酉阳土家族苗族自治县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

酉阳土家族苗族自治县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若AD →＝2DB →，则|CD →
|为（ ）
A ．1 B.4
3
C.53
D ．2
2． 已知函数f （x ）=﹣log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，4） D ．（4，+∞）
3． 已知集合{
}
{
2
|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）
A ．[)1,+∞
B ．[]1,3
C ．(]3,5
D ．[]3,5
【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．
4． 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，则m 的值为（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
5． 三个数60.5，0.56，log 0.56的大小顺序为（ ） A ．log 0.56＜0.56＜60.5 B ．log 0.56＜60.5＜0.56
C ．0.56＜60.5＜log 0.56
D ．0.56＜log 0.56＜60.5
6． 设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a ﹣5|，9}，∁U A={5，7}，则实数a 的值是（ ） A ．2
B ．8
C ．﹣2或8
D ．2或8
7． 在二项式（x 3﹣）n （n ∈N *）的展开式中，常数项为28，则n 的值为（ ） A ．12 B ．8 C ．6 D ．4
8． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是
A 、28+
B 、30+
C 、56+
D 、 60+
9． 如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，C 1D 1上的动点，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面ABB 1A 1的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（ ）
A ．5
B ．4
C ．4
D ．2
10．把函数y=cos （2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x ）的图象关于直线x=
对称，则φ的值为（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．
D ．
11．在等差数列{a n }中，3（a 3+a 5）+2（a 7+a 10+a 13）=24，则此数列前13项的和是（ ）
A ．13
B ．26
C ．52
D ．56
12．某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ ）1111]
A ．10
B ．51
C ．20
D ．30
二、填空题
13．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为 ．
14．已知向量,满足42
=a ，2||=，4)3()(=-⋅+，则与的夹角为 .
【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题. 15．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB 与CD 的位置关系是 ．
16．已知两个单位向量,a b满足：
1
2
a b
∙=-，向量2a b
-与的夹角为，则cosθ=.
17．设全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，若N⊆M，则实数a的取值范围是．18．已知直线5x+12y+m=0与圆x2﹣2x+y2=0相切，则m=．
三、解答题
19．中国高铁的某个通讯器材中配置有9个相同的元件，各自独立工作，每个元件正常工作的概率为p（0＜p ＜1），若通讯器械中有超过一半的元件正常工作，则通讯器械正常工作，通讯器械正常工作的概率为通讯器械的有效率
（Ⅰ）设通讯器械上正常工作的元件个数为X，求X的数学期望，并求该通讯器械正常工作的概率P′（列代数式表示）
（Ⅱ）现为改善通讯器械的性能，拟增加2个元件，试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率．
20．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项为b，若存在非零常数a，使得（1﹣a）S n=b﹣a n+1对一切n∈N*都成立．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在一组非零常数a，b，使得{S n}成等比数列？若存在，求出常数a，b的值，若不存在，请说明理由．
21．如图，已知几何体的底面ABCD 为正方形，AC ∩BD=N ，PD ⊥平面ABCD ， PD=AD=2EC ，EC ∥PD ．
（Ⅰ）求异面直线BD 与AE 所成角： （Ⅱ）求证：BE ∥平面PAD ；
（Ⅲ）判断平面PAD 与平面PAE 是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．
22．如图，四棱锥P ABC -中，,//,3,PA BC 4PA ABCD AD BC AB AD AC ⊥=====，M 为线段AD 上一点，2,AM MD N =为PC 的中点．
（1）证明：//MN 平面PAB ；
（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值；
23．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1的离心率互为倒数，且直线x﹣y﹣2=0经过椭圆
的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、N两点，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．
24．已知全集U=R，函数y=+的定义域为A，B={y|y=2x，1≤x≤2}，求：
（1）集合A，B；
（2）（∁U A）∩B．
酉阳土家族苗族自治县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答
案）
一、选择题
1． 【答案】
【解析】解析：选C.设D 点的坐标为D （x ，y ）， ∵A （0，1），B （3，2），AD →＝2DB →
，
∴（x ，y －1）＝2（3－x ，2－y ）＝（6－2x ，4－2y ），
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2x ，y －1＝4－2y
即x ＝2，y ＝53
，
∴CD →
＝（2，53）－（2，0）＝（0，53
），
∴|CD →
|＝02＋（53）2＝53，故选C.
2． 【答案】C
【解析】解：∵f （x ）=﹣log 2x ，
∴f （2）=2＞0，f （4）=﹣＜0， 满足f （2）f （4）＜0，
∴f （x ）在区间（2，4）内必有零点， 故选：C
3． 【答案】D
【解析】
{}{{}|5,||3,A y y B x y x x =≤===≥[]3,5A B ∴=，故选D.
4． 【答案】C
【解析】解：若果树前n 年的总产量S 与n 在图中对应P （S ，n ）点 则前n 年的年平均产量即为直线OP 的斜率 由图易得当n=9时，直线OP 的斜率最大 即前9年的年平均产量最高， 故选C
5． 【答案】A
【解析】解：∵60.5＞60=1，
0＜0.56＜0.50=1，
log0.56＜log0.51=0．
∴log0.56＜0.56＜60.5．
故选：A
【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，对于此类大小比较问题，有时借助于0和1为媒介，能起到事半功倍的效果，是基础题．
6．【答案】D
【解析】解：由题意可得3∈A，|a﹣5|=3，
∴a=2，或a=8，
故选D．
7．【答案】B
【解析】解：展开式通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x3n﹣4r，
则∵二项式（x3﹣）n（n∈N*）的展开式中，常数项为28，
∴，
∴n=8，r=6．
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
8．【答案】B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，
所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。

利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
S S S S
====
10,10,10,
后右左
底
S=+B．
因此该几何体表面积30
9．【答案】D
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AE=a，D1F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4，
则F（0，b，4），E（4，a，0），=（﹣x，b﹣y，0），
∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，
∴当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时，
PE取最小值，
此时，P（2，2，4），E（4，2，0），
∴|PE|min==2．
故选：D．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．
10．【答案】B
【解析】解：把函数y=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，
得到函数y=f（x）=cos[2（x+）+φ]=cos（2x+φ+）的图象关于直线x=对称，
则2×+φ+=kπ，求得φ=kπ﹣，k∈Z，故φ=﹣，
故选：B．
11．【答案】B
【解析】解：由等差数列的性质可得：a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，
代入已知可得3×2a4+2×3a10=24，即a4+a10=4，
故数列的前13项之和S13=
===26
故选B
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及整体代入的思想，属中档题．
12．【答案】D 【解析】
试题分析：分段间隔为5030
1500
=，故选D. 考点：系统抽样
二、填空题
13．【答案】 4+ ．
【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图，
∵底面边长为6，∴BC=，
球O 的半径为3，球O 1 的半径为1，
则，
在Rt △OMO 1中，OO 1=4，
，
∴
=
，
∴正四棱柱容器的高的最小值为4+．
故答案为：4+
．
【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
14．【答案】3
2π 【
解析】
15．【答案】 异面 ．
【解析】解：把展开图还原原正方体如图，
在原正方体中直线AB 与CD 的位置关系是异面． 故答案为：异面．
16．【答案】27
-． 【解析】
考点：向量的夹角．
【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 （1）
求平面向量的数量积有三种方法：一是定义cos a b a b θ⋅=；二是坐标运算公式1212a b x x y y ⋅=+；
三是利用数量积的几何意义．
（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简
17．【答案】 [，1] ．
【解析】解：∵全集U=R ，集合M={x|2a ﹣1＜x ＜4a ，a ∈R}，N={x|1＜x ＜2}，N ⊆M ，
∴2a ﹣1≤1 且4a ≥2，解得 2≥a ≥，故实数a 的取值范围是[，1]，
故答案为[，1]．
18．【答案】8或﹣18
【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．
【解答】解：整理圆的方程为（x﹣1）2++y2=1
故圆的圆心为（1，0），半径为1
直线与圆相切
∴圆心到直线的距离为半径
即=1，求得m=8或﹣18
故答案为：8或﹣18
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意可知：X～B（9，p），故EX=9p．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有5个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有6个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有7个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有8个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有9个元件正常工作的概率为：．
通讯器械正常工作的概率P′=；
（Ⅱ）当电路板上有11个元件时，考虑前9个元件，
为使通讯器械正常工作，前9个元件中至少有4个元件正常工作．
①若前9个元素有4个正常工作，则它的概率为：．
此时后两个元件都必须正常工作，它的概率为：p2；
②若前9个元素有5个正常工作，则它的概率为：．
此时后两个元件至少有一个正常工作，它的概率为：；
③若前9个元素至少有6个正常工作，则它的概率为：；
此时通讯器械正常工作，故它的概率为：
P″=p2++，
可得P″﹣P′=p2+﹣
，
==．
故当p=时，P″=P′，即增加2个元件，不改变通讯器械的有效率；
当0＜p时，P″＜P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率降低；
当p时，P″＞P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率提高．
【点评】本题考查二项分布，考查了相互独立事件及其概率，关键是对题意的理解，属概率统计部分难度较大的题目．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵数列{a n}的前n项和为S n，首项为b，
存在非零常数a，使得（1﹣a）S n=b﹣a n+1对一切n∈N*都成立，
由题意得当n=1时，（1﹣a）b=b﹣a2，∴a2=ab=aa1，
当n≥2时，（1﹣a）S n=b﹣a n+1，（1﹣a）S n+1=b﹣a n+1，
两式作差，得：a n+2=a•a n+1，n≥2，
∴{a n}是首项为b，公比为a的等比数列，
∴．
（Ⅱ）当a=1时，S n=na1=nb，不合题意，
当a≠1时，，
若，即，
化简，得a=0，与题设矛盾，
故不存在非零常数a，b，使得{S n}成等比数列．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查使得数列成等比数列的非零常数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）PD⊥平面ABCD，EC∥PD，
∴EC⊥平面ABCD，
又BD⊂平面ABCD，
∴EC⊥BD，
∵底面ABCD为正方形，AC∩BD=N，
∴AC⊥BD，
又∵AC∩EC=C，AC，EC⊂平面AEC，
∴BD⊥平面AEC，
∴BD⊥AE，
∴异面直线BD与AE所成角的为90°．
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，
∴BC∥AD，
∵BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
∵EC∥PD，EC⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EC∥平面PAD，
∵EC∩BC=C，EC⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，∴
∴平面BCE∥平面PAD，
∵BE⊂平面BCE，
∴BE∥平面PAD．
（Ⅲ）假设平面PAD与平面PAE垂直，作PA中点F，连结DF，
∵PD⊥平面ABCD，AD CD⊂平面ABCD，
∴PD⊥CD，PD⊥AD，
∵PD=AD，F是PA的中点，
∴DF⊥PA，
∴∠PDF=45°，
∵平面PAD⊥平面PAE，平面PAD∩平面PAE=PA，DF⊂平面PAD，
∴DF⊥平面PAE，
∴DF⊥PE，
∵PD⊥CD，且正方形ABCD中，AD⊥CD，PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD．
又DF⊂平面PAD，
∴DF⊥CD，
∵PD=2EC，EC∥PD，
∴PE与CD相交，
∴DF⊥平面PDCE，
∴DF⊥PD，
这与∠PDF=45°矛盾，
∴假设不成立即平面PAD与平面PAE不垂直．
【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生推理能力和空间思维能力．
.
22．【答案】（1）证明见解析；（2）
25
【解析】
试
题解析：
（2）在三角形AMC 中，由2
2,3,cos 3
AM AC MAC ==∠=
，得 2222cos 5CM AC AM AC AN MAC =+-∠=， 222AM MC AC +=，则AM MC ⊥， ∵PA ⊥底面,ABCD PA ⊂平面PAD ，
∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD
平面PAD AD =，
∴CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ，
在平面PAD 内，过A 作AF PM ⊥，交PM 于F ，连结NF ，则ANF ∠为直线AN 与平面PMN 所成角。

在Rt PAM ∆中，由PA AM PM AF =，得45AF =，∴85
sin ANF ∠=， 所以直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为
85．1
考点：立体几何证明垂直与平行． 23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率
，
又∵直线x ﹣y ﹣2=0经过椭圆的右顶点，
∴右顶点为（2，0），即a=2，c=，b=1，…
∴椭圆方程为：
．…
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m •（k ≠0，m ≠0），M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）
联立
消去y 并整理得：（1+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2
﹣1）=0…
则，
于是
…
又直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列．
∴
…
由m ≠0得：
又由△=64k 2m 2﹣16（1+4k 2）（m 2﹣1）=16（4k 2﹣m 2+1）＞0，得：0＜m 2
＜2 显然m 2
≠1（否则：x 1x 2=0，则x 1，x 2中至少有一个为0，
直线OM 、ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾） …
设原点O到直线的距离为d，则
∴故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）…
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，弦长公式以及三角形的面积的表式，考查转化思想以及计算能力．
24．【答案】
【解析】解：（1）由，解得0≤x≤3
A=[0，3]，
由B={y|y=2x，1≤x≤2}=[2，4]，
（2））∁U A=（﹣∞，0）∪[3，+∞），
∴（∁U A）∩B=（3，4]。