直线的两点式方程3
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题型三
直线的一般式方程
【例 3】 根据下列条件求解直线的一般式方程: (1)直线的斜率为 2,且经过点 A(1,3); (2)斜率为 3,且在 y 轴上的截距为 4; (3)经过两点 A(2,-3),B(-1,-5); (4)在 x,y 轴上的截距分别为 2,-4. [思路探索] 分别利用直线的点斜式,斜截式,两点式,截距式 求出直线的方程,然后转化为直线方程的一般式.
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解 (1)∵BC 边过两点 B(5,-4),C(0,-2), y--4 x-5 ∴由两点式得 = , -2--4 0-5 即 2x+5y+10=0. 故 BC 边的方程为 2x+5y+10=0(0≤x≤5). (2)设 BC 的中点为 M(x0,y0), 5+0 5 -4+-2 则 x0= 2 =2,y0= =-3. 2
截 距 式
在 x、 y轴 上的截距 a、b 且 ab≠0 x y a+b=1
ab≠0
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x y x y 想一想: 方程 - =1 和 + =-1 都是直线的截距式方程吗? 2 3 2 3 提示 都不是截距式方程.截距式方程的特点有两个:一是中
间必须用“+”号连接;二是等号右边为 1.
x=2x0-x1, 得 y=2y0-y1,
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3.直线的一般式方程 把关于 x、y 的二元一次方程 Ax+By+C=0 叫做直线的一般 式方程, 简称一般式. 其中系数 A、 B 满足 A,B不同时为0 .
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想一想:当 A=0 或 B=0 或 C=0 时,方程 Ax+By+C=0 分 别表示什么样的直线? 提示 C (1)若 A=0,则 y=-B,表示与 y 轴垂直的一条直线.
课前探究学习 课堂讲练互动 活页限时训练Fra bibliotek题型二
直线的截距式方程
【例 2】 已知直线 l 经过点(2,1),且在两坐标轴上的截距相等, 求直线 l 的方程. [思路探索] 因为条件中涉及截距,所以可用截距式方程求解, 但要注意截距为零的情况. 也可设出点斜式方程, 由截距相等, 求出斜率,进而写出方程.
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【变式 2】 求过点 P(2,3)且在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程.
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解
设直线在 y 轴上的截距为 b,则在 x 轴上的截距为 2b.
若 b=0,则直线过(0,0)与(2,3)点, 则其方程为 3x-2y=0. x y 若 b≠0,则设其方程为 + =1,又因为过点(2,3). 2b b 2 3 ∴2b+b=1,即 b=4. x y ∴8+4=1,即 x+2y-8=0. 综上,所求直线方程为 3x-2y=0 或 x+2y-8=0.
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法二
由题意可知直线 l 的斜率存在.
设过点 A(2,1)的直线方程为 y-1=k(x-2)(k≠0). 令 x=0,则 y=1-2k; 1 令 y=0,则 x=2- k. 1 由已知条件,得 1-2k=2-k, 1 解得 k=-1 或 k=2. ∴所求直线的方程为 x+y-3=0 或 x-2y=0.
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自学导引 1.直线方程的两点式和截距式 名 称 两 已知条件 P1(x1,y1), 示意图 方程 x-x1 x2-x1 y-y1 y1≠y2 y2-y1 适用范围
点 P2(x2,y2)其中 式 x1≠x2,y1≠y2
且x1≠x2
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2.线段的中点坐标公式 若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),设 P(x,y)是线段 x= P1P2 的中点,则 y= x1+x2 , 2 y1+y2 2 .
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试一试:若已知 A(x1,y1)及 AB 中点(x0,y0),如何求 B 点的坐 标? x1+x=x , 0 2 提示 设 B(x,y),则由 y1+y =y0, 2 故点 B 的坐标为(2x0-x1,2y0-y1).
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解
1 (1)由点斜式得 y-(-2)=- (x-8), 2
即 x+2y-4=0; (2)由斜截式得 y=2, 即 y-2=0; x y (3)由截距式得 + =1, 3 -3 2 即 2x-y-3=0; y--2 x-3 (4)由两点式得 = , -4--2 5-3 即 x+y-1=0.
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解 法一
3 由题设 l 的方程可化为:y=-4x+3,
3 ∴l 的斜率为-4, (1)由 l′与 l 平行, 3 ∴l′的斜率为-4. 又∵l′过(-1,3), 3 由点斜式知方程为 y-3=-4(x+1), 即 3x+4y-9=0.
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规律方法
①首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式
的要求,对字母则需分类讨论;②注意问题叙述的异同,本题 中第一问是表示的线段,所以要添加范围;第二问则表示的是 直线.
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【变式 1】 (2012· 绍兴一中高一检测)已知△ABC 三个顶点坐标 A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三条边所在的直线方程.
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解 法一
设直线 l 在两坐标轴上的截距均为 a,若 a≠0,则 l
x y 的方程可设为a+a=1. x y 又∵l 过点(2,1),代入a+a=1,得 a=3. x y ∴直线 l 的方程为 + =1,即 x+y-3=0. 3 3 若 a=0 时,l 过点(0,0)与(2,1), 1 ∴l 的斜率 k=2. 1 ∴直线 l 的方程为 y=2x,即 x-2y=0. ∴直线 l 的方程为 x+y-3=0 或 x-2y=0.
C (2)若 B=0,则 x=- ,表示与 x 轴垂直的一条直线. A (3)若 C=0,则 Ax+By=0,表示过原点的一条直线.
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题型一
直线的两点式方程
【例 1】 已知 A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2),在△ABC 中, (1)求 BC 边的方程; (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程. [ 思路探索 ] 首先判定是否满足直线方程两点式的条件,若满 足,则应用公式求解;若不满足,则根据具体条件写出方程.
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【变式 3】 根据下列各条件写出直线的方程, 并且化成一般式. 1 (1)斜率是-2,经过点 A(8,-2); (2)经过点 B(4,2),平行于 x 轴; 3 (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是2、-3; (4)经过两点 P1(3,-2),P2(5,-4).
直线的两点式方程 直线的一般式方程
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【课标要求】 1.掌握直线方程的两点式和一般式. 2.掌握两点式方程的特例——截距式. 3.了解二元一次方程与直线的对应关系. 【核心扫描】 1 .能根据所给条件求直线方程,并能在几种形式间相互转 化.(重点) 2.能够解决与直线方程的两点式及一般式有关的问题.(难点)
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解
(1)因为 k=2,且经过点 A(1,3),由直线的点斜式可得 y-3
=2(x-1),整理可得 2x-y+1=0,所以直线的一般式方程为 2x-y+1=0. (2)由直线的斜率 k= 3,且在 y 轴上的截距为 4,故直线的斜 截式为 y= 3x+4, 整理可得直线的一般式方程为 3x-y+4=0. y--3 x-2 (3)由直线的两点式可得 = , 整理得直线的一 -5--3 -1-2 般式方程为 2x-3y-13=0. x y (4)由直线的截距式可得 + =1,整理得直线的一般式方程 2 -4 为 2x-y-4=0.
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5 ∴M2,-3,
又 BC 边上的中线经过点 A(-3,2). y-2 x--3 ∴由两点式得 = , 5 -3-2 --3 2 即 10x+11y+8=0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x+11y+8=0.
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解
∵A(2,-1),B(2,2),
A、B 两点横坐标相同, ∴直线 AB 与 x 轴垂直,故其方程为 x=2. ∵A(2,-1),C(4,1), ∴由直线方程的两点式可得直线 AC 的方程为 y-1 x-4 = , -1-1 2-4 即 x-y-3=0. ∵B(2,2),C(4,1), y-1 x-4 ∴由直线方程的两点式可得直线 BC 的方程为 = , 2-1 2-4 即 x+2y-6=0.