辽宁省鞍山市第三中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

辽宁省鞍山市第三中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知全集U＝R，A U，如果命题p：∈A∪B，则命题“非p”是（）
A．非p： A B．非p：∈C U B
C．非p：A∩B D．非p：∈（C U A）∩（C U B）
参考答案：
D
2. 已知、分别是双曲线的左、右两个焦点，若在双曲线上存在点，使得，且满足，那么双曲线的离心率为（）
A．B．2 C．D．
参考答案：
A
3. 已知函数把方程的根按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的前n项和为
A. B.
C. D.
参考答案：
B
略
4. 已知则（）A． B． C.6 D．1
参考答案：
A
5. 在中，角的对边分别为，若，，则
（）
A．B． C. D．1
参考答案：
B
6. 设函数. 若实数a, b满足, 则（）
A．B．
C．D．
参考答案：
A
略
7. 已知函数f（x）＝，若f (a）＋f (1）＝0，则实数a的值等于（）
A．－
3 B．1 ` C．3
D．－1
参考答案：
A
8. 复数（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
9. 如图是正四面体G，H，M，N分别是DE，BE，EF，EC的中点.在这个正四面体中:①DE与MN 平
行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
参考答案：
C
10. 二项式展开式中的常数项是( )
A ．15
B ．60
C ．120
D ．240
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知矩阵
为单位向量，且
，
的值
参考答案：
12. 已知
若，则___________
参考答案：
-1或3
略
13. 某几何体的三视图(单位：cm)如图，则这个几何体的体积
为 cm
3
参考答案：
略
14. 设x ，y 满足约束条件
，则z=x ﹣2y 的最大值为 ．
参考答案：
3
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意作平面区域，化简z=x ﹣2y 为y=x ﹣，从而可得﹣是直线y=x ﹣的截距，从而解得．
【解答】解：由题意作平面区域如下，
，
化简z=x﹣2y为y=x﹣，
﹣是直线y=x﹣的截距，
故过点（3，0）时截距有最小值，
此时z=x﹣2y有最大值3，
故答案为：3．
15. 如图，设平面＝EF，AB，CD，垂足分别为B，D，若增加一个条件，就能
推出BD⊥EF，现有
①AC⊥β；
②AC与α，β所成的角相等；
③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；
④AC∥EF。

那么上述几个条件中能成为增加条件的是＿＿＿＿＿
（填上你认为正确的所有答案序号）
参考答案：①③
16. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的自然数
为．
参考答案：
5
17. 设单位向量
▲ .
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. [选修4-4：极坐标与参数方程]
在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点O为极点，以x
轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=7．
（1）求直线l的直角坐标方程；
（2）A，B分别是圆C和直线l上的动点，求|AB|的最小值．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）利用和与差公式打开，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y可得直线l的直角坐标方程；
（2）根据圆C的参数方程，求出圆心和半径，|AB|的最小值为圆心到直线的距离d﹣r可得答案．
【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=7．
那么：，
根据ρcosθ=x，ρsinθ=y可得：﹣y+x=7．
即直线l的直角坐标方程为x﹣y=7．
（2）圆C的参数方程为（θ为参数），其圆心为（﹣1，2），半径r=4．
那么：圆心到直线的距离d=．
∴AB|的最小值为圆心到直线的距离d﹣r，即．
19. 设数列的前n项和为，为常数，则称数列为“科比数列”。

（Ⅰ）等差数列的首项为1，公差不为零，若为“科比数列”，求的通项公式；
（Ⅱ）数列的各项都是正数，前n项和为，若对任意
都立，试推断数列是否为“科比数列”？并说明理由。

参考答案：
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，，因为，则
，即．
整理得．…………………………2分因为对任意正整数上式恒成立，则，解得．……4分
故数列的通项公式是
．…………………………5分（Ⅱ）由已知，当时，．因为，所以．
当时，，．
两式相减，得．
因为，所以=．………………………8分
显然适合上式，所以当时，．
于是．
因为，则，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．…………………………10分
所以不为常数，故数列不是“科比数列”．…12分
略
20. （本小题12分）已知向量,
分别为△ABC的三边所对的角.
（Ⅰ）求角C的大小;
（Ⅱ）若sin A, sin C, sin B成等比数列, 且, 求c的值
参考答案：
解： (Ⅰ) ∵,,
∴即
∴ ，又C为三角形的内角，∴………………6分 (Ⅱ) ∵成等比数列，∴
又,即, ∴ ∴ 即………………12分
21. （本小题满分12分）
如图，四棱锥
都是等边三角形.
（I）证明：
（II）求二面角
参考答案：22. 随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随机抽取1000人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1000人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：
0.1％的前提下，认为共享产品的态度与性别有关系？
（2）现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取6人，再从6人中随机抽取
2人赠送超市购物券作为答谢，求恰有1人是女性的概率．
参考公式：．
临界值表：
参考答案：
（1）依题意，在本次的实验中，的观测值
，
故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系；
（2）依题意，应该从认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取4人，记为，从认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取2人，记为，
从以上6人中随机抽取2人，所有的情况为：
，
共15种，其中满足条件的为
共8种情况，故所求概率．。