高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第22讲解三角形应用举例课件文新人教A版

山 BC，MN 的底部与 A 在同一水平面，则山高 MN＝( D )
A．200 m
B．250 m
C．300 m
D．400 m
解析 如图，由题可知 AB＝100 2，∠A＝45°，∠M＝30°， ∠MBN＝90°，∠MNB＝60°，所以 BC＝100，BN＝200，MN ＝400.故选 D.
2．[考法三](2019·兰州一中月考)如图，位于 A 处的信息
【例 2】 如图，为了测量河对岸电视塔 CD 的高度，小王 在点 A 处测得塔顶 D 的仰角为 30°，塔底 C 与 A 的连线同河岸 成 15°角，小王向前走了 1 200 m 到达 M 处，测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60°角，则电视塔 CD 的高度为____6_0_0__2__m.
义可知为0，π2.
2．若点 A 在点 C 的北偏东 30°，点 B 在点 C 的南偏东 60°，
且 AC＝BC，则点 A 在点 B 的( B )
A．北偏东 15°
B．北偏西 15°
C．北偏东 10°
D．北偏西 10°
解析 如图所示，∠ACB＝90°.又 AC＝BC，所以∠CBA＝
45°，而 β＝30°，所以 α＝90°－45°－30°＝15°.所以点 A 在点 B
的北偏西 15°.
3．如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同 侧，选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠ CAB＝105°，则 A，B 两点的距离为( A )
A．50 2 m C．25 2 m
B．50 3 m D.252 2 m
解析
由正弦定理得
AB＝AC·ssiinn∠BACB＝50×1
(
3)2＋
6＋ 2
22－2×
3×
6＋ 2
2×cos 75°＝3＋2＋
3－
3
＝5，所以 AB＝ 5 km，即 A，B 之间的距离为 5 km.
(2) 在 △ ABC 中 ， 由 测 量 公 式 得 AB2 ＝ 4002 ＋ 6002 － 2×400×600·cos 60°＝280 000.所以 AB＝200 7 m．即 A，B 两点间的距离为 200 7 m.
A，B 两点之间的距离为__________cos 48.19°≈23.
解析 依题意知，在△ACD 中，∠A＝30°，由正弦定理得 AC＝CDsinsin304°5°＝2 2，在△BCE 中，∠CBE＝45°，由正弦定 理得 BC＝CsEisnin456°0°＝3 2，在△ABC 中，由余弦定理得 AB2 ＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝10，所以 AB＝ 10，即 A， B 两点之间的距离为 10.
答案 10
︿ ︿
板块三
易错点 在实际问题中对角的认识不充分 【典例】 (2019·郑州调研)如图，在山底测得山顶仰角∠ CAB＝45°，沿倾斜角为 30°的斜坡走 1 000 m 至 S 点，又测得 山顶仰角∠DSB＝75°，则山高 BC 为__________m.
错解：由题中条件可知∠SAB＝45°－30°＝15°， ∠ABS＝90°－75°＝15°，所以∠ASB＝150°. 由正弦定理得sinA1B50°＝sinA1S5°，所以 AB＝500( 6＋ 2)， 又△ACB 为等腰直角三角形，BC＝ 22AB＝500( 3＋1)． 错因分析：本题解答过程中由于∠ABS 的计算出错，导致 计算错误．
第三章
三角函数、解三角形
高考总复习 ·数学（文科）
第22讲
解三角形应用举例
高考总复习 ·数学（文科）
考纲要求
考情分析
命题趋势 核心素养
能够运用正弦 2015·湖北卷，15 解三角形是三角 本讲内容
定理、余弦定理 2014·全国卷Ⅰ， 函数的知识在三 主要考查
等知识和方法 16
角形中的应用，高 数学建模、
2 2 ＝50
2
2
(m)．
4．在相距 2 千米的 A，B 两点处测量目标点 C，若∠CAB ＝75°，∠CBA＝60°，则 A，C 两点之间的距离为__________ 千米．
解析 如图所示，由题意知∠C＝45°，由正弦定理得sinAC60° ＝sin245°，所以 AC＝ 22× 23＝ 6.
2
答案 南偏西 80°
︿ ︿
板块二
[考法精讲] 考法一 测量距离问题 答题模板
求解距离问题的一般步骤 (1)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形 问题． (2)明确要求的距离所在的三角形有哪些已知元素． (3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形．
【例 1】 (1)要测量对岸 A，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的 C，D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ ADC＝30°，∠ADB＝45°，则 A，B 之间的距离为___5_______km.
解析 在△ACM 中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝
180°－60°＝120°，由正弦定理得1
200＝AC，解得 23
AC＝600
6，
22
在△ACD 中，因为 tan∠DAC＝DACC＝ 33，所以 DC＝600
6×
3 3
＝600 2.
考法三 测量角度问题 误区防范
测量角度问题的注意点 (1)首先应明确方位角或方向角的含义． (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示 意图，这是最关键、最重要的一步． (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意 正、余弦定理的“联袂”使用．
【例 3】 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇 发现在北偏东 45°方向，相距 12 海里的水面上，有蓝方一艘 小艇正以每小时 10 海里的速度沿南偏东 75°方向前进，红方 侦察艇以每小时 14 海里的速度沿北偏东 45°＋α 方向拦截蓝 方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的 时间和角 α 的正弦值．
2．方位角 从指北方向_顺__时__针__转到目标方向线的水平角叫方位角，如 点 B 的方位角为 α(如图②)． 3．方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③)． (1)北偏东 α，即由指北方向__顺__时__针__旋转 α 到达目标方向．
(2)北偏西 α，即由指北方向_逆__时__针__旋转 α 到达目标方向．
中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，
在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°，
相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直
线 CB 前往 B 处救援，则 cos θ＝( B )
A.
21 7
B.
21 14
C.3
21 14
D.
21 28
解析 如题图所示，在△ABC 中，AB＝40 海里，AC＝20 海 里 ， ∠ BAC ＝ 120°， 由 余 弦 定 理 得 BC2 ＝ AB2 ＋ AC2 － 2AB·AC·cos 120°＝2 800，故 BC＝20 7 海里．由正弦定理得 sin∠ACB＝BACB·sin∠BAC＝ 721，由∠BAC＝120°，知∠ACB 为锐角，故 cos∠ACB＝277.故 cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos ∠ACBcos 30°－sin∠ACB·sin 30°＝ 1241.
[递进题组]
1．[考法二]2018 年国庆节期间，某数学教师进行了一次
“说走就走”的登山活动，从山脚 A 处出发，沿一个坡角为
45°的斜坡直行，走了 100 2 m 后，到达山顶 B 处，C 是与 B
在同一铅垂线上的山底，从 B 处测得另一山顶 M 点的仰角为
60°，与山顶 M 在同一铅垂线上的山底 N 点的俯角为 30°，两
3．[考法三]如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高 度分别为 20 m，50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD＝( B )
A．30° C．60°
B．45° D．75°
解析 依题意可得 AD＝ AB2＋BD2＝20 10 m，AC＝
BD2＋CD－AB2＝30 5 m，又 CD＝50 m，所以在△ACD
解析 如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方 的小艇，
则 AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得 (14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，解得 x＝2.故 AC＝28，BC ＝20.根据正弦定理得sBinCα＝sinA1C20°，解得 sin α＝20si2n8120°＝ 5143.所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角 α 的正弦值为 53 14 .
(3)南偏西等其他方向角类似．
4．坡角和坡度(比) 坡角：坡面与水平面所成的_二__面__角___的度数(如图④，角 θ 为坡角)． 坡度(比)：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为 坡度(比))．
[对点检测] 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)公式 S＝12bcsin A＝12acsin B＝12absin C 适用于任意三角 形．( √ ) 解析 正确．三角形的面积公式对任意三角形都成立． (2)东北方向就是北偏东 45°的方向．( √ )
解析 正确．数学中的东北方向就是北偏东 45°或东偏北 45°的方向．
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角．( × ) 解析 错误．俯角是视线与水平线所构成的角． (4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是
0，π2.( √ ) 解析 正确．方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线
的水平角，故大小的范围为[0,2π)，而方向角大小的范围由定
考法二 测量高度问题 归纳总结 (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅 垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关 键． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究 的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形， 这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平 面问题．
解决一些与测 2014·四川卷，8 考中可单独考查，直观想象、
量和几何计算
也可以与三角函 数学运算
有关的实际问 分值：5 分 数、不等式、向量 的核心素
题.
等综合考查.
养.
目录
板块一 板块二 板块三
︿ ︿
板块一
[知识梳理] 1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__上__方___的角 叫仰角，在水平线_下__方___的角叫俯角(如图①)．
中，由余弦定理可以得到
cos
∠
CAD
＝
AC2＋AD2－CD2 2AC·AD
＝
302×523＋0 250×210021－0502＝ 22，又 0°<∠CAD<180°，所以∠CAD
＝45°，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°.
4．[考法一]如图，为了测量河对岸 A，B 两点之间的距离， 观察者找到一个点 C，从点 C 可以观察到点 A，B；找到一个 点 D，从点 D 可以观察到点 A，C；找到一个点 E，从点 E 可 以观察到点 B，C；并测量得到：CD＝2，CE＝2 3，∠D＝45°， ∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则
解析 (1)如图，在△ACD 中，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，
所以∠CAD＝180°－120°－30°＝30°，所以 AC＝CD＝ 3 km.
在△BCD 中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.所以
BC＝

s3isnin607°5°＝
6＋ 2
2.在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝
(2)如图所示，要测量一水塘两侧 A，B 两点间的距离，其 方法先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角 α，再分别测出 AC， BC 的长 b，a，则可求出 A，B 两点间的距离．即 AB＝
a2＋b2－2abcos α.若测得 CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝ 60°，则 A，B 两点的距离为__2_0_0__7____m.
答案 6
5．如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等， 灯塔 A 在观察站的南偏西 40°方向上，灯塔 B 在观察站的南偏 东 60°方向上，则灯塔 A 相对于灯塔 B 的方向角是__________．
解析 如题图，已知∠BCD＝60°，∠CBD＝30°. 而∠ABC＝12(180°－100°)＝40°， 所以∠DBA＝40°－30°＝10°，故 A 在 B 的南偏西 80°处．