高中数学 高考考前必做查缺补漏专题五——向量

专题五——向量
1.
在直角△ABC 中，2
C π
∠=，4AB =，2AC =，若3
2
AD AB =
,则CD CB ⋅=（ ）
A. －18
B. -
C. 18
D. 2.
四边形ABCD 中，129090BC AC ABC ADC ∠∠====，，，，则AC BD ⋅的取值范围是（ ） A.[－1,3] B. (－3,－1)
C. (－3,1)
D. ⎡⎣
3.
已知点()1,2A -，()2,0B ，P 为曲线y =上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ） A. [1,7]
B. [－1,7]
C. 1,3⎡+⎣
D. 1,3⎡-+⎣
4.
设a ，e 均为单位向量，当a ，e 的夹角为23
π
时，a 在e 方向上的投影为（ ）
A. B. 12-
C.
12
5.
在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，312OA ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，若OA 绕点O 逆时针旋转60°得到向量OB ，则OB =（ ） A. (0,1) B. (1,0)
C. 21⎫
-⎪⎪⎝⎭ D. 1,2
⎛
⎝⎭
6.
已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A. a b ⋅ B. b c ⋅
C. a c ⋅
D. 不能确定
7.
已知F 1，F 2分别为椭圆C :22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是C 上一点，满足PF 2⊥F 1F 2，Q 是线段PF 1上
一点，且12F Q QP =，120F P F Q ⋅=，则C 的离心率为（ ）
A B －1 C ．2
D ．6
如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，
BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 2
D. 22
9.
已知向量a ，b 的夹角为3π，若a c a =，b d b
=，则c d ⋅=（ ）
A.
1
4
B.
12
C.
3 D.
34
10.
在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AD 为∠BAC 的角平分线，且13
44
AD AC AB =+，若AB ＝2，则BC ＝_______.
11.
已知曲线C ：24x y =--，直线l ：x =6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得
0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .
12.
如图所示，在△ABC 中，3AB AC ==，90BAC ∠=，点D 是BC 的中点，且M 点在ACD ∆的内部（不含边界），若1
3
AM AB mAC =
+，则DM BM ⋅的取值范围______．
13.
如图，在△ABC 中，已知32120AB AC BAC ==∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则
EB EC ⋅的值为__．
14.
已知△ABC 中，3AB AC ==，D 为边BC 上一点，6AB AD ⋅=，15
2
AC AD ⋅=，则AB AC ⋅的值为______. 15.
已知直线0Ax By C ++=（其中222A B C +=，0C ≠）与圆22
6x y +=交于点M 、N ，O 是坐标原点，则
||MN =__________，OM MN ⋅=__________．
16.
如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若,AC AM BN λμ=+则λμ+=（ ）
A. 2
B. 83
C.
65
D.
85
17.
在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，若F 是线段BC 上一动点，则
AF FE ⋅的取值范围是________
18.
已知P 为△ABC 所在平面内一点，且23
55
A AP
B A
C =+，则:PAB ABC S S ∆∆=_____ 19.
在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，1OB OD OC ===，0OB OC OD ++=，A （1，1），则AD OB ⋅的取值范围为___ 20.
在三角形ABC 中，点M 是线段BC 的中点，2
20,BC AB AC AB AC =+=-，则AM =______. 21.
已知平面向量,,a b c 满足604,1a b a b c a ⋅=-=-=，
， 则c 的取值范围为_________.
试卷答案
1.C 【分析】
在直角三角形ABC 中，求得cos CAB ∠的值，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值． 【详解】在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，4AB =，2AC =，
1
cos 2
∠=
=AC CAB AB ， 若3
2
AD AB =
，则 2()()CD CB AD AC AB AC AD AB AD AC AC AB AC ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+
2233351
164241822222
AB AB AC AC AB AC =
-⋅-+=⨯-⨯⨯⨯+=⋅． 故选:C ．
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题. 2.C 【分析】
数形结合分析数量积的取值范围即可.
【详解】画出图象,因为90,90ABC ADC ∠∠=︒=︒,故,,,A B C D 四点共圆.又1,2BC AC ==, 易得3,60,30AB ACB CAB =
∠=︒∠=︒.AC BD ⋅
()
32332AC BA AD AC BA AC AD AC AD AC AD ⎛⎫=⋅+=⋅+⋅=⨯⨯-+⋅=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
.
易得当D 在A 时3AC AD -+⋅取最小值3-,
当D 在C 时3AC AD -+⋅取最大值2321-+=.故AC BD ⋅的取值范围是()31
-，.
故选：C
【点睛】本题主要考查了向量数量积的综合运用,需要数形结合分析D 的轨迹再分析数量积的取值范围,属于中等题型. 3.A 【分析】
结合已知曲线方程，引入参数方程，然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解．
【详解】解：设(),P x y 则由2
334
x
y =-()221043x y y +=≥，
令2cos ,3sin x y θθ==，[]
(0,θπ∈，
()1,2AP x y ∴=-+，()1,2AB =，
124232cos 23sin 34sin 36AP AB x y x y πθθθ⎛
⎫∴⋅=-++=++=++=++ ⎪⎝⎭，
0θπ≤≤，
76
6
6
π
π
π
θ∴≤+
≤
， 1sin 126πθ⎛
⎫-
≤+≤ ⎪⎝
⎭， 14sin 376πθ⎛
⎫∴≤++≤ ⎪⎝
⎭，
【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数性质的简单应用，参数方程的应用是求解本题的关键. 4.B 【分析】
根据向量投影计算公式，计算出所求的投影. 【详解】a 在e 上的投影为21
cos ,cos 32
a a e π<>==-， 故选：B.
【点睛】本小题主要考查向量投影的概念和运算，考查单位向量，属于基础题. 5.A
【分析】
由OA 坐标可确定其与x 轴夹角，进而得到OB 与x 轴夹角，根据模长相等可得到坐标
【详解】31,22OA ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
OA ∴与x 轴夹角为30 OB ∴与x 轴夹角为90
又1OB OA == ()0,1OB ∴= 故选：A
【点睛】本题考查向量旋转后坐标的求解问题，关键是能够确定向量与x 轴的夹角的大小，进而根据模长不变求得向量. 6.B 【分析】
利用已知条件作差比较可知.
【详解】因为0a b c ++=, 所以()b a c =-+,
所以()a b b c b a c ⋅-⋅=⋅-22
()()()a c a c a c =-+-=--0>,
所以a b b c ⋅>⋅, 同理可得,a c b c ⋅>⋅, 故b c ⋅最小. 故选B.
【点睛】本题考查了平面向量的数量积和比较法比较大小,属于中档题. 7.A
解：如图所示，∵PF 2⊥F 1F 2，∴P （c ，）．
∵，∴＝
，
∴＝
+
＝（﹣c ，0）+（2c ，
）＝（，
），
∵， ∴（2c ，
）•（﹣
，
）＝﹣
+
＝0，又b 2＝a 2﹣c 2．
化为：e 4﹣4e 2+1＝0，e ∈（0，1）． 解得e 2＝2﹣， ∴e ＝．
故选：A ．
8.C 【分析】
建立坐标系，写出相应的点坐标，得到2x y +的表达式，进而得到最大值. 【详解】以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立坐标系，
设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆； 根据三角形面积公式得到
011
sin 6022
l r S AB AC ⨯⨯==⨯⨯⨯周长， 可得到内切圆的半径为1; 可得到点的坐标为：())
()()()3,0,3,0,0,3,0,0,cos ,1sin B C
A D M θθ-+
(
)
cos 3,1sin ,BM θθ=+()()3,3,3,0BD BA =
= 故得到 (
)()cos 3,1sin 33,3x BM x θθ=+=
故得到cos 333,sin 31x y x θθ=+=-
1sin 3sin 2
333x y θθ+⎧=⎪⎪
⇒⎨⎪=-+⎪⎩
，()sin 4242sin 2.33333x y θθϕ+=
+=++≤ 故最大值为：2.
【点睛】这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 9.B 【分析】
直接利用数量积定义求解即可
【详解】由题1c d ==，则1cos 3
2
c d π
⋅
==
. 故选B
【点睛】本题考查数量积的定义，是基础题 10.27 【分析】 由1344
AD AC AB
=+，求出,BD CD 长度关系，利用角平分线以及面积关系，求出AC 边，再由余弦定理，即可
求解.
【详解】1313
,()()4444AD AC AB AD AC AB AD =+-=-,
3,3CD DB CD DB =∴=，
1
sin 212
sin 2
ADC ADB
AC AD CAD
S CD AC AC S
BD AB AB AD BAD ⋅⋅∠∴====⋅⋅∠， 2226,2cos 402628AC BC AB AC AB AC BAC ==+-⋅⋅∠=-⨯=，
27BC =.
故答案为:27.
【点睛】本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题. 11.[2,3] 【详解】
12.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
建立如图所示的坐标系，可知33,22D ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设(),M x y ，由13AM AB mAC =+，可得到1x =，3y m =，结合
M 点在ACD ∆的内部(不含边界)，可得12
33
m <<，再利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得到答
案．
【详解】解：建立如图所示的坐标系，33,22D ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
设(),M x y ，
1
3
AM AB mAC =
+， ()()()1
,3,00,33
x y m ∴=
+， 1x ∴=，3y m =．
M 点在ACD ∆的内部(不含边界)，
1233
m ∴<<． 则()22133917,32,3133919()2222416DM BM m m m m m m m ⎛⎫⎛
⎫⋅=-
-⋅-=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
因为
1233m <<，所以1,22DM BM ⎛⎫
⋅∈ ⎪⎝⎭
， 故答案为1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
． 【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、向量相等、二次函数的单调性等知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.277- 【详解】()()2EB EC EA AB EC AB EC AD DB EC CD EC EC ⋅=+⋅=⋅=+⋅=⋅=-，
由余弦定理，得94232cos12019BC =+-⨯⨯⨯=， 得41997cos 419219C +-==，7AD =，33S =， 所以337
CE =，所以277EB EC ⋅=-． 点睛：本题考查平面向量的综合应用．本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到
2EB EC EC ⋅=-，所以本题转化为求CE 长度，利用余弦定理和面积公式求解即可．
14.
92
【分析】
以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设(),D x y ，记BAC θ∠=，再根据同角的平方关系以及数量积的坐标运算求解即可．
【详解】解：以A 原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，
设(),D x y ，则(),AD x y =，
∵3AB AC ==，记BAC θ∠=，
∴()0,0A ，()3,0B ，()3cos ,3sin C θθ，
则()3,0AB =，()3cos ,3sin AC θθ=，
∵6AB AD ⋅=，152
AC AD ⋅=， ∴36x =，153cos 3sin 2x y θθ+=
， ∴2x =，52cos sin 2y θθ+=
， 又D 为边BC 上一点，
∴//BD BC ，则()3cos 33sin 0y θθ-+=，即()sin 1cos y θθ=-，
又()0,θπ∈， ∴sin 1cos y θθ
=- ∴2sin 2cos 1cos θθθ
+-52cos 1cos 2θθ=++=，解得1cos 2θ=， ∴99cos 2
AB AC θ⋅==， 故答案为：92
． 【点睛】本题主要考查数量积的坐标运算，考查同角的平方关系，考查设而不求思想，属于中档题．
15.
－10
【分析】
先求出圆心O 到直线0Ax By C ++=的距离，再由相交弦长公式，求出||MN ；设,M N 的中点为D ，则有
OD MN ⊥，利用12
OM OD ND =+，根据数量积的运算律，即可求解. 【详解】由222A B C +=，0C ≠可知，
圆心到直线0Ax By C ++=的距离
1d ==，
||MN ===
设,M N 的中点为D ，则OD MN ⊥，
12OM OD DM OD NM =+=+
， 211()1022
OM MN OD NM MN MN ⋅=+⋅=-=-.
故答案为：10-.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、向量的数量积运算，熟记圆的弦长公式以及几何性质是解题关键，考查计算求解能力，属于中档题.
16.D
试题分析：取向量,AB BC 作为一组基底，则有11,22AM AB BM AB BC BN BC CN BC AB =+=+
=+=-，所以1111()()2222AC AM BN AB BC BC AB AB BC λμλμλμ⎛⎫⎛⎫=+=+
+-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又AC AB BC =+，所以111,122λμμλ-=+=，即628,,555
λμλμ==+=. 17.5[1]2
，
--
分析：设(01)BF BC λλ=≤≤，用,AB AD 表示出题中所涉及的向量，得出AF FE ⋅关于λ的函数，根据λ的范围，结合二次函数的性质求得结果.
详解：根据题意，设(01)BF BC λλ=≤≤，则()()AF FE AB BF FC CE ⋅=+⋅+1()[(1)]2
AB AD AD AB λλ=+⋅--2
211(1)(1)22AB AD AD AB AB AD λλλλ=-⋅+---⋅2212122λλλλλλ=-+---=---213()24
λ=-+-，结合二次函数的性质，可知当1λ=时取得最小值52-，当0λ=时取得最大值1-，故答案是5[,1]2--. 点睛：该题是有关向量的数量积的范围问题，在解题的过程中，需要提炼题的条件，将其转化为已知向量的数量积的问题，之后应用公式，求得关于λ的函数关系，之后转化为二次函数在某个闭区间上的值域问题来求解.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.
35
【分析】
将向量进行等量代换，然后做出对应图形，利用平面向量基本定理进行表示即可．
【详解】解：设3
2,55AN AC AM AB ==，则根据题意可得，AP AM AN =+， 如图所示，作CH AB,NQ AB ⊥⊥，垂足分别为H,Q ，则
11,22ABC PAB S AB CH S AB NQ =⋅⋅=⋅⋅ 又35NQ AN CH AC ==，35PAB ABC
S S ∴=，故答案为：35。

【点睛】本题考查了平面向量基本定理及其意义，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．
19. [122-
-122-
【分析】
用,OD OA 向量表示AD ，将问题转化为求解,OA OB 向量夹角范围的问题，即可求解. 【详解】因为BCD ∆是单位圆的内接等边三角形， 故AD OB ⋅=()
OD OA OB OD OB OA OB -⋅=⋅-⋅ 120,OD OB cos OA OB cos OA OB =︒-
12,2
cos OA OB =- 又因为[],0,OA OB π∈
故[],1,1cos OA OB ∈- 则112,222AD OB ⎡⋅∈-
-+⎢⎣. 故答案为：112,222⎡--+⎢⎣. 【点睛】本题用用向量求解范围问题，涉及到向量的数量积运算，属基础题.
20.
5
【分析】
根据220,||||BC AB AC AB AC =+=-可以判断出ABC ∆为直角三角形且BC 为斜边且长度为25，从而可求斜边上的中线AM 的长. 【详解】因为||||AB AC AB AC +=-，故22||||AB AC AB AC +=-，
化简得到·0AB AC =，故ABC ∆为直角三角形且BC 为斜边.
又220BC =，故25BC =，因为AM 为斜边上的中线，故5AM =. 故答案为：5.
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用a a a = ；（2）计算角，
cos ,a b a b a b ⋅=
．特别地，两个非零向量,a b 垂直的等价条件是0a b ⋅=.
21.[5,11]
【分析】 根据平面向量减法的模的几何意义画出图像，判断出c 的轨迹，由此求得c 的取值范围.
【详解】设,,OA a OB b OC c ===，依题意4AB a b ==-，设D 是线段AB 的中点，则
()()a b OD DA OD DB ⋅=+⋅+()()
OD DA OD DA =+⋅-2260OD DA =-=，即
2226026064OD DA =+=+=，所以8OD =，故22OD OA OD -≤≤+，即610OA ≤≤，由于1c a AC -==，所以C 在以A 为圆心，半径为1的圆上，所以11OA OC OA -≤≤+，即511c ≤≤. 故答案为：[5,11].
【点睛】本小题主要考查向量减法的模的几何意义，考查向量数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.。