浙江省金华市永康古丽中学2021年高三数学理月考试卷含解析

浙江省金华市永康古丽中学2021年高三数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可
【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底
面积为=2
由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3
此棱锥的体积为=2
故选B．
2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，3）内是增函数的是( )
A．y=2x+2﹣x B．y=cosx C．y=log0.5|x| D．y=x+x﹣1参考答案：
A
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；余弦函数的单调性．
【专题】探究型；函数的性质及应用．
【分析】利用函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可得到结论．
【解答】解：对于A，满足f（﹣x）=f（x），函数为偶函数，∵y′=2x ln2﹣2﹣x ln2=，∴在区间（0，3）内，y′＞0，函数是增函数，满足题意；
对于B，满足f（﹣x）=f（x），函数为偶函数，在（0，π）上单调递减，不满足题意；
对于C，满足f（﹣x）=f（x），函数为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，不满足题意；
对于D，f（﹣x）=﹣x+（﹣x）﹣1=﹣f（x），函数为奇函数，不满足题意，
故选A．
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查函数单调性、奇偶性的定义，属于基础题．
3. 已知集合A={x||x﹣1|＜1}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，1）
参考答案：
B
【考点】1D：并集及其运算．
【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣1＜1，
解得：0＜x＜2，即A=（0，2）
∵B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1）
∴A∪B=（﹣1，2）
故选：B．
4. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2,在鳖臑PABC中，PA ⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP=AC=1，过A点分别作AE⊥PB于E、AF⊥PC于F，连接EF.当△AEF的面积最大时，tan∠BPC的值是
A. B. C. D.
参考答案：
B
显然，则，又，则，于是，，结合条件得，所以、均为直角三角形，由已知得，而
，当且仅当时，取“=”，所以，当时，的面积最大，此时，故选B.
5. 设i为虚数单位，为纯虚数，则实数a的值为（）
（A）-1 (B)1 (C) -2 (D)2
参考答案：
A
6. 设，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
分析：利用指数函数y=2x、y=0.5x及对数函数y=log2x的单调性，即可比较出三个数的大小．详解：∵0＜0.52＜1，20.5＞1，log20.5＜0，
∴a＞b＞c，
故选：C．
点睛：本题考查了指数函数和对数函数类型数的大小比较，充分理解指数函数和对数函数的单调性是解决问题的关键．
7. 已知集合,,则( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
C
略
8. 执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的x的值为（）
A．3 B．126 C．127 D．128
参考答案：
C
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算x值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．
【解答】解：当输出的x=2时，执行循环体后，x=3，不满足退出循环的条件，
当x=3时，执行循环体后，x=7，不满足退出循环的条件，
当x=7时，执行循环体后，x=127，满足退出循环的条件，
故输出的x值为127
故选：C
【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．
9. 已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（）
A．当时，有4个零点；当时，有1个零点
B．当时，有3个零点；当时，有2个零点
C．无论为何值，均有2个零点
D．无论为何值，均有4个零点
参考答案：
A
10. 若实数x,y满足，则S=2x+y－1的最大值为
A．6 B．4 C．3 D．2
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列的通项公式为，若此数列为单调递增数列，则实数的取值范围是____________．
参考答案：
【知识点】数列的性质 D1a＞﹣3 解析：∵a n=n2+n，
∴a n+1=（n+1）2+（n+1）∵a n是递增数列，
∴（n+1）2+（n+1）﹣n2﹣n＞0化简可得2n+1+＞0
∴＞﹣2n﹣1，对于任意正整数n都成立，∴＞﹣3
【思路点拨】由题意可得a n+1=（n+1）2+（n+1），要满足为递增需数列a n+1﹣a n＞0，化简可得＞﹣2n﹣1，只需求出﹣2n﹣1的最大值即可．
12. 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比
为；
参考答案：
13. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
.
主视图侧视图俯视图
参考答案：
4
14. 已知函数若对于任意,都有成立,则实数的取值范围
是▲ .
参考答案：
15. 已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增
区间为
．
参考答案：
略
16. 定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，.当
，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则
________．
参考答案：
【知识点】数列求和D4
【答案解析】易知：当
时，因为，所以，所以，所以；
当时，因为，所以
，所以，所以；当时，因为，所以，所以，所以
；
当时，因为，所以，所以，所以
；
当时，因为，所以，所以，所以
，
由此类推：，所以，所以，所以
【思路点拨】根据所给函数求出通项，然后利用裂项求和求出结果。

17. 对于实数，定义运算“”：，设
，且关于的方程恰有三个互
不相等的实数根，则的取值范围是____________．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
2
4
（Ⅰ）求的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满足若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
参考答案：
解：（Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证个点知（3，）、（4，4）在抛物线上，易求………………2分
设：，把点（2，0）（，）代入得：
解得
∴方程为…………………………………………………5分
（Ⅱ）法一：
假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为两交点坐标为，
由消去，得…………………………7分
∴①
②………………………9分
由，即，得
将①②代入（*）式，得，解得…………………11分
所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：或
……………………………………………………………………12分法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；……………………………6分
当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为
由消掉，得，…………8分
于是，①
即② ………………………………10分
由，即，得
将①、②代入（*）式，得，解得；……11分所以存在直线满足条件，且的方程为：或．………12分
略
19. 如图，在直三棱柱中，，，点D是AB的中点。

（I）求证：；（II）求证：平面CDB；
参考答案：
20. （14分）已知
（1）若函数与的图像在处的切线平行，求的值；
（2）求当曲线有公共切线时，实数的取值范围；并求此时函数在区间上的最值（用表示）。

参考答案：
解：（1）∵，……2分
由题意知，即……3分解得，或……4分
∵，∴……5分
（2）若曲线相切
且在交点处有公共切线
由（1）得切点横坐标为，……6分
∴，∴
，……8分
由数形结合可知，时，与有公共切线 (9)
分
又……10分
则与在区间的变化如下表：
……12分
又
∴当时，，（）
，（）……14分
21. (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC—A1 B1 C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA 1=60o．
(I)若点M、N分别是边A1B1、BC的中点，求证：MN//平面ACC1A1
(Ⅱ)证明：AB A1C；
(Ⅲ)若AB=CB=2，A1C=，求二面角B—AC—A1的余弦值．
参考答案：
－0＋
22. 某品牌电视机代理销售商根据近年销售和利润情况得出某种型号电视机的利润情况有如下规律：每台电视机的最终销售利润与其无故障使用时间（单位：年）有关.若，则每台销售利润为0元；若，则每台销售利润为100元；若，则每台销售利润为200元.设每台该种电视机的无故障使用时间、、这三种情况发生的概率分别为是方程，且.
（1
参考答案：
17.
略。