数列经典例题裂项相消法

数列经典例题裂项相消法
数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列 } {na 的前 n 项和为 , 15 , 5 ,5 5 S a S n 则数列 }1{1 n n aa的前 100 项和为(
) A． 100
B．99
C．99100
D．100
2．数列 ,) 1 (1n na n 其前 n 项之和为 ,109则在平面直角坐标系中，直线 0 ) 1 ( n y x n 在 y 轴上的截距为(
) A．－10
B．－9
C．10
D．9 3．等比数列 } {na 的各项均为正数，且6 223 2 19 , 1 3 2 a a a a a ．(Ⅰ)求数列 } {na 的通项公式；(Ⅱ)设 , log log log3 2 3 1 3 n na a a b
求数列 }1{nb的前 n 项和． 4．正项数列 } {na 满足 0 2 ) 1 2 (2 n a n an n．(Ⅰ)求数
列 } {na 的通项公式na ；(Ⅱ)令 ,) 1 (1nna nb求
数列 } {nb 的前 n 项和nT ． 5．设等差数列 } {na 的前
n 项和为nS ，且 1 2 , 42 2 4n na a S S ．(Ⅰ)求数列 } {na 的通项公式；(Ⅱ)设数列 } {nb 满
足 , ,211*2211N nabababnnn求 } {nb 的前 n 项和nT ． 6．已知等差数列 } {na 满足：
26 , 77 5 3 a a a ． } {na 的前 n 项和为
nS ．(Ⅰ)求na 及nS ；(Ⅱ)令 ), (11*2N nabnn
求数列 } {nb 的前 n 项和nT ． 7．在数列 } {na 中n nana a21 1)11 ( 2 , 1 , ．(Ⅰ)求 } {na 的通项公式；(Ⅱ)令 ,211 n n na a b 求数列 } {nb 的前 n 项和nS ；
（Ⅲ）求数列 } {na 的前 n 项和nT ． 8．已知等差数
列 } {na 的前 3 项和为 6，前 8 项和为﹣4．(Ⅰ)求数列 } {na 的通项公式；(Ⅱ)设 ), , 0 ( ) 4 (* 1N n q q a bnn n求数列 } {nb 的前 n 项和nS ． 9．已知数
列 } {na 满足 , 2 , 02 1 a a 且对*, N n m
都有21 1 2 1 2) ( 2 2 n m a a an m n m
．(Ⅰ)求5 3 ,aa ；(Ⅱ)设 ), (*1 2 1 2N n a
a bn n n证明：
} {nb 是等差数列；（Ⅲ）设 ), , 0 ( ) (* 11N n q q a a cnn n n求数列 } {nc 的前 n 项和
nS ． 10．已知数列 } {na 是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 16 , 557 2 6 3 a a a a ．(Ⅰ)求数列 } {na 的通项公式；(Ⅱ)数列 } {na 和数列 } {nb 满足等
式 ), (2 2 2 2*3322 1N nb b b bannn
求数列 } {nb 的前 n 项和nS ． 11．已知等差数列 } {na 的公差为 2，前 n 项和为nS ，且4 2 1, , S S S 成等比数列． (1)求数列 } {na 的通项公式； (2)令 ,4) 1 (112n nna anb 求数列 } {nb 的前 n 项和nT . 12．正项数列 } {na 的前 n 项和nS 满足：
0 ) ( ) 1 (2 2 2 n n S n n Sn n.
(1)求数列 } {na 的通项公式na ； (2)令 ,) 2 (12 2nna nnb数列 } {nb 的前 n 项和为nT ，证明：对于 ,*N n都有645nT . 答案：
1．A；2．B 3．解：(Ⅰ)设数列{a n }的公比为 q，由 a 3 2 =9a 2 a 6 有 a 3 2 =9a 4 2 ， there4;q 2 = ．由条件可知各项均为正数，故 q= ．由 2a 1 +3a 2 =1 有 2a 1 +3a 1 q=1， there4;a 1 = ．故数列{a n }的通项式为 a n = ．
（Ⅱ）b n = + +…+ =﹣（1+2+…+n）=﹣，故 =﹣ =﹣2（﹣）
则+ +…+ =﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=
﹣， there4;数列{ }的前 n 项和为﹣． 4．解：(Ⅰ)由正项数列{a n }满足：
﹣（2n﹣1）a n ﹣2n=0，可有（a n ﹣2n）（a n +1）=0 there4;a n =2n．(Ⅱ)∵a n =2n，b n = ， there4;b n = = = ， T n = = = ．数列{b n }的前 n 项和 T n 为． 5．解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的首项为 a 1 ，公差为d，由 S 4 =4S 2 ，a 2n =2a n +1 有：，解有 a 1 =1，
d=2． there4;a n =2n﹣1，n isin;N * ． (Ⅱ)由已知 + +…+ =1﹣，n isin;N * ，有：
当 n=1 时， = ，当 n ge;2 时， =（1﹣）﹣（1
﹣）= ， there4;，n=1 时符合． there4; = ，n isin;N *
由（Ⅰ）知，a n =2n﹣1，n isin;N * ．
there4;b n = ，n isin;N * ．又T n = + + +…+ ，there4; T n = + +…+ + ，两式相减有：
T n = +（+ +…+ ）﹣ = ﹣﹣
there4;T n =3﹣． 6．解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为 d，∵a 3 =7，a 5 +a 7 =26， there4;有，解有 a
1 =3，d=2， there4;a n =3+2（n﹣1）=2n+1； S n = =n
2 +2n；(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a n =2n+1， there4;b n = = = = ，there4;T n = = = ，即数列{b n }的前 n 项和 T n
= ． 7．解：(Ⅰ)由条件有，又 n=1 时，，故数列构成首项为 1，公式为的等比数列． there4; ，即．(Ⅱ)由有，，
两式相减，有：
， there4; ．（Ⅲ）由有． there4;T n =2S n +2a 1 ﹣2a n+1 = ． 8．解：(Ⅰ)设{a n }的公差为 d，由已知有
解有 a 1 =3，d=﹣1 故 a n =3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；(Ⅱ)由(Ⅰ)的解答有，b n =n bull;q n﹣1 ，于是 S n =1 bull;q 0 +2 bull;q 1 +3 bull;q 2 +…+n bull;q n﹣
1 ．若 q ne;1，将上式两边同乘以 q，有 qS n =1 bull;q 1 +
2 bull;q 2 +
3 bull;q 3 +…+n bull;q n ．上面两式相减，有（q﹣1）S n =nq n ﹣（1+q+q 2 +…+q n﹣1 ）=nq n ﹣
于是 S n =
若 q=1，则S n =1+2+3+…+n=
there4;，S n = ． 9．解：(Ⅰ)由题意，令 m=2，n=1，可有 a 3 =2a 2 ﹣a 1 +2=6 再令 m=3，n=1，可有 a 5 =2a
3 ﹣a 1 +8=20 (Ⅱ)当 n isin;N * 时，由已知（以 n+2 代替 m）可有 a 2n+3 +a 2n﹣1 =2a 2n+1 +8 于是[a 2（n+1）+1 ﹣a 2（n+1）﹣1 ]﹣（a 2n+1 ﹣a 2n﹣1 ）=8 即 b n+1 ﹣b n =8
there4;{b n }是公差为 8 的等差数列（Ⅲ）由(Ⅰ) (Ⅱ)解答可知{b n }是首项为 b 1 =a 3 ﹣a 1 =6，公差为 8 的等差数列则 b n =8n﹣2，即 a 2n+1 ﹣a 2n﹣1 =8n﹣2 另由已知（令 m=1）可有 a n = ﹣（n﹣1）
2 ． there4;a n+1 ﹣a n = ﹣2n+1= ﹣2n+1=2n 于是
c n =2nq n﹣1 ．当 q=1 时，S n =2+4+6++2n=n（n+1）
当 q ne;1 时，S n =2 bull;q 0 +4 bull;q 1 +6
bull;q 2 +…+2n bull;q n﹣1 ．两边同乘以 q，可有 qS n =2 bull;q 1 +4 bull;q 2 +6 bull;q 3 +…+2n bull;q
n ．上述两式相减，有（1﹣q）S n =2（1+q+q 2 +…+q n ﹣1 ）﹣2nq n =2 bull; ﹣2nq n =2 bull;
there4;S n =2 bull;
综上所述，S n = ． 10．解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为 d，则依题意可知 d＞0 由 a 2 +a 7 =16，有，2a 1 +7d=16① 由 a 3 a 6 =55，有（a 1 +2d）（a 1 +5d）
=55② 由①②联立方程求，有 d=2，a 1 =1/d=﹣2，a 1 = （排除）
there4;a n =1+（n﹣1） bull;2=2n﹣1 (Ⅱ)令 c n
= ，则有 a n =c 1 +c 2 +…+c n
a n+1 =c 1 +c 2 +…+c n+1
两式相减，有 a n+1 ﹣a n =c n+1 ，由（1）有 a 1
=1，a n+1 ﹣a n =2 there4;c n+1 =2，即 c n =2（n
ge;2），即当 n ge;2 时， b n =2 n+1 ，又当 n=1 时，b 1 =2a 1 =2 there4;b n =
于是S n =b 1 +b 2 +b 3 +...+b n =2+2 3 +2 4 + (2)
n+1 =2 n+2 ﹣6，n ge;2，． 11．解 (1)因为 S 1 ＝ a
1 ， S
2 ＝2 a 1 ＋ 2x12x2＝2 a 1 ＋2， S 4 ＝4 a 1 ＋4x32x2＝4 a 1 ＋12，由题意得(2 a 1 ＋2) 2 ＝ a 1 (4 a 1 ＋12)，解得 a 1 ＝1，所以 a n ＝2 n －1. (2) b n ＝(－1) n －14 na n a n ＋1 ＝(－1)n －14 n(2 n －1)(2 n ＋1) ＝(－1)n －1 (12 n －1 ＋12 n ＋1 )．当 n 为偶数时， T n ＝(1＋ 1
3 )－(13 ＋15 )＋…＋(12 n －3 ＋12 n －1 )－(12 n －1 ＋12 n ＋1 )＝1－12 n ＋1 ＝2 n2 n ＋1 . 当 n 为奇数时， T n ＝(1＋ 13 )－(13 ＋15 )＋…－(12 n －3 ＋12 n －1 )＋(12 n －1 ＋12 n ＋1 )＝1＋12 n ＋1 ＝2 n ＋22 n ＋1 . 所以 T n ＝ 2 n ＋22 n ＋1 ， n 为奇数，2 n2 n ＋1 ， n 为偶数.(或 T n ＝ 2 n ＋1＋(－1)n －12 n ＋1) 12．(1)解由 S 2 n －
( n 2 ＋ n －1) S n －( n 2 ＋ n )＝0，得[ S n －( n 2 ＋ n )]( S n ＋1)＝0，由于{ a n }是正项数列，所以 S n ＋1>0.
所以 S n ＝ n 2 ＋ n ( n isin;N N * )． n ge;2 时， a n ＝ S n － S n －1 ＝2 n ， n ＝1 时， a 1 ＝
S 1 ＝2 适合上式． there4; a n ＝2 n ( n isin;N N
* )． (2)证明由 a n ＝2 n ( n isin;N N * )得 b n ＝n ＋1( n ＋2) 2 a 2 n ＝n ＋14 n 2 ( n ＋2) 2 ＝116
1n 2 －1( n ＋2) 2 T n ＝116
1－13 2＋12 2 －14 2＋
13 2 －15 2＋…
＋1( n －1) 2 －1( n ＋1) 2＋
1n 2 －1( n ＋2) 2 ＝116
1＋12 2 －1( n ＋1) 2 －1( n ＋2) 2<116
1＋12 2＝564 ( n isin;N
N* )．即对于任意的 n isin;N N * ，都有 T n <564 .。