直线的两点式方程3

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题型三
直线的一般式方程
【例 3】 根据下列条件求解直线的一般式方程： (1)直线的斜率为 2，且经过点 A(1,3)； (2)斜率为 3，且在 y 轴上的截距为 4； (3)经过两点 A(2，－3)，B(－1，－5)； (4)在 x，y 轴上的截距分别为 2，－4. [思路探索] 分别利用直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式 求出直线的方程，然后转化为直线方程的一般式．
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解 (1)∵BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)， y－－4 x－5 ∴由两点式得 ＝ ， －2－－4 0－5 即 2x＋5y＋10＝0. 故 BC 边的方程为 2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)． (2)设 BC 的中点为 M(x0，y0)， 5＋0 5 －4＋－2 则 x0＝ 2 ＝2，y0＝ ＝－3. 2
截 距 式
在 x、 y轴 上的截距 a、b 且 ab≠0 x y a＋b＝1
ab≠0
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x y x y 想一想： 方程 － ＝1 和 ＋ ＝－1 都是直线的截距式方程吗？ 2 3 2 3 提示 都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个：一是中
间必须用“＋”号连接；二是等号右边为 1.
x＝2x0－x1， 得 y＝2y0－y1，
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3．直线的一般式方程 把关于 x、y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0 叫做直线的一般 式方程， 简称一般式． 其中系数 A、 B 满足 A，B不同时为0 .
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想一想：当 A＝0 或 B＝0 或 C＝0 时，方程 Ax＋By＋C＝0 分 别表示什么样的直线？ 提示 C (1)若 A＝0，则 y＝－B，表示与 y 轴垂直的一条直线．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页限时训练Fra bibliotek题型二
直线的截距式方程
【例 2】 已知直线 l 经过点(2,1)，且在两坐标轴上的截距相等， 求直线 l 的方程． [思路探索] 因为条件中涉及截距，所以可用截距式方程求解， 但要注意截距为零的情况． 也可设出点斜式方程， 由截距相等， 求出斜率，进而写出方程．
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【变式 2】 求过点 P(2,3)且在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程．
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解
设直线在 y 轴上的截距为 b，则在 x 轴上的截距为 2b.
若 b＝0，则直线过(0,0)与(2,3)点， 则其方程为 3x－2y＝0. x y 若 b≠0，则设其方程为 ＋ ＝1，又因为过点(2,3)． 2b b 2 3 ∴2b＋b＝1，即 b＝4. x y ∴8＋4＝1，即 x＋2y－8＝0. 综上，所求直线方程为 3x－2y＝0 或 x＋2y－8＝0.
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法二
由题意可知直线 l 的斜率存在．
设过点 A(2,1)的直线方程为 y－1＝k(x－2)(k≠0)． 令 x＝0，则 y＝1－2k； 1 令 y＝0，则 x＝2－ k. 1 由已知条件，得 1－2k＝2－k， 1 解得 k＝－1 或 k＝2. ∴所求直线的方程为 x＋y－3＝0 或 x－2y＝0.
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自学导引 1．直线方程的两点式和截距式 名 称 两 已知条件 P1(x1，y1)， 示意图 方程 x－x1 x2－x1 y－y1 y1≠y2 y2－y1 适用范围
点 P2(x2，y2)其中 式 x1≠x2，y1≠y2
且x1≠x2
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2．线段的中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 x＝ P1P2 的中点，则 y＝ x1＋x2 ， 2 y1＋y2 2 .
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试一试：若已知 A(x1，y1)及 AB 中点(x0，y0)，如何求 B 点的坐 标？ x1＋x＝x ， 0 2 提示 设 B(x，y)，则由 y1＋y ＝y0， 2 故点 B 的坐标为(2x0－x1,2y0－y1)．
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解
1 (1)由点斜式得 y－(－2)＝－ (x－8)， 2
即 x＋2y－4＝0； (2)由斜截式得 y＝2, 即 y－2＝0； x y (3)由截距式得 ＋ ＝1， 3 －3 2 即 2x－y－3＝0； y－－2 x－3 (4)由两点式得 ＝ ， －4－－2 5－3 即 x＋y－1＝0.
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解 法一
3 由题设 l 的方程可化为：y＝－4x＋3，
3 ∴l 的斜率为－4， (1)由 l′与 l 平行， 3 ∴l′的斜率为－4. 又∵l′过(－1,3)， 3 由点斜式知方程为 y－3＝－4(x＋1)， 即 3x＋4y－9＝0.
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规律方法
①首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式
的要求，对字母则需分类讨论；②注意问题叙述的异同，本题 中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是 直线．
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【变式 1】 (2012· 绍兴一中高一检测)已知△ABC 三个顶点坐标 A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
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解 法一
设直线 l 在两坐标轴上的截距均为 a，若 a≠0，则 l
x y 的方程可设为a＋a＝1. x y 又∵l 过点(2,1)，代入a＋a＝1，得 a＝3. x y ∴直线 l 的方程为 ＋ ＝1，即 x＋y－3＝0. 3 3 若 a＝0 时，l 过点(0,0)与(2,1)， 1 ∴l 的斜率 k＝2. 1 ∴直线 l 的方程为 y＝2x，即 x－2y＝0. ∴直线 l 的方程为 x＋y－3＝0 或 x－2y＝0.
C (2)若 B＝0，则 x＝－ ，表示与 x 轴垂直的一条直线． A (3)若 C＝0，则 Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线．
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题型一
直线的两点式方程
【例 1】 已知 A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中， (1)求 BC 边的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程． [ 思路探索 ] 首先判定是否满足直线方程两点式的条件，若满 足，则应用公式求解；若不满足，则根据具体条件写出方程．
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【变式 3】 根据下列各条件写出直线的方程， 并且化成一般式． 1 (1)斜率是－2，经过点 A(8，－2)； (2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴； 3 (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是2、－3； (4)经过两点 P1(3，－2)，P2(5，－4)．
直线的两点式方程 直线的一般式方程
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【课标要求】 1．掌握直线方程的两点式和一般式． 2．掌握两点式方程的特例——截距式． 3．了解二元一次方程与直线的对应关系． 【核心扫描】 1 ．能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转 化．(重点) 2．能够解决与直线方程的两点式及一般式有关的问题．(难点)
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解
(1)因为 k＝2，且经过点 A(1,3)，由直线的点斜式可得 y－3
＝2(x－1)，整理可得 2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为 2x－y＋1＝0. (2)由直线的斜率 k＝ 3，且在 y 轴上的截距为 4，故直线的斜 截式为 y＝ 3x＋4， 整理可得直线的一般式方程为 3x－y＋4＝0. y－－3 x－2 (3)由直线的两点式可得 ＝ ， 整理得直线的一 －5－－3 －1－2 般式方程为 2x－3y－13＝0. x y (4)由直线的截距式可得 ＋ ＝1，整理得直线的一般式方程 2 －4 为 2x－y－4＝0.
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5 ∴M2，－3，
又 BC 边上的中线经过点 A(－3,2)． y－2 x－－3 ∴由两点式得 ＝ ， 5 －3－2 －－3 2 即 10x＋11y＋8＝0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
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解
∵A(2，－1)，B(2,2)，
A、B 两点横坐标相同， ∴直线 AB 与 x 轴垂直，故其方程为 x＝2. ∵A(2，－1)，C(4,1)， ∴由直线方程的两点式可得直线 AC 的方程为 y－1 x－4 ＝ ， －1－1 2－4 即 x－y－3＝0. ∵B(2,2)，C(4,1)， y－1 x－4 ∴由直线方程的两点式可得直线 BC 的方程为 ＝ ， 2－1 2－4 即 x＋2y－6＝0.