2020年高考一轮复习数学(文)对数与对数函数

第七节对数与对数函数
__ry=^^ 前0肆籟
••）必过数材美
3.反函数
指数函数y= a x（a>0且a* 1）与对数函数y= log a x（a>0且a* 1）互为反函数，它们的图象关于直线y= x对称.
［小题体验］
1.已知a> 0,且a* 1,函数y= a x与y= log a（- x）的图象可能是__________ （填序号）.
答案：②
2. __________________________________________________________ 函数f(x)= log a(x+ 2)—2(a> 0,且a* 1)的图象必过定点_____________________________________ .
答案：(一1,—2)
3. __________________________________________ 函数f(x) = log5(2x+ 1)的单调增区间是_____________________________________________________ .
答案：—2,+m
2・ 4 —・
4. ____________________________________ (1)2log33 —log3^7 —31 + log32 = ;
1
(2)42—(lg 2+ lg 5) = _________ .
答案：⑴―5(2)1
必过易措美
1. 在运算性质log a M = alog a M中，要特别注意条件，在没有M > 0的条件下应为log a M
“ =%log a|M|( a N，且a 为偶数).
2. 解决与对数函数有关的问题时需注意两点：
(1) 务必先研究函数的定义域；
(2) 注意对数底数的取值范围.
［小题纠偏］
1. ____________________________________ 函数y= 7 log0.5(4x—3 的定义域为.
答案：3, 1
2. ____________________________________________ 函数f(x) = log(x+1)(2x—1)的单调递增区间是_________________________________________________ .
答案：2+^
3. 已知函数y= log a(2 —ax)(a>0,且a* 1)在［0,1］上为减函数，则a的取值范围为
解析：因为a> 0,所以g(x) = 2—ax为减函数，即任取x1, x2€ ［0,1］，且x1< x2，有
g(X1)>g(X2),又log a g(X1)>log a g(X2),所以a> 1.而又因为g(x)= 2 —ax在［0,1］恒大于0,所以2—a>0，所以a< 2,综上，1 < a< 2.
答案：(1,2)
考点一对数式的化简与求值
基础送分型考点
［题组练透］
1 计算：(1)4log 23= __________ .
⑵Iog 225 log 34 log 59 = ______ .
解析：(1)4log 23= 22log 23= 2log 29= 9
lg 25 |g 4 |g 9
lg 2 lg 3 lg 5
_ 2lg 5 2lg 2 2lg 3 8
—— ——8.
lg 2 lg 3 lg 5 答案：(1)9
(2)8
2•计算 lg 1- lg 25 TOO 3 —— _______
1 解析：原式——(lg 2
-
2
- lg 52)X 100 2
——一2X 10=- 20. 答案：—20
3.Jlg3f -flg 8+ lg 245= 解析：^49 -8+ lg 245
1 4 1 1
——2(5lg 2 — 2lg 7) - 3 2 3lg 2+ ?(lg 5+ 2lg 7) 1 1 ——回 2+ lg 5) = 1
答案：1
［谨记通法］
对数运算的一般思路
(1) 将真数化为底数的指数幕的形式进行化简； (2) 将同底对数的和、差、倍合并；
(3) 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式, 用及变形应用.
考点二 对数函数的图象及应用
重点保分型考点 ［典例引领］
1. (2018苏北三市三模)如图，已知正方形 ABCD 的边长为2, BC 平行于x 轴，顶点 A , B 和C 分别在函数 y i = 3log a x , y 2——2log a x 和y 3
自主练透
(2)原式=
. 1 ——lg 2"T
X
要注意换底公式的正用、逆
――师生共研
=log a x(a> 1)的图象上，则实数a的值为____________
解析：设C(X0, log a x o),则2log a X B= log a X O, 即x B= X0,解得X B= X0, 故X c—X B=X O—X o= 2,解得X o= 4,
即B(2,2log a2), A(2,3log a2),
由A
B = 2,可a的取值范围为得a> 1.在同一直可知不等式的整
数解集为｛2,3,4｝，则应满足loga4> 4 —=解得165 < a v 94. log a5 w 5 —1 ,
答案：［1^5, ^4)
研究对数型函数图象的思路［由题悟法］
(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、
对称变换得到•特别地，要注意底数a> 1或0 v a v 1这两种不同情况.
⑵一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
［即时应用］
(2018常州一中模拟)设f(x) = |lg x|, a, b为实数，且0 v a v b.
(1)若a, b 满足f(a)= f(b)，求证：ab= 1;
⑵在(1)的条件下，求证：由关系式f(b)= 2f 所得到的关于b的方程g(b) = 0,存
在b)€ (3,4)，使g(b0) = 0.
证明：(1)结合函数图象，由f(a)= f(b)可判断
+ m),
从而一lg a = lg b,即lg ab= 0.
a€ (0,1), b€ (1,
故ab= 1.
⑵因为0v a v b, 所以
号上> ab= 1.
由已知可得，即4b= a2+ b2+ 2ab,得占 + b2+ 2—4b = 0, g(b)=刍+ b2+ 2
b b
—4b,因为g(3) v 0, g(4) > 0,根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3,4)内一定存在零点,
O a 1 b=
即存在b°€ (3,4)，使g(b o)= 0.
考点三对数函数的性质及应用题点多变型考点一一多角探明
［锁定考向］
高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以填空题的形式考查，难度低、中、高档都有.
常见的命题角度有：
(1) 比较对数值的大小；
(2) 简单的对数不等式；
(3) 对数函数性质的综合问题.
［题点全练］
角度一：比较对数值的大小
1. _ 已知a= Iog29—log2 .3, b= 1 + log2 7, c= 2+ log2 13，贝U a, b, c 的大小关系为
_______ (用“〉”表示).
解析：a= Iog29 —Iog2 . 3 = Iog23 ；；3,
1 _______ _______
b= 1 + Iog2 ,7= Iog22 7, c= ? + Iog2 叨13= Iog2 26,
因为函数y= Iog2x是增函数，且2 7 > 3 3> 26,
所以b> a> c.
答案：b> a> c
角度二：简单的对数不等式
2. (2018启东联考)已知一元二次不等式f(x)> 0的解集为(一3 1) U (2,+^ )，则
f(Ig x)v 0的解集为_________ .
解析：因为一元二次不等式f(x)> 0的解集为(一^, 1) U (2 ,+3)，所以一元二次不等式f(x)v 0的解集为(1,2),由f(Ig x)v 0可得1v Ig x v 2,从而解得10v x v 100,所以不等式的解集为(10,100).
答案：(10,100)
角度三：对数函数性质的综合问题
3. (2019盐城中学第一次检测)已知函数f(x) = Ig(2 + x) + Ig(2 —x).
(1) 求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；
(2) 记函数g(x) = 10f(x)+ 3x,求函数g(x)的值域；
(3) 若不等式f(x) > m有解，求实数m的取值范围.
解：(1) •••函数f(x) = lg(2 + x) + lg(2 —x),
2 + x> 0,
解得—2v x v 2.
2 —x> 0,
•••函数f(x)的定义域为(一2,2).
••• f (- x) = lg(2 — x) + lg(2 + x) = f(x), • f(x)是偶函数.
⑵•/ f(x) = lg(2 + x)+ lg(2 — x)= lg(4 — x 2),
• g(x) = 10f(x)+ 3x =— x 2 + 3x + 4
•函数g(x)的值域是 —6,芳.
⑶•••不等式 f(x) > m 有解，• m V f(x)max , 令 t = 4 — x 2，由于—2V x v 2, • 0 V t w 4,
• m v Ig 4.
•实数m 的取值范围为(一a, Ig 4).
［通法在握］
1.
解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
ES 卜匸…亲®苗新亙基文冠 ..... m m
¥。

鯉=============」
一判
I
亦斷内出幣数和F .1
■朋 敦的单调他，込冃刼介懈数'
；“同增异鹹"原则判斷函数的臥调強
I__________________________________________________________ J _________________________________________________________________________________________ J*
2.
比较对数值大小的方法
(1) 若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母, 则需对底数进行分类讨论.
(2) 若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较. ⑶若底数与真数都不同，则常借助
1,0等中间量进行比较. ［演练冲关］
1. (2019 苏州模拟)已知函数 f(x)= log a x 2+ a |x|(a >0,且 1)，若 f(— 3)v f(4)，则不 等式f(x 2— 3x)v f(4)的解集为 ________________________ .
解析：易知函数f(x)的定义域为(一a, 0) U (0,+ a ),
••• f (— x) = log a x 2 + a |x|= f(x),.・. f(x)在定义域上为偶函数，• f( — 3) = f(3). ••• f (— 3)v f(4), • f(3) v f(4), • a > 1, f(x)在(0, + a )上单调递增.
f 2
2
x — 3X M 0,
故不等式f(x 2— 3x)v f(4)满足f 2
解得—1 v x v 4，且x 丰0, X M 3.
]x — 3x|v 4,
故不等式 f(x 2— 3x)v f(4)的解集为(—1,0) U (0,3) U (3,4).
2), •- g(x) max
g(x)min = g(
— 2)
= —
6.
答案：(一1,0) U (0,3) U (3,4)
2
2.已知函数f(x)= log4(ax + 2x+ 3).
(1)若f(1) = 1，求f(x)的单调区间；
⑵是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
解：⑴因为f(1) = 1,所以log4(a + 5) = 1,
因此 a + 5= 4, a = —1,
这时f(x)= log4( - x1 2 3+ 2x+ 3).
由一x2+ 2x+ 3>0，得一1 v X V 3,
函数f(x)的定义域为(—1,3).
令g(x)=—x + 2x + 3,
则g(x)在(—1,1)上递增，在(1,3)上递减.
又y= Iog4x在(0, + )上递增，
所以f(x)的单调递增区间是(一1,1)，递减区间是(1,3).
⑵假设存在实数a,使f(x)的最小值为0,
则h(x)= ax2+ 2x+ 3应有最小值1,
F> o, / 1
因此应有*3a— 1 解得a = -.
Si 0 口1=1
—__= 1 2
I a
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1. (2018淮安调研)函数f(x) = Iog2(3x—1)的定义域为
解
由3x —1> 0,解得x> £所以函数f(x)的定义域为1 ,+s .
析：
1
故存在实数a= 2,使f(x)的最小值为0.
2函数f(x) = Iog3(x2—2x+ 10)的值域为_________ .
解析：令t= x2—2x+ 10 = (x —1)2+ 9>9，故函数f(x)可化为y= Iog3t, t>9,此函数是一个增函数，其最小值为Iog39 = 2,故f(x)的值域为［2,+ s).
答案：［2 ,+s )
3计算Iog23Iog34 + (V3)Iog34Iog34 = _________ .
解析：Iog23 Iog a4 + ( 3)也4=需^^+ 3 2 " = 2+ 3Iog a2 = 2+ 2 = 4.
答
案：3+s
4. (2019长沙调研)已知函数y = log a (x + 3)- 1(a >0, a 丰1)的图象恒过定点 A ，若点A 也在函数f(x)= 3x + b
的图象上，贝U f(log a 2) = _________________________ .
解析：•••函数 y = log a (x + 3)- 1(a >0, a ^ 1)的图象恒过定点 A(-2, - 1)，将 x =- 2, y =- 1 代入 f(x)= 3x + b ,得 3 2+ b =- 1，二 b =
10 10 8
则 f(|og 32) = 3log 32 — "9-= 2 — — = 9. 答案：8
—x + 6, x W 2,
5. 若函数f(x) = (a >0，且a ^ 1)的值域是[4,+^ )，则实数a
的取
3 + log a x ,x >2
值范围是 _________ .
解析：当 x < 2 时，y = — x + 6>4. 因为f(x)的值域为[4,+ a ),
所以当 a > 1 时，3+ log a x > 3+ log a 2> 4,所以 log a 2 > 1,
所以 1 v a w 2;当 0v a v 1 时，3+ log a x v 3+ log a 2，不合题意.故 a € (1,2]. 答案：(1,2]
6. ________________________ (2018镇江期末)已知函数f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x >0时，f(x) = 1- log 2x , 则不等式f(x)v 0的解集是
.
解析：当 x v 0 时，f(x)=- f(- x)= log 2(- x) - 1, f(x)v 0，即 log 2( — x) - 1v 0,解得― 2v x v 0;当 x > 0 时，f(x)= 1 — log 2X , f(x) v 0,即卩 1 — log 2x v 0，解得 x >2，综上，不等式 f(x)v 0 的解集是(一2,0) U (2
, +
°° ).
答案：(—2,0)U (2,+a )
二保咼考，全练题型做到咼考达标
1. ________________________________________________________ (2019镇江中学调研)函数y = log 2x + log 2(4 — x)的值域为 ___________________________________ .
解析：由题意知，x > 0且4— x > 0,「. f(x)的定义域是(0,4). •••函数 f(x)= log 2x + log 2(4 — x) = log 2[x(4 — x)], • • 0v x(4 — x)< 十) 2= 4,当且仅当x = 2时等号成立.
• g[x(4 -x)] w 2,「.函数 y = log 2x + log 2(4-x)的值域为(-a , 2]. 答案：( — a, 2]
2. _______ (2018镇江中学学情调研)已知函数f(x) = lg 1 -器的定义域是 ；+a ，则实数a 的值
10 x 10
0 ••• f(x)= 3x
-寸,
为____________ .
解析：因为函数f(x)= lg 1 -2的定义域是2,+ a ,所以当x>"时，1—器>0,即爭
1 1
v 1,所以a v 2x ，所以x >ga.令log 2a =得a =冷=2,所以实数a 的值为，2.
答案：2
3. 若函数f(x)= lg(x 2— 2ax + 1 + a)在区间(一^, 1]上递减，贝V a 的取值范围为 _________ 解析：令函数g(x) = x 2— 2ax + 1+ a = (x — a)2 + 1 + a — a 2,对称轴为 x = a ，要使函数在 gf1 > 0, 2— a > 0,
(—a, 1] 上递减，则有’ ' 厂 即=
解得 K a v 2,即a € [1,2).
a > 1,
a > 1,
答案：[1,2)
4. _________________________________________________________________ (2019连云港模拟)已知函数
f(x)= lg ； + ：，若f(a)=弓，
则f(— a) = _____________________________________________________________ .
解析：
1 一 x
因为f(x)— lg 的疋义域为一1 v x v 1,
1 + x 所以 f(— x)= lg
1 — x
4 — |x| > 0,
解析：由x 2
— 5x + 6
> 0,
x — 3
答案：(2,3) U (3,4]
—x + 8, x W 2,
(a >0,且 a ^ 1)的值域为[6, +^ ), log a x + 5, x >2
则实数a 的取值范围是
解析：当x w 2时，f(x) € [6,+^)，所以当x > 2时，f(x)的取值集合 A ? [6, +^).当
0v a v 1 时，A = (
—m
, log a 2+ 5)
,不符合题意；当 a > 1 时，A = (log a 2+ 5,+ a )，若 A ? [6, + a )，
则有 log a 2 + 5> 6，解得 1v a w 2.
答案：(1,2]
7.函数 f(x)= lo^G logQ 2(2x)的最小值为 __________ .
1
f 1 2 1 1
1 — x 叽
=—f(x)
,
所以f(x)为奇函数，所以 1
f( — a)= — f(a)= — *
5.函数 f(x)= j4—|x|+ lg^
兰的定义域为
—4W x W 4,
得故函数定义域为(2,3) U (3,4]. x > 2且X M 3,
6. (2018苏州调研)若函数
f(x)=
解析：依题意得f(x) = ?log2X (2 + 2log2x)= (log2x)2+ log2x= ^log2x + ? i— ~ > —;, 当且仅当log2x =—：，即卩x =屮时等号成立，
因此函数f(x)的最小值为一-
4
1
8 •设函数
log2x, X> 0,
f(x) = log! —X , X V 0 ,
[2
若f(a) > f( —a)，则实数a的取值范围是
解析：由f(a)> f(—a)得
a > 0, log2a >
log 1 a
、 2
a V o,
或log 1—a > log2 —a ,、2
r
a > 0,
即*
log2a >—log2a
f
亠 a v 0, 或.
—log2(—a > Iog2(—a }
解得 a > 1 或—1 v a v 0.
答案：(—1,0)U (1 ,+s )
9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)= 0，当x>0时，f(x)= log 1 x.
2
(1) 求函数f(x)的解析式；
2
(2) 解不等式f(x —1)>—2.
解：(1)当xv 0 时，一x>0，贝y f( —x)= log1 (—x).
2
因为函数f(x)是偶函数，所以f(—x)= f(x).
所以函数f(x)的解析式为
log1 x, x>0,
2
f(x)= 0, x = 0,
log1 —x , x v 0.
2
⑵因为f(4) = log1 4=—2, f(x)是偶函数，
2
所以不等式f(x2—1)>—2 可化为f(|x2—1|)>f(4).
又因为函数f(x)在(0,+ g)上是减函数，
所以|x2—1|v4,解得一5v x v .'5,
即不等式的解集为(一5, 5).
10. (2019 •东上学期第一次阶段检测)已知函数f(x)= log a(x+ 1) + log a(3 —x)(a>0且a^ 1)，且f(1) = 2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)若不等式f(x) w c恒成立，求实数c的取值范围.
解：⑴因为f(1) = 2,所以2log a2 = 2,
故 a = 2,
所以f(X)= lOg2(1 + X)+ lOg2(3 —X),
1 + X > 0 ,
要使函数f(x)有意义，需有]
13 —X > 0,
解得—1< X V 3,
所以f(X)的定义域为(—1,3).
(2)由(1)知，f(X)= log2(1 + X) + Iog2(3—X)
2
=Iog2 [(1 + x)(3 —X)] = Iog2( —X + 2X+ 3)
2
=lo g2[ —(x—1) +4],
故当X = 1时，f(X)有最大值2,
所以c的取值范围是[2,+^).
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
2 X 1 2
1. (2019南京五校联考)已知函数f(X)= X + e —-(X< 0)与g(x) = X + ln(x + a),若函数
f(x)图象上存在点P与函数g(x)图象上的点Q关于y轴对称，则a的取值范围是______________ .
解析：设点P(x o, y o)(x o<0)，则点P关于y轴的对称点Q(—X o, y o)在函数g(x)的图象上,
所以y0= X2+ [0—1,
y o= —X o 2+ In —X o+ a ,
消去y o,可得X o + e%0—2= (—X o)? + ln( —x o+ a),
1
所以 e xo —2= ln( —x0+ a)(x0< 0).
1
x
令m(x)= e —2(x< 0), n(x)= ln(a—x)(x< 0)，问题转化为函数m(x)与函数n(x)的图象
在x< 0时有交点.
在平面直角坐标系中分别作出函数m(x)与函数n(x)的图象如图所示.
1y
1
X
■%
ra(x)=in(a—J
C)
当n(x)= ln(a —x)的图象过点0, 丁时，a= . e.
由图可知，当a<. e时，函数m(x)与函数n(x)的图象在x< 0时有交点.
故a的取值范围为(一g, e).
答案：(一g, e)
kx —1
2. (2018昆山测试)已知函数f(x)= lg (k€ R).
x 一1
(1)当k= 0时，求函数f(x)的值域；
⑵当k>0时，求函数f(x)的定义域；
⑶若函数f(x)在区间[10,+g )上是单调增函数，求实数k的取值范围.
解：(1)当k= 0时，f(x)= lg 丄，定义域为(一g, 1).
1 —x
1
因为函数丫=;(x v 1)的值域为(0, + g),
1 一x
1
所以f(x)= lg —的值域为R.
1 一x
kx—1 (n
⑵因为k>0，所以关于x 的不等式二1 >0? (x —1)(kx—1)>0? (x —1) x—k >0.(*)
1 1
①若0 v k v 1,则k> 1,不等式(*)的解为x v 1或x>1;
②若k = 1,则不等式(*)即(x—1)2>0，其解为X M 1;
1 1
③若k> 1,则1,不等式(*)的解为x v匚或x> 1.
综上，当0v k w 1时，函数f(x)的定义域为(一g, 1)U右+ g ；当k> 1时，函数f(x)的定义域为一g, * U (1,+ g).
kx —1 …
⑶令g(x)=，贝V f(x) = lg g(x). x一I
因为函数f(x)在[10，+ g)上是单调增函数，且对数的底数10> 1,
所以当x€ [10,+g)时，g(x) > 0,且函数g(x)在[10,+g)上是单调增函数.
十kx—1 kfx— 1 + k—1 k —1
而g(x)= = = k+ ",
x —1 x—1 x —1
若k —1> 0,则函数g(x)在[10,+g)上不是单调增函数；
若k —1v 0,则函数g(x)在[10,+g)上是单调增函数.
所以k v 1.①
因为函数ax)在[10,+ g)上是单调增函数，
所以要使当x€ [10，+ g)时，g(x)>0，必须g(10) >0,
即^^一寺0，解得k> .②
综合①②知，实数k的取值范围是10, 1 .答案：4。