陕西省延安市2018届高考模拟数学(文)试卷及答案

延安市2018届高考模拟试题
数学（文科） 必考题（共140分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1.设复数z 满足(1)3i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z =（
） A ．2 B ．2 C ．22 D ．5
2.全集{2,1,0,1,2}U =--，{2,2}A =-，2
{|10}B x x =-=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A ．{1,0,1}-
B ．{1,0}-
C ．{1,1}-
D ．{0} 3.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21()n S n n N +=-∈，则2018a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．2018 D ．3033
4.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为210x y -+=，则(1)2'(1)f f +的值为（ ） A ．
12 B ．1 C ．3
2
D ．2 5.已知sin(
)3cos()sin()2
π
θπθθ++-=-，则2sin cos cos θθθ+的值为（ ）
A ．
15 B ．25 C ．3
5
D ．556.已知点(2,0)Q ，点(,)P x y 的坐标满足约束条件10
1010x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则PQ 的最小值为（ ）
A ．
1
2
B ．22
C ．1
D 2
7.已知等差数列{}n a 的公差为5，前n 项和为n S ，且1a ，2a ，5a 成等比数列，则6S 为（ ）
A ．80
B ．85
C ．90
D ．95
8.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且12
BD DA =u u u r u u u r
，设CB a =u u u r ，CA b =u u u r ，则CD uuu r 为（ ）
A ．1233a b +
B ．2133a b +
C ．3455a b +
D ．4355
a b +
9.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A ．9
B ．
27
2
C ．18
D ．27 10.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（ ）
A ．
34 B ．78 C ．1516 D ．31
32
11.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，若当[0,1]x ∈时，
()sin
2
f x x π
=，则函数()()x
g x f x e -=-在区间[2018,2018]-上零点的个数为（ ）
A ．2017
B ．2018
C ．4034
D ．4036
12.已知1F ，2F 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与圆
222x y b +=相切于点M ，且213MF MF =，则双曲线的离心率为（ ）
A
B ．2
C ．3 D
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知抛物线2
2(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为 ．
14.某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是 ．
15.已知函数ln ,1()1,1
x x x f x e x ≥⎧=⎨-<⎩，若0m >，0n >，且((2))m n f f +=，则14
m n +的最
小值为 ．
16.某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
则甲同学答错的题目的题号是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(2)cos cos b c A a C -=. （1）求角A 的大小；
（2）若a =5b c +=，求ABC ∆的面积.
18.某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量（单位：克）
分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400]中，经统计得频率分布直方图如图所示.
（1）现按分层抽样从质量为[250,300)，[300,350)的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在[300,350)内的概率；
（2）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：
A 方案：所有芒果以10元/千克收购；
B 方案：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
19.如图，四棱锥E ABCD -中，平面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别为BC ，DE 的中点.
（1）证明：//CN 平面AME ；
（2）若ABE ∆是等边三角形，平面ABE ⊥平面BCE ，CE BE ⊥，2BE CE ==，求三棱锥N AME -的体积.
20.已知两定点1(2,0)A -，2(2,0)A ，动点M 使直线1MA ，2MA 的斜率的乘积为14
-. （1）求动点M 的轨迹E 的方程；
（2）过点(3,0)F -的直线与E 交于P ，Q 两点，是否存在常数λ，使得PQ FP FQ λ=⋅u u u r u u u r u u u r
？
并说明理由.
21.已知函数2
()ln (2)()f x x ax a x a R =+++∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设()2x
x
g x e =
-，若对任意给定的0(0,2]x ∈，关于x 的方程0()()f x g x =在(0,]e 上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围（其中 2.71828e =为自然对数的底数）.
选考题（共10分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分） 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨=+⎩（其中ϕ为参数）.以O 为极
点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设直线l 的极坐标方程是sin()23
π
ρθ+
=，射线OM ：6
π
θ=
与曲线C 的交点为P ，
与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 23.【选修4-5：不等式选讲】
已知函数()2f x x =-，()3()g x x m m R =-++∈. （1）解关于x 的不等式()20()f x a a R +->∈；
（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围.
延安市2018届高考模拟试题 数学（文科）参考答案
一、选择题
1-5: DDADC 6-10: BCBAC 11、12：DD 二、填空题
13. 4x =- 14. 1
6
15. 9 16. 5 三、解答题
17.【解析】（1）ABC ∆中，由条件及正弦定理得(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=， ∴2sin cos sin cos B A C A =sin cos sin A C B +=. ∵sin 0B ≠，∴2cos 1A =. ∵(0,)A π∈，∴3
A π
=
.
（2）∵a =5b c +=， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-
2()22cos 3
b c bc bc π
=+--
25313bc =-=，
∴2513
43bc -=
=.
∴11sin 4sin 223
ABC S bc A π
∆==⋅⋅=18.【解析】（1）设质量在[250,300)内的4个芒果分别为A ，B ，C ，D ，质量在[300,350)内的2个芒果分别为a ，b .从这6个芒果中选出3个的情况共有(,,)A B C ，(,,)A B D ，
(,,)A B a ，(,,)A B b ，(,,)A C D ，(,,)A C a ，(,,)A C b ，(,,)A D a ，(,,)A D b ，(,,)A a b ，(,,)B C D ，(,,)B C a ，(,,)B C b ，(,,)B D a ，(,,)B D b ，(,,)B a b ，(,,)C D a ，(,,)C D b ，(,,)C a b ，(,,)D a b 共计20种，其中恰有1个在[300,350)内的情况有(,,)A B a ，(,,)A B b ，(,,)A C a ，(,,)A C b ，(,,)A D a ，(,,)A D b ，(,,)B C a ，(,,)B C b ，(,,)B D a ，(,,)B D b ，(,,)C D a ，(,,)C D b 共计12种，
因此概率123205
P =
=. （2）方案A ：
(1250.0021750.0022250.003⨯+⨯+⨯2750.0083250.0043750.001)
+⨯+⨯+⨯5010000100.00125750⨯⨯⨯⨯=元.
方案B ：
由题意得低于250克：(0.0020.0020.003)501000027000++⨯⨯⨯=元； 高于或等于250克：(0.0080.0040.001)5010000319500++⨯⨯⨯=元； 由于2575026500<，
故B 方案获利更多，应选B 方案.
19.【解析】试题分析：（1）取AE 中点F ，连结MF ，FN ，易证得四边形FMCN 为平行四边形，进而得证；
（2）取BE 中点H ，连结AH ，则AH BE ⊥，利用等体积转换N AEM C AEM A MEC V V V ---==即可得解. 试题解析：
（1）取AE 中点F ，连结MF ，FN .
因为AED ∆中，F ，N 分别为EA ，ED 中点， 所以1
//
2
FN AD ， 又因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//BC AD . 又M 是BC 中点，所以1
//
2
MC AD ，所以//FN MC . 所以四边形FMCN 为平行四边形，所以//CN MF ， 又CN ⊄平面AME ，MF ⊂平面AME ， 所以//CN 平面AME .
（2）取BE 中点H ，连结AH ，则AH BE ⊥，
因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面ABE I 平面BCE BE =，AH ⊂平面ABE ， 所以AH ⊥平面BCE .
又由（1）知//CN 平面AME ，所以N AEM C AEM A MEC V V V ---==. 又因为M 为BC 中点， 所以111
332
A MEC MEC BEC V S AH S AH -∆∆=
⋅=⋅⋅11132233223=⨯⨯⨯⨯=
. 所以三棱锥N AME -3
20.【解析】（1）设(,)M x y ，由121
4
A M A M k k ⋅=-
， 得1
224
y y x x ⋅=-+-，即2214x y +=.
所以动点M 的轨迹E 的方程是2
21(2)4
x y x +=≠±. （2）因为2x ≠±，当直线PQ 的斜率为0时，与曲线E 没有交点，不合题意， 故可设直线PQ 的方程为3x ty =-，
联立224403
x y x ty ⎧+-=⎪⎨=-⎪⎩，消去x 得22
(4)2310t y ty +--=，
设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1223t y y +=
12
21
4
y y t =-+， 2
121PQ t y y =+-u u u r 224(1)4
t t +=+.
1212(FP FQ x x y y ⋅=+u u u r u u u r 22
122
1(1)4
t t y y t +=+=-+. 故存在实数4λ=-，使得4PQ FP FQ =-⋅u u u r u u u r u u u r
恒成立.
21.【解析】试题分析：
（1）第一问，先求导得到(21)(1)
'()(0)x ax f x x x ++=
>，再对a 讨论得到函数的单调性.
（2）第二问，先求出函数()2x x
g x e
=-在(0,2]的值域，再根据题意得到0a <且满足
()21011()2f e e
a f a e ⎧
⎪≤-⎪
⎪
<-<⎨⎪
⎪->-⎪⎩
，再解答每一个不等式，把它们的解求交即可. 试题解析： （1）1'()2(2)f x ax a x =
+++(21)(1)
(0)x ax x x
++=>， 当0a ≥时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a <时，令'()0f x >，解得10x a <<-，令'()0f x <，解得1
x a
>-， 此时()f x 在1
(0,)a -上单调递增，在1
(,)a
-+∞上单调递减. （2）∵()2x x g x e =
-，∴1'()x
x
g x e -=. 当(,1)x ∈-∞时，'()0g x >，()g x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，'()0g x <，()g x 单调递减，
∴当(0,2]x ∈时，()g x 的值域为1
(2,2]e
--，又0x →时，()f x →-∞， ∴对任意0(0,2]x ∈时，0()g x 的取值范围为1(2,2]e
--. ∵方程0()()f x g x =在(0,]e 上有两个不同的实数根，则0a <.
且满足()21011()2f e e a f a e ⎧
⎪≤-⎪
⎪
<-<⎨⎪
⎪->-⎪⎩
，
由10e a <-
<解得1
a e
<-，① 由2
()122f e ae e ea =+++≤-，解得2
32e
a e e
+≤-+，② 由11121()ln()12f a a a a e -=-+-->-得111
ln()1a a e
-->-，
令()ln h x x x =+，易知()h x 单调递增，
而1
1()1h e
e =
-，于是11
a e
->时，解得0e a -<<，③ 综上①②③得，232e
e a e e
+-<≤-+，
即实数a 的取值范围为：232(,]e
e e e
+--+.
22.【解析】试题分析：（1）先将参数方程转化为普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程. （2）利用极坐标计算出线段长.
试题解析：（1）圆C 的普通方程为2
2
(1)1x y +-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=， ∴圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （2）把6
π
θ=
代入圆C 的极坐标方程可得1P ρ=；把6
π
θ=
代入直线l 的极坐标方程可得
2Q ρ=，
∴1P Q PQ ρρ=-=.
23.【解析】（1）由()20f x a +->，得22x a ->-. 当20a -<，即2a >时，不等式的解集为R ；
当20a -≥，即2a ≤时，得22x a ->-或2(2)x a -<--，即4x a >-或x a <， 故原不等式的解集为(,)(4,)a a -∞-+∞U ； 综上，当2a >时，原不等式的解集为R ；
当2a ≤时，原不等式的解集为(,)(4,)a a -∞-+∞U .
（2）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即23()x x m m R ->-++∈对任意实数x 恒成立；即23()x x m m R -++>∈对任意实数x 恒成立； ∵23(2)(3)5x x x x -++≥--+=，当(2)(3)0x x -⋅+≤时取等号；
∴5m <.故5m <时，函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方.。