人教版平行四边形单元 易错题测试基础卷

人教版平行四边形单元 易错题测试基础卷
一、解答题
1．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ∆沿BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．
（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由． （2）设
()01AB
m m AD
=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =． ②若
AE
n AD
=，用等式表示m n ，的关系． 2．如图，四边形OABC 中，BC ∥AO ，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ． （1）当t 为何值时，四边形BNMP 为平行四边形？
（2）设四边形BNPA 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．
（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ． （1）操作发现：
①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个 三角形； ②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为 ．
（2）深入探究：
在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝23．
①当△BEF是等边三角形时，求出BF的长；
②△BEF的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF的长；若不存在，请说明理由．
4．已知：在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C 重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，BD与CF的位置关系为__________；CF、BC、CD三条线段之间的数量关系____________________．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF、BC、CD三条线段之间的数量关系并加以证明；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．
△的形状，并说明理
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究AOC
由．
5．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.
；
（1）在如图（1）的AB边上求作一点N，连接CN，使CN AM
（2）在如图（2）的AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ AM.
6．如图1，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE．
（1）求证：AE＝CE；
（2）如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度数；
（3）在（2）的条件下，若OE＝2，求CE的长．
7．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．
（1）如图，当点E在线段BC上时，∠BDF=α．
①按要求补全图形；
②∠EBF=______________（用含α的式子表示）；
③判断线段 BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．
（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明．8．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AE是∠BAD 的平分线，则线段AB，AD，DC之间的等量关系为；
（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，AE是∠BAF的平分线，试探究线段AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）联想拓展：如图③，AB∥CF，E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，试探究线段AB，DF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．
9．在正方形中，连接，为射线
上的一个动点（与点不重合），连接，
的垂直平分线交线段于点，连接
，
.
提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？
探究问题：
（1）首先考察点的两个特殊位置：
①当点与点重合时，如图1所示，____________
②当
时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：
__________；（填“变化”或“不变化”）
（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）
（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.
10．在正方形AMFN 中，以AM 为BC 边上的高作等边三角形ABC ，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至点D ，D 点恰好落在NF 上，连接BD ，AC 与BD 交于点E ，连接CD ， (1)如图1，求证：△AMC ≌△AND ； (2)如图1，若3，求AE 的长；
(3)如图2,将△CDF 绕点D 顺时针旋转α（090α<<）,点C,F 的对应点分别为1C 、1F ，
连接1AF 、1BC ，点G 是1BC 的中点,连接AG ，试探索1
AG
AF 是否为定值，若是定值，则求
出该值；若不是，请说明理由.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+- 【分析】
（1）根据BEF BEA ≅得到BF BA =，根据三角形的三边关系得到BC BF BA >=，与已知矛盾；
（2）①根据90BFC BFE ∠=∠=︒、DEC FCB ∠=∠和BF=CD ，利用AAS 证得
BCF CED ≅，根据全等三角形的性质即可证明；
②设1AD =，则可表示出AE 和AB ，然后根据等角对等边证得CE=CB ，然后在Rt CDE ∆中应用勾股定理即可求解． 【详解】
（1） 由折叠知BEF BEA ≅ ， 所以90BF BA BFE A =∠=∠=︒， ．
若点F 在CE 上，则90BFC ∠=︒，BC BF BA >=， 与AB AD =矛盾， 所以点F 不会落在CE 上． （2）①因为
()01AB
m m AD
=<<，则AB AD < ， 因为点F 落在CE 上，
所以90BFC BFE ∠=∠=︒ ，
所以BF BA CD == ． 因为//AD BC ， 所以DEC FCB ∠=∠ ， 所以BCF CED ≅ ， 所以CF DE =． ②若
AE
n AD
=，则AE nAD =． 设1AD =，则AE n AB m ==，． 因为//AD BC ， 所以BEA EBC ∠=∠ ． 因为BEF BEA ∠=∠ ， 所以EBC BEC ∠=∠ ， 所以1CE CB AD === ．
在Rt CDE ∆中，11DE n CE CD m ===一，， ， 所以2
2
2
11()n m -+= ， 所以²²20m n n =+-．
故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-． 【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键． 2．（1）3
4
；（2）y =4t +2；（3）存在，点M 的坐标为（1，0）或（2，0）． 【分析】
（1）因为BN ∥MP ，故当BN=MP 时，四边形BNMP 为平行四边形，此时点M 在点P 的左侧，求解即可； （2）y =
1
2
（BN +PA ）•OC ，即可求解； （3）①当∠MQA 为直角时，则△MAQ 为等腰直角三角形，则PA =PM ，即可求解；②当∠QMA 为直角时，则NB +OM =BC =3，即可求解． 【详解】
（1）∵BN ∥MP ，故当BN =MP 时，四边形BNMP 为平行四边形． 此时点M 在点P 的左侧时，即0≤t ＜1时， MP =OP ﹣OM =3﹣t ﹣2t =3﹣3t ，BN =t ， 即3﹣3t =t ，解得：t =
34
； （2）由题意得：由点C 的坐标知，OC =4， BN =t ，NC =PO =3﹣t ，PA =4﹣OP =4﹣（3﹣t ）=t +1， 则y =
12(BN +PA )•OC =1
2
(t +t +1)×4=4t +2；
（3）由点A、C的坐标知，OA=OC=4，
则△COA为等腰直角三角形，故∠OCA=∠OAC=45°，①当∠MQA为直角时，
∵∠OAC=45°，故△MAQ为等腰直角三角形，
则PA=PM，
而PA=4﹣(3﹣t)=t+1，PM=OP﹣OM=(3﹣t)﹣2t=3﹣3t，
故t+1=3﹣3t，解得：t=1
2
，则OM=2t=1，
故点M（1，0）；
②当∠QMA为直角时，
则点M、P重合，
则NB+OM=BC=3，即2t+t=3，解得：t=1，
故OM=OP=2t=2，
故点M（2，0）；
综上，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．
【点睛】
本题是四边形综合题，涉及坐标与图形、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、图形的面积计算等，复杂度较高，难度较大，其中（3）要分类求解，避免遗漏．
3．（1）①等腰；②BE ；（2）①2；②存在，
【分析】
（1）①由折叠的性质得EF＝BF，即可得出结论；
②当折痕经过点A时，由折叠的性质得AF垂直平分BE，由线段垂直平分线的性质得AE＝
BE，证出ABE是等腰直角三角形，即可得出BE AE；
（2）①由等边三角形的性质得BF＝BE，∠EBF＝60°，则∠ABE＝30°，由直角三角形的性
质得BE＝2AE，AB，则AE＝1，BE＝2，得BF＝2即可；
②当点F在边BC上时，得S△BEF≤1
2
S矩形ABCD，即当点F与点C重合时S△BEF最大，由折叠的
性质得CE＝CB＝EF＝
当点F在边CD上时，过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，则S△EKF＝
1 2KF•AH≤
1
2
HF•AH＝
1
2
S矩形AHFD，S△BKF＝
1
2
KF•BH≤
1
2
HF•BH＝
1
2
S矩形BCFH，得S△BEF≤
1
2
S
矩形ABCD ＝3，即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，此时，DF＝
1
2
CD E
与点A重合，由勾股定理求出EF即可．【详解】
解：（1）①由折叠的性质得：EF＝BF，∴BEF是等腰三角形；
故答案为：等腰；
②当折痕经过点A时，
由折叠的性质得：AF垂直平分BE，
∴AE＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠A＝90°，
∴ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝2AE；
故答案为：BE＝2AE；
（2）①当BEF是等边三角形时，BF＝BE，∠EBF＝60°，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
∵∠A＝90°，
∴BE＝2AE，AB＝3AE＝3，
∴AE＝1，BE＝2，
∴BF＝2；
②存在，理由如下：
∵矩形ABCD中，CD＝AB＝3，BC＝23，
∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝3×23＝6，
第一种情况：当点F在边BC上时，如图1所示：
此时可得：S△BEF≤1
2
S矩形ABCD，
即当点F与点C重合时S△BEF最大，此时S△BEF＝3，
由折叠的性质得：CE＝CB＝23，
即EF＝23；
第二种情况：当点F在边CD上时，
过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，如图2所示：
∵S △EKF ＝
12KF •AH ≤12HF •AH ＝12S 矩形AHFD ，S △BKF ＝12KF •BH ≤12HF •BH ＝1
2
S 矩形BCFH ， ∴S △BEF ＝S △EKF +S △BKF ≤
1
2
S 矩形ABCD ＝3， 即当点F 为CD 的中点时，BEF 的面积最大，
此时，DF ＝
12CD ＝2
，点E 与点A 重合，BEF 的面积为3，
∴EF
综上所述，BEF 的面积存在最大值，此时EF 的长为． 【点睛】
此题考查的是矩形与折叠问题，此题难度较大，掌握矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键．
4．（1）BD ⊥CF ，CF=BC-CD ；（2）CF=BC+CD ，见解析；（3）①CF=CD−BC ，②等腰三角形，见解析 【分析】
（1）先说明△ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ，从而证得CF ⊥BD 、CF=BD ，又 BD+CD=BC, CF=BC-CD ；
（2）先利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ，从而证得BD=CF ，即可得到CF-CD=BC ； （3）①与（2）同理可得BD=CF ，然后结合图形可得CF=CD-BC ；
②先根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF ，然后利用“边角边”证明△BAD ≌△CAF ，得∠ACF=∠ABD ，求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=1
2
DF ，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA ，从而得到△AOC 是等腰三角形． 【详解】
（1）解：∵∠B4C=90°，AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=45° ∵四边形ADEF 是正方形 ∴AD=AF ，∠DAF=90°
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90° ∴∠BAD=∠CAF 在△BAD 和△CAF 中， AB=AC ，∠BAD=∠CAF ，AD=AF ， ∴△BAD ≌△CAF(SAS)， ∴BD=CF ，∠ABD=∠ACF=45°
∴∠FCB=∠ACF+ ∠ACB=90°，即CF ⊥BC
∵BD+CD=BC
∴CF+CD=BC；
故答案为：BD⊥CF，CF=BC-CD；
（2）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，
∠CAF=∠DAF+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴BD=CF，
∵BD=BC+CD，
∴CF=BC+CD；
（3）①与（2）同理可得，BD=CF，
所以，CF=CD−BC；
②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
则∠ABD=180∘−45°=135°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，
∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴∠ACF=∠ABD=180°−45°=135°，
∴∠FCD=∠ACF−∠ACB=90°，
则△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴OC=1
DF，
2
∵在正方形ADEF中，OA=1
AE，AE=DF，
2
∴OC=OA，
∴△AOC是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及同角的余角相等的性质，在（1）证明三角形全等得到思路并推广到（2）（3）是解答本题的关键.
5．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N．可先证明△AOD≌△COD，再证明△MOB≌NOB，从而可得NB=MB；
（2）连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ∥AM．理由如下：由正方形的性质以及平行线等分线段可证QO=MO，从而可知四边形AQCM为平行四边形，从而可得
CQ∥AM．
【详解】
解：（1）如图（1），
连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N，则CN 为所作．
理由：在△AOD与△COD中，
∵
AD CD
ADO CDO OD OD
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠OAD=∠OCD，
∴∠BAM=∠BCN．
在△ABM与△CBN中，
∵
BAM BCN AB CB
ABM CBN ∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪∠∠
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴CN=AM．
（2）如图2连接AC、BD交与O点，连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ为所求的线段.
在正方形ABCD 中，OA =OB =OC =OD ，AD ∥BC ，
∴QO =MO
∴四边形AQCM 为平行四边形，
∴QC ∥AM
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，解决此题的关键是利用正方形的性质求解．
6．（1）详见解析；（2）30°；（3）2
【分析】
（1）利用正方形的性质，得到AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ＝45°，进而判断△ADE ≌△CDE 得到结论；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到OB ＝OE ，∠OBE ＝∠OEB ＝15°，再利用外角和定理求得；
（3）连接OC ，与（2）同理得到∠POC ＝60°，则△EOC 为直接三角形，再应用勾股定理求得.
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ＝45°，
在△ADE 和△CDE 中，
AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADE ≌△CDE （SAS ），
∴AE ＝CE ；
（2）∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DBC ＝45°，
∵∠PBC ＝30°，
∴∠PBE ＝15°，
∵PE ⊥BD ，O 为BP 的中点，
∴EO ＝BO ＝PO ，
∴∠OBE ＝∠OEB ＝15°，
∴∠EOP ＝∠OBE ＋∠OEB ＝30°；
（3）如图，连接OC ，
∵点O 是BP 的中点，∠BCP ＝90°，
∴CO ＝BO ，
∴EO ＝CO 2，∠OBC ＝∠OCB ＝30°，
∴∠POC ＝60°，
∴∠EOC ＝∠EOP ＋∠POC ＝90°，
∵EC 2＝EO 2＋CO 2＝4，
∴EC ＝2.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、外角和定理、勾股定理，综合性较强，要注意数形结合.
7．（1）①详见解析；②45°-α；③2DF BF CF =+，详见解析；（2）
2DF BF CF =，或2BF DF CF =，或2BF DF CF +=
【分析】
（1）①由题意补全图形即可；
②由正方形的性质得出1452
DBE ABC ∠=∠=，由三角形的外角性质得出45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+，由直角三角形的性质得出
9045EBF BEF α∠=-∠=-即可；
③在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，证明△CDM ≌△CBF ，得出CM=CF ， ∠DCM=∠BCF ，得出2CF 即可得出结论；
（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，2CF ，理由同(1)③； ②当点E 在线段BC 的延长线上时，2CF ，在BF_上截取BM=DF ，连接CM ．同
(1)③得△CBM ≌△CDF 得出CM=CF ，∠BCM=∠DCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出2CF ，即可得出结论；
③当点E 在线段CB 的延长线上时，2CF ，在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，同
(1) ③得:ACDM ≌△CBF 得出CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出2CF ，即可得出结论．
【详解】
解：（1）①如图，
②∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABC=90°，1452
DBE ABC ∠=∠=， ∴45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+，
∵BF ⊥DE,
∴∠BFE=90°，
∴9045EBF BEF α∠=-∠=-,
故答案为：45°-α；
③线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系是2DF BF CF =+．
证明如下：在DF 上截取DM =BF ，连接CM ．如图2所示，
∵ 正方形ABCD ，
∴ BC =CD ，∠BDC =∠DBC =45°，∠BCD =90°
∴∠CDM =∠CBF =45°-α，
∴△CDM ≌△CBF （SAS ）．
∴ DM =BF ， CM =CF ，∠DCM =∠BCF ．
∴ ∠MCF =∠BCF+∠MCE
=∠DCM+∠MCE
=∠BCD =90°，
∴ MF 2CF ． ∴2.DF DM MF BF CF =+=+
（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，2CF ，理由同(1)③； ②当点E 在线段BC 的延长线上时，2CF ，理由如下：
在BF 上截取BM=DF ，连接CM ，如图3所示，
同(1) ③，得：△CBM ≌△CDF (SAS)，
∴CM=CF ， ∠BCM=∠DCF ．
∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠BCM+∠MCD= ∠ BCD=90°，
∴△CMF 是等腰直角三角形，
∴2CF ，
∴2CF ；
③当点E 在线段CB 的延长线上时，2CF ；理由如下：
在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，如图4所示，
同（1）③得：△CDM ≌△CBF ，
∴CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，
∴∠MCF=∠DCF+ ∠MCD= ∠DCF+∠BCF=∠BCD=90°，
∴△CMF 是等腰直角三 角形，
∴MF=2CF , 即DM+DF=2CF ，
∴BF+DF=2CF ;
综上所述，当点E 在直线BC 上时，线段BF ，CF ，DF 之间的数导关系为：
2DF BF CF =+，或2BF DF CF =+，或2BF DF CF +=．
【点睛】
此题是四边形的一道综合题，考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三
角形的判定及性质，注意解题中分情况讨论避免漏解．
8．（1）AD＝AB+DC；（2）AB＝AF+CF，证明详见解析；（3）AB＝DF+CF，证明详见解析．
【分析】
（1）结论：AD＝AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），即可推出AB＝CF，再证明DA＝DF，即可解决问题．
（2）结论：AB＝AF+CF，如图②，延长AE交DF的延长线于点G，证明方法类似（1）．（3）结论；AB＝DF+CF．如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明方法类似（1）．【详解】
解：（1）探究问题：结论：AD＝AB+DC．
理由：如图①中，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中，
CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FEC（AAS），
∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD．
故答案为AD＝AB+DC．
（2）方法迁移：结论：AB＝AF+CF．
证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，
∵E 是BC 的中点，
∴CE ＝BE ，
∵AB ∥DC ，
∴∠BAE ＝∠G ．且BE ＝CE ，∠AEB ＝∠GEC
∴△AEB ≌△GEC （AAS ）
∴AB ＝GC
∵AE 是∠BAF 的平分线
∴∠BAG ＝∠FAG ，
∵∠BAG ∠G ，
∴∠FAG ＝∠G ，
∴FA ＝FG ，
∵CG ＝CF+FG ，
∴AB ＝AF+CF ．
（3）联想拓展：结论；AB ＝DF+CF ．
证明：如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，
∵E 是BC 的中点，
∴CE ＝BE ，
∵AB ∥CF ，
∴∠BAE ＝∠G ，
在△AEB 和△GEC 中，
BAE G AEB GEC BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEB ≌△GEC ，
∴AB ＝GC ，
∵∠EDF ＝∠BAE ，
∴∠FDG ＝∠G ，
∴FD ＝FG ，
∴AB ＝DF+CF ．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全
等三角形解决问题．
9．（1）①45；②不变化；（2）成立；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）①②根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质即可判断；
（2）画出图形即可判断，结论仍然成立；
（3）如图2-1中或2-2中，作作EF⊥BC，EG⊥AB，证得
∠AEG=∠PEF.由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.继而得∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.从而得出∠APE=∠EAP=45°.
【详解】
解（1）①当点P与点B重合时，如图1-1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠APE=45°
②当BP=BC时，如图1-2所示，①中的结论不发生变化；
故答案为：45°，不变化.
(2)（2）如图2-1，如图2-2中，结论仍然成立；
故答案为：成立；
(3)证明一：如图所示.
过点作于点，于点.
∵点在的垂直平分线上，
∴.
∵四边形为正方形，
∴平分.
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
证明二：如图所示.
过点作于点，延长交于点，连接.
∵点在的垂直平分线上，
∴.
∵四边形为正方形，
∴，
∴.
∴，.
∴.
又∵，
∴.
又∵，
∴.
∴.
【点睛】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中垂线的性质等知识点
10．（1）见解析；（2）AE＝33）（3）
1
2 2
AG
AF
，理由见解析.
【分析】
（1）运用四边形AMFN是正方形得到判断△AMC,△AND是Rt△，进一步说明△ABC是等边三角形，在结合旋转的性质，即可证明.
（2）过E 作EG ⊥AB 于G,在BC 找一点H ，连接DH,使BH=HD ，设AG ＝x ，则AE=2x GE=3x ，得到△GBE 是等腰直角三角形和∠DHF=30°，再结合直角三角形的性质，判定Rt △AMC ≌Rt △AND ，最后通过计算求得AE 的长；
（3）延长F 1G 到M,延长BA 交11F C 的延长线于N,使得1GM FG =，可得GMB ∆≌11GFC ∆，从而得到111BM FC DF == 1BMG GF
N ∠=，可知BM ∥1F N , 再根据题意证明ABM ∆≌1ADF ∆，进一步说明1AMF ∆是等腰直角三角形，然后再使用勾股定理求解即可.
【详解】
（1）证明：∵四边形AMFN 是正方形，
∴AM=AN ∠AMC=∠N=90°
∴△AMC,△AND 是Rt △
∵△ABC 是等边三角形
∴AB=AC
∵旋转后AB=AD
∴AC=AD
∴Rt △AMC ≌Rt △AND(HL)
（2）过E 作EG ⊥AB 于G,在BC 找一点H ，连接DH,使BH=HD ，
设AG ＝x
则AE=2x 3x
易得△GBE 是等腰直角三角形
∴BG=EG 3x
∴AB=BC=31)x
易得∠DHF=30°
∴HD=2DF=3，HF=3
∴BF=BH+HF=233
∵Rt △AMC ≌Rt △AND(HL)
∴易得3
∴BC=BF-CF=233333
+-=+
∴(31)33
x
+=+
∴3
x=
∴AE＝223
x=
（3）
1
2
2
AG
AF
=；
理由：如图2中,延长F1G到M,延长BA交11
F C的延长线于N,使得
1
GM FG
=,则
GMB
∆≌11
GFC
∆,
∴111
BM FC DF
==
1
BMG GF N
∠=,
∴BM∥1F N,
∴MBA N
∠=∠
∵0
1
90
NAO OF D
∠=∠=
1
AON DOF
∠=∠
∴1
N ADF
∠=∠
∴1
ABM ADF
∠=∠,
∵AB AD
=
∴ABM
∆≌1
ADF
∆（SAS）
∴1
AM AF
=
1
MAB DAF
∠=∠
∴0
1
90
MAF BAD
∠=∠=
∴1
AMF
∆是等腰直角三角形
∴1
AG MF
⊥
1
AG GF
=
∴
1
2
AF
∴
1
2
2
AG
AF
=
【点睛】
本题考查正方形的性质、三角形全等、以及勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，但
解答的关键是正确做出辅助线.。