2021_2022学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.5.3函数模型的应用学案含解析新人教

函数模型的应用
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 指数函数与对数函数模型
指数函数模型y＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
知识点2 解函数应用题的基本思路与步骤
1．建立函数模型解决实际问题的基本思路
2．建立函数模型解决实际问题的解题步骤
某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：
第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定．
第二步，求解数学模型．利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答．
第三步，转译成实际问题的解．
知识点3 拟合函数模型问题
定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程，就称为数学建模．根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)．
1．建立拟合函数模型的步骤
(1)收集数据．
(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图．
(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型． (4)选择其中的几组数据求出函数模型．
(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步．
(6)用所得函数模型解释实际问题． 2．建立拟合函数模型的一般流程
根据建立拟合函数模型的步骤，我们用如图来表示建立拟合函数模型的一般流程．
基础自测
1．某厂2008年的产值为a 万元，预计产值每年以n %的速度递增，则该厂到2020年的产值(单位：万元)是( B )
A ．a (1＋n %)13
B ．a (1＋n %)12
C ．a (1＋n %)11
D ．a (1－n %)12
[解析]2008年的产值为a 万元，2009年的产值为a ＋a ·n %＝a (1＋n %)，2010年的产值为a (1＋n %)＋a (1＋n %)·n %＝a (1＋n %)2，…，2020年的产值为a (1＋n %)12.
2．某种细菌经30分钟个数变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y ＝e kt ，其中k 为常数，t 表示时间(单位：时)，y 表示繁殖后细菌总个数，则k ＝2ln_2，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1_024．
[解析]由题意知，当t ＝12时，y ＝2，即2＝e 12k ，
∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2. 当t ＝5时，y ＝e 2
×5×ln 2
＝210＝1 024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
3．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到300只．
[解析]由题意，繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，这种动物第1年有100只，
所以100＝a log 2(1＋1)， 所以a ＝100，
所以y ＝100log 2(x ＋1)，
所以当x ＝7时y ＝100log 2(7＋1)＝100×3＝300.
4．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x 3 4 8 y
现有如下5①yx －0.16； ②y ＝2x －3.02； ③y ＝x 2x ＋8; ④y ＝log 2x ； ⑤y ＝(1
2
)x ＋1.74.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选④(填序号)． [解析]画出散点图如图所示：
由图可知上述散点大致在函数y ＝log 2x 上，故函数y ＝log 2x 可以近似地反映这些数据的规律．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 一次函数、二次函数、分段函数模型
例1某市“网约车”的现行计价标准是：路程在2 km 以内(含2 km)按起步价8元
收取，超过2 kmkm 收取，但超过10 km ×km)．
(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用 f (x )(单位：元)表示为行程x (0<x ≤60，单位：km)的分段函数；
(2)某乘客的行程为16 km ，他准备先乘一辆“网约车”行驶8 km 后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由．
[解析](1)由题意得，车费f (x )关于路程
x
的函数为
f (x )＝
⎩⎪⎨⎪
⎧8（0<x ≤2），8＋1.9（x －2）（2<x ≤10），×8＋2.85（x －10）（10<x ≤60），
＝⎩⎪⎨⎪
⎧8（0<x ≤2），
x （2<x ≤10），x －5.3（10<x ≤60）.
(2)只乘一辆车的车费为f ×16－5.3＝40.3(元)， 换乘2辆车的车费为2f ×8)＝(元)． 因此40.3>38.8，
所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱． [归纳提升]
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、提元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符． 2．应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值X 围的并集．
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的X 围．最后比较再下结论．
【对点练习】❶ 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：
H (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧400x －x 2，0≤x ≤200，x ∈N ，
40 000，x >200，x ∈N ，
其中x 是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数(用f (x )表示)；
(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？ (总收入＝总成本＋利润)
[解析](1)设每月产量为x 台，则总成本为t ＝10 000＋100x .又f (x )＝H (x )－t ，
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋300x －10 000，0≤x ≤200，x ∈N ，30 000－100x ，x >200，x ∈N .
(2)当0≤x ≤200时，f (x )＝－(x －150)2＋12 500， 所以当x ＝150时，有最大值12 500； 当x >200时，f (x )＝30 000－100x 是减函数， f (x )<30 000－100×200<12 500.
所以当x ＝150时，f (x )取最大值，最大值为12 500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元． 题型二 指数函数模型的应用
例2 2011‰，用英国经济学家马尔萨斯提出自然状态下的人口增长模型：y ＝y 0e rt
预测什么时候世界人口会翻一番？
[分析]解指数方程，要进行指对式互化．
[解析]由2011年世界人口数据，把y 0＝70，r ＝0.002 1代入马尔萨斯人口模型，得y ＝70e 0.002
1t .
解不等式y ＝70e 0.002 1t ≥140得t ≥
ln2
0.002 1
≈330. 所以由马尔萨斯人口模型估算，经过330年后，即2341年世界人口达到140亿． [归纳提升] 指数型函数问题的类型及解法
(1)指数型函数模型：y ＝ma x (a >0且a ≠1，m ≠0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．
(2)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．
【对点练习】❷ 目前某县有100万人．经过x 年后为y 万人．如果年平均增长率是1.2%.请回答下列问题：
(1)写出y 关于x 的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)． [解析](1)当x ＝1时，
y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)
当x ＝2时，y ＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×%＝100(1＋1.2%)2； 当x ＝3时，y ＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×%＝100(1＋1.2%)3； ……
故y 关于x 的函数解析式为 y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)． (2)当x ＝10时，
y ＝100(1＋1.2%)10＝100×10≈，
故10年后该县人口总数约有112.7万人． (3)设x 年后该县人口总数将达到120万人， 即y ＝100(1＋1.2%)x ＝120， 解得x ＝log 120
100
≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万人． 题型三 对数函数模型的应用
例3 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发
现候鸟的飞行速度可以表示为函数v ＝12log 3x
100－lg x 0，单位是km/min ，其中x 表示候鸟每分
钟耗氧量的单位数，x 0代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2＝0.30，3＝，3＝)．
(1)当x 0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少km/min? (2)当x 0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？
(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min ，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min ，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
[分析](1)将x 0，x 代入解析式求速度．
(2)利用候鸟休息的速度为0解题．
(3)利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商． [解析](1)由题意，x 0＝2，x ＝8 100， 得v ＝12log 38 100100－lg 2＝1.7，
故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min.
(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得，0＝12log 3x
100－lg 5，
即log 3x
100
＝2lg 5，解得：x ＝466，
故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为466个单位． (3)设雄鸟的耗氧量为x 1，雌鸟的耗氧量为x 2， 由题意得：错误!
两式相减可得1＝12log 3x 1x 2，解得：x 1
x 2
＝9，
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． [归纳提升] 对数型函数问题的类型及解法
(1)对数型函数模型：y ＝m log a x ＋c (m ≠0，a >0且a ≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．
(2)对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．
【对点练习】❸ 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v (单位：m/s)与其耗氧量单位数Q 之间的关系可以表示为函数v ＝k log 3
Q
100
＋b ，其中k ，b 为常数．已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位；而当它的游速为1.5 m/s 时，其耗氧量为2 700个单位．
(1)求出游速v 与其耗氧量单位数Q 之间的函数解析式；
(2)求当一条鲑鱼的游速不高于2.5 m/s 时，其耗氧量至多需要多少个单位．
[解析](1)由题意可得⎩⎨⎧
0＝k ·log 3100
100
＋b ，
1.5＝k ·log 3
2 700100
＋b ，
解得k ＝1
2
，b ＝0，
所以游速v 与其耗氧量单位数Q 之间的函数解析式v ＝12log 3Q
100.
(2)由题意，有12log 3Q 100≤，即log 3Q
100≤5，
所以log 3Q
100
≤log 335，
由对数函数的单调性有0<Q
100≤35，
解得0<Q ≤24 300，
故当一条鲑鱼的游速不高于2.5 m/s 时，其耗氧量至多需要24 300个单位．
误区警示
忽视实际问题对定义域的限制致误
例4 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函
数．现知一企业生产某种商品的数量为x (件)时的成本函数为y ＝10＋2x ＋2x 2(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？
[错解] 设该企业所能获取的最大利润为z 万元，则
z ＝20x －(10＋2x ＋2x 2)，即z ＝－2x 2＋18x －10＝－2(x －4.5)2＋30.5， 故z 的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5万元．
[错因分析]题目中的条件已经暗示了x 为自然数，而该错解中却是在x ＝4.5时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的．
[正解]设该企业所能获取的最大利润为z 万元，则z ＝20x －(10＋2x ＋2x 2)(x ∈N )，即z ＝－2x 2＋18x －10＝－2(x －4.5)2＋30.5，故当x ＝4或5时，z 取最大值30，即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元．
BBBB 学科素养
二分法的数学思想方法是将方程的根看作函数的零点，利用连续函数的性质，将求方程根的问题转化为计算函数值，逐步逼近零点，体现了函数与方程的思想，转化思想，数形结合思想及数学推理．
例5 已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6. (1)证明：f (
x )有且仅有一个零点；
(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于1
4.
[解析](1)∵函数y ＝ln x ，y ＝2x －6在(0，＋∞)上都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f (x )至多有一个零点，由f (2)＝ln2－2<0，f (3)＝ln3>0， ∴f (2)·f (3)<0，∴f (x )在(2，3)内至少有一个零点， ∴f (x )有且仅有一个零点． (2)∵f (2)<0，f (3)>0，取x 1＝
2＋32＝52，f (52)＝ln 52＋5－6＝ln 5
2
－1<0， ∴f (3)·f (52)<0，∴f (x )的零点x 0∈(5
2
，3)．
取x 2＝52＋32＝114，f (114)＝ln 114＋2×114－6＝ln 114－12>0，∴f (114)·f (52)<0，∴x 0∈(52，11
4)．
∵|114－52|＝14≤14，∴满足题意的区间为(52，11
4)．
课堂检测·固双基
1．如表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( A )
x 4 5 6 7 8 9 10 y
18
21
24
27
30
33
36
A C ．指数函数模型
D ．对数函数模型
[解析]随着自变量每增加1，函数值增加3，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．
2．当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( D ) A ．y ＝3x B ．y ＝log 3x C ．y ＝x 3
D ．y ＝3x
[解析]几种函数模型中指数函数增长最快．
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y 年，则函数y＝f(x)的图象大致是(D)
[解析]设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log x(x≥1)，所以y＝f(x)的图象大致为D中图象．
4．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如表所示.
时间123 4
利润(千元)2
A．y＝log2x B．y＝2x
C．y＝x2D．y＝2x
[解析]逐个检验可得答案为B．
5．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万
元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－1
20Q
2，则总利润L(Q)的最大值是2_500
万元．
[解析]∵每生产一单位产品，成本增加10万元，∴单位产品数Q时的总成本为2 000＋10Q万元，
∵K(Q)＝40Q－1
20Q
2，
∴利润L(Q)＝40Q－1
20Q
2－10Q－2 000
＝－1
20(Q－300)
2＋2 500
∴Q＝300时，利润L(Q)的最大值是2 500万元．。