成都市第四十三中学八年级上册期末数学模拟试卷含详细答案

成都市第四十三中学八年级上册期末数学模拟试卷含详细答案
一、选择题
1．在△ABC中，∠BAC＝115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为（）
A．50°B．40°C．30°D．25°
2．若分式21
1
x
x
-
+
的值等于0，则x的值为（）
A．2 B．0 C．1-D．1 2
3．如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（）
A．45°B．50°C．55°D．60°
4．把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连结AD，则∠DAG＝（）
A．18°B．20°C．28°D．30°
5．如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是( )
A ．HL
B ．SAS
C ．ASA
D ．SSS
6．如图，ABC ∆是等边三角形，BD 是中线，延长BC 到点E ，使CE CD =，连结DE ，下面给出的四个结论：①BD AC ⊥，②BD 平分ABC ∠，③BD DE =，④120BDE ∠=，其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E 、F ，①BD CD =，AD BC ⊥；②DE DF =；③若点P 为AC 上任意一点，且3DE =，则DP 的取值范围是3PD <；④BDE CDF ∠=∠．其中，正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 8．如图，△CEF 中，∠E=70°，∠F=50°，且AB ∥CF ，AD ∥C
E ，连接BC ，CD ，则∠A 的度
数是（ ）
A ．40°
B ．45°
C ．50°
D ．60°
9．在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，a)，B(b ，12－b)，C(2a －3，0)，0＜a ＜b ＜12，若OB 平分∠AOC，且AB ＝BC ，则a ＋b 的值为（ ）
A ．9或12
B ．9或11
C ．10或11
D ．10或12
10．下列计算正确的是（ ）
A ．22122a a -=
B ．()2224a a -=
C ．235a b ab ⨯=
D ．443322
a a ÷= 二、填空题
11．如图，在△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，且分别交AB 、AC 于点D 和E ，∠A ＝50°，∠C ＝60°，则∠EBC 等于_____度．
12．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为_______．
13．若分式
2
21
x
x
-
+
的值为零，则x的值等于_____．
14．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则等腰三角形的顶角度数为
_________．
15．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，图形中相等的角有____对，互余的角有____对．
16．如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)
17．如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B的度数为_____．
18．如图，AE ⊥AB 且AE=AB ，BC ⊥CD 且BC=CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是___________．
19．如图，是一个33⨯的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．
20．如图在△ABC 中，BC =8，AB 、AC 的垂直平分线与BC 分别交于E 、F 两点，则△AEF 的周长为____________．
三、解答题
21．从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是______________；（请选择正确的一个）
A 、2222()a ab b a b -+=-，
B 、22()()a b a b a b -=+-，
C 、2()a ab a a b +=+．
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知22412x y -=，24x y +=，求2x y -的值．
②计算：2222211111111112344950⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． 22．已知：如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，
（1）作B 的平分线BD ，交AC 于点D ；作AB 的中点E ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2）连接DE ，求证：ADE BDE ∆≅∆． 23．先化简221211111a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪++-⎝⎭
，再选择一恰当的a 的值代入求值． 24．如图，在ABC 中，4654,B C AD ∠=︒∠=︒,平分BAC ∠交BC 于点D ，点E 是边AC 上一点,连接DE ，若40ADE ∠=︒，求证：//DE AB ．
25．如图所示，在不等边ABC 中，2AB =，3AC =，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，交AB 边于点D ，AC 垂直平分线交BC 边于点N ，交AC 边于点M ．
（1）若100BAC ∠=︒，求EAN ∠的度数；
（2）若BC 边长为整数，求AEN △的周长．
26．如图，ABC ∆中，30A ∠=︒，70B ∠=︒，CE 平分ACB ∠，CD AB ⊥于D ，DF CE ⊥，求CDF ∠的度数．
27．如图，已知ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于点O ，EF 过点O 且//EF BC ．
（1）若50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，求BOC ∠的度数；
（2）若130BOC ∠=︒，1:23:2∠∠=，求ABC ∠、ACB ∠的度数．
28．阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier ，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler ，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系，对数的定义：一般地，若()0,1x
a N a a =>≠，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：log N a x =，比如指数式4216=可以转化为1624log =，对数式25
52log =可以转化为2525=，我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：()log log log a a a MN M N =+ ()0,1,0,0a a M N >≠>>)，理由如下：
设log ,log a a M m N n ==则m n M a N a ==，
∴m n m n MN a a a +==，由对数的定义得log ()a m n MN +=
又∵log log a a m n M N +=+，
所以()log log log a a a MN M N =+，解决以下问题：
（1）将指数3464=转化为对数式____；计算2log 8=___；
（2）求证：log log log (0,1,0,0)a a a M M N a a M N N
=->≠>> （3）拓展运用：计算333log 2log 6log 4+-=
29．（1）如图，ABC 中，点D 、E 在边BC 上，AD 平分BAC ∠，AE BC ⊥，35B ∠=︒，65C =︒∠，求DAE ∠的度数；
（2）如图，若把（1）中的条件“AE BC ⊥”变成“F 为DA 延长线上一点，
FE BC ⊥”，其它条件不变，求DFE ∠的度数；
（3）若把（1）中的条件“AE BC ⊥”变成“F 为AD 延长线上一点，FE BC ⊥”，其它条件不变，请画出相应的图形，并求出DFE ∠的度数；
（4）结合上述三个问题的解决过程，你能得到什么结论？
30．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“巧数”，如：22420=-，221242=-，222064=-，因此4,12,20这三个数都是“巧数”.
（1）400和2020这两个数是“巧数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2n 和22n -（其中n 取正整数），由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数吗？为什么？
（3）求介于50到101之间所有“巧数”之和.
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠B+∠C ，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB ，GA=GC ，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】
∵∠BAC=115°，
∴∠B+∠C=65°，
∵DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，
∴EA=EB ，GA=GC ，
∴∠EAB=∠B ，∠GAC=∠C ，
∴∠EAG=∠BAC-（∠EAB+∠GAC ）=∠BAC-（∠B+∠C ）=50°，
故选A ．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算；【详解】
由题意得， 2x-1=0，x+1≠0，
解得，x=1
2
，x≠-1，
所以当x=1
2
时，此分式的值为零．
故选：D
【点睛】
本题考查分式值为0的条件，解题关键是熟练掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．利用平行线的性质求出∠KSM，利用邻补角求出∠SMH，利用三角形的外角与内角的关系，求出∠SKG，再利用四边形的内角和求出∠GHM．
【详解】
解：延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．
∵AB∥CD，
∴∠KSM＝∠CNP＝30°．
∵∠EFA＝∠KFG＝25°，∠KGF＝180°﹣∠FGH＝90°，
∠SMH＝180°﹣∠HMN＝155°，
∴∠SKH＝∠KFG+∠KGF
＝25°+90°
＝115°．
∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM＝360°，
∴∠GHM＝360°﹣115°﹣155°﹣30°
＝60°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了邻补角、平行线的性质、三角形的外角与内角的关系及多边形的内角和定理等知识点．利用平行线、延长线把分散的角集中在四边形中是解决本题的关键．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的度数，进而求得∠BAD的度数，再利用正方形的内角得出∠BAG＝90°，进而得出∠DAG的度数．【详解】
解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠E＝∠BAE＝1
5
×540°＝108°，
又∵EA＝ED，
∴∠EAD＝1
2
×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，
∵正方形GABF的内角∠BAG＝90°，
∴∠DAG＝90°﹣72°＝18°，
故选：A．
【点睛】
本题考查正多边形的内角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定定理进行判断.
【详解】
A. AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，所以由HL可得到△AOB≌△COD，所以A正确；
B.错误；
C.错误；
D.错误.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握定理是本题解题的关键.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
因为△ABC 是等边三角形，又BD 是AC 上的中线，所以有:AD=CD ，∠ADB=∠CDB=90°（①正确），且∠ABD=∠CBD=30°（②正确），∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE ，可得∠CDE=∠DEC=30°，所以就有，∠CBD=∠DEC ，即DB=DE （③正确），
∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°（④正确）；由此得出答案解决问题.
【详解】
∵△ABC 是等边三角形，BD 是AC 上的中线，
∴∠ADB=∠CDB=90°，BD 平分∠ABC ；
∴BD ⊥AC ；
∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，
又CD=CE ，
∴∠CDE=∠DEC=30°，
∴∠CBD=∠DEC ，
∴DB=DE.
∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°
所以这四项都是正确的.
故选：D.
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD ，AD ⊥BC ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AD 上的点到AB 、AC 两边的距离相等，根据垂线段最短判断PD 的取值范围，根据等边对等角的性质可得∠B=∠C ，等角的余角相等即可判断．
【详解】
在ABC 中，
∵AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，
∴BD CD =，AD BC ⊥（三线合一），①正确；
∵AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，
∴DE DF =，②正确；
∵3DE =，
∴DF=3，
∵点P 为AC 上任意一点，且DF AC ⊥，
∴3PD ≤，③错误；
∵AB AC =，
∴B C ∠=∠，
∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，
∴90BDE B CDF C ∠+∠=∠+∠=︒，
∴BDE CDF ∠=∠，④正确；
即①②④正确；
故选：C ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质和垂线段最短的性质为解题关键．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接AC 并延长交EF 于点M ．由平行线的性质得31∠=∠，24∠∠=，再由等量代换得3412BAD FCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，先求出FCE ∠即可求出A ∠．
【详解】
连接AC 并延长交EF 于点M ．
∵AB CF ， ∴31∠=∠， ∵AD CE ，
∴24∠∠=，
∴3412BAD FCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，
∵180180705060FCE E F ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
∴60BAD FCE ∠=∠=︒，
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
由OB 平分∠AOC 可知，B 点的横坐标和纵坐标数值相同，再根据AB ＝BC 分情况讨论即可.
【详解】
∵OB 平分∠AOC
∴B 点的横坐标和纵坐标数值相同
即b=12－b
解得，b=6
因为AB＝BC
可分情况讨论，
若OA=OC，如图所示
则△OAB≌△OCB
a=2a－3
解得，a=3
此时，0＜a＜b＜12，
故a+b=3+6=9
②若OA＞OC，如图所示
过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点D，点E 因为B点的横纵坐标数值相同，
所以BD=BE
∵AB＝BC，
∴Rt△ADB≌Rt△CEB
∴AD=CE
∴a-6=6-(2a-3)
解得，a=5
此时，不满足OA＞OC，
故此种情况不存在
③若OC ＞OA ，如图所示，
过点B 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为点D ，点E
因为B 点的横纵坐标数值相同，
所以BD=BE
∵AB＝BC ，
∴Rt△ADB≌Rt△CEB
∴AD=CE
6-a=2a-3-6
解得，a=5
此时，0＜a ＜b ＜12，
故a+b=5+6=11
综上，a+b=9或11
【点睛】
本题考查角平分线的性质和代数式的应用.
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
分别根据负整数指数幂、积的乘方、单项式乘单项式、单项式除法的运算法则计算即可判断．
【详解】
A 、2222a a -=
，原计算不正确； B 、()2224a a -=-，原计算不正确；
C 、236a b ab ⨯=，原计算不正确；
D 、443322
a a ÷=，原计算正确； 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了负整数指数幂、积的乘方、单项式乘除法．解题的关键是明确相关的运算
法则．
二、填空题
11．20
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，得到∠EBA=∠A=50°，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：∵A=50°，∠C=60°，
解析：20
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，得到
∠EBA=∠A=50°，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：∵A=50°，∠C=60°，
∴∠ABC=180°-50°-60°=70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=50°，
∴∠EBC=∠ABC-∠EBA=70°-50°=20°，
故答案为：20．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．18
【解析】
【分析】
由在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC．
【详解】
∵在△AB
解析：18
【解析】
【分析】
由在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，易证得△BOM
与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC．
【详解】
∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABO＝∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，
∴∠ABO＝∠MOB，
∴BM＝OM，
同理CN＝ON，
∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝10+8＝18．
故答案为：18．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点．
13．2
【解析】
根据题意得：x﹣2=0，解得：x=2．此时2x+1=5，符合题意，故答案为2．解析：2
【解析】
根据题意得：x﹣2=0，解得：x=2．此时2x+1=5，符合题意，故答案为2．14．40°或140°
【解析】
【分析】
根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形进行解答．【详解】
解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形，
由题意可知：在△ABC中，AB=AC，
解析：40°或140°
【解析】
【分析】
根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形进行解答．
【详解】
解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形，
由题意可知：在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高，且∠ABD=50°，
∴∠A=90°-50°=40°，
②如图2，若该等腰三角形为钝角三角形，
由题意可知：在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高，且∠ABD=50°，
∴∠BAD=90°-50°=40°，
∴∠BAC=180°-40°=140°，
综上所述：等腰三角形的顶角度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的分类讨论问题，以及三角形高的做法，解题的关键是对等腰三角形进行分类，利用数形结合思想进行解答．
15．3．
【解析】
【分析】
根据垂直的定义得到∠CDA=∠BDC=∠ACB=90°，推出
∠A+∠B=∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°，即可得到答案.
【详解】
∵CD⊥AB，
∴∠CDA
解析：3．
【解析】
【分析】
根据垂直的定义得到∠CDA=∠BDC=∠ACB=90°，推出
∠A+∠B=∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°，即可得到答案.
【详解】
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠BDC=∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°,
∴图形中相等的角有∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，∠ACB=∠BDC，∠ACB=∠CDA，
∠BDC=∠CDA，一共5对，互余的角有∠A和∠B，∠A和∠ACD，∠B和∠BCD，一共3对．
故答案为：5；3.
【点睛】
此题考查了垂直的定义，直角三角形两个锐角互余，同角的余角相等，正确理解直角三角形两个锐角互余的性质是解题的关键.
16．0；4；8；12
【解析】
【分析】
此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可．
【详解】
解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△
解析：0；4；8；12
【解析】
【分析】
此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP 或AC＝BN进行计算即可．
【详解】
解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，
∵AC＝2，
∴BP＝2，
∴CP＝6−2＝4，
∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；
②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP，
这时BC＝PN＝6，CP＝0，因此时间为0秒；
③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，
∵AC＝2，
∴BP＝2，
∴CP＝2＋6＝8，
∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；
④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP，
∵BC＝6，
∴BP＝6，
∴CP＝6＋6＝12，
点P的运动时间为12÷1＝12（秒），
故答案为0或4或8或12．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
17．70°．
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC
解析：70°．
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵∠EAC＝40°，
∴∠BAD＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝1
2
（180°﹣∠BAD）＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能根据全等三角形的性质得出AB＝AD和求出∠BAD＝∠EAC是解此题的关键．
18．50
【解析】
【分析】
易证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，即可求得梯形DEFH的面积和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面积，
解析：50
【解析】
【分析】
易证△AEF ≌△BAG ，△BCG ≌△CDH 即可求得AF=BG ，AG=EF ，GC=DH ，BG=CH ，即可求得梯形DEFH 的面积和△AEF ，△ABG ，△CGB ，△CDH 的面积，即可解题．
【详解】
∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，
∴∠BAG=∠AEF ，
∵在△AEF 和△BAG 中，
90F AGB AEF BAG AE AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AEF ≌△BAG ，（AAS ）
同理△BCG ≌△CDH ，
∴AF=BG=3，AG=EF=6，GC=DH=4，BG=CH=3，
∵梯形DEFH 的面积=
12(EF+DH)•FH=80， S △AEF =S △ABG =
12AF•AE=9， S △BCG =S △CDH =12
CH•DH=6， ∴图中实线所围成的图形的面积S=80-2×9-2×6=50，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△AEF ≌△BAG ，△BCG ≌△CDH 是解题的关键．
19．180°.
【解析】
【分析】
仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，进而得出答案．
【详解】
解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，
∴∠1+∠4=90°，
∵∠2和∠3所
解析：180°.
【解析】
【分析】
仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，进而得出答案．
【详解】
解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，
∴∠1+∠4=90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°．
故答案为：180．
【点睛】
此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．
20．8
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，FA=FC，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
∵AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于F，
∴EA=EB，FA=FC，
解析：8
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，FA=FC，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】
∵AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于F，
∴EA=EB，FA=FC，
则△AEF的周长=AE+EF+AF=BE+EF+FC=BC=8，
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
三、解答题
21．（1）B；（2）①3；②
51 100
【解析】
【分析】
（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等验证平方差公式即可；
（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；
②原式利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
【详解】
（1）根据图形得：22()()a b a b a b -=+-，
上述操作能验证的等式是B ，
故答案为：B ；
（2）①∵224(2)(2)12x y x y x y -=+-=，
24x y +=，
∴23x y -=； ②2222211111111112344950⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
111111223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111349495050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1324354850495122334449495050
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯⨯⨯ 515120=
⨯ 51100
=． 【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
22．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】 （1）①以B 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 、BC 于F 、N ，再以F 、N 为圆心，大于12
FN 长为半径画弧，两弧交于点M ，过B 、M 画射线，交AC 于D ，线段BD 就是∠B 的平分线；
②分别以A 、B 为圆心，大于12
AB 长为半径画弧，两弧交于X 、Y ，过X 、Y 画直线与AB 交于点E ，点E 就是AB 的中点；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠ABD 的度数，进而得到∠ABD ＝∠A ，根据等角对等边可得AD ＝BD ，再加上条件AE ＝BE ，ED ＝ED ，即可利用SSS 证明△ADE ≌△BDE ．
【详解】
解：（1）作出B 的平分线BD ； 作出AB 的中点E ．
（2）证明：160302
ABD ∠=⨯︒=︒，30A ∠=︒， ABD A ∴∠=∠，
AD BD ∴=，
在ADE ∆和BDE ∆中，
AE BE ED ED AD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
()ADE BDE SSS ∴∆≅∆．
【点睛】
此题主要考查了复杂作图，以及全等三角形的判定，关键是掌握基本作图的方法和证明三角形全等的判定方法．
23．1
a a -；a =0时，原式=0 【解析】
【分析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】
解：原式=（
11a ++11a a -+）•11a a +- =
1a a +•11a a +- =1
a a - ∵2101010a a a +≠⎧⎪-≠⎨⎪-≠⎩
， ∴a ≠±1，
∴把a =0代入得：原式=0．
【点睛】
本题考查了分式的运算，解题的关键是运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
24．证明见解析
【解析】
【分析】
先求出∠BAC 的度数，进而得出∠BAD ，因为∠BAD=40°=∠ADE ，由“内错角相等，两直线
平行”即可判断．
【详解】
证明:在ABC ∆中，46,54,B C ︒︒∠=∠=
180465480BAC ︒︒︒︒∴∠=--=， AD 平分,BAC ∠ 1402
BAD BAC ︒∴∠=∠=， 40,ADE ︒∠=
.ADE BAD ∴∠=∠
//.DE AB ∴
【点睛】
本题考查角的运算，角平分线的性质定理以及平行线的判定，掌握角平分线的性质是解题的关键．
25．（1）20°；（2）4
【解析】
【分析】
（1）根据垂直平分线的性质得到EBA EAB ∠=∠和NAC NCA ∠=∠，再根据三角形内角和去算出角EAN ∠的度数；
（2）根据三角形三边关系求出BC 长，再根据垂直平分线的性质证明AEN △的周长等于BC 的长．
【详解】
解：（1）∵DE 、MN 分别是线段AB 和线段AC 的垂直平分线，
∴AE=BE ，AN=CN ，
∴EBA EAB ∠=∠，NAC NCA ∠=∠，
∵EAN BAC EAB NAC ∠=∠-∠-∠，
∴()100EAN EBA NCA ∠=︒-∠+∠，
∴()()10018010018010020EAN BAC ∠=︒-︒-∠=︒-︒-︒=︒；
（2）在ABC 中，AC AB BC AC AB -<<+，即15BC <<，
∵BC 边长是整数，
∴BC 的长度可以取2、3、4，
∵ABC 是不等边的，
∴BC=4，
由（1）知AE=BE ，AN=CN ，
∴4AEN C AE EN AN BE EN NC BC =++=++==．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，三角形三边关系和内角和，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
26．70CDF ∠=︒
【解析】
【分析】
首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB 的度数，以及∠BCD 的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE 的度数，则∠ECD 可以求解，然后在△CDF 中，利用内角和定理即可求得∠CDF 的度数．
【详解】
解：∵30A ∠=︒，70B ∠=︒，
∴18080ACB A B ∠=︒-∠-∠=︒.
∵CE 平分ACB ∠，∴1402
ACE ACB ∠=∠=︒. ∵CD AB ⊥于D ，∴90CDA ∠=︒，18060ACD A CDA ∠=︒-∠-∠=︒.
∴20ECD ACD ACE ∠=∠-∠=︒.
∵DF CE ⊥，∴90CFD ∠=︒，
∴18070CDF CFD ECD ∠=︒-∠-∠=︒.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和等于180°以及角平分线的定义，是基础题，准确识别图形是解题的关键．
27．（1）∠BOC ＝125°；（2）∠ABC=60°，∠ACB=40°．
【解析】
【分析】
（1）由角平分线的性质可求出∠OBC 、∠OCB 的度数，再根据三角形内角和即可得出答案；
（2）由邻补角的定义可求出∠1+∠2=50°，再根据1:23:2∠∠=即可分别求出∠1和∠2的度数，最后根据两直线平行内错角相等及角平分线的性质即可得出答案．
【详解】
解：（1）因为∠ABC 和∠ACB 的平分线BO 与CO 相交于点O ，
所以∠EBO ＝∠OBC 12
ABC =∠,∠FCO ＝∠OCB 12ACB =∠ 又∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°，
所以∠OBC ＝25°，∠OCB ＝30°
所以∠BOC ＝180°-∠OBC -∠OCB ＝125°
（2）因为∠BOC=130°，
所以∠1+∠2=50°
因为∠1: ∠2=3:2 所以3150305∠=⨯︒=︒，2250205
∠=⨯︒=︒ 因为 EF ∥BC
所以∠OBC ＝∠1＝30°，∠OCB ＝∠2＝20°
因为∠ABC 和∠ACB 的平分线BO 与CO 相交于点O ，
所以∠ABC=60°，∠ACB=40°．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、三角形内角和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
28．（1）33log 64=，3；（2）证明见解析；（3）1
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以把指数式43＝64写成对数式；
（2）先设log a M ＝m ，log a N ＝n ，根据对数的定义可表示为指数式为：M ＝a m ，N ＝a n ，计算M N
的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； （3）根据公式：log a （M•N ）＝log a M ＋log a N 和log M
N a
＝log a M −log a N 的逆用，将所求式子表示为：log 3（2×6÷4），计算可得结论．
【详解】
解：（1）由题意可得，指数式43＝64写成对数式为：3＝log 464，
故答案为：3＝log 464；
（2）设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n ， ∴M N ＝m
n a a
＝a m−n ，由对数的定义得m−n ＝log M N a ， 又∵m−n ＝log a M −log a N ， ∴log M
N a ＝log a M −log a N （a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0）；
（3）log 32＋log 36−log 34，
＝log 3（2×6÷4），
＝log 33，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
29．（1）15DAE ∠=︒；（2）15DFE ∠=︒（3）15DFE ∠=︒；（4）见解析
【解析】
【分析】
（1）关键角平分线的性质和三角形内角和的性质求角度；
（2）作AH BC ⊥于H ，由（1）的结论和平行的性质得到DFE DAH ∠=∠； （3）作AH BC ⊥于H ，由（1）的结论和平行的性质得到DFE DAH ∠=∠．
【详解】
解：（1）180180356580BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
∵AD 平分BAC ∠，∴40BAD BAC ∠=∠=︒，∵AE BC ⊥，∴90AEB =︒∠， ∴9055BAE B ∠=︒-∠=︒，∴554015DAE BAE BAD ∠=∠∠=︒-︒=︒－；
（2）作AH BC ⊥于H ，如图，有（1）得15DAH ∠=︒，
∵FE BC ⊥．∴//AH EF ，∴15DFE DAH ∠=∠=︒；
（3）作AH BC ⊥于H ，如图，有（1）得15DAH ∠=︒，
∵FE BC ⊥，∴//AH EF ，∴15DFE DAH ∠=∠=︒；
（4）结合上述三个问题的解决过程，得到BAC ∠的角平分线与角平分线上的点作BC 的垂线的夹角中的锐角为15°．
本题考查角平分线的性质、三角形内角和、平行线的性质，解题的关键是能够举一反三，通过第一小问的结论能够想到构造辅助线来解决后面的问题．
30．（1）400不是“巧数”，2020是“巧数”，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3）532．
【解析】
【分析】
（1）根据“巧数”的定义进行判断即可；
（2）列出这两数的平方差，运用平方差公式进行计算，对结果进行分析即可； （3）介于50到100之间的所有“巧数”中，最小的为：142-122=52，最大的为：262-242=100，将它们全部列出不难求出他们的和．
【详解】
解：（1）400不是“巧数”，2020是“巧数”．原因如下：
因为2240010199=-，故400不是“巧数”，
因为2020=5062-5042，故2020是“巧数”；
（2）22(2)(22)(222)(222)2(42)4(21)n n n n n n n n --=+--+=-=-
∵n 为正整数，
∴2n －1一定为正整数，
∴4(2n －1)一定能被4整除，
即由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数；
（3）介于50到100之间的所有“巧数”之和，
S=（142－122）+（162－142）+（182－162）+…+（262－242）=262－122=532．
故答案是：532．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用．能根据“巧数”的定义进行计算是解决此题的关键．（2）中能利用因式分解把所求的代数式进行变形是解题关键；（3）中不要先计算50到100之间的每一个巧数，根据题意先把它们的和列出来，会发现可以抵消部分，然后计算简单．。