2020年高一数学下册名校大题天天练6

数学：2020年高一名校大题天天练（六）
1．（本小题12分）已知函数21()log 1x
f x x
+=-， 1）求3()5f 和3()5
f -； 2）判断()f x 的奇偶性，并说明理由。

2. (本小题12分)下图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积
3、(本小题14分) 如图：已知平面α//平面β,点A 、B 在平面α内，点C 、D 在β内，直线AB 与CD 是异面直线，点E 、F 、G 、H 分别是线段AC 、BC 、BD 、AD 的中点，求证：（Ⅰ）E 、F 、G 、H 四点共面；（Ⅱ）平面EFGH//平面β.
2cm 6cm 正视图
4cm 俯视图 8cm 4cm
侧视图
4．（本题满分14分）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点 （1）求证：//EF 平面11CB D （2）求证：平面11CAAC ⊥平面11CB D
(3)设二面角11B B D C -- 的大小为θ，求tan θ .
5．（本题满分14分）如图，在AOB Rt ∆中，0
30OAB ∠=，斜边4=AB ．AOC Rt ∆可以通过AOB Rt ∆以直线AO 为轴旋转得到，且二面角C AO B --是直二面角．动点D 在斜边AB 上．
（1）求证： ⊥CO 平面AOB ；
（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值；
（3）求CD 与平面AOB 所成的角最大时的正切值．
6．(本题满分14分)若不等式2
260x ax a -++> 在[2,2]x ∈-时总成立，求实数a 的取值范
围．
B
A
F
E A 1 D1
C1
B 1
D C
正方体ABCD-A/B/C/D/的棱长为8cm，M，N，P分别是AB，A/D/，BB/棱的中点。

（1）画出过M，N，P三点的平面与平面A/B/C/D/及平面BB/C/C的交线, 并说明画法的依据；（５分）
（2）设过M，N，P三点的平面与B/C/交于点Q，求PQ的长．（５分）
8．（本题满分10分）
已知矩形ABCD的边AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，问BC边上是否存在Array点Q，使得PQ⊥QD？并说明理由。

9．（本题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明:PA//平面EDB；（6分）
（2）证明:PB⊥平面EFD．（6分）
如图，是一个奖杯的三视图（单位：cm ），底座是正四棱台 （V 台=）下下上上S S S h(S 3
1++）
（1） 求这个奖杯的体积（保留π）（6分） （2） 求这个奖杯的全面积.（保留π）（6分）
11．一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为
︒）（3180的扇形，用经过圆锥顶点的平面截圆锥，当截面面积最大时，求：（1）最大截面面积，（2）截面与底面所成锐二面角的大小
1．（本小题12分）已知函数21()log 1x
f x x
+=-， 1）求3()5f 和3()5
f -；
2）判断()f x 的奇偶性，并说明理由。

解：（1）3
()5f ＝2 3()5
f -＝－2 （2） 12
22111()log log ()log ()111x x x
f x f x x x x
--+--===-=-+-+ ∴()f x 为奇函数
2. (本小题12分)下图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它
的表面积与体积
解：此几何体是一个组合体，下 半部是直四棱柱，上半部是半圆柱， 其轴截面的大小与四棱柱的上底 面大小一致。

表面积为S 。

则
32964841617620,S πππ=++++=+
体积为V ，则
19216V π=+，
所以几何体的的表面积为2
17620cm π+， 体积为3
19216.cm π+
3、(本小题14分) 如图：已知平面α//平面β,点A 、B 在平面α内，点C 、D 在
β内，直线AB 与CD 是异面直线，点E 、F 、G 、H 分别是线段AC 、BC 、BD 、AD 的中点，求证：（Ⅰ）E 、F 、G 、H 四点共面；（Ⅱ）平面EFGH//平面β. 证：（Ⅰ）∵点E 、F 是线段AC 、BC 的中点， ∴EF ∥AB,
又∵G 、H 是线段BD 、AD 的中点，∴GH ∥AB, ∴EF ∥GH, 因此： E 、F 、G 、H 四点共面；
---------- ---------------------------------4
（Ⅱ）∵平面α//平面β,点A 、B 在平面α内，
∴AB//平面β设平面ABC 与平面β的交线为CP, ∵直线AB 与CD 是异面直线,
∴CP 与CD 必定相交，∵AB//平面β, ∴AB//CP,
2cm
6cm
正视图
4cm
俯视图
8cm
4cm
侧视图
又EF ∥AB, ∴EF//CP,∴EF ∥平面β，-------------------------------------------------.9 ∵点E 、H 是线段AC 、AD 的中点，∴EH ∥CD, ∴EH ∥平面β，---------------.11 因此：平面EFGH//平面β.-------------------------------------------------------------------.14
4．（本题满分14分）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点（1）
求证：//EF 平面11CB D （2）求证：平面11CAAC ⊥平面11CB D
（1）连接BD ，在正方体中，11//D B BD ，-------------.1ˊ
又E 、F 为棱AD 、AB 的中点，
EF BD //∴EF D B //11∴， ---------3ˊ
又1111D CB D B 平面⊂，11D CB EF 平面⊄
∴//EF 平面11CB D ---------------------------5ˊ
（2）在1111D C B A 正方形中，1111D B C A ⊥，又由正方体中11111D C B A AA 平面⊥，
111111D C B A D B 平面⊂111D B AA ⊥∴-----------------------------------------------.2
又⋂11C A 11A AA =，，C A 11⊂1AA 平面11C CAA ∴⊥11D B 平面11C CAA ---------4 又⊂11D B 平面11CB D ∴平面11CAAC ⊥平面11CB D -------------------------------5
(3) Q 平面11CAAC ⊥11B D ，设O 、G 分别是上、下底面中心，连接OG 、CO 则有
1111OG B D OC B D GOC ⊥⊥∴∠二面角11B B D C --的平面角θ，-----------2
2
2
22
tan a
CG OG a θ∴=== (设a 为正方形的边长) -------------------------------------------4
5．（本题满分14分）如图，在AOB Rt ∆中，0
30OAB ∠=，斜边4=AB ．AOC Rt ∆可以通过AOB Rt ∆以直线AO 为轴旋转得到，且二面角C AO B --是直二面角．动点D 的斜边
AB 上．
（1）求证： ⊥CO 平面AOB ；
（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值；
（3）求CD 与平面AOB 所成的角最大时的正切值．
（1）由题意，，，
是二面角是二面角的平面角，--------------------1 又二面角是直二面角，
，又， 平面--------------4
（2）作，垂足为，连结，在平面AOB 中，则，
是异面直线与所成的角．--------------------------6 在中，，， ． 又 在中，．
异面直线与所成角的正切值为3
15
-----------------------9 （3）由（I ）知，平面， 是与平面所成的角，且
当最小时，最大， ----------12
这时，，垂足为，，OA OB
OD AB
=
=g 与平面所成的角最大时的正切值为
3
3
2．---------------------14 6．(本题满分14分)若不等式2
260x ax a -++> 在[2,2]x ∈-时总成立，求实数a 的取值范围．
思路：令]2,2[,62)(2
-∈++-=x a ax x x f ，, ………………………1分
则⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤≤-++--<+=)2(310)22(6)
2(510)(2min
a a a a a a a x f ………………………7分 椐题意知由0)(min >x f ………………………10分 得3
10
2<
<-a ． ………………………14分 7．（本小题满分10分）
解：（１）如图，延长MP 、A /B /相交于点E ，连结NE ，交B /C /
于Q ，
连结QP ，则NE 为平面MNP 与平面A /B /C /D /
的交线，PQ 为平面MNP
与平面BB /C /
C 的交线；
理由：，平面，且平面，直线，且直线/
/
/
/
/
/
D C B A
E MNP E B A E MP E ∈∈∴∈∈Θ
同理，，平面，且平面////D C B A N MNP N ∈∈所以，NE 为平面MNP 与平面A /B /C /D /
的交线， 显然，PQ 为平面MNP 与平面BB /C /
C 的交线；（５分）
（２）由已知和（１）得MB ＝B /
E ＝４，又Q EB /∆∽N EA /∆，所以，B /
Q ＝3
4，又B /
P ＝４， 所以，PQ ＝3
104（５分）
8．（本小题满分10分）
Q
D
C
B
A P
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ Ａ
Ｂ
Ｃ/
ＤＭ
Ｎ
Ｐ
Ｑ Ｅ
解：假设在BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，（２分） 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥QD ，又由于PQ ⊥QD ， 所以QD ⊥平面APQ ，则QD ⊥AQ ，即︒=∠90AQD ，
易得ABQ ∆∽QCD ∆，设BQ ＝X ，所以有X （ａ－X ）＝１
即：ｘ２
－ａｘ＋１＝０
所以当∆＝ａ２
－４≥０时，上方程有解，（８分）
因此，当ａ≥２时，存在符合条件的点Q ，否则不存在。

……10分 9．（本小题满分12分） 解：（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ．连结EO ． ∵ 底面ABCD 是正方形，∴ 点O 是AC 的中点． 在△PAC 中，EO 是中位线，∴ PA//EO ． 而EO ⊂平面EDB ，且PA ⊄平面EDB ，
所以，PA//平面EDB ． ……6分 （2）证明：∵ PD ⊥底面ABCD ，且DC ⊂底面ABCD ， ∴ PD ⊥DC. ∵ 底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC, ∴ BC ⊥平面PDC ． 而DE ⊂平面PDC ，∴ BC ⊥DE.
又∵PD=DC ，E 是PC 的中点，∴ DE ⊥PC. ∴ DE ⊥平面PBC ． 而PB ⊂平面PBC ，
∴ DE ⊥PB ．又EF ⊥PB ，且DE EF E =I ，∴PB ⊥平面EFD ．……12分 10．（本小题满分12分） 解：Ｖ＝336＋100π，（6分） S ＝360＋100π（6分） 11．（本小题满分10分） 解：（1）由已知得，圆锥底面半径r=3，h=1,如图， 设过圆锥顶点的截面为VAB ，过底面圆心O 作OD ⊥AB 于D ，并设OD=x )3x (0<
≤,
则VD=2
x 1+，DA=2x -3，所以截面VAB 的面积
S=41)-(x -)x -)(3x (1222
2+=
+，故当x=1时，S 最大为2 ……………5 分
（2）由（1）得，OD ⊥AB ，VD ⊥AB ，所以，VDO ∠就是二面角V-AB-O 的平面角，即截面与底面所成锐二面角的平面角，由（1）知在Rt △VDO 中，VO=OD=1，所以︒=∠45VDO ……10分
V
A。