函数-第3讲：二次函数图像、性质与解析式

一．二次函数的概念（一）二次函数的定义 1、一般地，形如c bx ax y++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）的函数称为x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，c b a ,,分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.【注意】抛物线的另一定义：在平面内，到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的集合成为抛物线，F 称为抛物线的焦点。

l 称为抛物线的准线。

2、任何二次函数都可以整理成c bx ax y++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）的形式．3、判断函数是否为二次函数的方法：（1）含有一个变量，且自变量的最高次数为2； （2）二次项系数不等于0；【方法技巧】 第三节 二次函数的图象、性质与解析【知识梳理】（3）等式两边都是整式．4、二次函数自变量x 的取值范围是全体实数． （二）二次函数图象的画法：五点绘图法1、利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+2、确定其开口方向、对称轴及顶点坐标3、在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．二．二次函数的图象性质（一）二次函数2y ax =0a ≠（）的性质1、抛物线2ax y =的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是0=x （y 轴）.2、函数2ax y =的图象与a 的符号关系.（1）当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； （2）当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点. （二）二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质 1、抛物线c ax y +=2的顶点是坐标原点（0，c ），对称轴是0=x （y 轴）.2、函数c axy +=2的图象与a 的符号关系.（1）当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； （2）当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点. 3、函数c ax y +=2的图象可以看做是由函数2ax y =的图象向上或向下平移||c 个单位得到的.（三）二次函数c bx ax y ++=2）（0≠a 的性质 1、对称轴：abx 2-= 2、顶点坐标：)442(2ab ac a b --， （1）最值：当0>a 时有最小值ab ac 442-当0<a 时有最大值ab ac 442- （2）单调性：二次函数c bx ax y++=2（0≠a ）的变化情况（增减性）当0>a 时，对称轴左侧a b x 2-<，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧abx 2-> ，y 随x 的增大而增大；当0<a 时，对称轴左侧abx 2-<， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧abx 2->，y随x 的增大而减小； （四）二次函数k h x a y+-=2)(）（0≠a 的性质 1、对称轴： x h = 2、顶点坐标： (,)h k 3、最值：0a >时有最小值k 0a <时有最大值k ；（五）二次函数21()()y a x x x x =--）（0≠a 的性质 1、对称轴： 212x x x +=2、与x 轴的交点坐标为21(,0),(,0)x x （六）二次函数的图象与系数的关系3、a 的符号决定抛物线的开口方向： 当0a >时，抛物线开口向上； 当0a <时，抛物线开口向下．4、a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小； a 越小，抛物线开口越大．5、a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2bx a=-） 当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴； 当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧； 当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧． 简要概括为“左同右异” ．6、c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，）当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点； 当0c >时，交点在y 轴的正半轴； 当0c <时，交点在y 轴的负半轴．（七）根据二次函数的图象判断代数式符号 1、24b ac -决定了函数图象与x 轴的交点情况： 当240b ac ->，有两个交点； 当240b ac -=，有一个交点； 当240b ac -<，没有交点．2、当1x =时，可以得到a b c ++的值； 当1x =-时，可以得到a b c -+的值三．二次函数解析式的确定一、待定系数法1、一般式：2(0)y ax bx c a =++≠．如果已知二次函数的图象上的三点坐标（或称函数的三对对应值）()11x y ，、()22x y ，、()33x y ，，那么方程组211122222333y ax bx cy ax bx c y ax bx c⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩就可以唯一确定a 、b 、c ，从而求得函数解析式2y ax bx c =++． 【注意】1、任何二次函数都可以整理成一般式2(0)y ax bx c a =++≠的形式；2、已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式． 2、顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠．由于222424b ac b y ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，所以当已知二次函数图象的顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 时，就可以设二次函数形如22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，从而利用其他条件，容易求得此函数的解析式．这里直线2bx a=-又称为二次函数图象的对称轴． 【注意】1、已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式．2、已知二次函数的顶点和图象上的任意一点，都可以用顶点式来确定解析式．3、交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠．我们知道，()()22212424b ac b y ax bx c a x a x x x x a a -⎛⎫=++=++=-- ⎪⎝⎭，这里12x x ，分别是方程20ax bx c ++=的两根．当已知二次函数的图象与x 轴有交点（或者说方程20ax bx c ++=有实根）时，就可以令函数解析式为()()12y a x x x x =--，从而求得此函数的解析式．【注意】1、已知抛物线与x 的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式．2、已知二次函数与x 轴的交点坐标，和图象上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式．3、已知二次函数与x 轴的交点坐标()()12,0,,0x x ，可知二次函数的对称轴为122x x x +=． 4、根据二次函数的对称性可知，对于函数图象上的两点()()12,,,x a x a ，如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为122x x x +=． 5、对于任意的二次函数2y ax bx c =++，若设抛物线与x 轴的交点为A 、B ，则AB 的长度求法为：当0x =时，利用求根公式可得1x ，2x ，可知12||x x -==．所以AB a=．4、对称式：12()()(0)y a x x x x k a =--+≠．总结：当抛物线经过点1(,)x k 、2(,)x k 时，可以用对称式来求二次函数的解析式．【注意】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．四．二次函数的几何变换（一）平移变换 1、具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax = 的图象，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k ．具体平移方法如图所示：2、平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”． （二）对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1、关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2、关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． （三）旋转变换在二次函数的旋转变换中，将抛物线绕顶点旋转90︒或180︒，之后抛物线的开口大小不变，方向改变，但是顶点坐标不改变，这也是解题的关键，具体如下： 1、关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；2、关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．3、关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-考点1：二次函数的概念例1、已知函数2222()(32)2m my m m x m m x m m -=++++++，当m 是什么数时，函数是二次函数？变式1、如果函数22(1)1kk y k x kx -+=-+-是关于x 的二次函数，则k =____．【考点突破】变式2、2(2)mmy m x -=-是关于x 的二次函数，则m =______．变式3、若函数2221(1)mm y m x --=-为二次函数，则m 的值为________．变式4、已知222mm y mx -+=是关于x 的二次函数，则m 的值为______．考点2：二次函数的图像与性质例1、解决下列问题：1、抛物线233y x =+的顶点坐标为_________，对称轴为________．当x ______时，y 随x 的增大而减小；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线23y x =向______平移______个单位得到．2、抛物线23(2)y x =-的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线23y x =向______平移______个单位得到． 变式1、解决下列问题：1、抛物线23(2)1y x =-+的开口方向是______，顶点坐标为________，对称轴是_______． 当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线23y x =先向______平移______个单位，再向______平移______个单位得到．2、抛物线y ＝22x x --的顶点坐标为_________，当x ＝______时，y 有最______值是______，与x 轴的交点坐标是________________，与y 轴的交点坐标是______，当x __________时，y 随x 增大而减小，当x _________时，y 随x 增大而增大．例2、若二次函数222-++=a bx ax y （a ，b 为常数）的图象如图，则 a 的值为______．变式1、已知二次函数213y x =-、2213y x =-、2332y x =，它们的图象开口由小到大的顺序是（ ）A ．123y y y ，，B ．321y y y ，，C ．132y y y ，，D ．231y y y ，，变式2、如图，抛物线①②③④对应的解析式为21y a x =，22y a x =，23y a x =， 24y a x =，将1a 、2a 、3a 、4a 从小到大排列为____________．例3、关于x 的二次函数()()m x x y -+=1，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是________．变式1、抛物线2y ax bx c =++经过点()27A -，，()67B ，，()38C -，，则该抛物线上纵坐标为8-的另一个点D 的坐标是________．变式2、已知点()15A x ，，()25B x ，是函数223y x x =-+上两点，则当12x x x =+时，函数值y =___________．例4、判断下列哪一组的a 、b 、c ，可使二次函数73522+--++=x x c bx ax y 在坐标平面上的图形有最低点？ （ ）A ．0=a ，4=b ，8=cB ．2=a ，4=b ，8-=cC ．4=a ，4-=b ，8=cD ．6=a ，4-=b ，8-=c变式1、二次函数2()y a x m n =++的图象如图，一次函数y mx n =+的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限变式2、顶点为(50)-，，开口方向、大小与函数231x y -=的图象相同的抛物线是( ) A ．2)5(31-=x y B ．5312--=x yC ．2)5(31+-=x y D ．2)5(31+=x y变式3、二次函数()()2---=m x m x y 的最小值为________．变式4、二次函数()2214y x k x =-++的顶点在y 轴上，则k =_________，若顶点在x 轴上，则k =__________．例5、二次函数()()022＞a c x a y +-=，当自变量x ，3，0时，对应的值分别为1y 、2y 、3y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系为__________．变式1、二次函数()02＜a c bx ax y ++=的图象经过点A (2-，0)、O (0，0)、B (3-，y 1)、C (3，y 2)四点，则y 1与y 2的大小关系是__________．例6、在二次函数2y x bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则m 的值为___________．变式1、二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0，a ，b ，c 是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：1、判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．2、一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 是常数)的两个根x 1，x 2的取值范围是下列选项中的哪一个________． （1）－12＜x 1＜0，32＜x 2＜2 ； （2）－1＜x 1＜－12，2＜x 2＜52； （3）－12＜x 1＜0，2＜x 2＜52； （4）－1＜x 1＜－12，32＜x 2＜2．例7、二次函数2y ax bx c =++的图象如下左图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号．变式1、2y ax bx c =++的图象如图所示．并设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--，则（ ）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定符号变式2、已知抛物线2y ax bx c =++的一段图象如图所示．（1）确定a 、b 、c 的符号； （2）求a b c ++的取值范围．例8、已知二次函数222(1)2y x m x m m =-+-+-的图象关于y 轴对称，则由此图象的顶点A 和图象与x 轴的两个交点B C 、构成的三角形的面积是（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2 变式1、已知二次函数214y x =的图象经过点(2,)A m （1）求出m 的值，并写出点A 关于y 轴对称的点B 的坐标； （2）求AOB ∆的面积（3）试问：抛物线上是否存在点C ，使ACB ∆的面积是AOB ∆的面积的一半，若存在，求出它们的坐标．例9、如图在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，AB =2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设AD =x ，CE =y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系图象大致是（）变式1、如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB =2，设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图 象大致是（ ）考点3：二次函数解析式及几何变换例1、已知一个二次函数过原点、()111-，、()19，三点，求二次函数的解析式．变式1、已知图象经过点(0,3)，(3,0)-，(2,5)-，且与x 轴交于A 、B 两点．试确定此二次函数的解析式；变式2、已知一个二次函数的图象过点(1,0)，它的顶点坐标是(8,9)，求这个二次函数的关系式．PO BACBA例2、已知抛物线的顶点是(2,4)-，它与y 轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式．变式1、已知抛物线的对称轴为3x =-，且抛物线经过(1,0)-，与y 轴的交点到原点的距离为52，求此抛物线的解析式．变式2、已知一抛物线的形状与21722y x =+的形状相同．它的对称轴为2x =-，它与x 轴的两交点之间的距离为2，求此抛物线的解析式．变式3、已知一抛物线与x 轴的交点是(2,0)A -、(1,0)B ，且经过点(2,8)C ，求这个二次函数的解析式．变式4、已知二次函数的图象与x 轴有两个交点(3,0)A -，(1,0)B ，且顶点到x 轴的距离为4，求此二次函数解析式．例3、已知二次函数的图象经过(1,3)A -、(1,3)B 、(2,6)C ； 求它的解析式．变式1、已知二次函数的图象经过(1,2)-、(3,2)、(2,4)，求它的解析式．例4、将二次函数22y x =的图象先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的图象的解析式为( )A ．()2213y x =--B ．()2213y x =-+C ．()2213y x =+-D ．()2213y x =++变式1、函数25(1)2y x =+-的图象可由函数25y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ） A.右移一个单位，下移两个单位 B.右移一个单位，上移两个单位 C.左移一个单位，下移两个单位 D.左移一个单位，上移两个单位变式2、函数23(1)2y x =-+-的图象可由函数23(5)3y x =--+的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ）A.右移六个单位，下移五个单位B.右移四个单位，上移五个单位C.左移六个单位，下移五个单位D.左移四个单位，上移五个单位变式3、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,0)，二次函数2y x =的图象记为抛物线。