高三数学专题资料 直线、平面与简单几何体试题

2021年地区高三数学专题资料 直线、平面与简单几何体
创 作人：
历恰面 日 期： 2020年1月1日
例1、〔1〕设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出以下
四个命题：①假设γα⊥，γβ⊥，那么βα||；②假设α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，那么βα||；
③假设βα||，α⊂l ，那么β||l ；④假设l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，那么n m ||
其中真命题的个数是 〔 B 〕
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(2)下面是关于三棱锥的四个命题：
① 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；
② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
③ 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；
④ 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱
锥；
其中，真命题的编号是_______①④_______．〔写出所有真命题的编号〕
例2、如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，
a B A A A AC AB AC A AB A ===∠=∠1111,,，
侧面11BCC B 与底面ABC 所成的二面角为
120，E 、F 分别
是棱A A C B 111、的中点．
〔Ⅰ〕求A A 1与底面ABC 所成的角；
〔Ⅱ〕证明E A 1∥平面FC B 1
〔Ⅲ〕求经过C B A A 、、、1四点的球的体积．
〔Ⅰ〕解：过A 1作A 1H ⊥平面ABC ，垂足为H.
连结AH ，并延长交BC 于G ，连结EG ，于是
∠A 1AH 为A 1A 与底面ABC 所成的角.
∵∠A 1AB=∠A 1AC ， ∴AG 为∠BAC 的平分线.
又∵AB=AC ， ∴AG ⊥BC ，且G 为BC 的中点
因此，由三垂线定理，A 1A ⊥BC.
∵A 1A//B 1B ，且EG//B 1B ， EG ⊥BC
于是∠AGE 为二面角A —BC —E 的平面角，
即∠AGE=120°
由于四边形A 1AGE 为平行四边形，得∠A 1AG=60°，
所以，A 1A 与底面ABC 所成的角为60°， 〔Ⅱ〕证明：设EG 与B 1C 的交点为P ，那么点P 为EG 的中点，连结PF.
在平行四边形AGEA 1中，因F 为A 1A 的中点，故A 1E//FP.
而FP ⊂平面B 1FC ，A 1E//平面B 1FC ，所以A 1E//平面B 1FC.
〔Ⅲ〕解：连结A 1C ，在△A 1AC 和△A 1AB 中，由于AC=AB ，∠A 1AC=∠A 1AB ，
A 1A=A 1A ，那么△A 1AC ≌△A 1A
B ，故A 1C=A 1B ，由得 A 1A=A 1B=A 1C=a .
又∵A 1H ⊥平面ABC ， ∴H 为△ABC 的外心.
设所求球的球心为O ，那么O ∈A 1H ，且球心O 与A 1A 中点的连线OF ⊥A 1A.
在Rt △A 1FO 中， .3
330cos 21cos 111a a H AA F A O A =︒==
故所求球的半径a R 33=，球的体积 3332734)33(3434a a R V πππ=== 例3、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧
棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点.
〔Ⅰ〕求直线AC 与PB 所成角的余弦值；
〔Ⅱ〕在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点
到AB 和AP 的间隔 .
解：〔Ⅰ〕设AC ∩BD=O ，连OE ，那么OE//PB ，
∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或者其补角.
在△AOE 中，AO=1，OE=,2
721=PB ,2
521==PD AE ∴.1473127245471cos =⨯⨯-+
=EOA 即AC 与PB 所成角的余弦值为14
73. 〔Ⅱ〕在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，那么6π
=∠ADF .
连PF ，那么在Rt △ADF 中.3
3tan ,332cos ====ADF AD AF ADF AD DF 设N 为PF 的中点，连NE ，那么NE//DF ，
∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC ，从而NE ⊥面PAC.
∴N 点到AB 的间隔 12
1==AP ，N 点到AP 的间隔 .6321==AF 例4、以下图〔1〕为一几何体的展开图．
（1） 沿图中虚线将它们折叠后得到的是一个什么样的几何体？
试用文字描绘并画出示意图；
有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥
〔2〕 需要 3 个这样的几何体才能拼成一个棱长为6cm 的正方体？
试在棱长为6cm 的在正方体''''D C B A ABCD -〔图2〕
中指出这个几何体的名称．
〔2〕 练习：
一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，那么此球的外表积为
〔 A
〕
〔A 〕 π3 〔B 〕π4 〔C 〕 π33 〔D 〕π6
练习题
1．设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，那么β⊥m 的一个充分条件是 〔 D 〕
(A) l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα
(B) γβγαγα⊥⊥=⋂,,m (C) αγβγα⊥⊥⊥m ,, (D) αβα⊥⊥⊥m n n ,,
2．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2， 〔2〕
单位：〔厘米〕 示意图： E D 1
C 1B 1A 1
AD ＝1，E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点， 那么异面直线A 1E 与GF 所成的角是 〔 D 〕
〔A 〕arccos 515 〔B 〕4
π 〔C 〕arccos
510 〔D 〕2π ３．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，B 1C 1的中点.那么,正方体的过P ，Q ，R 的截面图形是 ( D )
〔A 〕 三角形 〔B 〕 四边形 〔C 〕 五边形 〔D 〕六边形
４．设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，那么四棱锥B —APQC 的体积为
〔 C 〕 〔A 〕16V 〔B 〕14V 〔C 〕13V 〔D 〕12
V 5．假如把两条异面直线看成“一对〞，那么在长方体6个面的12条对角线所在的直线中，异面直线一共有 〔 D 〕 〔A 〕60对 〔B 〕 54对 〔C 〕 42对 〔D 〕30对
6．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，那么四面体ABCD 的外接球的体积为
〔 C 〕 〔A 〕π12125 〔B 〕π9125 〔C 〕π6125 〔D 〕
π3
125 7．球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面间隔 为2π，那么球心O 到平面ABC 的间隔 为 〔 B 〕 〔A 〕31 〔B 〕3
3 〔C 〕 32 〔D 〕36 8．在矩形ABCD 中，3=AB ，a BC =，
A ABCD PA 于点平面⊥，假设BC 边上有且仅有两个点21Q Q ，满足条件：
11DQ PQ ⊥、22DQ PQ ⊥，那么实数a 的取值范围是 〔 C 〕 〔A 〕 60<<a 〔B 〕6>a 〔C 〕6≥a 〔D 〕60≤<a
9．正三棱锥ABC S -的底面边长是a 2，E 、F 、G 、H 分别是SA 、SB 、BC 、AC 的中点，那么四边形EFGH 面积的取值范围是 〔 B 〕
(A) ),0(+∞ (B) ),33(2+∞a (C) ),63(2+∞a (D) ),21(2+∞a 10．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -内有一
个内切球O ，过正方体中两条互为异面直线的棱1AA 、BC 的
中点P 、Q 做直线，该直线被球面截在球内的线段MN 的长为 〔 C 〕
(A)a 41 (B)a 2
1 (C)a 2
2 (D) ()a 12- 11．在0120的二面角内放一个半径为5的球，使球与两个半 平面各有且仅有一个公
一共点，那么这两点之间的球面间隔 等于 π3
5
12．正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，那么k 的取值范围是 ),2
2(+∞ 13．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，在正方体的侧面11B BCC 上到点A 间隔 为
332的点的集合是一条曲线，那么这条曲线的形状是 以B 为圆心，半径为33 的4
1 圆弧 ，它的长度是6
3π ． 14．二面角βα--l 大小为600，点P 到α的间隔 为2，到β的间隔 为3，βα∈∈B A ,，
那么PAB ∆周长的最小值为 76 ．
15．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1， AB=2，点E 在棱AD 上挪动.
〔1〕证明：D 1E ⊥A 1D ；
〔2〕当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的间隔 ； 〔3〕AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为
4π.
〔1〕证明：∵AE ⊥平面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E
〔2〕设点E 到面ACD 1的间隔 为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2， 故.2
121,232152211=⋅⋅==-⋅⋅=∆∆BC AE S S ACE C AD 而 .31,23121,3131111=∴⨯=⨯∴⋅=⋅=
∴∆∆-h h h S DD S V C AD AEC AEC D 〔3〕过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，那么D 1H ⊥CE ，
∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角.
设AE=x ，那么BE=2－x
,,,1,.1,4,211x EH DHE Rt x DE ADE Rt DH DHD DH D Rt =∆∴+=∆=∴=∠∆中在中在中在 π
.4
,32.
32543.54,3122π
的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=⇒+-=+∴+-=∆=∆。