泰安专版2019版中考数学第一部分基础知识过关第四章图形的初步认识与三角形第16讲等腰三角形与证明精练

第16讲等腰三角形与证明
A组基础题组
一、选择题
1.下列命题错误的是( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2.如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为( )
A.(1,1)
B.(,1)
C.(,)
D.(1,)
3.平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C 的个数是( )
A.5
B.6
C.7
D.8
4.(2017滨州)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为( )
A.40°
B.36°
C.30°
D.25°
二、填空题
5.如图,△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上,且CE=1,∠E=30°,则BC= .
三、解答题
6.(2017肥城模拟)已知:如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G.
(1)求证:BF=AC;
(2)求证:CE=BF.
7.(2018淄博)(1)操作发现:如图1,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现了:线段GM与GN的数量关系是;位置关系是;
(2)类比思考:
如图2,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其他条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由;
(3)深入研究:
如图3,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断△GMN的形状,并给予证明.
B组提升题组
一、选择题
1.已知直线y=-x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=-(x-)2+4上,能使△ABP为等腰三角形的点P的个数是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
二、填空题
2.(2017泰安宁阳模拟)“在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行”这个命题的条件
是,结论是,
它是一个命题.
3.有一面积为5的等腰三角形,它的一个内角是30°,则以它的腰长为边长的正方形的面积
为.
三、解答题
4.动手操作题:如图,在一张长为7 cm,宽为5 cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为4 cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上),求剪下的等腰三角形的面积.
第16讲等腰三角形与证明
A组基础题组
一、选择题
1.C
2.D
3.A 如图,
①当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除外),即O(0,0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;②当AB=BC时,以点B为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;③当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,故选A.
4.B 根据题目中给定的条件,可以判定△ADC、△ABD和△ABC均为等腰三角形,设∠C=x°,则
∠B=x°,∴∠ADB=2x°(三角形中两内角和为等于第三个角的外角),∴∠BAD=2x°,根据三角形内角和180°,解得x=36°,所以答案为B.
二、填空题
5.答案 2
解析∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,BA=BC.
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠E=30°,BD⊥AC,
∴∠BDC=90°,
∴BC=2DC.
∵∠ACB=∠E+∠CDE,
∴∠CDE=∠E=30°,
∴CD=CE=1,
∴BC=2CD=2.
故答案为2.
三、解答题
6.证明(1)∵CD⊥AB,∠ABC=45°,
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD.
∵∠DBF=90°-∠BFD,
∠DCA=90°-∠EFC,
且∠BFD=∠EFC,
∴∠DBF=∠DCA.
在Rt△DFB和Rt△DAC中,
∴Rt△DFB≌Rt△DAC(ASA),
∴BF=AC.
(2)∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
在Rt△BEA和Rt△BEC中,
∴Rt△BEA≌Rt△BEC(ASA).
∴CE=AE=AC.
由(1)知BF=AC,
∴CE=BF.
7.解析(1)MG=NG;MG⊥NG,
连接BE,CD相交于H,
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形, ∴AB=AD,AC=AE,AB=AC,
∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠CAD=∠BAE,
∴△ACD≌△AEB(SAS),
∴CD=BE,∠ADC=∠ABE,
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°,
∴∠BHD=90°,
∴CD⊥BE,
∵点M,G分别是BD,BC的中点,
∴MG CD,
同理:NG BE,
∴MG=NG,MG⊥NG,
故答案为MG=NG,MG⊥NG.
(2)成立,理由如下:
连接CD,BE,相交于H,
同(1)的方法得,MG=NG,MG⊥NG.
(3)等腰直角三角形.
连接EB,DC并延长,使其相交于H,
∵M,N,G分别是BD,CE,BC的中点,
∴MG∥CD,MG=CD,NG∥BE,NG=BE,
同(1)的方法得,△ABE≌△ADC,
∴∠AEB=∠ACD,BE=DC,
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH-∠AEC+180°-∠ACD-∠ACE=∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=90°,MG=NG,∴∠DHE=90°,
∴MG⊥NG.
B组提升题组
一、选择题
1.A 以点B为圆心,线段AB长为半径作圆,交抛物线于点C、M、N,连接AC、BC,如图所示.
令一次函数y=-x+3中x=0,则y=3,
∴点A的坐标为(0,3).
令一次函数y=-x+3中y=0,
即-x+3=0,解得x=.
∴点B的坐标为(,0).∴AB=2.
由题意知抛物线的对称轴为x=,
∴点C的坐标为(2,3),
∴AC=2=AB=BC,
∴△ABC为等边三角形.
令y=-(x-)2+4中y=0,
即-(x-)2+4=0,
解得x=-或x=3.
∴点M的坐标为(-,0),点N的坐标为(3,0).
△ABP为等腰三角形分三种情况:
①当AB=BP时,以B点为圆心,AB的长度为半径作圆,与抛物线交于C、M、N三点;
②当AB=AP时,以A点为圆心,AB的长度为半径作圆,与抛物线交于C、M两点;
③当AP=BP时,作线段AB的垂直平分线,与抛物线交于C、M两点.
∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数是3.故选A.
二、填空题
2.答案同一平面内两直线垂直于同一条直线;这两条直线平行;真
3.答案20或20
解析在等腰△ABC中,设AB=AC=x.当顶角∠A=30°时,如图1,作C D⊥AB,垂足为D.
∵sin 30°==,
∴CD=x,∴·x·x=5,
∴x2=20,
即以它的腰长为边长的正方形的面积为20;
当底角∠B=∠ACB=30°时,如图2,作CD⊥BA,交BA的延长线于D.
∵∠DAC=∠B+∠ACB=60°,
∴sin 60°==,∴CD=x,
∴·x·x=5,
∴x2=20,即以它的腰长为边长的正方形的面积为20.
综上,以它的腰长为边长的正方形的面积为20或20.
三、解答题
4.解析分三种情况计算:
(1)当AE=AF=4 cm时,如图1:
∴S△AEF=AE·AF=×4×4=8(cm2);
(2)当AE=EF=4 cm时,如图2:
则BE=5-4=1 cm,
BF=== cm,
∴S△AEF=·AE·BF=×4×=2(cm2);
(3)当AE=EF=4 cm时,如图3:
则DE=7-4=3 cm,
DF=== cm,
∴S△AEF=AE·DF=×4×=2(cm2).
故剪下的等腰三角形的面积为8 cm2或2 cm2或2 cm2.。