W2019年长沙四大名校招生数学试题(五套)

2019年长沙四大名校招生数学试题（五套）
数学试卷1
一． 填空题：（每小题4分，本题满分32分）
1．若ab>0，则
ab
ab b
b a
a -
+
的值等于____________.
2．已知实数a ，b 满足a 2
+4b 2
-a+4b+
4
5
=0,那么-ab 的平方根是 3．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分, 则这个等腰三角形的底边长是_______________. 4．计算：=+
÷)3
12
1(
15
5．已知实数x 、y 满足x 2
＋2y ＝3，y 2
＋2x ＝3，且x ≠y ，则：
y x ＋x
y
的值是 6．小华有若干个苹果向若干只篮子里分发，若每只篮子分4个苹果，还剩20个未分完；
若每只篮子里分放8个苹果，则还有一只篮子没有放够，那么小华原来共有苹果 个
7．若y ＝—2x －3＋134-x ，则y 的最大值是
8．已知关于4)2(3)322
-++=++m x x m m x 的方程：（有唯一解，则m 的取值范围 为 二．选择题：（每小题4分，本题满分32分） 9．已知a ＝355,b ＝444,c ＝533,则有( )
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜b ＜a
C ．c ＜a ＜b
D ．a ＜c ＜b
10.如果方程()0012
>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ）
（Ａ）2 （Ｂ）4 （Ｃ）3 （Ｄ）5
11.如果不等式组⎩
⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b
的有序数对（a 、b ）共有（ ）
（Ａ）17个 （Ｂ）64个 （Ｃ）72个 （Ｄ）81个 12.若正整数x,y 满足642
2
=-y x , 则这样的正整数对(x,y) 的个数是( )
A 1
B 2
C 3
D 4 13.如图,P 是□ABCD 内的一点(不在线段BD 上),
5
2
=∆ABCD APB S S ,则
学校 姓名 姓别 电话 学校 姓名 姓别
联系电话
=∆ABCD
CPD
S S ( ) (A)
51 (B) 101 (C) 10
3 (D) 53
14.每面标有1至6点的三颗骰子堆成一串，如右图所示，其中可见七个面，而十一个面是看不到的(背面、底面之间的面)，试问看不见的面其点数总和是( ) (A) 37 (B) 38 (C) 39 (D) 41
15.方程k k k x k x (02)13(722=--++-是实数)有两个实根
α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )
（A ）3＜k ＜4； （B ）－2＜k ＜－1； （C ）3＜k ＜4或－2＜k ＜－1 （D ）无解。

16、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（ ）。

（A ）4； （B ）6； （C ）
23
8
； （D ）2310 三．解答题：（每题12分，满分36分）
17．某校初三（1）班还余班费m （m 为小于400的整数）元，打算为每位同学买1本相册。

某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜2元，班长若按零售价为每位同学买1本，刚好用完m 元；但若多买12本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要m 元。

问该班有多少名同学？每本相册的零售价是多少元？
18．在等腰梯形ABCD 中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E 在下底边BC 上，点F 在腰AB 上. （1）若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE 长为x ，试用含x 的代数式表示△BEF 的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由.
数学试卷2
（本卷考试时间60分钟，满分100分）
一、填空题（本大题共8题，每题4分，共32分）
1、设a ＞b ＞0, 2
2
4a b ab +=，则
a ＋b
a －b
的值等于 . 2、同时抛掷两枚正方体骰子（六个面上分别标记数字1、2、3、4、5、6），所得点数之和为7的概率是 .
3、写出直线y=－2x －3关于y 轴对称的直线的解析式__________________.
4、已知实数．．
x 满足012)(4)(222=----x x x x ，则代数式12
+-x x 的值为______ ．
5、已知a ≤1
＝ ．
6、将正偶数按下表排列： 第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 2
第2行 4 6
第3行 8 10 12
第4行 14 16 18 20
……
根据上面的规律，则2006所在行、列分别是 .
7、已知函数2
2
)2(2a x a x y +++=的图象与x 轴有两个交点，且都在x 轴的负半轴上，则a 的取值范围是 ．
8、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B = 90°，AD = 3，BC = 5，AB = 1，把线段CD 绕点D 逆时针旋转90 °到DE 位置，连结AE ，则AE=________________..
二、选择题（本大题共8题，每题4分，共32分）
9、设x 为正整数，若1+x 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是（ ）
A ．x
B ．12+-x x
C ．112++-x x
D ．212++-x x
10、某商场五一期间举行优惠销售活动，采取“满一百元送二十元，并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客每消费满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者合计）就送20元购物券，满200元就送40元购物券，依次类推，现有一位顾客第一次就用了16000元购物，并用所得购物券继续购物，那么他购回的商品大约相当于它们原价的（ ） A ．90% B ．85% C ．80% D ．75% 11、横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数1
23
6-+=
x x y 的图象上整点的个数是( ) A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个
D
A
B C
E
12、如图，圆柱形开口杯底部固定在长方体水池底，向水池匀速注入水（倒在杯外），水池中水面高度是h ，注水时间为t ，则h 与t 之间的关系大致为下图中的 （ ）
A
B
C
D
13、甲、乙、丙、丁四名运动员参加4×100米接力赛，甲必须为第一接力棒或第四接力棒的运动员，那么这四名运动员在比赛过程中的接棒顺序有( )
A. 3种
B. 4种
C. 6种 D .12种
14、关于x 的不等式组153
2
223
x x x x a +>-+<+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩只有4个整数解，则a 的取值范围是（ ）
A. －5≤a ≤－143
B. －5≤a ＜－143
C. －5＜a ≤－143
D. －5＜a ＜－14
3
15、已知a 、b 、c 为非零实数，且满足b ＋c a = a ＋b c = a ＋c
b
= k ,则一次函数y = kx +(1+k )
的图象一定经过（ ）
A. 第一、二、三象限
B.第二、四象限
C. 第一象限
D.第二象限 16、如图，在锐角三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，从每边中点分别作其余两边的垂线，这六条垂线围成的六边形DPEQFR ，设六边形DPEQFR 的面积为S 1，△ABC 的面积为S ，则S 1∶S ＝（ ）
A ．3∶5
B ．2∶3
C ．1∶2
D ．1∶3
三、解答题（本大题共3题，每题12分，共36分）
17、甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？
A B E F R
P Q
18、⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，动点P 在⊙O 2上，且在⊙O 1外，直线PA 、PB 分别 交⊙O 1于点C 、D ．问：⊙O 1的弦CD 的长是否随点P 的运动而发生变化？如果发生 变化，请你确定CD 最长或最短时点P 的位置；如果不发生变化，请给出你的证明．
19、已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过点（1，2）.
（1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且△ABC 为等边三角形，求b 的值. （2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求|a |＋|b |＋|c |的最小值.
C B
A
·
·P
D O O 21
19．已知抛物线.64)12(2-+--=m x m x y
（1）设抛物线与x 轴的两个交点))(0,()0,(2121x x x B x A <和分别在原点的两侧，且A 、B 两点间的距离小于6，求m 的取值范围。

（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，在（1）的条件下试判断是否存在m 的值，使经过点C 及抛物线与x 轴一个交点的⊙M 与y 轴正半轴相切于点D ，且⊙M 被x 轴截得的劣弧与 ⋂
CD 是等弧。

若存在，求出满足条件的m 的值；若不存在，说明理由
数学试题3
（本卷考试时间60分钟，满分100分
一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan 602sin 452cos30︒+︒-︒的结果是（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．3
2、不能构成三角形三边长的数组是（ ）
A 、(1,3,2)
B 、(199,999,1999)
C 、222(3,4,5)
D 、222(4,5,6) 3、用去分母方法解分式方程
x
x x x m x x 1
1122+=++-+，产生增根，则m 的值为（ ） A 、--1或—2 B 、--1或2 C 、1或2 D 、
1或—2
4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的
4
1
，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) A ．20分钟 B ．22分钟 C ．24分钟 D ．26分钟
5.二次函数1422++-=x x y 的图象如何移动就得到22x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。

B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。

C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。

D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。

6、关于x 的方程0)1(222=+--k x k x 有实数根α、β，则α+β的取值范围为（ ）
A 、α+β≤1
B 、α+β≥1
C 、α+β≥
21 D 、α+β≤2
1
7、如图点P 为弦AB 上一点，连结OP ，过P 作PC OP ⊥，PC 交O 于点C ，若AP=4，PB=2，则PC 的长为 （ ） A 、22 B 、2 C 、2 D 、3
8、已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，在下列5个代数式中:
（1）a b c ++;（2）a b c -+;（3）abc;（4）4a+b; （5）2
4b ac -,值为正数的有（ ）个 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
二、填空题（每小题4分，共32分）
9．同时抛掷两枚六个面点数分别1、2、3、4、5、6的正方体骰子，所得点数之和为 7的概率是
10．设a ＞b ＞0, a 2+b 2
=4ab ，则a ＋b a －b
的值等于 .
11．△ABC 中，AB=5，中线AD=7，则AC 边的取值范围是 _________
B
A
P
C
O
12．已知实数x 、y 满足x 2
－2x +4y ＝5，则x +2y 的最大值为 13．,,,a b c d 为实数，先规定一种新的运算:
a b d c =ad bc -，那么2(1)x - 4185
=时，x =______. 14．若点M （y x --1,1）在第二象限，那么点N （1,1--y x ）关于
原点对称点P 在第 象限
15．一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，
则k •b=________.
16．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径（大圆的直径）都是1米的水泥管，两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离是 ．
三、解答题:（本题共3小题，每小题12分,满分36分）
17．某公司开发的960件新产品，需加工后才能投放市场，•现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，•已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品．在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
（2）该公司要选择省时又省钱的工厂加工，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，才可满足公司要求，有望加工这批产品．
18．某市“健益”超市购进一批20元／千克的绿色食品，如果以30元／千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y （千克）与销售单价x （元）（30x ≥）存在如下图所示的一次函数关系． （1）试求出y 与x 的函数关系式；
（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润p 元，试求出p 与x 的函数关系式；当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据市场行情，该超市经理要求该绿色食品每天获利润不超过4480元且不得低于4180元，请你借助（2）中p与x的函数图象确定该超市绿色食品销售单价x的范围。

19．如图，抛物线y = -x2 +（m+2）x-3（m -1）交x轴
于点A、B（A在B的右边），直线y=（m+1）x-3
经过点A.
(1)求抛物线和直线的解析式.
(2)直线y=kx (k<0)交直线y=（m+1）x-3于点P, 交抛物线y = -x2 +（m+2）x-3（m -1）
于点M,过M点作x轴的垂线,垂足为D,交直线y=（m+1）x-3于点N .
问:ΔPMN能否成为等腰三角形,若能,求k的值:若不能,请说明理由.
数学试题4
满分：100分 时量：60分钟
一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1、下列图中：①线段；②正方形；③圆；④等腰梯形；⑤平行四边形
是轴对称图形，但不是中心对称图形有
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 2、已知0(03222≠=+-xy y xy x ），则
x
y
y x += （ ） A 、2或
2
5 B 、2 C 、25 D 、－2或－25
3、 已知ABC ∆中，7=AB ，5=AC ，则BC 边上中线AD 的长度l 的取值范围是
（ ）
A 、61<<l
B 、75<<l
C 、52<<l
D 、70<<l
4、如图，AE ⊥AB 且AE=AB ，BC ⊥CD 且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是( )
A ．65 B.62 C ． 50 D ．68
5、点M (－sin 60°，cos60°)关于x 轴对称的点的坐标是
A ．(
31
,2
) B ．(－
31
,2
-) C ．(－
3,12） D ．(－21,-3
)
6．如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的
箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a ，右图轮子上方的箭头指着的数字为b ，数对(a ，b)所有可能的个数为n ，其中a+b 恰为偶数的不同数对的参数为m ，则m/n 等于 ( ) A ．
21 B ．61 C ．125 D ．4
3
7、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，M 、N 分别为AB 、AC 的中点，D 、E 在BC 上，且DE ＝5，BC ＝10，连结DN 、EM ，则图中阴影部分的面积为（ ）
（A ）25 （B ）30 （C ）35 （D ）40
8、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，AB
＝1，将腰DC 以D 为中心逆时针旋转90º到DE ，连结AE ，则△ADE 的面积为（ ）
（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
二、填空题（每小题4分，共32分）
9、下列各数：22
7
、π、8、364、sin60°中，无理数共有________个。

10、如图1，纸片△ABC 中，∠A ＝55º，∠B ＝75º，将纸片的一角折叠，使C 落在△ABC
内，则∠1＋∠2＝ °；
A B
C
M
N
A B C D
E
11．如图2，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是
12、如图，P 是矩形ABCD 内一点，PA ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝
图1 图2
图3
13.若实数x 满足：012)(4)(222=-+-+x x x x ，则x x +2
= . 14. 等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为 15．如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上的一点，且AE=3
1
AD ，CE 交AB 于点F ．若AF=1．2cm ，则AB= cm
16．方程1)1(3
2
=-++x x x 的所有整数解是 三、解答题:（本题共3小题，每小题12分,满分36分）
17．如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A 的正东方向且距A 地的正东方向且距
A 地32020+海里的
B 地训练.突然接到基地命令，要该军舰前往
C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C 岛在A 的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（答案
保留根号）
A
B
C
C
1
2
第4题图
?5
43P
D
C
B
A
︒
60︒
45A B
北北C
18．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？
数学试题5
满分：100分。

时量：70分钟，
一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4
分，共
32分）
1、若一个多边形的每个外角都等于45，则它的边数是（）
Ａ．7Ｂ．8Ｃ．9Ｄ．10
2、方程2(x+y)=xy+7的正整数解有（）个
A. 1
B.2
C.3
D.4
3、如图1，D是△ABC的边AB上的点，且BD＝3AD，已知CD=10，
sin∠BCD=
5
3
，那么BC边上的高AE等于( )
A.9
B.6
C.12
D.8
4、化简x
x-
-
-
+1
1的结果是 ( ).
A. 21+x
B. -2x
-
-1 C. 0 D. 无法化简
5、如右图：在ABC
∆中，M为BC中点，AN平分,
BAC AN BN
∠⊥于N，且AB=10，AC=16，则MN等于（）
A、2
B、2.5
C、3
D、3.5
6、某手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分时与准确时间对准，则当天上午
该手表指示时间是10点50分时，准确时间应该是（）
（A）11点10分（B）11点9分（C）11点8分（D）11点7分
7、一次函数b
ax
y+
=与二次函数bx
ax
y-
=2在同一直角坐标系中图象可能是（）.
(A) ( B ) (C ) (D)
8、给定下列命题：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于该弦，并且平分该弦所对的
两条弧；③对角线相等的四边形是矩形；④如果顺次连接梯形四条边中点所得的图形是
菱形，那么这个梯形是等腰梯形.其中真命题的个数是（）.
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
二、填空题（每小题4分，共32分）
9、一元二次方程0
5
2
2=
+
+x
kx有根的k的取值范围是______________
10、如图1，当半径为30cm的转动轮转过1200角时，传送带上的物体
A平移的距离为 cm。

图1
11、如果两圆的半径分别为R,r,圆心距为d,当R﹥r,且d2+R2-r2=2Rd时,两圆的位置关系为.
A
D
B E C
图1
B C
A
N
M
B A D
C 。

O E 12、已知二次函数y ＝－4x 2－2m x ＋m 2
与反比例函数y ＝x
m 4
2+的图像在第二象限内的一个交点的横坐标是－2，则m 的值是 ．
13、将关于x 的二次式9)4(2+-+x m x 是完全平方式，，则=m . 14、计算：
26526
-=-_______________．
15、如图2，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为5米，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的倾斜角 为45°.则这间房子的宽AB 是________米
16、方程组:⎩
⎨
⎧=+=+2003200420052006
20052004y x y x 的解是
三、解答题:（本题共3小题，每小题12分,满分36分）
17．某厂现有甲种原料360kg ，乙种原料290kg ，计划用这两种原料
图2
生产A 、B 两种产品共50件。

已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9kg ，乙种原料3kg ，可获利润700元；生产一件B 种产品，需甲种原料4kg ，乙种原料10kg ，可获利润1200元。

（1）按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有几种方案？请你设计出来；
（2）设生产A 、B 两种产品总利润是y 元，其中一种产品的生产件数是x 。

试写出y 与x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
18．已知：如图，BC 为半圆的直径，O 为圆心，D 是弧AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E 。

（1）求证：△ABE ∽ΔDBC ；
（2）已知BC ＝25，CD ＝2
5
，求sin ∠AEB 的值及AB 的长
19．已知抛物线2(5)5(0)y mx m x m =--->与x 轴交于两点1(,0)A x 、2(,0)B x 12()x x <，
与y 轴交于点C ，且AB =6.
（1）求抛物线和直线BC 的解析式. （2）在给定的直角坐标系中，画出抛物线和直线BC 的图象.
（3）若⊙P 过A 、B 、C 三点，求⊙O 的半径.
（4）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，使MBN ∆被直线BC 分成面积比
为13:的两部分？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由
x
19．抛物线y＝ax2＋bx＋c (a<0)交x轴于A（－1，0）、B（3，0），交y轴于C，顶点为D，
以BD为直径的⊙M恰好经过点C.
⑴求顶点D的坐标（用a的代数式表示）；
⑵求抛物线的解析式；
⑶抛物线上是否存在点P，使△PBD为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，
说明理由。

x。