2021上海黄浦高三二模数学试卷含官方标准答案

已知长方体
中，棱
，
，点 是棱 的中点.
(1)联结 ，求三棱锥
的体积 ；
(2)求直线 和平面
所成角的大小.
(结果用反三角函数值表示)
18.（本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分．
已知
中，内角 、 、 所对边长分别为 、 、 ，且 ，
．
(1)求正实数 的值；
(2)若函数
表
示
中最小的一个数.如，
，
.
设 是一个给定的正整数( )，数列 共有 项，记
，
，
(
).由 的取值情况，
我们可以得出一些有趣的结论.比如，若
，则
.理由：
，则
.又
，于是，有
.试解答下列问题：
(1)若 数 列
的通项公式为
，求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求通项公式 ；
(3)试构造项数为 的数列
，满足
4
1．已知集合
，
，则
．
2．方程
的解
．
3．已知某球体的表面积为 ，则该球体的体积是
．
4．已知函数
的定义域为 ，函数 是奇函数，且
，若
，
则
．
5.已知复数 的共轭复数为 ，若 .
(其中 为虚数单位)，则
6．已知长方体
的棱
，则异面
直线 与 所成角的大小是 值表示） 7．已知随机事件 和 相互独立，若
.（结果用反三角函数
于是，有
，解得
综上，所求实数 的取值范围是
. .
20．（本题满分 16分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3
小题满分 6分．
解 (1)根据题意,可知
.
于是，
.
(2)由(1)可知，
.
7
在椭圆 ，则
上， .
.
依据椭圆的性质，可知
.
当且仅当
时，
，
当且仅当
时，
.
又
的最大值为 ，最小值为 ，
的值；
(3)在满足(2)的条件下，若直线
与椭圆 交于
两点(
与椭圆的左
右顶点不重合)，且以线段 点的坐标.
为直径的圆经过点 ，求证：直线 必经过定点，并求出定
21.（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3 小题满分 8分．
定义：符号
表示实数
中最大的一个数；
评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题 的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分 数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、填空题.
1．
2．
3．
4．
5． 6．
7．
8．
9．
10．
11．
12．
．
二、选择题．
13．
14．
，
(表
示事件 的对立事件)，则
=
.
8.无穷等比数列 的取值范围是
的前 项和为 ，且 .
，则首项
第 6题图
9．已知
的二项展开式中第三项的系数是 ，则行列式
中元素 的
代数余子式的值是
.
1
10．已知实数
满足线性约束条件
则目标函数
的最大值
是
.
11．某企业开展科技知识抢答抽奖活动，获奖号码从用
这十个数字组成没有
解 (1) 数列 的通项公式为
，考察指数函数
的图像与性质，知数列 是单调递减数列,即
.
，
.
为所求的通项公式．
(2) 数列 依据题意，由
即
满足
，知
；由
，于是，数列
，
，知
；依此类推，有
是单调递减数列.
，
.
， ．
∴数列 是首项
，公差为 的等差数列．
．
(3)构 造 数 列
：
，数列
：
，
9
， ，设
，则数列 满足题设要求.
.
所以直线 和平面
所成角的大小为
．
18．（本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分．
解 (1) 在
中， ，
，
根据正弦定理：
，得
∴
.
(2) 由(1)知，
，
∴
．( )
∴函数
由
的最小正周期为
.
( )，得 .
∴函数
的递增区间是
.
19． （本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分．
，当
时，
，即满足奖金
且不超过 20万的要求；
故当
时，
符合企业奖励要求.
当
时，函数
是增函数，即对任意
，且
时， 由
成 立 .故 当 且 仅 当
，即
上是增函数.
，得
；进一步可知，
，故
时，函数符合奖金 且金额不超过 20万的要求.
时，此时函数在 成立，即当
依据函数模型
是符合企业的奖励要求，即此函数为增
函数，
() () 的三边长为
，点 是边 ( 与
点
不重合)上任一点，且
立，则实数 的取值范围是
. 若不等式
恒成 （ ）.
2
(A)
(B)
(C)
(D)
三、解答题（本大题满分 76分）本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编 号规定区域内写出必要的步骤．
17.（本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分．
2021.4
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的 解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚，并在规定的区域贴上条形码；
3．本试卷共 21道试题，满分 150分；考试时间 120分钟．
一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分）考生应在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对前 6题得 4分、后 6题得 5分，否则一律得零分.
6
解 (1) 答案不唯一. 构造出一个函数；
说明是单调增函数； 函数的取值满足要求.
如，
，就是符合企业奖励的一个函数模型.
理由： 根据一次函数的性质，易知， 随 增大而增大，即为增函数；
当
时，
，
当
时，
，即奖金金额
故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型.
(2)当
时，易知
是增函数，且当
且不超过 20万元. 时，
在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．
13.已知空间直线 和平面 ，则“直线 在平面 外”是“直线 ∥平面 ”的 ( ).
( )充分非必要条件
( )必要非充分条件
( )充要条件
( )非充分非必要条件
14．某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：

甲：21、22、23、25、28、29、30、30；
重复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数
是 的倍数.若某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一
等奖号码的概率是
.(结果用数值作答)
12．已知
，函数
的最小值为 ，则由满足条件的
的值组成的集合是
.
二、选择题（本大题满分 20分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案，考生应
( )，求函数
的最小正周期、单调递增区
间．
19.（本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分． 某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得 50万元到 1500万元的经济收益.企业财
务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金 （单位：万元） 随经济收益 （单位：万元）的增加而增加，且 ，奖金金额不超过 20万元. （1）请你为该企业构建一个 关于 的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求 的理由；(答案不唯一)
解得
即为所求.
证明 (3)由(2)知，椭圆
.又
，
联立方程组
得
设
是直线
. 与椭圆 的两个交点，于是，有
以线段 为直径的圆经过点 ，即
， ，进一步得 (
8
)，化简得
解得
. .(经检验，
当 舍去.
时，直线 过点
不满足
，即
.
都满足 ) 与椭圆的左右顶点不重合要求，故
直线 必经过定点，且定点的坐标为
.
21．（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3 小题满分 8分．
评阅试卷应坚持每题评阅到底不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考生的解答在某一步出现错误影响了后继部分但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时可视影响程度决定后面部分的给分这时原则上不应超过后面部分应给分数之半如果有较严重的概念性错误就不给分
黄浦区 2021年高考模拟考
数学试卷
(完卷时间：120分钟 满分：150分)
乙：14、16、23、26、28、30、33、38.
则下列描述合理的是
( ).
( )甲队员每场比赛得分的平均值大
( )乙队员每场比赛得分的平均值大
( )甲队员比赛成绩比较稳定
( )乙队员比赛成绩比较稳定
15 ． 已 知 点
是直线
和圆
是( ). ()
()
16．已知
是正实数，
的公共点，过点 作圆 的切线 ，则切线 的方程
15．
16．
三、解答题． 17．（本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分．
解(1)
是长方体,棱
，
，
z
平面
，即三棱锥
的高等于 .
.
y
.
x
(2)按如图所示建立空间直角坐标系，可得
，
,
，
.
，
，
5
设平面
的法向量
，
则
即
取
，得
故平面
的一个法向量为
.
设直线 和平面
所成的角为 ，则
理由如下：
构造数列 ：
，数列 ：
，
，
易知，数列 是等比数列，数列 是等差数列.
由指数函数
的性质，知
，即数列 是单调递减数列；
由函数
的性质，知数列 是单调递减数列.
，即
.
∴数列 是单调递减数列.
.
∴ 递减数列.
数列 是满足条件的数列.
，即数列
是单调
10
，其中 是等比数列， 是公
差不为零的等差数列，且数列 唯一)
是单调递减数列，并说明理由.(答案不
黄浦区 2021年高考模拟考
数学试卷参考答案
2021.4
说明： 1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的
评分精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的
（2）若该企业采用函数
作为奖励函数模型，试确定实数
的取值范围.
3
20.（本题满分 16分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3 小题满分 6分．
椭圆
的右顶点为
，焦距为
，左、右焦点分
别为
，
为椭圆 上的任一点.
(1)试写出向量
的坐标(用含
的字母表示)；
(2)若
的最大值为 ，最小值为 ，求实数