的几何性质可得=，分析可得双曲线的渐近线方程为y=±x，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的离心率为2，
则有e==2，即c=2a，
则b==a，
即=，
又由双曲线的方程，其渐近线方程为y=±x，
则该双曲线的渐近线方程为y=±x，
则其两条渐进线的夹角为；
故选：B．
4. 已知直线，平面，且，，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【知识点】空间中的平行关系垂直关系
根据题意，分两步来判断：①当α∥β时，
∵a⊥α，且α∥β，∴a⊥β，又∵b?β，∴a⊥b，则a⊥b是α∥β的必要条件，
②若a⊥b，不一定α∥β，
当α∩β=a时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，
即a⊥b不是α∥β的充分条件，则a⊥b是α∥β的必要不充分条件，
【思路点拨】根据题意，分两步来判断：①分析当α∥β时，a⊥b是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题，
②分析当a⊥b时，α∥β是否成立，举出反例可得其是假命题，综合①②可得答案．
5. 已知图1是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为
，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，则输出的n的值是
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11
参考答案：
C
6. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）
A. 最长棱的棱长为
B. 最长棱的棱长为3
C. 侧面四个三角形都是直角三角形
D. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形
参考答案：
C
【详解】本题考查空间几何体的三视图和线线垂直，根据四棱锥的三视图，可得到四棱锥的直观图（如图所示）：由图可知，，，面，面，，
所以，，中，，，，，
所以，
所以是直角三角形，所以最长的棱长是，侧面都是直角三角形．
本题选择C选项.
7. 集合若,则
A．B．C．D．
参考答案：
D
因为,所以,即,所以,即,所以,选D．
8. 已知函数在上是减函数，则的取值范围是
A． B．（） C． D．
参考答案：
D
9. 设是双曲线的左右焦点，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是的角平分线，过点F1作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则的长为（）
A.定值a
B.定值b
C.定值c
D.不确定，随P点位置变化而变化
参考答案：
A
10. 直线分别与曲线，相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）
A. 1
B. 2
C.
D.
参考答案：
B
【分析】
设A（a，2 a+1），B（a，a+lna），求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值．
【详解】设A（a，2a+1），B（a，a+lna），
∴|AB|＝，
令y，则y′1，
∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x＝1时，函数y的最小值为，∴|AB|＝，其最小值为2.
故选：B．
【点睛】本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力及转化思想，利用求导得到函数的单调性进而求得最值是关键．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若，则的最大值是_________.
参考答案：
4
略12. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积
是
▲；
参考答案：
13. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积
为．
参考答案：
8﹣2π
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体，去掉一圆柱体的组合体，再根据题目中的数据求出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是一正方体，去掉一圆柱体的组合体，
且正方体的棱长为2，
圆柱体的底面圆半径为2，高为2； ∴该几何体的体积为 V=V 正方体﹣V 圆柱体 =23﹣×π×22×2 =8﹣2π．
故答案为：8﹣2π．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，是基础题目．
14. 已知，则=
.
参考答案：
15.
在三棱锥P -ABC 中，
,
,
,
,则该三棱锥的外接球的
表面积为
参考答案：
5π
16. 已知x ，y 满足约束条件，则标函数z ＝x －3y 的取值范围为
参考答案：
[-6,6]
17. 为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ▲ ． 参考答案：
4
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图所示，在多面体ABCDEF 中，CB ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，
是一个正三
角形，且.
（1）求证：；
（2）若三棱锥
的体积为2，求点A 到平面CDF 的距离．
参考答案：
（1）见解析；（2）
【分析】
（1）通过证明和可得平面，从而可证得；
（2）设，由，解得，设点A到平面CDF的距离为，由
即可求解.
【详解】（1）∵平面，平面，
∴，∵是一个正三角形，，∴，
∵，∴平面，∵平面，∴．
（2）∵平面，四边形是正方形，是一个正三角形，
，且．三棱锥体积为2，
设，则，，
∴，解得，
取中点M，连接NF，取CD中点M，则，又，所以面，
.
易知，，
设点A到平面CDF的距离为．
，解得.
【点睛】本题主要考查了线面的垂直关系的证明及性质，考查了点面距的求解，涉及等体积转化的运算求解，属于中档题. 19. 已知函数，
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；
（II）在区间内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案：
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；
（II）在区间内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围．21．解：（I）当时，，，
曲线在点处的切线斜率，
所以曲线在点处的切线方程为．
（II）解1：
当，即时，，在上为增函数，
故，所以，，这与矛盾
当，即时，
若，；
若，，
所以时，取最小值，
因此有，即，解得，这与
矛
盾；
当即时，，在上为减函数，所以
，所以，解得，这符合．
综上所述，的取值范围为．
解2：有已知得：，
设，，
，，所以在上是减函数．
，
故的取值范围为
略
20. 的内角，，的对边分别为，，.已知.
（1）求；
（2）若，，为边上一点，且，求.
参考答案：
（1）【考查意图】本小题以三角形边角关系为载体，考查正弦定理、两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想. 【解法综述】只要掌握正弦定理，三角函数公式等基础知识，利用正弦定理把边化为角，再由三角形内角定理，便可求解.
思路：由正弦定理化边为角，再将代入
，化简得的值，最后得到答案.
【错因分析】考生可能存在的错误有：不会运用正弦定理进行边角的转化，从而无从下手；不懂得利用实现消元，思维受阻；两角和的三角函数公式记忆出错，导致答案错误；由求时出错.
【难度属性】易.
（2）【考查意图】本题以求三角形的边长问题为载体，考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.
【解法综述】只要掌握正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，并且能理清图中各三角形的边角关系，选择适当的三角形列出关系式，便可求解.
思路一：在中由余弦定理求得边长，再利用正弦定理求得.进而在中利用正弦定理求得.
思路二：在中由正弦定理求得，再利用同角三角函数的基本关系求得，接着通过及求得.进而在中利用正弦定理求得.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会分析中的边角关系合理利用正、余弦定理求或，的值；在求或，及在中利用正弦定理求的过程中计算错误.【难度属性】中.
21. （本小题12分）在。

已知
（1）求证：成等比数列。

（2）.
参考答案：
（1）由可得
…………………………2分
去分母得……………………3分即。

…………………………4分
由可知
于是…………………………5分
由正弦定理得，故成等比数列。

………………………………6分
（2）由可得。

由余弦定理得，………………………8分
∵，∴…………………………10分
∴。

……………………12分
22. （本小题满分14分）
设函数．
(Ⅰ)当a=2时，求的极值；
(II)令,若其图象上存在一点,使得以P为切点的切线斜率成立，求实数a的取值范围；
(III)当a=0时，方程有唯一实数解,求正数的值．
参考答案：。