热学教程习题解答

《热学教程》习题解答
第一章习题（P43）
1.1解：根据tr
R R R T 16.273)(= 则： )K (1.29135
.9028
.9616.273=⨯
=T
1.2解：（1）摄氏温度与华氏温度的关系为
C)(59
32F)( t t +=
解出： 40-=t
（2）华氏温标与开氏温标的关系为
)15.273(5
9
32-+=T t
解出： 575=t
（3）摄氏温度与开始温度的关系为
15.273-=T t
可知：该方程无解，即摄氏温标和开氏温标不可能给出相同的读数。

1.3解：根据定压理想气体温标的定义式
K 15.373732038.0K 16.273lim
K 16.273)(0===→tr
P V V V T tr
1.4解：（1）第三种正确。

因为由实验发现，所测温度的数值与温度计的测温质有关，对同种测温质，还与其压强的大小有关。

（2）根据理想气体温标定义
tr
P P P
T tr 0lim
K 16.273→=
当这个温度计中的压强在水的三相点时都趋于零时，即0→tr P 时，则所测温度值都相等。

1.5解：（1）根据2t t βαε+=，由t 值可求出ε的值（见后表）
（2）根据b a t +=*ε，利用0=*t ，100=*t 及相应的ε值，可得
b a +⨯=00
与 b a +⨯=15100
解出： 0,3
20==
b a
这样，由ε3
20
=
*t 求出相应的*t 值（见后表）。

（3）将与t 对应的ε及*t 值列表如下：
由表中数据即可作出t -ε，*-t ε和*-t t 图（图略）。

（4）很明显，除冰点，t 与*t 相同外，其它温度二者温度值都不相同。

*-t ε是正比关系，但是用温度t 是比较熟悉的，与日常生活一致。

1.6解：当温度不变时，C PV =，设气压计的截面积为S ，由题意可知：
S P S )73474880()734(80)748768(-+⨯-=⨯-
可解出：)Pa (1099.9)Pa (760
10013.1)734948020(45⨯=⨯⨯+⨯=P
1.7解：设气体压强分别为P 1、P 2，玻璃管横截面积为S ，由题意可知： （1）
cmHg P P 2001+= hcmHg P P -=02
S h P S P )70()2070(21-⨯=-⨯
解出：)cm (55.3=h （注意大气压强单位变换） （2）
S P S P 70)2070(21⨯≥-⨯
)Pa (1065.65040⨯=≤cmHg P
1.8答：活塞会移动。

要想活塞不动，起始位置应该是氧气与氢气的长度比为1:16。

1.9解：按理想气体的等温膨胀过程处理。

（1）
)(2111V V P V P +=
则
)Pa (1024.24
12
11⨯=+=
P V V V P
（2）两容器中气体的摩尔数分别为
RT V P 111=
ν，RT
V
P 222=ν 由混合理想气体方程
RT V V P )()(2121νν+=+
则
)Pa (1038.6)(4221121⨯=++=
RT
V P RT V P
V V RT P
1.10解： 22221211
1T V P T V P T V P += 则
)(9702099012
22
112l V T P T V P V =-=-=
1.11解：气焊前后氢气的状态方程为
RT M
PV μ
=
，RT M V P μ
'
=
'
则用去的质量为
)(4.31)kg (104.31)(3g P P RT
V
M M =⨯='-=
'--μ
1.12解：设CO 2的流速为v ，在时间t 内的位移是vt ，取这一段CO 2为研究对象时，其体积为Svt V =，将CO 2当做理想气体，则有
RT M
PV μ
=
则 RT M
PSvt μ
=
∴
)m/s (899.0==
RT St
P M
v μ
1.13解：设活塞打开前后，两容器的空气质量分别为M 1、M 2、M'1、M'2，按理想气体处理，各自的状态方程为
11
11RT M V P μ
=
，22
22RT M V P μ
=
，11
1RT M PV μ
'=
，22
2RT M PV μ
'=
混合前后质量不变 则
2
2
1
1
2
2
211
1RT PV RT PV RT V P RT V P μμμμ+
=
+
故
)Pa (1098.241
2211
22211⨯=++=
T V T V T V P T V P P
1.14证明：略
1.15解：气球内的H2在温度T1、T2时的状态方程为
1RT M
PV μ
=
，2RT M
M PV μ
∆-=
联立求解：)kg/m (089.031
22
1=-⋅∆=T T T T V MR μρ
1.16解：有气体状态方程，可得气体质量
RT
PV
M μ=
设打n 次可以达到要求，每次打气的质量为m ，则
RT
PV
M RT V P n
nm μμ=
==0
解出： )(637000
次==
T
V P PVT n
1.17解：由已知：抽气机的抽气速率为dt
dV
v =
vdt RT
P dV dM μρ-
=-= 理想气体方程RT M
PV μ
=
可知：
vdt V
P
dM V RT dP -==
μ⇒dt V v P dP -=
积分： ⎰⎰-=t P
P dt V v P dP 00 解出： )s (8.39(min)663.0ln 0===
P
P v V t
1.18解：气体的质量不变，由理想气体方程和混合理想气体方程
11
11RT V P M μ=
，22
22RT V P M μ=
，RT
PV
M M μ=
+21
RT
PV
RT V P RT V P μμμ=
+
2
2
21
1
1
解出：
)K (9.7082
2
2111=+=
T V P T V P PV
T
1.19证明：略
第二章习题（P110）
2.1~2.7解：略
2.8解：kJ)(64.16)kJ )(20100(04.12.0=-⨯⨯=∆=T MC Q P
kJ)(84.11)kJ )(20100(740.02.0=-⨯⨯=∆=∆T MC U V
kJ)(8.4=∆-=U Q A
2.9解：)()()(1122,1
122,12,V P V P R
C R V P R V P C T T C U m V m V m V -=-=-=∆νννν （1）压强不变
)J (505)(12,=-=
∆V V P R
C U m V
（2）绝热变化，γ
γ1122V P V P =⇒Pa)(10825.7)(42
112⨯==γ
V V P
P )J (177
)(1122,-=-=
∆V P V P R
C U m V 等压变化由于吸收热量，对外做功和内能均有吸热提供；而绝热过程系统对外做功只能由系统内能提供，因而，一个内能增加，一个内能减少。

2.10解：（1）绝热膨胀，4.1=γ
)J (938])(1[112
11
=--=
-γγμ
V V RT M A （2）先等温膨胀，再等体冷却
)J (1435ln
1
2
11==
V V RT M
A μ
，02=A ∴ )J (143521=+=A A A
2.11解：)J (125)(12,=-=∆T T C U m V ν
J)(84209125-=-=+∆=A U Q
又 T C Q ∆=
∴ )J/K (84-=∆=
T
Q
C
2.12解：)m (102.11331-⨯==
v M
V μ
，1221
V V =
（1）等温过程：0=∆U
)J (786ln
1
2
-==
V V RT M
A μ
)J (786-=+∆=A U Q
（2）绝热过程：4.1=γ
0=Q
)J (906])(1[112
11
=---=-=∆-γγμ
V V RT M
A U
（3）等压过程：)J (1099.1)(412,⨯-=-=
V V P R
C Q m P
)J (1042.1)(412,⨯-=-=
∆V V P R
C U m V
)J (567-=∆-=U Q A
2.13解：已知：J 334=Q ，标准状态下的体积)m (102.11331-⨯==v M
V μ
（1）等温过程，1
2
ln
V V RT M
A Q μ
== 解出： )(m 1015)exp(
3312-⨯==MRT
Q
V V μ
（2）等体过程，V P P R
C Q m v )(12,-=
解出： )(Pa 1013.15
1,2⨯=+=
P V
C QR P m V （3）等压过程：)(12,T T C Q m P -=ν，
)J (239)(,,12,==
-=∆Q C C T T C U m
P m V m V ν
2.14解：（1）等温过程：终态体积10
1
2V V =
)kJ (193ln
2
1
-==
P P RT M
A μ
（2）绝热压缩：
)kJ (195])
(1[1])(1[111
21
1211
-=--=--=--γ
γγγμ
γμP P RT M
V V RT M
A
（3）先绝热在等压：
绝热过程的终态体积：γ1
2
113)(P P
V V =
等压过程的终态体积：10
1
2V V =
)kJ (273)(232121-=-+=+=V V P A A A A
2.15证明：由等体过程可知
)(010
,0,,P P R
V C MR
P
V C M
T C M
Q m V m
V m V -=
∆=
∆=
μμ
μ
由等压过程可知
)(020
,0,,V V R
P C MR
P
V C M
T C M
Q m P m
P m P -=
∆=
∆=
μμ
μ
根据题设有
)()(020
,010
,V V R
P C P P R
V C m P m V -=
-
故 0
020
01,,)()(P V V V P P C C m
V m P --=
=
γ
2.16解：由图可知过程方程为
kV V V V P P P =--=
1
21
2
根据热力学第一定律
A d dU Q d += 或 PdV dT C dT C m V m +=,
由理想气体状态方程RT PV =，则：
RdT VdP PdV =+
因为kV P =，则： VdP kVdV PdV == 所以 RdT PdV VdP PdV ==+2
故
RdT dT C dT C m V m 2
1
,+= )(2
1
21,,,m V m P m V m C C R C C +=+
= 另外，由kV P =，及RT PV =，则：2
V R
k T =
2.17解：过程为等温过程，拉力做功等于克服大气压力做功与气体做功之差
)J (37.2)(ln
10=+-=HS
S
h H HS P Sh P A
2.18解：（1）固定导热板，此时A 是等体过程，B 是等压过程，而且两者温度始终相等
T C Q m V A ∆=,，
T C Q m P B ∆=,
∴ T C T C Q Q Q m P m V B A ∆+∆=+=,,
∴
)K (67.6)7
2(,,=+=+=
∆R Q
C C Q T m
P m V )J (139,=∆=T C Q m V A ， )J (195,=∆=T C Q m P B
（2）活动绝热板，这时A 是等压膨胀过程，气体温度变化为
)K (4.11,==
∆m
P C Q
T B 中的气体是等压绝热过程，则0=Q ，0=∆P ，0=∆V ，即0=A 由热力学第一定律
A U Q +∆=
可知： 0=∆U
即B 是在状态不变的状态下平移的。

2.19解：（1）右侧气体绝热压缩，0=Q ，0=+∆A U
0,1
00,00,0,2
1
]1)[()1()(T C P P T C T T T C T T C U A m V m V m V m V ννννγγ=-=-=-=∆=---
（2）001
02
3
)(T T P P T ==--γγ
（3）左侧气体由P 0、V 0、T 0变成P 、V 、T ，其中08
27
P P =，V V V '-=02，式中V '是右侧气体终态体积，对右侧气体，有
000
02
3827T V P T V P '
= 则：
09
4V V ='
对左侧气体有：
T
V V P T V P )
2(827
0000
0'-= 故： 04
21
T T =
（4）根据热力学第一定律
0,0
,0,0,,2
19
4192
1
)1421(21RT T C T C T C T C T C A U Q m V m V m V m V m V νννννν==+-=+∆=+∆=
2.20解：（1）208))((2
1
=-+=
A B B A a V V P P A 801002
===⎰
⎰B A
B
A
V V V V b V
dV PdV A
（2）根据1mol 理想气体状态方程：P
RT
V =
（a ）过程：P
RT
P 24
124-=，或 0241242=+-RT P P
（b ）过程：222100T
R P P =，即 2
2100T R P =
（3）∵m V m V A B m V m V C R
R R C T T C T C U ,,,,80)10020()(-=-=-=∆=∆ 则
m V a a C R
A U Q ,80
208-=+∆= m V b B C R
A U Q ,80
80-
=+∆= （3）根据：dT
Q d C m =
PdV dT C A d dU Q d m V a a +=+=,)()(
由dV dP 24-=，RdT VdP PdV =+，得
V
P RdT
dV 24-=
RdT V
V
dT C Q d m V a 4812424124)(,--+
=
R V
V
C dT Q d C m V a a m 4812424124)()(,--+==
同理：由2100
V
P =
，可得：022=+PVdV dP V 由RdT VdP PdV =+，联立可得：
P
RdT
P P RdT dV -=-=
2⇒RdT PdV -=
则：
RdT dT C PdV dU Q d m V b -=+=,)(
2.21解：根据热力学第一定律
)J (208=-=-=∆acb acb a b A Q U U U
（1） )J (250=+∆=adb adb A U Q （2） )J (292-=+∆=ba ba ba A U Q
系统向外界放出热量为292J 。

（3） )J (209=+∆=ad ad ad A U Q
)J (41=-=ad adb db Q Q Q
R C C m V b m -=,)(
2.22解：（1）)J (690ln )(=+-=++=C
A
C C A B A CA BC AB V V V P V V P A A A A （2） )J (7940)()(,,1=-=-==A A B B m P A B m P AB V P V P R
C T T C Q Q
（3） %8.81
==Q A
η
2.23证明：111)1()
1(1)
()(1112
1
2
1
,,12
---=---=---=-=-
=P P V V T T T T T T T T C T T C Q Q Q Q a
b a a
c
a a
b m V a
c m P ab
ca γ
γννη
2.24证明：2
31423,14,2341121)()(111T T T
T T T C T T C Q Q Q Q m P m P ---=---=-=-=ννη
由于
4141V V T T =，3
232V V T T =，另外 γγ2211V P V P =，γγ4433V P V P =
则有
γ
γγ
γ44113322V P V P V P V P =
，即
4
1
32V V V V =
因此
3
2
41T T T T = γ
γγ
γγ
γεη11
1
2
1
2
11423141
1)(
1)
(111---
--
=-=-=-=---
=P
P P P P T T
T T T T
2.25解：由已知：332cm 100.2⨯=V ， 则
)(cm 9595)43(cm )2
15
(100.2332321=⨯+⨯=∆⋅+=πL S V V
绝热压缩比：2
1
V V t =
ε 奥托循环效率：%47)(
11
11
1
21=-=-=--γγεηV V r
2.26解：（1）设C 点状态参量为（T 3,V 2），则有
123111--=γγV T V T ⇒ 2111
2
13)(
T T T V V T <<=-γ AB 为等压过程，则有
0)(12,>-=∆T T C U m V ν 0)(12,>-=T T C Q m P ν 0)(12>-=T T R A
BC 过程为等体过程，有
0=A
0)(23,<-=∆=T T C U Q m V ν
CA 为绝热过程，有
0=Q
0)(31,<-=∆=-T T C U A m V ν
（2）∵
2211V T V T =⇒11
22T V V T = )1()(11
1)1(])([
11)()(1112
12111211211212,32,12
V V V V
T V V T V V V V T T C T T C Q Q Q Q m P m V AB
BC ---
=---=---=-=-
=-γ
γγγννη
2.27解：（1）在一循环中所作的净功即为循环曲线所包围的面积
)J (314)2
)(2(
=--=A
B D B V V P P A π （2）过程AB
C 的内能变化为
)J (600)(,=-=
∆A C m V V V P R
C U
对外做功)J (557)()2
)(2(21=-+--=A C A A
C D B
V V P V V P P A π ∴ )J (1157
=+∆=A U Q 由图可看出，Q abc 并不是系统在一循环中从高温热源吸收的总热量Q 1。

2.28解：设t 时刻活塞的位移是x ，在左右体积分别为
)(1x l S V +=，)(2x l S V -=
左右两边的空气压强分别为
0011)()(
P x
l l P V Sl P γ
γ+== 0022)()(
P x
l l P V Sl P γ
γ-== 活塞所受的合力为
kx
l
x
SP l
x
l x SP x l l l x SP l
x l l x l SP x l l x l l SP S P S P F -=-=---=---+=--+=--+=-=----γγγγγ
γ
γγγ02)]
1(1[])1()1[(])()[(])()[(
000021 由此可见，活塞将做简谐振动，故振动周期为
)s (065.02220===γ
ππSP ml
k m T
2.29证明：略
第三章习题（P165）
3.1答：（1）若能两次相交，则其正循环工作时，将违反热力学第二定律的表述。

（2）若能两次相交，则按等温过程0=∆U ，而按绝热过程0≠-=∆A U ，违反了内能是状态函数的性质。

（3）若能两次相交，则由等温过程
12
2
1
V V P P =，绝热过程
γ)(1
2
2
1
V V P P =，于是
γ)(1
2
1
2
V V V V =，故 1=γ，m V m P C C ,,=，而0=R ，这是不可能的。

（4）若能两次相交，则由γ)(1
2
1
2
V V V V =，也就是1211--=γγV V ，得21V V =，21P P =，即两个定点重合在一起。

（5）若能两次相交，则按绝热过程0=∆S ，而按等温过程0≠∆S ，违反了熵是状态函数的性质。

3.2解：已知：)K (400)K (2731271=+=T ，J 4181=Q ，J 3342=Q 则
1
21211T T
Q Q -=-
=η )K (32011
2
2==
T Q Q T 3.3解：（1）)Pa (1005.552
1
12⨯==
V V P P
)Pa (1045.153
2
1223⨯==V T T V P P
)m (1044.23212
3
4-⨯==V V V V )Pa (1089.254
3
34⨯==
V V P P （2） )J (2107ln ln 4
32111121121=-=-=V V T T V
P V V V P Q Q A （3） )J (7022ln
1
2
111==V V V P Q )
m (1088.4)(3
22112
13--⨯==V T T V γ
（4） %3011
2
=-=T T η
3.4解：根据：121211T T Q Q -=-=卡η，有：)(21
21122Q A T T
Q T T Q +== 则
2
122T T A T Q -=
由于两个循环中Q2相等，则有
2
12
212T T A T T T A T -''
=- 所以
)K (398)(2212=+-'
=T T T A
A T
（2） %4.3111
2
=-=T T η
3.5解：获得最大功必须为卡诺循环
1
211211T T Q A
Q Q -==-
=卡η 则 )kJ (47.1kJ 18.4)210
273402731()1(112=⨯++-=-
=Q T T A
3.6解：涉及最大热量的必为卡诺制冷机
2
12
2T T T A Q -=
=
ε 则 kJ)(52.122
12
2=-=
A T T T Q
3.7解：（1）由A Q 2=ε，则ε
2Q A =，dt Q
d dt A d ε1=
当
dt Q d 一定时，则ε最大时，dt A
d 最小。

而2
12T T T -=最大ε
故
)W (7.662
221=-=dt
Q d T T T dt A d
（2）同理A Q ε=2，则dt
A
d dt Q d ε=2 当
dt A
d 一定时，则ε最大时，dt
Q d 2最小。

故
)W (6002122=-=dt
A
d T T T dt Q d 因此 )W (7.6662=+=dt
A d dt Q d dt Q d
3.8解：111121211
2)1(Q Q Q A Q Q Q A Q A Q Q Q Q εηεηε+=+=+='+=+'+-='+= )J (1023.6)1(711
31232
⨯=-⋅-+
=Q T T T T T T
3.9解：根据A
Q 2=
ε，则dt A
d dt Q d ε=2
设被制成冰的质量为m ，则所放热量为
221T mc ml T mc Q ++∆=
dt
dm
T c l T c dt Q d )(221++∆= 由于
dt
Q d dt Q d =2，所以 )h kg (9.22)(31)(1221212221-⋅=++∆-⋅=++∆=T c l T c dt
dA
T T T T c l T c dt dA dt m d ε
3.10解：在等温过程中1
2
ln V V RT A Q ν== 故熵变 )K J (5.11ln 111
22
12
1
12-⋅=====-=∆⎰⎰V V RT TQ dQ T T dQ S S S
3.11解：先求系统最后的温度
)()(222111t t c m t t c m -=-
)K (291)C (9.172
2112
22111==++=
c m c m t c m t c m t
这是一个不可逆过程，为计算熵变，可设想一等压的可逆过程与其初终态对应，则
)
K J (41ln ln 1
2
221112*********-⋅=+=+=+=∆+∆=∆⎰⎰⎰⎰
T T c m T T c m T
dT c m T dT c m T dQ
T dQ S S S T T T T T T T
T
3.12解：散热速率为
dt
dQ
，则 )h K J (1008.1)11(115222121--⋅⋅⨯=-=+-=+=dt
dQ T T dt T dQ dt T dQ dt dS dt dS dt dS 注意：题目中的散热速率是错的，应该为18h J 102-⋅⨯
3.13解：（1）可逆的卡诺循环是由两条等温线和两条等熵线组成。

（图略） （2）在T-S 坐标中，任何曲线下的面积为
Q Q d TdS B S S ===⎰⎰2
1
2
1
（3） 1
21211222
13
4121)()(111T T S S T S S T TdS
TdS Q Q
-=---=-
=-=⎰⎰η
3.14解：（1）由于过程是不可逆的，为计算熵变可设想一等压可逆过程，则系统的总熵变为
)K J (184)(1
ln 1122
1222
1
-⋅=-+=+
=∆+∆=∆⎰
T T mc T T T mc T Q T
dT mc S S S T T 水水水源水 （2）同样设想一等压可逆过程，使水由初温273K 到达中温323K 组后到达终温373K ，则系统的总熵变为
)K J (96][ln
)(1
ln )(1ln 12
3
231312322
321331321-⋅=----=--+--=∆+∆=∆T T T T T T T T mc T T mc T T T mc T T mc T T T mc S S S 水水水水水
（3）首先使系统与外界绝热，其次使水的加热过程是可逆的，为此，需要温差无限小的一系列热源依次与水接触，逐渐升温就可使系统的总熵值保持不变。

3.15解：（1）1-2-3，先等压再等体
)K J (76.5ln ln
ln ln ln ln 11
2121
2
,12,23,12,32,21,322
1231213-⋅===-=+=+=+=-+-=-⎰⎰⎰⎰
V V
R T T R T T
C T T C T T C T T C T dT C T dT C T dQ
T dQ S S S S S S m V m P m V m P m V m P （2）1-3，等温
)K J (76.5ln 11
2313
1
31
13-⋅=====-⎰⎰
⎰
V V R V RdV T PdV
T
dQ
S S （3）1-4-3，先绝热再等压
)K J (76.5ln ln
ln 1
)ln(ln ln 11
2134
1,1
4
1,41,43,34
,34
43431413--⋅===-=
=====-=-+-=-⎰
⎰
V V
R V V R P P C P P C T T
C T T C T
dT
C T
dQ S S S S S S S S m P m P m P m P m P γγγ
γ
3.16解：（1）为计算熵变，设想高低温热源的吸放热量与某一可逆过程对应，而系统完成一个循环，熵不变，则总熵变为
2
211T Q T Q S +
-
=∆ 则
)kJ (64.15)(21
1
2=+
∆=T T Q S Q )kJ (26.521=-=Q Q A
（2） %2.251
==
Q A
η （3）若是可逆循环，则系统与热源发生的是可逆绝热过程，共总熵变为零。

（4）如果是可逆循环，则热机效率为
%8.2611
2
=-
=T T η
3.17解：略
第四章习题（P251）
4.1解：（1）每个分子碰撞平壁产生的冲量为mv 2，在dt 时间内与dA 面积碰撞的分子数为vdt dA n ⋅⋅，产生的总冲量为
vdt dA n mv dI ⋅⋅⋅=2
故对平壁产生的压强为
)Pa (109.9282-⨯=⋅=⋅=
n mv dt
dA dI
P （2）每个分子碰撞平壁产生的冲量为mv mv mv x 22
122==，在dt 时间内与dA 面积
碰撞的分子数为vdt dA n dt v dA n x ⋅⋅=
⋅⋅2
1，产生的总冲量为
dt v dA mn vdt dA n mv dI 22
12⋅⋅=⋅⋅⋅
=
故对平壁产生的压强为
)Pa (1095.482-⨯=⋅=⋅=
n mv dt
dA dI
P （3）每个分子碰撞平壁产生的冲量为)(2v v m '+，则对平壁产生的压强为
)Pa (1056.3)(262-⨯=⋅'+=n v v m P
4.2解：由理想气体状态方程RT M
PV μ
=
，可解出R
PV
T μ=
，则
)J (1042.5232321-⨯===
R
PV k kT με平
4.3解：由理想气体状态方程NkT RT N N
RT M
PV A
==
=
μ
，则 )J (32
3
23==⋅==PV kT N N E 平ε
4.4解：气体密度mn =ρ，则气体压强
)Pa (50003
1
3122===v v mn P ρ
4.5解：略
4.6解：（1）)s m (6.3011-⋅==
∑∑i
i i N v N v
)s m (7.312)(12122
-⋅==∑∑i
i i N v N v
（2） )J (106.22
1
23212-⨯===
v m kT 平ε )K (6.12532==
k
T 平ε
（3）由πμ
πRT
m kT v 88=
=
算出的温度为 )K (6.137)(82==
v R
T πμ
两个温度不一致是因为两个公式是分子速率连续分布时推导出来的，而题设条件分子速率不连续，故不相同。

4.7解：根据麦克斯韦速率分布定律
dv v v dv v kT
m N dN p v v p kT mv 2
32223
2
2
2e 4
e )2(4-
--
⋅=
=π
ππ
当573K C 300== T ，且m /s 10=∆v 时，对于m/s 30001=v 和m/s 218222==
=μ
RT
v v p ，
则
78.0e
e e 22
1
1
2212
1
2
212
2221==∆∆=∆∆+---p
v v p v v v v v v v
v v
v n n p p p p
4.8解：根据麦克斯韦速率分布定律
dv v v dv v kT
m
N dN p v v p kT mv 2
32223
2
2
2e 4
e )2(4-
--
⋅=
=π
ππ
（1）当p v v =，且p v v 100
2
=
∆时，则
%66.1e 2521002e 412
13==⨯⋅=∆---π
πp p p v v v N N （2）当p v m kT v v 2
3
32==
=，且21002v v =∆时，则 %85.1e 2253323100223e 423
22
3
3==⨯⨯⨯⋅=∆---π
πp p p v v v N N
4.9解：由m/s 2002==
μ
RT
v p ，可得
)K (81.422==
p v R
T μ
而
m/s)(2262
8==
=
p v RT
v π
πμ
m/s)(2452
3
32==
=
p v RT
v μ
4.10证明：根据麦克斯韦速率分布定律
dv v f dv v v dv v kT
m
N dN p v v p kT mv )(e 4
e )2(42
32223
2
2
2=
⋅=
=---
π
ππ
当p v v =时
p
p p p v e v v v f 1
4
e 4
)(213⋅
=
⋅=
--ππ
4.11证明：根据麦克斯韦速率分布定律
dv v v N dN p
v v p 23
22e 4-
-⋅=π
当p v v =，且v ∆很小时
T
kT m e v N v e v N v v v N
N p p p 1
2414e 4
2
13∝⋅∆=⋅
∆=
∆⋅⋅=∆--ππ
π
4.12解：第一个容器内气体的内能为
112
kT i
N U ⋅=
第二个容器内气体的内能为
222
kT i
N U ⋅=
两个容器连通后，由于是绝热过程，同时整个系统与外界互不做功，根据热力学第一定律，整个系统在连通前后的内能不变。

即
21212
222kT i
N kT i N kT i N U U U ⋅+⋅=⋅=+=
或 )(2
1
21T T T +=
设连通后分子的方均根速率为v ，则
k mv T 32
=，且k
mv T 32
11=，k mv T 3222= 故
)(2
122212v v v +=
2
2
212
2v v v +=
4.13解：由nkT P =，kT
P n =
%411121
21
211211=-=-
=-=∆T T T T T T n n n n n
4.14解：
⎰⎰∞-
∞==0223
02e )2(
4)(11vdv kT
m dv v f v v kT mv ππ
v
kT m kT m kT mv d kT
m kT
mv 142
)8(2)2(2)2(e )2(221
2102221
2⋅=
⋅⋅==-
=⎰
∞-πππππ
4.15解：（1）略 （2）由归一化条件
1)()(00
===⎰⎰∞
Cv dv v f dv v f v
则
1v C =
（3）02000
00
2
1211)()(0
v v v dv v v dv v vf dv v vf v v v =⋅====⎰⎰⎰∞
4.16证明：
du u f dv v f N
dN
)()(== du u v v d
v v dv
v kT
m
u p v v p kT mv p
222
2223222
2e 4
e 4
e )2(
4--
--
⋅=⋅=
=π
π
ππ
4.17解：由理想气体状态方程
RT M
PV μ
=
⇒RT
PV
M μ=
可知用去氧气
)kg (1012.7)()(3
211212-⨯=-=
-=
-=∆P P RT
V
P P RT
V
M M M μμ
再由等温气压公式
)Pa (1076.4e
400⨯==''-
z
RT
g
P P μ
运动员所用氧气的体积为
)l (106)m (10106e
)(e )
(330210210=⨯=-=-='∆=∆---z
RT g z RT g P P P V RT P P P RT V
RT P M
V μ
μμμμ
4.18解：)km (96.1)m (1957ln 0
===P
P g RT z μ
4.19解：根据 kT
mgz
n n -=e 00，已知：
e
n n 1718.210==，则 1=kT
mgz
一个灰尘微粒的质量为
)kg (101.222-⨯==
gz
kT
m
氮分子的质量为A N μ，所以灰尘质量与氮分子质量之比为
541.4==μ
μA A mN N m
4.20解：接通前各自状态方程为
RT N N V P A
N N 221=
，RT M V P Ar
Ar
1Ar μ=
，RT M PV 0
2μ=
因是等温过程，故接通后各自压强满足
12122)(V P V V P N N
=+'，)(21Ar 1Ar V V P V P +='，221)(PV V V P =+' 混合气体的压强为
)
(1
)
(12Ar
Ar 212Ar
Ar 2122PV RT M kT N V V PV RT M RT N N V V P P N A N +++=
+++='=∑μμ总
4.21解：当容器以v 运动时，气体的总动能为：)2
1
2(20mv kT i N +
当停止运动后，气体的总动能为：kT i
N 2
由于气体的总动能没有变化，则
kT i
N mv kT i N 2
)212(20=+ （1）对于单原子分子，3=i ，kT mv kT 23
212320=+
由于2
002123v m kT =，22
123v m kT '=，故
22
02v v v +='
即 22
2v v v =-' （2）对于刚性双原子分子，5=i ，kT mv kT 2
5
212520=+
22
022*********mv v m v m +⨯='⨯⇒22023
535v v v +=' 即
22025
3v v v =-'
（3）不同的原因是两种情况下气体内能增量都是22
1
mv N
，根据能量按自由度均分定理，双原子分子的自由度数大于单原子分子，故双原子分子每个自由度分配的能量小于单原子分子，因此双原子分子的平动动能小于单原子分子，于是2v 的增量也小。

4.22解：一个氧分子由容器顶面落到底面是重力势能的改变量为
mgh E p =∆
氧分子的平均平动能为
kT 2
3
=
平ε 则
61022.9322
3-⨯===
∆RT gh
kT m gh E p
με平
4.23解：)J (
5.62322
5
22N H ==
=RT u u )J (25.31162
5
2
22
2H H H H =⋅==RT M
u M
U μμ )J (59.2222
5
2
222N N N N =⋅=
=
RT M
u M
U μμ
4.24解：常温下的气体分子可看作刚性分子 水蒸气的内能为
RT RT u M U O O O
O 2
1
261832222H H H H =⋅=
=
μ H 2的内能为
RT RT u M U 415252322
2
2H H H H =⋅=
=
μ 总的内能为
RT RT RT U U U O 4
174152122H H =+=
+= )K g J (9.54
17
11111H H 22--⋅⋅=⋅+=⋅=⋅=R M M dT dU M dT dQ M c O V V
4.25解：V V m V mc N c C A ,==μ，又R C m V 2
3
,=
∴ )kg (106.6232326A A ,-⨯===
=
V
V V
m V c k
c N R c N C m
∵
)g/mol (7.39)kg/mol (107.393A =⨯==-m N μ
则Ar 的原子量为39.7。

4.26解：水蒸气内能
RT u U O O 2
6
22H H ⋅=⋅=νν
分解为H 2和O 2的内能分别为
RT u U 25
22H H ⋅=⋅=νν
RT u U 2
5
22
22O O ⋅=
⋅=
νν
则
%254
1
2
62
6
2522
5O
H O H O H O H 22222==
⋅⋅-⋅+⋅=-+=∆RT RT RT RT U U U U U U νννν
4.27解：由压强公式
平εn P 3
2
=
由能量按自由度均分定理，分子的平均平动动能 kT 2
3=
平ε 因此， kT V N kT n n P =⋅==233232平ε 则
P
NkT
V =
对1mol 任意气体，P
kT
N v A =，N A 都相同，只要P 、T 相同，则v 值都相同。

4.28*证明：设器壁垂直于x 方向，气体的分子数密度为n ，则单位时间内通过单位面积的分子数有
)
(+=x
v n γ 上标（+）表示只对0>x v 的范围平均。

由麦克斯韦速度分布律（按速度分量分布）
x kT
mv x x x
dv kT
m
dv v f N
dN x 22e 2)(-
==π
v m kT dv v kT
m
dv v f v v x kT
mv x x x x x x 4
1
2e
2)(0
20
)(2==
=
=⎰⎰∞
-
∞
+ππ 即： v n 4
1=
γ
4.29证明：单位时间内从单位面积小孔流出的气体分子数为v n 4
1
=γ，则单位时间内从面积为S 的小孔流出的分子质量为
RT SP
RT RT P S RT S v Smn Sm M πμ
πμμπμργ284184141===== 故 μ
πRT
S
M P 2=
4.30证明：设大气分子数密度为n 0，容器开口后t 时刻，已在容器内的分子数为N ，分子数密度为V N n =
，这时，经过dt 时间，进入容器的分子数为Sdt v n 04
1
，从容器出来的分子数为Sdt v n 4
1
，因此
)(41
414100n n Sdt v Sdt v n Sdt v n dN -=-=
而 )(410n n Sdt v V
V dN dn -==
则
P
P dP
S v V n n dn S v V dt -⋅
=-⋅=
0044 积分： 2
1
ln 4)(44420
00200000
S v V P P P P d S
v V
P P dP S v V n n dn S v V dt P P
-=---
=-⋅=-⋅=⎰
⎰⎰τ
则 2ln 4S
v V
=
τ
第五章习题（P285）
5.1解：由nkT P =，可得
)m (1021.3317⨯==
kT
P
n 分子平均自由程为
)m (78.7212
==
n
d πλ
5.2解：（1）根据P
d kT n
d 2
2
221ππλ=
=
)Pa (1021.5242⨯==
λ
πd kT P
（2）碰撞次数为
)(108.36次⨯==
λ
l
N
5.3解：根据P
d kT n
d 2
2
221ππλ=
=
kT
P
m kT d v n d Z ⋅
==πππ8222
2 （1）在等温过程中：P
1
∝
λ，P Z ∝ （2）在等压过程中：T ∝λ，T
Z 1∝
（3）在等体过程中：λ不变，T Z ∝
5.4解：根据λπμ
μλρη⋅⋅==
RT RT P v 83131 则 )m (1067.1837-⨯==
μ
πηλRT
P
根据
P
d kT 2
2πλ=
则
)m (1002.3)2(
102
1-⨯==P
kT d λπ
5.5证明：每个分子在单位时间内与其他分子碰撞的次数为λ
v
Z =
，设容器中共有N 个
分子，且每次碰撞只涉及两个分子，则单位时间内N 个分子间共碰撞λ
v
N Z N 2121=次，
单位时间内容器中分子与单位面积器壁碰撞次数为v V
N
v n ⋅⋅==
4141γ，单位时间与器壁碰撞总次数为A v V
N
⋅⋅41，故
A V A v V
N v
N
λλ24121=⋅⋅
5.6解：（1）根据P
d kT N
d V n
d 2
2
2
2221πππλ=
=
=
等体加热时 01λλ=
等温膨胀时 2:::021212===V V V V λλ
故
022λλ=
（2）根据n d m kT nm v 2
2183131ππλρη⋅⋅== 等体加热时 2::0101==T T ηη 等温膨胀时 1:12=ηη
故
022ηη=
（3）根据V V c c v ηλρκ==
3
1
，可知，κ与η的变化一样，故 022κκ=
（4）根据n d m kT v D 2
21
83131ππλ⋅== 等体加热时 2::0101==T T D D 等温膨胀时 2:::021212===V V V V D D
故
012222D D D ==
5.7解：根据Z
v
v v ⋅==
ρλρη3131，则每个分子在单位时间内与其他分子的碰撞次数为 πη
πηπηηρ3838833)(2P
kT P kT m kT mn v Z =
⋅=⋅== 则单位体积内的分子在单位时间内相互碰撞的次数为
)s m (105.3343821211-3-342
⋅⨯==⋅⋅==kT
P P kT P Z n N πηπη
5.8解：根据牛顿粘滞定律
S dz du
f z ∆=0
)(
η 则 S dr
du
f r ∆=0)(
η，或 0)(r dr
du S f η=∆ 由于110r r r d <<-=，则
d
u r u dr du ∆=∆∆≈，故 )Pa (1012.22)(20-⨯=⋅==∆==∆d
n
r d r d u dr du S f r πηωηηη
5.9解：（1）根据R
T
k
P kT RT RT P v πμσ
σπμμλρη⋅
=⋅⋅==32283131，则 83.2He
Ar
Ar He
He Ar ==μμηησσ （2）根据μ
ηηλρκm V V V C c c v ,31
===，则
112.0Ar
He He Ar He Ar ==μημηκκ （3）根据P
RT
v D μηρηλ===31，则
112.0Ar
He He Ar He Ar ==μημηD D
5.10解：根据m V V C R
T
k
c v ,3231πμσ
λρκ⋅
==，κ与P 无关，但是P 值减小到λ与容器的
线度可相比时，则κ随P 值的减小而减小，因此当l ≥λ时，压强为
)Pa (4.2222
2
==
=
l
d kT d kT P m πλ
π
5.11解：（1）设筒长为l ，在t ∆时间内，由内筒传向外筒的热量为
t rl dr
dT
t S dr dT Q r ∆⋅⋅⋅-=∆⋅∆-=πκκ2)(
0 则 r
t l Qdr
dT ⋅∆=
-πκ2
⎰
⎰⋅∆=-21
2
1
2r r T T
r
t l Qdr
dT πκ
1
221ln 2r r t l Q
T T ∆=
-πκ 由于t lR I Q ∆=)(2，2121t t T T -=-，代入上式
1
2212ln )(2r r t t R
I -=πκ
（2）带入数据：
)K s m J (1037.2ln )(211121
2212----⋅⋅⋅⨯=-=r r t t R
I πκ
5.12解：由于气体的粘滞性，圆盘之间的摩擦力将产生对于轴线的摩擦力矩，其中对应环带间的摩擦力为
rdr dz
du dS dz du df ⋅⋅⋅=⋅⋅
=πηη2 产生的力矩为
dr r dz
du
dS dz du rdf dM 22⋅⋅⋅=⋅⋅
==πηη 其中
d r
d u dz du ⋅=∆≈ω，则两盘间的摩擦力矩为 4
0222a d dr r dz du dM M a
πηωπη=⋅⋅⋅
==⎰⎰
5.13解：根据 dt dS dz dT dQ ⋅⋅-=κ
，且z
T dz dT ∆∆=，则
)s m J (1079.2122---⋅⋅⨯=∆∆-=-=z
T
dz dT dSdt dQ κκ
5.14解：根据 dt dS dz dT dQ ⋅⋅-=κ，由于dQ 是常量，所以dz dT 必是常量，且z
T
dz dT ∆∆=，故
2
3221131
b t
t b t t -=-κκ 因此
1
2211
212123b b t b t b t κκκκ+-=
填空题：
1、 一摩尔双原子分子理想气体，从温度为300K ，压强为1atm 的初态出发，经绝热过程膨胀至原来体积的2倍，则气体所作的功为 1509 J ，内能的变化为 -1509 J 。

2、 有一摩尔多原子分子理想气体。

开始时该气体处于温度为27℃，压强为760mmHg 的状态，现将其绝热压缩至原有体积的一半之状态，则该气体的终态压强为 2.52×760 mmHg = 1915.08 mmHg ，终态温度为 378 K ，外界对系统作的功为1944.54 J 。

3、 如右图所示的循环过程abca ，完成一循环对外作的净功
为))((211221S S T T --，循环效率为)1(21
1
2T T -。

4、 设空气温度为0℃，且不随高度变化，则大气压强减为地面的75%时的高度为 2296m （2.30km ） 。

5、 当飞机起飞后，机舱中的压强计指示由Pa 1001.15⨯减为Pa 1008.84⨯，设空气温度为27℃，不随高度变化，则飞机的高度为 1957m （1.96km ） 。

6、 设热源的绝对温度是冷源绝对温度的n 倍，则在一个卡诺循环中，气体传给冷源的热量是其从热源得到热量的 1/n 倍。

7、 某种气体分子在温度为T 1时的方均根速率等于温度为T 2时的平均速率，则1
2
T T ＝ 8/3π = 0.85 。

8、 kT 2
3
的物理意义是 理想气体分子的平均平动能 ，
RT 2
3
的物理意义是 一摩尔单原子分子气体具有的能量 。

9、 假设由N 个粒子组成的某种理想气体，其分子速率分布曲线如图所示，则用v 0表示的a 值为
74
v ，分子速率在0～v 0之间的分子数为N 72，分子的平均速率为021
16
v 。

10、 若气体分子服从麦克斯韦速率分布律，如果气体的温度增为原来的两倍，与
最概然速率v p 相应的速率分布函数f (v p )变为原来的
2
1。

11、 容器中贮有氧气，压强为1atm ，温度为27︒C ，设氧气分子的平均有效直径为2.9⨯10-10m ，则分子的平均速率为 445 m/s ，分子的平动动能为 6.21×10-21 J ，分子的
S
1
2
T T
a/2
平均碰撞频率为 4.06×109 Hz ，气体的粘滞系数为 2.1×10-5 kg/ms ，热传导系数为 1.36×10-2 J/Kms 。

12、
已知氧在标准状态下的粘滞系数为26Nsm 102.19--⨯，则氧分子的平均自由
程为 9.49×10-8 m ，分子的有效直径为 2.97×10-10 m 。

13、 有一台不可逆热机，高温热源温度为400K ，低温热源温度为300K ，一循环中在低温热源放出热量为6kJ 。

若经过一循环后，包括二热源和系统在内，熵一共增加了1 J K -1。

那么，这台热机每一循环从高温热源吸取热量Q 1＝ 7600 J （或7.6 kJ ） ；这台热机的效率η＝ 21.05% 。

14、 1mol 双原子分子理想气体由300K 经可逆定压过程从0.02m 3膨胀到0.04m 3，则气体的熵变为 20.16 J/K 。

15、 一温度为400K 的热库在与另一温度为300K 的热库短时间的接触中传递给它1cal 的热量，两热库构成的系统的熵改变了 3.5×10-3 J/K (8.33×10-4 cal/K) 。

16、 冬季房间热量的流失率为2.5⨯104kcal/h ，室温21︒C ，外界温度-5︒C ，此过程的熵增加率为 9.58 J/Ks （或2.29 cal/Ks ，34.5 kJ/Kh ，8.25 kcal/Kh ） 。

计算题
1、 1摩尔的氦气，初温是27︒C ，初体积是20升，首先氦气作定压膨胀直到体积增加一倍，然后作绝热膨胀，直到温度回复到原值。

① 在P-V 图上画出过程曲线图；（升1133=V ，Pa 1049.22
1⨯=P ，
Pa 1044.023⨯=P ） ② 在过程中总共需要供给多少热量？（J 1024.14⨯=Q ） ③ 氦的内能总变化是多少？（0=∆U ） ④ 最终的体积是多大？（升1133=V ）
2、 1摩尔理想气体氦作如图所示的循环，其中bc 过程为绝热过程。

求：
（1） 系统在一个循环过程中对外作的总功是多少？（)J (1145
=A ） （2） 此循环的效率。

（%3.15=η） 解：(1) bc 过程为绝热过程，
35,,==
m
V m p C C γ，γ
γc c b b V P V P = ⇒ )(3.371
升=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=b c b c V P P V γ ab 过程为n ＝-1的多方过程，b
b a a V P
V P =
)(3.12升==b b
a a V P P
V
R R C n n C m
v m 2231135
11
,=⋅---
-=
--=
γ
)J (7476)
(2)(=-=-=R
V P V P R
T T C Q a a b b a b m ab ν
ca 过程为等压过程，)J .(6331)()(,,-=-=
-=c c a a m p c a m p ca V P V P R
C T T C Q ν
)J (1145=++=ca bc ab Q Q Q A
(2) ab Q Q =1
ca Q Q =2
循环abca 的效率：%3.1511
12==-
=Q A
Q Q η 3、 1摩尔单原子理想气体从状态1到状态2，经状态3又回到状态1，如图所示。

求：
① 在状态1→状态2的过程中，压强P 、温度T 随体积V
的变化规律；（V V P
V V P V V V P P P 22111212==--=）
② 此循环过程的效率。

（)
(49722221
12122V P V P V P V P V P --+=
η）
4、 一卡诺机在温度为H T 和C T 的两热源之间运转，某发明家打算提高效率，想用一个热机在H T 和某一中间热源温度T '之间运转，第二个热机在T '和C T 间运转，使用的热量由第一个热机排出。

计算此复合热机的效率，并与原热机比较。

（H
C
T T -=1η，与原热机一样）
5、 有一理想气体，在P －V 图上其等温线的斜率与绝热线的斜率之比约为n ＝0.714。

开始时该气体处于温度17︒C ，压强760mmHg 的状态，现将其绝热压缩至原有体积的一半。

试求该气体的最后压强和温度（21.4＝2.64）。

（P =2005.7mmHg ，T =382.7K=109.7︒C ）
6、 在标准状态下，1mol 单原子理想气体先经过一绝热过程再经过一等温过程，最后压强和体积均增为原来的两倍，求整个过程中系统吸收的热量。

如果先经等温过程再经绝热过程，结果又如何？ 解：(1)先绝热压缩再等温膨胀，3
5
=
γ，T 0=273K 。

设初态为P 0，V 0，T 0，则终态为2P 0，P
P
2V 0，4T 0。

设中间状态为P 1，V 1，4T 0，则有
1101004--=γγV T V T ⇒03011
12)4
1
(V V V --==γ
绝热过程不吸热，等温过程吸热等于对外做功，则有
J)
(1052.2)J (9.251592ln 27331.8162ln 162ln 442ln
22400010
00⨯==⨯⨯=⋅=⋅=⋅==RT V P V V V P A Q
(2)先等温膨胀再绝热压缩，设初态为P 0，V 0，T 0，则终态为2P 0，2V 0，4T 0。

设中间状态为P 2，V 2，T 0，则有
100120)2(4--=γγV T V T ⇒040301
1
22224
2V V V V =⨯=⨯=-γ
绝热过程不吸热，等温过程吸热等于对外做功，则有
J)
(1029.6)J (0.62902ln 27331.842ln 42ln 4ln
30000
2
00⨯==⨯⨯==⋅=='='RT V P V V V P A Q
7、 如图所示为1摩尔单原子理想气体所经历的循环，其中ab 为等温线，ad 为绝热线。

已知：V a ＝15升，V b ＝30升，P a ＝2atm ，求：
（1） d 状态的体积V d ；（)(7.22升=d V ）
（2） ab 过程系统对外作的功；（)J (5.2106=ab A ） （3） ab 过程系统的熵变；（)K J (76.5=∆ab S ） （4） 循环abc 的效率。

（%38.13=η） 解：(1) 35,,=
=
m
V m p C C γ⇒γγ
d d a a V P V P =⇒)(7.221
升=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=a d a d V P P V γ (2) ab 过程为等温过程，)J (5.2106ln
==a
b
a a a
b V V V P A (3) ab 过程为等温过程，系统的熵变为
)K J (76.5ln =====∆⎰⎰⎰a
b b a b a ab V V R V dV R T PdV
T dQ S νν (4)
)J (5.2106==ab ab A Q
)J (75.3798)()(,,-=-=-=b b a c m p b c m p bc V P V P R C T T C Q ν )J (25.2279)()(,,=-=
-=a c a a m v c a m v ca V P V P R
C T T C Q ν
)。