届高三数学大一轮复习 直线、圆的位置关系学案 理 新人教A版

学案50 直线、圆的位置关系
导学目标： 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．
自主梳理
1．直线与圆的位置关系
位置关系有三种：________、________、________. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
(1)代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x 或y 整理成一元
二次方程后，计算判别式Δ
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系： d <r ⇔________，d ＝r ⇔________，d >r ⇔________. 2．圆的切线方程
若圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，点P (x 0，y 0)在圆上，则过P 点且与圆x 2＋y 2＝r 2
相切的切线方程为____________________________．
注：点P 必须在圆x 2＋y 2＝r 2
上．
经过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2
上点P (x 0，y 0)的切线方程为________________________． 3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法
运用韦达定理及弦长公式
|AB |＝1＋k 2
|x A －x B |
＝＋k 2
x A ＋x B 2－4x A x B ].
说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 4．圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________. 判断圆与圆的位置关系常用方法： (几何法)设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径为r 1、r 2 (r 1≠r 2)，则|O 1O 2|>r 1＋r 2________；|O
1O 2|＝r 1＋r 2______；|r 1－r 2|<|O 1O 2|<r 1＋r 2________；|O 1O 2|＝|r 1－r 2|________；0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2．
(2)已知两圆x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和x 2＋y 2
＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为________________________________________________________________，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆．
当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0. 自我检测
1．(2010·江西)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2
＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－34，0 B.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[)0，＋∞
C.⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－
33
，33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 2．圆x 2
＋y 2
－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝0
3．(2011·宁夏调研)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2
－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
4．过点(0,1)的直线与x 2＋y 2
＝4相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．2 5
5．(2011·聊城月考)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2
＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离
探究点一 直线与圆的位置关系
例1 已知圆C ：x 2＋y 2
＋2x －4y ＋3＝0.
(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值时点P 的坐标．
变式迁移1 从圆C ：(x －1)2＋(y －1)2
＝1外一点P (2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程．
探究点二 圆的弦长、中点弦问题
例2 (2011·汉沽模拟)已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2
＋4x －12y ＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
变式迁移2 已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0.
(1)证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；
(2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长．
探究点三圆与圆的位置关系
例3已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m 为何值时，
(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．
变式迁移3 已知⊙A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，⊙B：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0.当a，b变化时，若⊙B始终平分⊙A的周长，求：
(1)⊙B的圆心B的轨迹方程；
(2)⊙B的半径最小时圆的方程．
探究点四 综合应用
例4 已知圆C ：x 2＋y 2
－2x ＋4y －4＝0.问在圆C 上是否存在两点A 、B 关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．
变式迁移4 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2
＝1相交于M 、N 两点．
(1)求实数k 的取值范围；
(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →
＝12，求k 的值．
1．求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条．
2．解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式．这就是通常所说的“几何法”和“代数法”． 3．判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2
－2y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切或相交 C ．相交 D ．相切
2．(2011·珠海模拟)直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2
－2x －2＝0相切，则实数m 等于( )
A.3或－ 3 B ．－3或3 3 C ．－33或 3 D ．－33或3 3
3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2
－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 3
4．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2
上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离为1，则半径r 的取值范围是( )
A ．(4,6)
B ．[4,6)
C ．(4,6]
D ．[4,6]
5．(2010·全国Ⅰ)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA →·PB →
的最小值为( )
A ．－4＋ 2
B ．－3＋ 2
C ．－4＋2 2
D ．－3＋2 2
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2
＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________.
7．(2011·三明模拟)已知点A 是圆C ：x 2＋y 2
＋ax ＋4y －5＝0上任意一点，A 点关于直线x ＋2y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________.
8．(2011·杭州高三调研)设直线3x ＋4y －5＝0与圆C 1：x 2＋y 2
＝4交于A ，B 两点，若圆C 2的圆心在线段AB 上，且圆C 2与圆C 1相切，切点在圆C 1的劣弧AB 上，则圆C 2的半径的最大值是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)圆x 2＋y 2
＝8内一点P (－1,2)，过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点．
(1)当α＝3π
4
时，求AB 的长；
(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程．
10．(12分)(2011·湛江模拟)自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．11．(14分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
学案50 直线、圆的位置关系
自主梳理
1．相切相交相离(1)相交相切相离(2)相交相切相离 2.x0x＋y0y＝r2 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2 4.(1)相离外切相交内切内含相离外切相交内切内含(2)(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0 自我检测
1．A 2.D 3.B 4.B 5.B
课堂活动区
例1解题导引(1)过点P作圆的切线有三种类型：
当P在圆外时，有2条切线；
当P在圆上时，有1条切线；
当P在圆内时，不存在．
(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类．
(3)切线长的求法：
过圆C外一点P作圆C的切线，切点为M，半径为R，
则|PM|＝|PC|2－R2.
解(1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，
由|k＋2|
1＋k2
＝2，解得k＝2±6，得y＝(2±6)x.
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，
由|－1＋2－a|
2
＝2，
得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3.
∴直线方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
综上，圆的切线方程为y＝(2＋6)x，或y＝(2－6)x，或x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
(2)由|PO|＝|PM|，
得x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2
－2， 整理得2x 1－4y 1＋3＝0.
即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．
当|PM|取最小值时，即OP 取得最小值，直线OP⊥l， ∴直线OP 的方程为2x ＋y ＝0.
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，
得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.
变式迁移1 解 设圆切线方程为y －3＝k(x －2)，
即kx －y ＋3－2k ＝0，∴1＝|k ＋2－2k|
k 2
＋1
， ∴k＝3
4
，另一条斜率不存在，方程为x ＝2.
∴切线方程为x ＝2和3x －4y ＋6＝0.
圆心C 为(1,1)，∴k PC ＝3－1
2－1＝2，
∴过两切点的直线斜率为－1
2
，又x ＝2与圆交于(2,1)，
∴过切点的直线为x ＋2y －4＝0.
例2 解题导引 (1)有关圆的弦长的求法：
已知直线的斜率为k ，直线与圆C 相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，点C 到l 的距离为d ，圆的半径为r.
方法一 代数法：弦长|AB|＝1＋k 2
|x 2－x 1|
＝1＋k 2·1＋x 2
2
－4x 1x 2； 方法二 几何法：弦长|AB|＝2r 2－d 2
. (2)有关弦的中点问题：
圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系． 解 (1)方法一
如图所示，|AB|＝43，取AB 的中点D ，连接CD ，则CD⊥AB，连接AC 、BC ， 则|AD|＝23，|AC|＝4， 在Rt △ACD 中，可得|CD|＝2.
当直线l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.
由点C 到直线AB 的距离公式，得|－2k －6＋5|
k 2＋－
2
＝2， 解得k ＝3
4.
当k ＝3
4
时，直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.
又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. ∴所求直线的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0. 方法二 当直线l 的斜率存在时， 设所求直线的斜率为k ，
则直线的方程为y －5＝kx ，即y ＝kx ＋5.
联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋5，
x 2＋y 2
＋4x －12y ＋24＝0，
消去y ，得(1＋k 2)x 2
＋(4－2k)x －11＝0.① 设方程①的两根为x 1，x 2，
由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝2k －4
1＋k
2
，x 1x 2
＝－11
1＋k
2
.②
由弦长公式，得1＋k 2
|x 1－x 2|
＝＋k 21＋x 2
2
－4x 1x 2]＝4 3. 将②式代入，解得k ＝3
4
，
此时直线方程为3x －4y ＋20＝0.
又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x ＝0. ∴所求直线的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D(x ，y)，
则CD⊥PD，即CD →·PD →
＝0，
(x ＋2，y －6)·(x，y －5)＝0，
化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2
＋2x －11y ＋30＝0. 变式迁移2 (1)证明 由kx －y －4k ＋3＝0， 得(x －4)k －y ＋3＝0.
∴直线kx －y －4k ＋3＝0过定点P(4,3)．
由x 2＋y 2
－6x －8y ＋21＝0，
即(x －3)2＋(y －4)2
＝4，
又(4－3)2＋(3－4)2
＝2<4.
∴直线和圆总有两个不同的交点．
(2)解 k PC ＝3－4
4－3
＝－1.
可以证明与PC 垂直的直线被圆所截得的弦AB 最短，因此过P 点斜率为1的直线即为所
求，其方程为y －3＝x －4，即x －y －1＝0.|PC|＝|3－4－1|
2＝2，
∴|AB|＝2|AC|2
－|PC|2
＝2 2.
例3 解题导引 圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距d 与两圆半径和、差的关系入手．
解 对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后
C 1：(x －m)2＋(y ＋2)2
＝9；
C 2：(x ＋1)2＋(y －m)2
＝4. (1)如果C 1与C 2外切，
则有＋2＋－2－2
＝3＋2.
(m ＋1)2＋(m ＋2)2
＝25. m 2
＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2. (2)如果C 1与C 2内含，
则有＋2＋＋2
<3－2.
(m ＋1)2＋(m ＋2)2<1，m 2
＋3m ＋2<0， 得－2<m<－1，
∴当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2外切； 当－2<m<－1时，圆C 1与圆C 2内含．
变式迁移3 解 (1)两圆方程相减得公共弦方程
2(a ＋1)x ＋2(b ＋1)y －a 2
－1＝0.① 依题意，公共弦应为⊙A 的直径，
将(－1，－1)代入①得a 2
＋2a ＋2b ＋5＝0.②
设圆B 的圆心为(x ，y)，∵⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a
y ＝b ，
∴其轨迹方程为x 2
＋2x ＋2y ＋5＝0.
(2)⊙B 方程可化为(x －a)2＋(y －b)2＝1＋b 2
.
由②得b ＝－12
[(a ＋1)2
＋4]≤－2，
∴b 2≥4，b 2
＋1≥5.当a ＝－1，b ＝－2时，⊙B 半径最小，
∴⊙B 方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2
＝5.
例4 解题导引 这是一道探索存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以AB 为直径的圆经过原点O ，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决．因此能否将问题合理地转换是解题的关键．
解 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2
＝9， 圆心为C(1，－2)．
假设在圆C 上存在两点A 、B ，则圆心C(1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1. 于是可知，k AB ＝1.
设l AB ：y ＝x ＋b ，代入圆C 的方程，
整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2
＋4b －4＝0，
Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0，b 2
＋6b －9<0， 解得－3－32<b<－3＋3 2. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝12
b 2
＋2b －2.
由OA⊥OB，知x 1x 2＋y 1y 2＝0， 也就是x 1x 2＋(x 1＋b)(x 2＋b)＝0，
∴2x 1x 2＋b(x 1＋x 2)＋b 2
＝0， ∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2
＋3b －4＝0， 解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ>0.
即直线AB 的方程为x －y －4＝0，或x －y ＋1＝0.
变式迁移4 解 (1)方法一 ∵直线l 过点A(0,1)且斜率为k ， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.
将其代入圆C ：(x －2)2＋(y －3)2
＝1，
得(1＋k 2)x 2
－4(1＋k)x ＋7＝0.①
由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k 2
)×7>0， 得4－73<k<4＋73
.
方法二 同方法一得直线方程为y ＝kx ＋1， 即kx －y ＋1＝0.
又圆心到直线距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|
k 2
＋1
，
∴d＝|2k －2|k 2＋1
<1，解得4－73<k<4＋73.
(2)设M(x 1
，y 1
)，N(x 2
，y 2
)，则由①得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝4＋4k
1＋k
2
x 1x 2
＝7
1＋k
2
，
∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2
)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1
＝＋
1＋k ＋8＝12⇒k ＝1(经检验符合题意)，∴k＝1. 课后练习区
1．C 2.C 3.D 4.A 5.D 6．1 7.－10 8.1
9．解 (1)当α＝3π
4
时，k AB ＝－1，
直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0.(3分)
故圆心(0,0)到AB 的距离d ＝|0＋0－1|2＝2
2，
从而弦长|AB|＝2
8－1
2
＝30.(6分) (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
1＋y 2
1＝8，
x 22＋y 2
2＝8，
两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，
即－2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，
∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1
2
.(10分)
∴直线l 的方程为y －2＝1
2
(x ＋1)，
即x －2y ＋5＝0.(12分) 10.
解 已知圆C ：x 2
＋y 2
－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2
＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．(4分)
设l 的方程为y －3＝k(x ＋3)，则 |5k ＋2＋3|
12＋k
2
＝1，(8分) 即12k 2
＋25k ＋12＝0.∴k 1＝－43，k 2＝－34
.
则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0. (12分)
11．解 两圆的标准方程分别为
(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)， 半径分别为11和61－m.
(1)当两圆外切时，－2＋－2＝11＋61－m.
解得m ＝25＋1011.(4分)
(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－m －11＝5. 解得m ＝25－1011.(8分)
(3)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，
即4x ＋3y －23＝0.(12分)
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为
2× 112－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|4＋3×3－23|42＋322＝27.(14分)。