数值天气预报第五章_原始方程模式

(5.99)
绝热条件下显热能方程可变为：
∂p* ∂ ) + p*V (∇Φ + aσ∇p* ) = − (Φσ ∂σ ∂t 容易证明气压梯度力做功项满足：
（5.100）
p*V * (∇Φ + aσ∇p* ) = fp* (uvg − vug )
∂ ∂ ( p * c p T ) + ∇ * [ p *V (c p T + Φ )] + [ p *σ (c p T + Φ )] ∂t ∂σ ∂ ∂p * = − (Φ σ ) + fp * (uv g + vu g ) ∂t ∂t
(5.110)
模式垂直分布层与变量分布
2、连续方程
(5.111) 可以证明： (5.112) 上述差分格式保证单位截面积气柱的质量的垂直通量为零， 它保持了连续分程的垂直积分性质：
3、个别变化项
（1）dB/dt 的通量形式的差分格 式：
可以证明： ⎛ ∗ dB ⎞ ∂p ∗ Bk 1 + ∇ • ( p ∗Vk Bk ) + ( p ∗σ k +1 Bk +1 − p ∗σ k −1 Bk −1 ) ⎜p ⎟ =
计算 f , m 输入初始数据φ500
φ 资料调配，打印 500
φ500 五点平滑
0 0 计算初始风场 u , v
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数值天气预报
Ⅵ
进行时间积分，1小时欧拉后差，11小时中央差 是否计算1小时
Ⅶ
是 打印每小时高度场预报值 是否计算12小时
否
Ⅷ
是 u , v, φ 全场五点平滑 打印结果
动能方程满足的积分关系： (5.107)
绝热条件下积分热力学方程满足的积分关系： (5.104)
总能量满足的积分关系： (5.108)
假如不考虑摩擦力，则有： (5.109) 绝热、无摩擦条件下，全球大气总能量守恒。
§ 5.2 模式的垂直空间差分格式
1、模式垂直分层 偶数层 奇数层 模式的垂直分层 模式变量的分布
5、静力方程
静力平衡方程 其差分格式的不能孤立给定，必须涉及到前面的各种约束条件
利用以下关系：
最终有： 另外：必须确定最低或最高奇数层的Ф。
6、垂直差分小结
水平运动方程
静力平衡方程
连续方程：
热力学方程：
状态方程： 其中：
§ 5.3模式的数值解法及模拟试验举例
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7
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5.1.4
正压原始模式的时间积分方案
常使用时间分离积分方案，把地转适应和调整过程分开求 解：设F为一列向量函数，其分量为模式大气的预报变量 u,v,z/m.于是差分形式的正压方程可简写为：
（5.6）
（5.7）
（5.8）
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8 数值天气预报
对预报方程组（5.6）进行数值积分，可先采用欧拉-后差 格式，好处能抑制高频振荡，使数值积分稳定。
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13 数值天气预报
思考题
在Lambert投影天气底图上，选取的预报区域内共有 M=11 N=10个网格点，网格是均匀的，网格距为 d=300km，预报区域左下角的格点相对于北极点的坐标为 (-8d, 50d)。试编写一个计算各网格点的地图放大系数 RM(i,j)和科里奥利参数f( i, j )的子程序 已知预报区域M* N个网格点的初始位势高度Z0(i, j)，计算 初始风场u0,v0
（5.2）
其中
（5.3）
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5
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5.1.2正压原始方程组的初始条件
直接用观测的风场和高度场作为初始场容易产生高频振 荡，使数值积分变得不稳定，需初始化。 为了简单起见，采取地转风初值：
（5.4）
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5.1.3 正压原始方程组的边界条件
（5.5）
k
对全球积分 (5.97) 动能与位能的转换项的处理： (5.98)
利用静力平衡方程
⎛ ∂p ∗σ ∂p ∗ ⎞ ∂Φ σ ∂p ∗ ∂p ∗σΦ ∗ ∗ =− + Φ⎜ ⎜ ∂σ + ∂t ⎟ − ∂σ ∂t + ap σV • ∇p ⎟ ∂σ ⎝ ⎠
∂p *σΦ ∂ ∂p * * * =− − ∇ * p VΦ + p V * ∇ Φ − (Φ σ ) + ap *σV * ∇p * ∂σ ∂t ∂σ
在绝热条件下，空气微团的位温及位温的函数是保守的：
直接利用有关变量个别变化的积分性质，可以得到：
(5.93-95) 式中F(θ)是θ 的任意函数，它的全球积分是存在的。若F(θ ) ＝ θ，(5.95)式表示全球大气位温守恒； 若F(θ )＝ θ2 ， (5.95)式则表示全球大气位温二次守恒。
根据位温的定义 θ = T( p00 / p) ，位温守恒的关系写成通量的形式， 即为热力学方程式无源汇(Q＝0)时的情形： (5.96)
M=M +∫ cpπ θ d s
θs θ
④实际工作中对垂直坐标的选择
Z坐标系，它是严格的正交坐标系。下边界不随时间变化，等 高面是水平面，可以描写准静力的和非静力的运动。但是边界 条件难选，计算复杂。 P坐标系，其等压面接近水平，气压梯度力项形式简单，其他 各方程也便于计算。其缺点与z坐标一样，特别是p随时间及空 间变化，会造成一些网格点消失或增加。 θ 坐标系，对于绝热运动，可以当做平面问题处理，由于锋面 系统的等熵面密集，在垂直方向上有较好分辨率。但是地形边 界处理较难。 σ坐标系，其下边界总是坐标面，边界条件简单，可用波谱展 开进行计算。但是在地势陡峭处 σ 面的非水平性，其动力与热 力方程较复杂，计算水平气压梯度误差较大。
二、斜压原始方程模式的基本方程
σ坐标系的定义：
=
p ∗ = p s − pT
σ坐标系下通量形式的大气运动方程组
1、水平运动方程： （5.60）
（5.61） 2、静力平衡方程： （5.62）
3、连续方程： （5.63） 4、热力学方程： （5.64）
5、状态方程： （5.65） 垂直边界条件： （5.66）
展开 利用连续方程 对全球大气积分
一次守恒的垂直差分格 式
物理量B对全球大气是守恒的
可以证明，保守量B的任一函数数F对全球大气也是守恒的。
→
利用连续方程 对其全球积分
B2
(5.78)
∫
A
∇ • ( p ∗VF )dA = 0
∂ ( p ∗σF )dσ = 0 ∫0 ∂σ
1
如若F＝ B 2 ，二次守恒的垂直差分格式 保守量B的任一函数数F，如果其积分存在，它对全球大气也是守恒的。
⎝ dt ⎠ k ∂t Δσ k
差分格式满足垂直积分关系：
（2） dB/dt 的平流形式的差分格式
垂直平流的差分格式
对于物理量B的垂直平流过程，通量形式的差分格式和平流形式 的差分格式都是守恒的，故称这两种格式为一次守恒格式。
（3） F(B) 的平流过程的守恒差分格式
根据dB/dt 的一次守恒的平流差分格式
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正、斜压模式的差异
正压模式 垂直方向 把大气分为一 层； 假定大气是正压的（等
压面与等温面是重合的）； 没有温度平流 无能量转换
斜压模式 实际大气三维 垂直分层多层
重要天气发生在等温等压面相交 （斜压）区； 考虑能量转换
主要内容及章节安排
5.2 § 5.3 § 5.4 § 5.5 § 5.6
（1）在垂直上看作一层 （2）假定大气是均匀不可压缩流体 （3）假定初始时刻水平风速不随高 度变化，以后也保持不随高度变化
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5.1.1正压模式的预报方程
地图投影坐标系中的正压原始方程组：
（5.1）
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4
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空间采用二次守恒平流格式，则其有限差分形 式为：
4、绝对角动量守恒性质
在有地形存在的情形下，山脉两侧同一高 度上气压不一定相等。在这种气压梯度力的作 用下，使山脉对大气有一定力矩，引起大气的 角动量变化。不考虑摩擦作用时，全球大气绝 对角动量的变化只与地形两侧的气压差有关。 若不考虑地形作用，则大气的绝对角动量是守 恒的。
5、位温的一次和二次守恒
上式乘以
应用连续方程，可得如下通量形式的方程：
为了使上式满足F(B)的个别变化通量形式的垂直积分关系：
则要求：
这是守恒积分性质的差分格式必须满足的约束条件。
当F(B)=B
2
时，约束条件为：
→
可以得差分格式 或者
上两式是等价的，它们都是满足B和B2的垂直积分关系一次和二次 守恒格式。
4、热力学方程
第五章 原始方程模式
兰州大学大气科学学院 王澄海
本章概述
虽然第一次成功的NWP模式是正压过滤模式。但是它 在垂直上仅仅就一层!!!_______不能描述大气的斜压性。 斜压性：(a)大气环流维持的重要机制 （b）中纬度大气 系统发展和演变的重要机制。
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5.1 正压大气模式
§
斜压原始方程模式的基本方程 斜压原始方程组的积分性质 斜压原始方程模式的（垂直）空间差分 斜压原始方程模式的数值解法 斜压原始方程模式的模拟试验(实例)
§ 5. 1 斜压原始方程模式的基本 方程及积分性质
一、垂直坐标的选取 1、用气象要素作垂直坐标的数学物理基础 数学上的要求 物理上的要求 2、坐标变换 ①普遍坐标系中的大气动力学方程组
（5.101）
（5.102）
对全球大气积分
上述积分性质是绝热条件下积分热力学方程应满足的关 系，改写成差分方程时应考虑满足此积分关系。
6、总能量守恒
数值模式总能量守恒性质，有利于： （1）抑制计算不稳定 （2）合理反映大气的实际物理过程 动能方程： (5.105)
动能产生项－气压梯度力作功项
对全球大气积分
三、斜压原始方程模式组的积分性质
1、模式大气变量σ 的垂直积分 σ坐标系中，模式大气的 上边界条件： σ=0 下边界条件： σ=1 垂直积分→ （5.67）
2、质量守恒 连续方程 对其全球积分 考虑到
→ 大气的总质量是守恒的，以上性质是连续方程在水 平、垂直方向上差分格式应满足的积分约束条件。
3、变量的个别变化积分关系 某物理量B的个别变化可以表示为： 物理量的源或汇 （5.71） 在无源汇情况下 可以证明： 保守量的任意函数也为保守量。 称其为保守量。（5.72）
②P坐标系的动力学方程组
dV +f k×V=−∇ +F θM dt ∂∂ p p p ⎛∂ ⎞ ∂ ⎛∂ ⎞ ( )θ +∇ •⎜ V⎟+ ⎜ θ⎟=0 θ ∂ ∂ θ t θ θ θ ⎝∂ ⎠ ∂ ⎝∂ ⎠
③P坐标系的动力学方程组
θ ∂ d ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ∂⎞ =⎜ ⎟ +V•∇ +θ θ θ ∂ dt ⎝∂ ⎠θ t κ p ∂p 1 ∂p Tc M ∂ ∂ T z ∂ =cp +g =cpπ+ − =cpπ θ ∂θ ∂θ θ θ p ∂ ρ∂ ∂
随后可采用三步法起步的时间中央差格式
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为了阻尼高频振荡，抑制计算解得增长，须穿插进行时间 平滑：
为了滤除短波，抑制非线性计算不稳定，必须进行空间平 滑，可采用5点平滑：
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二、正压原始方程模式的流程
下图为正压原始方程模式的总框图：
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
在绝热情况下，位温守恒形式的热力学方程，把其通量形式的方程可 写成差分格式：
为了构造二次守恒的差分格式，令F(θ)= θ 2
→
可以得到平流形式的差分方程：
假设： 方程可变为：
进一步有其通量形式的差分方程为：
根据热力学方程： 动能与位能转换项的差分格式可写为：
为了保证能量守恒，该项与动能产生项
守恒格式的约束条件
否
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Ⅸ 是否计算48小时 否 是 Stop或Pause 正压原始方程模式总框图
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流程说明：
Ⅰ. 根据选定的区域计算地转参数 f 和地图放大系数 m，它们都是格点 坐标的函数，不需要任何输入的数据，也不随时间变化。 Ⅱ. 输入初始数据 φ 。每次给定一个时次的初始数据，就可以计算 500 出要求时效的预报值。 III. 客观分析并打印初始场供检查（非必须） φ500 。打印出来检查，若 有错误，及时改正。 IV.利用平滑后的 Φ 场计算500百帕的初始风场u0，v0，公式为 (5.4)。 注意在边界点上不能用中央差公式，而只能用向内差的公式。 本步 完成之后，全部初值已经形成。 V. 整个预报中最主要的计算部分用到的公式有(5.9)—(5.10)，这些公 式要重复计算几百次，故要编成子程序，供主程序调用。 VII 按照需要打印一次高度场的预报值。 VIII.每12小时进行一次平滑，以消除小的波动。