公主岭市第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

公主岭市第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知直线l ：2y kx =+过椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的上顶点B 和左焦点F ，且被圆
224x y +=截得的弦长为L
，若5
L ≥e 的取值范围是（ ） （A ） ⎥⎦⎤
⎝⎛550， （ B ）
0⎛ ⎝
⎦ （C ） ⎥⎦⎤ ⎝⎛5530， （D ） ⎥⎦⎤
⎝
⎛5540， 2． 点集{（x ，y ）|（|x|﹣1）2
+y 2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
3． 设集合P={3，log 2a}，Q={a ，b}，若P ∩Q={0}，则P ∪Q=（ ） A ．{3，0} B ．{3，0，1}
C ．{3，0，2}
D ．{3，0，1，2}
4．
+（a ﹣4）0有意义，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ≥2
B ．2≤a ＜4或a ＞4
C ．a ≠2
D ．a ≠4
5． 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y=3﹣5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y=bx+a
必过；④在吸烟
与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某
人吸烟，那么他有99%的可能患肺病；其中错误的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．
与椭圆
有公共焦点，且离心率
的双曲线方程为（ ）
A
． B
． C
． D
．
7． 把函数y=cos （2x+φ）（|φ|
＜
）的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x ）的图象关于直线
x=
对称，则φ的值为（ ） A
．﹣
B
．﹣
C
．
D
．
8． 在ABC ∆中，60A =，1b =
sin sin sin a b c
A B C
++++等于（ ）
A
． B
C
D
9． 已知,,x y z 均为正实数，且22log x x =-，22log y y -=-，22log z z -=，则（ ）
A ．x y z <<
B ．z x y <<
C ．z y z <<
D ．y x z << 10．设函数f （x ）
=
则不等式f （x ）＞f （1）的解集是（ ）
A ．（﹣3，1）∪（3，+∞）
B ．（﹣3，1）∪（2，+∞）
C ．（﹣1，1）∪（3，+∞）
D ．（﹣∞，
﹣3）∪（1，3）
11．对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（ ）
A ．92%
B ．24%
C ．56%
D ．5.6%
12．若变量x y ，满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）
A ．-5
B ．-4 C.-2 D ．3
二、填空题
13．已知点A （﹣1，1），B （1，2），C （﹣2，﹣1），D （3，4
），求向量
在
方向上的投影． 14．设复数z 满足z （2﹣3i ）=6+4i （i 为虚数单位），则z 的模为 ．
15．在矩形ABCD 中，=（1，﹣3），
，则实数k= ．
16
．（﹣）0+[（﹣2）3
]
= ．
17．设向量a ＝（1，－1），b ＝（0，t ），若（2a ＋b ）·a ＝2，则t ＝________．
18．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数()2
ln f x x x =-的单调递增区间为__________．
三、解答题
19．已知曲线y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0
）上的一个最高点的坐标为（
，），由此点到相邻最低点
间的曲线与x
轴交于点（π，0），φ∈
（﹣
，
）．
（1）求这条曲线的函数解析式； （2）写出函数的单调区间．
20．已知函数f （x ）=alnx ﹣x （a ＞0）． （Ⅰ）求函数f （x ）的最大值；
（Ⅱ）若x ∈（0，a ），证明：f （a+x ）＞f （a ﹣x ）；
（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f （α）=f （β），且α＜β，证明：α+β＞2α
21．已知函数()2
ln f x x bx a x =+-.
（1）当函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*
0,1,x n n n N ∈+∈，求的值；
（3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且12
02
x x x +=，求证：()00f x '>．
22．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，
平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．
（Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG的长．
23．已知集合A={x|x2+2x＜0}，B={x|y=}
（1）求（∁R A）∩B；
（2）若集合C={x|a＜x＜2a+1}且C⊆A，求a的取值范围．
24．已知函数f（x）=cos（ωx+），（ω＞0，0＜φ＜π），其中x∈R且图象相邻两对称轴之间的距离为
；
（1）求f（x）的对称轴方程和单调递增区间；
（2）求f（x）的最大值、最小值，并指出f（x）取得最大值、最小值时所对应的x的集合．
公主岭市第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】 B
【解析】依题意，2, 2.b kc ==
设圆心到直线l 的距离为d ，则L =≥
解得216
5d ≤。

又因为
d =2116,15k ≤+解得2
14k ≥。

于是222
222211c c e a b c k
===++，所以2
40,5e <≤解得0e <≤故选B ． 2． 【答案】A
【解析】解：点集{（x ，y ）|（|x|﹣1）2+y 2
=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x ，y 轴对称，如图所示．
由图可得面积S==+=+2．
故选：A ．
【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．
3． 【答案】B
【解析】解：∵P ∩Q={0}， ∴log 2a=0 ∴a=1
从而b=0，P ∪Q={3，0，1}， 故选B ．
【点评】此题是个基础题．考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用．
4． 【答案】B
【解析】解：∵+（a ﹣4）0有意义，
∴
，
解得2≤a＜4或a＞4．
故选：B．
5．【答案】C
【解析】解：对于①，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，正确；
对于②，设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y应平均减少5个单位，②错误；
对于③，线性回归方程y=bx+a必过样本中心点，正确；
对于④，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，
我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病，错误；
综上，其中错误的个数是2．
故选：C．
6．【答案】A
【解析】解：由于椭圆的标准方程为：
则c2=132﹣122=25
则c=5
又∵双曲线的离心率
∴a=4，b=3
又因为且椭圆的焦点在x轴上，
∴双曲线的方程为：
故选A
【点评】运用待定系数法求椭圆（双曲线）的标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），双曲线方程可设为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），由题目所给条件求出m，n即可．
7．【答案】B
【解析】解：把函数y=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位，
得到函数y=f （x ）=cos[2（x+）+φ]=cos （2x+φ+）的图象关于直线x=
对称，
则2×
+φ+
=k π，求得φ=k π﹣，k ∈Z ，故φ=﹣
，
故选：B ．
8． 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得，三角形的面积011sin sin 6022S bc A bc =
===4bc =，又1b =，所
以4c =，又由余弦定理，可得222220
2cos 14214cos6013a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，所以a =
sin sin sin sin a b c a A B C A ++===
++B ． 考点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到sin sin sin sin a b c a
A B C A
++=++是解答的关键，属于中档试题．
9． 【答案】A 【解析】
考
点：对数函数，指数函数性质． 10．【答案】A
【解析】解：f （1）=3，当不等式f （x ）＞f （1）即：f （x ）＞3 如果x ＜0 则 x+6＞3可得 x ＞﹣3，可得﹣3＜x ＜0．
如果 x ≥0 有x 2
﹣4x+6＞3可得x ＞3或 0≤x ＜1
综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞） 故选A ．
11．【答案】C
【解析】解：这次测验的优秀率（不小于80分）为
0.032×10+0.024×10=0.56 故这次测验的优秀率（不小于80分）为56%
故选C
【点评】在解决频率分布直方图时，一定注意频率分布直方图的纵坐标是．
12．【答案】B 【解析】
试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系31
y 22
x z =
+，直线系在可行域内的两个临界点分别为)2,0(A 和)0,1(C ，当直线过A 点时，32224z x y =-=-⨯=-，当直线过C 点
时，32313z x y =-=⨯=，即的取值范围为]3,4[-，所以Z 的最小值为4-.故本题正确答案为B.
考点：线性规划约束条件中关于最值的计算.
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：∵点A （﹣1，1），B （1，2），C （﹣2，﹣1），D （3，4），
∴向量=（1+1，2﹣1）=（2，1），
=（3+2，4+1）=（5，5）；
∴向量
在
方向上的投影是
==．
14．【答案】2．
【解析】解：∵复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），
∴z=，∴|z|===2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模，属于基础题．
15．【答案】4．
【解析】解：如图所示，
在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，
∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），
∴•=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，
解得k=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题，是基础题目．
16．【答案】．
【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]
=1+（﹣2）﹣2
=1+=．
故答案为：．
17．【答案】
【解析】（2a ＋b ）·a ＝（2，－2＋t ）·（1，－1） ＝2×1＋（－2＋t ）·（－1） ＝4－t ＝2，∴t ＝2. 答案：2
18．【答案】⎛
⎝⎭
【解析】
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由题意可得A=，
=
﹣
，求得ω=．
再根据最高点的坐标为（
，
），可得sin （×+φ）=
，即sin （×
+φ）=1 ①．
再根据由此最高点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点（π，0），可得得sin （×
+φ）=0，即sin （
+φ）
=0 ②，
由①②求得φ=，故曲线的解析式为y=sin （x+）．
（2）对于函数y=sin （x+），令2k π﹣≤+
≤2k π+
，求得4k π﹣
≤x ≤4k π+
，
可得函数的增区间为[4k π﹣，4k π+]，k ∈Z ．
令2k π+
≤+
≤2k π+
，求得4k π+≤x ≤4k π+，
可得函数的减区间为[4k π+
，4k π+
]，k ∈Z ．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，正弦函数的单调性，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）令，所以x=a ．
易知，x ∈（0，a ）时，f ′（x ）＞0，x ∈（a ，+∞）时，f ′（x ）＜0． 故函数f （x ）在（0，a ）上递增，在（a ，+∞）递减． 故f （x ）max =f （a ）=alna ﹣a ．
（Ⅱ）令g （x ）=f （a ﹣x ）﹣f （a+x ），即g （x ）=aln （a ﹣x ）﹣aln （a+x ）+2x ．
所以
，当x ∈（0，a ）时，g ′（x ）＜0．
所以g （x ）＜g （0）=0，即f （a+x ）＞f （a ﹣x ）． （Ⅲ）依题意得：a ＜α＜β，从而a ﹣α∈（0，a ）．
由（Ⅱ）知，f （2a ﹣α）=f[a+（a ﹣α）]＞f[a ﹣（a ﹣α）]=f （α）=f （β）． 又2a ﹣α＞a ，β＞a ．所以2a ﹣α＜β，即α+β＞2a ．
【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．
21．【答案】（1）()2
6ln f x x x x =--；（2）3n =；（3）证明见解析. 【解析】
试
题解析： （1）()2a
f'x x b x =+-，所以(1)251(1)106f'b a b f b a =+-=-=-⎧⎧⇒⎨⎨
=+==⎩⎩
， ∴函数()f x 的解析式为2()6ln (0)f x x x x x =-->；
（2）22
626
()6ln '()21x x f x x x x f x x x x
--=--⇒=--=，
因为函数()f x 的定义域为0x >，
令(23)(2)3
'()02
x x f x x x +-=
=⇒=-或2x =， 当(0,2)x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，
当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增， 且函数()f x 的定义域为0x >，
（3）当1a =时，函数2
()ln f x x bx x =+-，
21111()ln 0f x x bx x =+-=，2
2222()ln 0f x x bx x =+-=，
两式相减可得22
121212()ln ln 0x x b x x x x -+--+=，121212ln ln ()x x b x x x x -=
-+-． 1'()2f x x b x =+-，0001
'()2f x x b x =+-，因为1202x x x +=，
所以12120121212
ln ln 2
'()2()2x x x x f x x x x x x x +-=⋅+-+-
-+ 212121221221122112211
1
21ln ln 2()211ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤--⎝⎭⎢⎥=-=--=-⎢⎥⎢⎥-+-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
设21
1x
t x =>，2(1)()ln 1t h t t t -=-+，
∴22
222
14(1)4(1)'()0(1)(1)(1)
t t t h t t t t t t t +--=-==>+++， 所以()h t 在(1,)+∞上为增函数，且(1)0h =，
∴()0h t >，又
21
1
0x x >-，所以0'()0f x >．
考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.
【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
22．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，
所以AG⊥EF．
又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．…
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
AG⊂平面ADEF，
所以AG⊥平面ABCD．…
（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直．
以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t），
所以=（﹣4，﹣1，t），=（4，4，0），=（0，1，t）．…
设平面ACE的法向量为=（x，y，z），
由=0，=0，得，
令z=1，得=（t，﹣t，1）．
因为BF与平面ACE所成角的正弦值为，
所以|cos＜＞|==，…
即=，解得t2=1或．
所以AG=1或AG=．…
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
23．【答案】
【解析】解：（1）A={x|x2+2x＜0}={x|﹣2＜x＜0}，
B={x|y=}={x|x+1≥0}={x|x≥﹣1}，
∴∁R A={x|x≤﹣2或x≥0}，
∴（∁R A）∩B={x|x≥0}；…
（2）当a≥2a+1时，C=∅，此时a≤﹣1满足题意；
当a＜2a+1时，C≠∅，
应满足，
解得﹣1＜a≤﹣；
综上，a的取值范围是．…
24．【答案】
【解析】解：（1）函数f（x）=cos（ωx+）的图象的两对称轴之间的距离为=，
∴ω=2，f（x）=cos（2x+）．
令2x+=kπ，求得x=﹣，可得对称轴方程为x=﹣，k∈Z．
令2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，
可得函数的增区间为，k∈Z．
（2）当2x+=2kπ，即x=kπ﹣，k∈Z时，f（x）取得最大值为1．
当2x+=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z时，f（x）取得最小值为﹣1．
∴f（x）取最大值时相应的x集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}；
f（x）取最小值时相应的x集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．。