数学解题思想方法
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§1.1数学问题
无论怎么提法，都具有同样的本质：问题 反映了现有水平与客观需要的矛盾。问题就是 矛盾，对于学生而言，问题主要具有如下三个 特点： 1、可接受性：给出的问题学生具有解决它的 知识基础和能力基础，即课本习题。 2、障碍性：学生不能直接将问题解答，必须 通过思考或多次尝试，才能解决的问题。 3、探究性：学生不能按照常规的套路来解决， 必须进一步发掘、探索和研究，寻找出解决问 题的新途径。
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§1.1数学问题
问题是指那些对于解答者来说还没 有具备直接的解决办法，对于解答者构 成认知上的挑战这样一种局面。
第4页
§1.1数学问题
“一个（数学）问题是一个对人具 有智力挑战特征的，没有现成的直接方 法、程序或算法的未解决的情景”。
这是1988年第一届国际数学教育大 会的一份报告中提出的。
第8页
§1.1数学问题
数学教学中的问题一般分为练习型 与研究型两类。
练习型的问题具有教学性，它的结 论为数学接或教师所已知，其之所以成 为问题仅相对于教学或学生而言。
研究型问题具有学术性，它的结构 对于数学家或教师都是未知的，其中既 有数学自身理论发展的认知题，又有应 用数学理论解决实际问题的应用题。
第9页
§1.2数学问题的解决
1）数学问题解决的涵义
问题解决都是以思考为内涵，以问 题目标定向的心理活动或心理过程，即 指人们在日常生活和社会实践中，面临 新情境、新课题，发现它与主客观需要 矛盾而自己却没有现成对策时，所引起 的寻求处理办法的一种活动，这是一个 发现的过程、探索的过程、创新的过程， 具有某种程度的创造性。
第10页
§1.2数学问题的解决
1）数学问题解决的涵义
数学领域中的问题解决，有三个层次： 一般性解决：即基本逻辑水平上的解决，它力求
明确解题的大体方向； 功能性解决：即基本数学方法水平上的解决，它
力求明确解题所用的基本思想方法； 特殊性解决：即具体的解决，它力求明确解题的
具体方法、技巧和程序。 （一般性和功能性是特殊性解决的基础）
第11页
§1.2数学问题的解决
2）数学问题解决的方法涵义
所谓的方法，就是找到一个解决问 题的途径，且能够预见甚至能够证明， 照这个途径做下去就一定可以取得成功。
第12页
§1.2数学问题的解决
2）数学问题解决的方法涵义
问题的一个解法应包括如下四个部分： ①对已知条件的完整认识，即给出问题的唯一初
始状态，从这一状态出发经过一系列运算可以 推导出目标； ②说明所用的运算，即公式、法则、定义、公理、 定理等理论依据； ③从初始状态到目标状态为止的按顺序排好的一 个问题状态序列，使得序列中的每一个状态都 能在对前面的状态应用适当运算以后得到； ④完整说明目标，既对问题结论的完整描述。
数学解题学研究
广西师范大学数学科学学院 龙开奋
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§1 数学问题
什么是数学中的问题？ 波利亚在《数学的发现》中将问题
理解为：有意识地寻求某一适当的行动， 以便达到一个被清楚地意识到但又不能 立即达到的目的。 解决问题指的是寻找这种活动。
第2页
§1.1数学问题
波利亚在《怎样解题》中说：我们 考虑的所有形式的问题都可以认为由三 类信息组成：关于已知条件的信息（已 知表达式）；关于运算的信息，这些运 算从一个或多个表达式推导出一个或多 个新的表达式；以及关于目标的信息 （目标表达式）。
按思维程度分类（常分为规范程度和发展程度 等，而规范程度可分为常规与非常规题；发展 程度可分为封闭型题与开放型题）。
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§1.1数学问题
在数学解题教学中，封闭型题与开 放型题具有解题训练的互补作用，两者 均不可偏废，封闭型题一般用于巩固知 识，主要引起“同化”作用；而开放型 题则使主体容易暴露知识的缺陷，主要 引起“顺应”作用，促进解题能力的提 高。
第16页
§1.3.1数学解题的意义
通过解题可以使学习者独立地、积极地进 行认知活动，深入地理解数学概念，全面系统 地掌握数学基础知识，实际地学习数学的本质、 精神、思想，切实地掌握解数学题的方法的基 本技能和技巧，（例如善于运用某种方法、手 段改变数学问题的情况；善于构想新的解题手 段和解题思路；善于区分和积累可能有益的资 料；善于在原有题目和解法的基础上，联想构 造出新的题目和解题方法；善于自我测验以及 对解题进行讨论，等等），
对于数学，能力比起仅仅具有一些 知识来，要重要得多，那么在数学学科 中，能力指的是什么？波利亚说：“这 就是解决问题的才智——我们这里所指 的问题，不仅仅是寻常的，它们要求人 们具有某种程度的独到见解、判断力、 能动性和创造精神。”
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§1.3.1数学解题的意义
波利亚把“解题”作为培养学生的 数学才能和教会他们思考的一种手段和 途径，这种思想得到了国际数学教育界 的广泛赞同，1976年国际数学管理委员 会把解题能力列为十项基本技能的首位。
第6页
§1.1数学问题
数学问题可按照多种不同的标准进行分类。 本讲所说的分类仅是面对教学方面而言.如
按知识内容分类（算术题、代数题、平面几何 题、立体几何题、解析几何题和三角题等）；
按解题形式分类（常见求解题、证明题或说明 题、变换题或求作题、填空题等四类）；
按评判解答的客观性分类（客观性问题常分为 判断题、选择题、填充题和简短问答题；主观 性问题如证明题、计算题等）；
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§1.3.1数学解题的意义
从数学学科的教育与学习来看，也 就是说从掌握数学来看，著名的美国数 学家和教育家G.波利亚指出：“掌握数 学意味着什么？这就是说善于解一些标 准的题，而且善于解一些要求独立思考、 思路合理、见解独到和有发现创造的 题。”
第14页
§1.3.1数学解题的意义
波利亚认为，任何学问都包括知识 和能力这两个方面。
第17页
§1.3.1数学解题的意义
从而有效地培养运算能力，逻辑思 维能力和空间想象能力，以形成运用数 学知识来分析和解决社会生活、经济建 设和科学技术中的实际问题的能力，以 便适应现代化生产的多样性和变化性， 从事创造性劳动。
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§1.3.2数学解题研究观
数学解题研究的中心内容是什么 1.从科学研究的方法论来看 2.从数学解题来自百度文库践来看
§1.1数学问题
无论怎么提法，都具有同样的本质：问题 反映了现有水平与客观需要的矛盾。问题就是 矛盾，对于学生而言，问题主要具有如下三个 特点： 1、可接受性：给出的问题学生具有解决它的 知识基础和能力基础，即课本习题。 2、障碍性：学生不能直接将问题解答，必须 通过思考或多次尝试，才能解决的问题。 3、探究性：学生不能按照常规的套路来解决， 必须进一步发掘、探索和研究，寻找出解决问 题的新途径。
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§1.1数学问题
问题是指那些对于解答者来说还没 有具备直接的解决办法，对于解答者构 成认知上的挑战这样一种局面。
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§1.1数学问题
“一个（数学）问题是一个对人具 有智力挑战特征的，没有现成的直接方 法、程序或算法的未解决的情景”。
这是1988年第一届国际数学教育大 会的一份报告中提出的。
第8页
§1.1数学问题
数学教学中的问题一般分为练习型 与研究型两类。
练习型的问题具有教学性，它的结 论为数学接或教师所已知，其之所以成 为问题仅相对于教学或学生而言。
研究型问题具有学术性，它的结构 对于数学家或教师都是未知的，其中既 有数学自身理论发展的认知题，又有应 用数学理论解决实际问题的应用题。
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§1.2数学问题的解决
1）数学问题解决的涵义
问题解决都是以思考为内涵，以问 题目标定向的心理活动或心理过程，即 指人们在日常生活和社会实践中，面临 新情境、新课题，发现它与主客观需要 矛盾而自己却没有现成对策时，所引起 的寻求处理办法的一种活动，这是一个 发现的过程、探索的过程、创新的过程， 具有某种程度的创造性。
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§1.2数学问题的解决
1）数学问题解决的涵义
数学领域中的问题解决，有三个层次： 一般性解决：即基本逻辑水平上的解决，它力求
明确解题的大体方向； 功能性解决：即基本数学方法水平上的解决，它
力求明确解题所用的基本思想方法； 特殊性解决：即具体的解决，它力求明确解题的
具体方法、技巧和程序。 （一般性和功能性是特殊性解决的基础）
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§1.2数学问题的解决
2）数学问题解决的方法涵义
所谓的方法，就是找到一个解决问 题的途径，且能够预见甚至能够证明， 照这个途径做下去就一定可以取得成功。
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§1.2数学问题的解决
2）数学问题解决的方法涵义
问题的一个解法应包括如下四个部分： ①对已知条件的完整认识，即给出问题的唯一初
始状态，从这一状态出发经过一系列运算可以 推导出目标； ②说明所用的运算，即公式、法则、定义、公理、 定理等理论依据； ③从初始状态到目标状态为止的按顺序排好的一 个问题状态序列，使得序列中的每一个状态都 能在对前面的状态应用适当运算以后得到； ④完整说明目标，既对问题结论的完整描述。
数学解题学研究
广西师范大学数学科学学院 龙开奋
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§1 数学问题
什么是数学中的问题？ 波利亚在《数学的发现》中将问题
理解为：有意识地寻求某一适当的行动， 以便达到一个被清楚地意识到但又不能 立即达到的目的。 解决问题指的是寻找这种活动。
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§1.1数学问题
波利亚在《怎样解题》中说：我们 考虑的所有形式的问题都可以认为由三 类信息组成：关于已知条件的信息（已 知表达式）；关于运算的信息，这些运 算从一个或多个表达式推导出一个或多 个新的表达式；以及关于目标的信息 （目标表达式）。
按思维程度分类（常分为规范程度和发展程度 等，而规范程度可分为常规与非常规题；发展 程度可分为封闭型题与开放型题）。
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§1.1数学问题
在数学解题教学中，封闭型题与开 放型题具有解题训练的互补作用，两者 均不可偏废，封闭型题一般用于巩固知 识，主要引起“同化”作用；而开放型 题则使主体容易暴露知识的缺陷，主要 引起“顺应”作用，促进解题能力的提 高。
第16页
§1.3.1数学解题的意义
通过解题可以使学习者独立地、积极地进 行认知活动，深入地理解数学概念，全面系统 地掌握数学基础知识，实际地学习数学的本质、 精神、思想，切实地掌握解数学题的方法的基 本技能和技巧，（例如善于运用某种方法、手 段改变数学问题的情况；善于构想新的解题手 段和解题思路；善于区分和积累可能有益的资 料；善于在原有题目和解法的基础上，联想构 造出新的题目和解题方法；善于自我测验以及 对解题进行讨论，等等），
对于数学，能力比起仅仅具有一些 知识来，要重要得多，那么在数学学科 中，能力指的是什么？波利亚说：“这 就是解决问题的才智——我们这里所指 的问题，不仅仅是寻常的，它们要求人 们具有某种程度的独到见解、判断力、 能动性和创造精神。”
第15页
§1.3.1数学解题的意义
波利亚把“解题”作为培养学生的 数学才能和教会他们思考的一种手段和 途径，这种思想得到了国际数学教育界 的广泛赞同，1976年国际数学管理委员 会把解题能力列为十项基本技能的首位。
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§1.1数学问题
数学问题可按照多种不同的标准进行分类。 本讲所说的分类仅是面对教学方面而言.如
按知识内容分类（算术题、代数题、平面几何 题、立体几何题、解析几何题和三角题等）；
按解题形式分类（常见求解题、证明题或说明 题、变换题或求作题、填空题等四类）；
按评判解答的客观性分类（客观性问题常分为 判断题、选择题、填充题和简短问答题；主观 性问题如证明题、计算题等）；
第13页
§1.3.1数学解题的意义
从数学学科的教育与学习来看，也 就是说从掌握数学来看，著名的美国数 学家和教育家G.波利亚指出：“掌握数 学意味着什么？这就是说善于解一些标 准的题，而且善于解一些要求独立思考、 思路合理、见解独到和有发现创造的 题。”
第14页
§1.3.1数学解题的意义
波利亚认为，任何学问都包括知识 和能力这两个方面。
第17页
§1.3.1数学解题的意义
从而有效地培养运算能力，逻辑思 维能力和空间想象能力，以形成运用数 学知识来分析和解决社会生活、经济建 设和科学技术中的实际问题的能力，以 便适应现代化生产的多样性和变化性， 从事创造性劳动。
第18页
§1.3.2数学解题研究观
数学解题研究的中心内容是什么 1.从科学研究的方法论来看 2.从数学解题来自百度文库践来看