高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第22讲解三角形应用举例课件文新人教A版

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山 BC,MN 的底部与 A 在同一水平面,则山高 MN=( D )
A.200 m
B.250 m
C.300 m
D.400 m
解析 如图,由题可知 AB=100 2,∠A=45°,∠M=30°, ∠MBN=90°,∠MNB=60°,所以 BC=100,BN=200,MN =400.故选 D.
2.[考法三](2019·兰州一中月考)如图,位于 A 处的信息
【例 2】 如图,为了测量河对岸电视塔 CD 的高度,小王 在点 A 处测得塔顶 D 的仰角为 30°,塔底 C 与 A 的连线同河岸 成 15°角,小王向前走了 1 200 m 到达 M 处,测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60°角,则电视塔 CD 的高度为____6_0_0__2__m.
义可知为0,π2.
2.若点 A 在点 C 的北偏东 30°,点 B 在点 C 的南偏东 60°,
且 AC=BC,则点 A 在点 B 的( B )
A.北偏东 15°
B.北偏西 15°
C.北偏东 10°
D.北偏西 10°
解析 如图所示,∠ACB=90°.又 AC=BC,所以∠CBA=
45°,而 β=30°,所以 α=90°-45°-30°=15°.所以点 A 在点 B
的北偏西 15°.
3.如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同 侧,选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠ CAB=105°,则 A,B 两点的距离为( A )
A.50 2 m C.25 2 m
B.50 3 m D.252 2 m
解析
由正弦定理得
AB=AC·ssiinn∠BACB=50×1
(
3)2+
6+ 2
22-2×

6+ 2
2×cos 75°=3+2+
3-
3
=5,所以 AB= 5 km,即 A,B 之间的距离为 5 km.
(2) 在 △ ABC 中 , 由 测 量 公 式 得 AB2 = 4002 + 6002 - 2×400×600·cos 60°=280 000.所以 AB=200 7 m.即 A,B 两点间的距离为 200 7 m.
A,B 两点之间的距离为__________cos 48.19°≈23.
解析 依题意知,在△ACD 中,∠A=30°,由正弦定理得 AC=CDsinsin304°5°=2 2,在△BCE 中,∠CBE=45°,由正弦定 理得 BC=CsEisnin456°0°=3 2,在△ABC 中,由余弦定理得 AB2 =AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=10,所以 AB= 10,即 A, B 两点之间的距离为 10.
答案 10
︿ ︿
板块三
易错点 在实际问题中对角的认识不充分 【典例】 (2019·郑州调研)如图,在山底测得山顶仰角∠ CAB=45°,沿倾斜角为 30°的斜坡走 1 000 m 至 S 点,又测得 山顶仰角∠DSB=75°,则山高 BC 为__________m.
错解:由题中条件可知∠SAB=45°-30°=15°, ∠ABS=90°-75°=15°,所以∠ASB=150°. 由正弦定理得sinA1B50°=sinA1S5°,所以 AB=500( 6+ 2), 又△ACB 为等腰直角三角形,BC= 22AB=500( 3+1). 错因分析:本题解答过程中由于∠ABS 的计算出错,导致 计算错误.
第三章
三角函数、解三角形
高考总复习 ·数学(文科)
第22讲
解三角形应用举例
高考总复习 ·数学(文科)
考纲要求
考情分析
命题趋势 核心素养
能够运用正弦 2015·湖北卷,15 解三角形是三角 本讲内容
定理、余弦定理 2014·全国卷Ⅰ, 函数的知识在三 主要考查
等知识和方法 16
角形中的应用,高 数学建模、
2 2 =50
2
2
(m).
4.在相距 2 千米的 A,B 两点处测量目标点 C,若∠CAB =75°,∠CBA=60°,则 A,C 两点之间的距离为__________ 千米.
解析 如图所示,由题意知∠C=45°,由正弦定理得sinAC60° =sin245°,所以 AC= 22× 23= 6.
2
答案 南偏西 80°
︿ ︿
板块二
[考法精讲] 考法一 测量距离问题 答题模板
求解距离问题的一般步骤 (1)选取适当基线,画出示意图,将实际问题转化为三角形 问题. (2)明确要求的距离所在的三角形有哪些已知元素. (3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形.
【例 1】 (1)要测量对岸 A,B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C,D 两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ ADC=30°,∠ADB=45°,则 A,B 之间的距离为___5_______km.
解析 在△ACM 中,∠MCA=60°-15°=45°,∠AMC=
180°-60°=120°,由正弦定理得1
200=AC,解得 23
AC=600
6,
22
在△ACD 中,因为 tan∠DAC=DACC= 33,所以 DC=600

3 3
=600 2.
考法三 测量角度问题 误区防范
测量角度问题的注意点 (1)首先应明确方位角或方向角的含义. (2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示 意图,这是最关键、最重要的一步. (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意 正、余弦定理的“联袂”使用.
【例 3】 在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇 发现在北偏东 45°方向,相距 12 海里的水面上,有蓝方一艘 小艇正以每小时 10 海里的速度沿南偏东 75°方向前进,红方 侦察艇以每小时 14 海里的速度沿北偏东 45°+α 方向拦截蓝 方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的 时间和角 α 的正弦值.
2.方位角 从指北方向_顺__时__针__转到目标方向线的水平角叫方位角,如 点 B 的方位角为 α(如图②). 3.方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③). (1)北偏东 α,即由指北方向__顺__时__针__旋转 α 到达目标方向.
(2)北偏西 α,即由指北方向_逆__时__针__旋转 α 到达目标方向.
中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,
在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°,
相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直
线 CB 前往 B 处救援,则 cos θ=( B )
A.
21 7
B.
21 14
C.3
21 14
D.
21 28
解析 如题图所示,在△ABC 中,AB=40 海里,AC=20 海 里 , ∠ BAC = 120°, 由 余 弦 定 理 得 BC2 = AB2 + AC2 - 2AB·AC·cos 120°=2 800,故 BC=20 7 海里.由正弦定理得 sin∠ACB=BACB·sin∠BAC= 721,由∠BAC=120°,知∠ACB 为锐角,故 cos∠ACB=277.故 cos θ=cos(∠ACB+30°)=cos ∠ACBcos 30°-sin∠ACB·sin 30°= 1241.
[递进题组]
1.[考法二]2018 年国庆节期间,某数学教师进行了一次
“说走就走”的登山活动,从山脚 A 处出发,沿一个坡角为
45°的斜坡直行,走了 100 2 m 后,到达山顶 B 处,C 是与 B
在同一铅垂线上的山底,从 B 处测得另一山顶 M 点的仰角为
60°,与山顶 M 在同一铅垂线上的山底 N 点的俯角为 30°,两
3.[考法三]如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高 度分别为 20 m,50 m,BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD=( B )
A.30° C.60°
B.45° D.75°
解析 依题意可得 AD= AB2+BD2=20 10 m,AC=
BD2+CD-AB2=30 5 m,又 CD=50 m,所以在△ACD
解析 如图,设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方 的小艇,
则 AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°.根据余弦定理得 (14x)2=122+(10x)2-240xcos 120°,解得 x=2.故 AC=28,BC =20.根据正弦定理得sBinCα=sinA1C20°,解得 sin α=20si2n8120°= 5143.所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时,角 α 的正弦值为 53 14 .
(3)南偏西等其他方向角类似.
4.坡角和坡度(比) 坡角:坡面与水平面所成的_二__面__角___的度数(如图④,角 θ 为坡角). 坡度(比):坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i 为 坡度(比)).
[对点检测] 1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)公式 S=12bcsin A=12acsin B=12absin C 适用于任意三角 形.( √ ) 解析 正确.三角形的面积公式对任意三角形都成立. (2)东北方向就是北偏东 45°的方向.( √ )
解析 正确.数学中的东北方向就是北偏东 45°或东偏北 45°的方向.
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角.( × ) 解析 错误.俯角是视线与水平线所构成的角. (4)方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围一般是
0,π2.( √ ) 解析 正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线
的水平角,故大小的范围为[0,2π),而方向角大小的范围由定
考法二 测量高度问题 归纳总结 (1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(它是在铅 垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关 键. (2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究 的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形, 这样处理起来既清楚又不容易搞错. (3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平 面问题.
解决一些与测 2014·四川卷,8 考中可单独考查,直观想象、
量和几何计算
也可以与三角函 数学运算
有关的实际问 分值:5 分 数、不等式、向量 的核心素
题.
等综合考查.
养.
目录
板块一 板块二 板块三
︿ ︿
板块一
[知识梳理] 1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线__上__方___的角 叫仰角,在水平线_下__方___的角叫俯角(如图①).
中,由余弦定理可以得到
cos

CAD

AC2+AD2-CD2 2AC·AD

302×523+0 250×210021-0502= 22,又 0°<∠CAD<180°,所以∠CAD
=45°,所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°.
4.[考法一]如图,为了测量河对岸 A,B 两点之间的距离, 观察者找到一个点 C,从点 C 可以观察到点 A,B;找到一个 点 D,从点 D 可以观察到点 A,C;找到一个点 E,从点 E 可 以观察到点 B,C;并测量得到:CD=2,CE=2 3,∠D=45°, ∠ACD=105°,∠ACB=48.19°,∠BCE=75°,∠E=60°,则
解析 (1)如图,在△ACD 中,∠ACD=120°,∠ADC=30°,
所以∠CAD=180°-120°-30°=30°,所以 AC=CD= 3 km.
在△BCD 中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°.所以
BC=

s3isnin607°5°=
6+ 2
2.在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=
(2)如图所示,要测量一水塘两侧 A,B 两点间的距离,其 方法先选定适当的位置 C,用经纬仪测出角 α,再分别测出 AC, BC 的长 b,a,则可求出 A,B 两点间的距离.即 AB=
a2+b2-2abcos α.若测得 CA=400 m,CB=600 m,∠ACB= 60°,则 A,B 两点的距离为__2_0_0__7____m.
答案 6
5.如图,两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等, 灯塔 A 在观察站的南偏西 40°方向上,灯塔 B 在观察站的南偏 东 60°方向上,则灯塔 A 相对于灯塔 B 的方向角是__________.
解析 如题图,已知∠BCD=60°,∠CBD=30°. 而∠ABC=12(180°-100°)=40°, 所以∠DBA=40°-30°=10°,故 A 在 B 的南偏西 80°处.
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