南陵中学2020学年度高二必修2和2—1测试卷

南陵中学2020学年度高二数学必修2和2-1 同步测试卷
姓名：___________班级：___________得分：___________ 命题：秦朝斌
第I 卷（选择题）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1. 4m =是直线(34)30mx m y +-+=与直线230x my ++=平行的 （ ） A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要
2.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
83π B. 103
π C. 6π D. 3π
3.设α为平面，m ，n 为两条直线，若m α⊥，则“m n ⊥”是“n ⊂α”的（ ）
A. 充分必要条
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条
D. 既不充分也不必要条件
4.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，120ABC ∠=︒，2AB =，1,
BC =12CC =，
则异面直线AB 1与BC 1所成角的大小为 （ ）
A. 60°
B. 60°或120°
C. 45°
D. 135°或45°
5.已知a 、b 是实数，若圆
2
2
1
1
1
x y 与直线
()()1120a x b y +++-=相切，则+a b 的取值范围是 （ ）
A. 222,222⎡⎤-+⎣⎦
B. (
)
,222222,⎤
⎡-∞-++∞⎦
⎣
C. (
)
,2222,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣
D. (])
,2222,⎡-∞-⋃++∞⎣
6.如图，正方形. ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P ，Q 分别在直线
11AB,A D 上，M 是线段PQ 的一个三等分点(靠近点P ).若
||2PQ ≤，则||AM 的取值范围是（ ）
A. 213[,]3
B. 113
[,]3
C. 113[,]39
D. 12[,]33
7.已知圆
()()22
:122
C x y -++=，若直线24y kx =-上存在点P ，使得过点P 的圆C
的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是（ ） A. 2
3k ≤-
或0k ≥ B. 38
k ≤- C. 38
k ≤-或0k ≥
D. 23
k ≤-
8.已知椭圆C ：22
2
13x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足
OF FP
=，则C 的方程为（ ）
A. 22
1123x y += B. 22
183x y +=
C. 22163
x y +=
D. 22143
x y +=
9.若圆
22
220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离与最小距离的差为6，则实数k 的值是（ ） A. －34
B. 1
C. 4
D. 7
10.已知F 1 ,F 2为椭圆22
22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，B 为E 的短轴端点，2BF 的
延长线交E 于点M ，M 关于x 轴的对称点为N ，若21
MF NF ⊥，则E 的离心率是（ ）
A.
3 B.
2 C.
3 D.
5
11.如图，定点A 和B 都在平面 α内，定点,,P PB αα∉⊥ C 是α内异于A 和B 的动点，且.PC AC ⊥那么，动点C 在平面α内的轨迹是 A.一条线段，但要去掉两个点 B.一个圆，但要去掉两个点 C.一个椭圆，但要去掉两个点 D.半圆，但要去掉两个点
12.已知椭圆13
42
2=+y x 的左顶点为1A ，右焦点为2F ，点P 为椭圆上的一动点，则当→
→
⋅21PF PA 取最小值的时候，→
→
+21PF PA 的值为 （ ）
A ．22
B ．3
C ． 32
D ． 13
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.若命题“
[]
01,2x ∃∈-，
00
x a ->”为假命题，则实数a 的
最小值为_______.
14.过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为 . 15.已知直线 0=++c by x α与圆1:2
2
=+y x O 相交于B A 、两点，且=⋅=OB OA AB 则,3|| .
16.已知点P
22
221(0,0)
x y a b a b
-=>>上，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，且120PF PF ⋅=，则12PF F ∆的内切圆半径r 与外接圆半径R 之比为 ．
三、解答题（本题共6道小题,第1题10分,其它每题12分,共70分）
17.已知命题p ：方程22
1
127x y m m +=--表示双曲线；命题q ：x R ∀∈，不等式22230x mx m +++>恒成立.
（1）若“q ⌝”是真命题，求实数m 的取值范围.
（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围.
18.已知关于x ，y 的方程C ：
22240y x x y m +--+=．(1)若方程C 表示圆，求m 的取值范围；(2)若圆C 与圆
22
812360y x x y +--+=外切，求m 的值；
(3)若圆C 与直线l ：240x y +-=相交于M ，N 两点，且MN =，求m 的值．
19.已知多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，EF CE ⊥，且2AC =
，1AE EC ==，
2BC
EF =
，//AD EF .
（1）求证：平面ACE ⊥平面ADEF ；
（2）若AE AD ⊥，直线AE 与平面ACF 夹角的正弦值为3
，求AD 的值.
20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>
的离心率
2e =
，椭圆C 上的点到其左焦点F 1的
最大距离为11）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆C 左焦点F 1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，直线:2m x =-，过点F 1作直线l 的垂线与直线m 交于点T ，求1TF AB
的最小值和此时直线l 的方程．
21.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，
,
AC BD相交于点O，
//
EF AB，2
AB EF
=，平面BCF⊥平面ABCD，BF CF
=，点G为BC的中点.
（1）求证：直线//
OG平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE.
22.椭圆
() 22
22
:10
x y
C a b
a b
+=>>
的焦距是82，长轴长是短轴长3倍，任作斜率为
1
3的直线l与椭圆C交于A、B两点（如图所示），且点
()
32,2
P
在直线l的左上方.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若210
AB=PAB
∆的面积；
（3）证明：PAB
∆的内切圆的圆心在一条定直线上．
试卷答案
1.C 【分析】结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 【详解】当m=4，则两直线方程分别为：4x+8y+3=0，2x+4y+3=0，满足直线平行， 当m=0时，直线方程分别为：34y =，3
2
x =- ，两直线不平行； 当3m - 4=0，即4
3m =
时，直线方程分别为：94x =- ，2x+43
y+3=0，两直线不平行； 由直线mx 3m 4y 30+
-+=（）与直线2x my 30++=平行，可知两直线斜率相等， 即2
34m m m
-
=-- ，解得m=2或m=4；当m=2时，两直线重合，故“m 4=”是“直线
mx 3m 4y 30+-+=（）与直线2x my 30++=平行”的充要条件.故选C.
【点睛】考查存在斜率的两直线平行的充要条件，根据直线方程求直线斜率，以及充分条件，必要条件，充分不必要条件的概念,注意求出m 值后，代入直线方程，验证两直线是否重合，直线平行不包括直线重合这一情况.
2.D 【详解】解：该几何体是一个底面半径为1、高为4的圆柱被一个平面分割成两部分中
的一个部分，故其体积为221
141232V πππ
=⨯⨯-⨯⨯⨯= .本题选择D 选项.
3.C 【分析】根据充分性和必要性的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.
【详解】当m α⊥时，如果m n ⊥，不一定能推出n ⊂α，因为直线n 可以在平面α外， 当m α⊥时，如果n ⊂α，根据线面垂直的性质一定能推出m n ⊥，所以若m α⊥，则“m n ⊥”是“n ⊂α”的必要不充分条件.故选：C 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了线面垂直的性质，考查了推理论证能力.
4.C 【分析】首先将直三棱柱补成如图四棱柱，再利用线线平行，可得异面直线1
AB 和
1
BC 所成的角就是
11
B AD ∠或是其补角，利用三角形的边长求角.
【详解】如图，将直三棱柱补成四棱柱，底面是平行四边形ABCD ，连结1AD ，11B D ，
11//AD BC ，所以异面直线1AB 和1BC 所成的角就是11B AD ∠或是其
补角，由题意可知2211426AB AB BB =
+=+=，
2211123AD AD DD =+=+=，
22211111111111
2cos 604122132
B D A B A D A B A D =+-⨯⨯⨯=+-⨯⨯⨯
=所以11AB D 是等腰直角三角形，1145B AD ∠=.故选：C
【点睛】本题考查异面直线所成角，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型.
5.B由题设圆心
(1,1)
C到直线()()
1120
a x
b y
+++-=
的距离
22
112
1
(1)(1)
a b
d
a b
+++-
==
+++
，即
22
1
(1)(1)
a b
a b
+
=
+++
，也即
222
()2()2
a b a b a b
+=++++，因为
222
1
()
2
a b a b
+≥+
，所以
22
1
()2()2()
2
a b a b a b
+-+-≥+
，即
2
()4()40
a b a b
+-+-≥，解之得
222
a b
+≥+或222
a b
+≤-，应选答案B．
点睛：解答本题的关键是借助题设条件建立方程
22
1
(1)(1)
a b
a b
+
=
+++
，然后再依据问题的特征与欲求目标之间的联系，借助基本不等式222
1
()
2
a b a b
+≥+建立了不等式22
1
()2()2()
2
a b a b a b
+-+-≥+，最后通过解不等式使得问题获解．
6.B【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，并利用两点间
的距离公式，结合不等式，即可得答案；【详解】如图所示，以建1
A 为原点，建立空间直角坐标系，设
22
(0,,1),(,0,0),(,,),(0,0,1)
333
x y
P y Q x M A
，
2222
||123
PQ x y x y
=++≤⇒+≤，∴
22
41
||
999
x y
AM=++，当0
x y
==
时，
min
1
||
3
AM=，
22222
414(3)113
||
99999939
x y x x x
AM
-
=++≤++=-+ 03
x
≤≤，当3
x=时，∴
max
13
||
AM=，∴||
AM的取值范围是113
[,]
3
，
故选：B.【点睛】本题考查利用空间中两点间的距离公式求距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，一元二次函数性质的运用.
7.A【分析】直接利用直线与圆的位置关系，由于存在点P使圆的两条切线垂直，得到四边形为正方形，进一步利用点到直线的距离公式求出k的取值范围.
【详解】解：设过点P的圆C的两条切线分别与圆相切于,A B,因为过点P的圆C的两条切线互相垂直，所以四边形APBC为正方形，此时正方形的对角线长为2，
所以只需圆心(1,2)-到直线的距离小于等于2，
≤2， 1k -
，解得23
k ≤-或0k ≥，故选：A 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，考查运算能力和转化能力，属于中档题.
8.D 【分析】根据对称性知P 在x 轴上，2a c =，计算得到答案.
【详解】根据对称性知P 在x 轴上，OF FP =，故2a c =，223a c =+，解得2a =，
1c =，故椭圆方程为：22
143
x y +=.故选：D. 9.D 【分析】先将圆的方程化为标准方程，设圆心到直线的距离d ，则圆
22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为d r -（r 为圆的半径），根据已知条件求出半径，从而可求得k 的值.
【详解】圆的方程化为标准方程得()()22112x y k -+-=+，则202k k +>⇒>-，
圆的半径为r =
()1,1到直线100x y +-=的距离为d
，d == 当d r 时，圆22220x y x y k +---=上
的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为d r -，由已知条件得()()263d r d r r r +--==⇒=，
3=，解得7k =.
此时，3d ==>，直线100x y +-=与圆()()22119x y -+-=相离，合乎题意. 当d r ≤时，圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为
d r +，最小距离为0，由已知条件得66d r r +=⇒=-<
综上，7k =故选：D.【点睛】本题考查了圆上的点到直线距离的最大值和最小值的求
解，考查运算求解能力，属于中等题. 10.D 【分析】写出2BF 方程，与椭圆方程联立求得M 点坐标，由对称性得N 点坐标，由21MF NF ⊥，其斜率乘积为1-得,,a b c 的等式，变形后可求得离心率e ．
【详解】依题意得，设()()12,0,,0F c F c -，直线2BF 的方程为
1x y c b
+=，代入22221x y a b +=得()222220a c x ca x +-=，解得0x =或2222ca x a c =+，2222ca x a c =+时，
3
22(1)x b y b c a c
=-=-+，所以2322222,ca b M a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以2322222,ca b N a c a c ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因133222232223NF b b a c ca a c c c a c
k +=+++=①，又因为21MF NF ⊥，2MF b k c =-，所以1NF c k b =②，联立①②得42243b a c c =+，又222b a c =-
，代入解得5
c a =，故选：D . 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的等式，正好题中两直线垂直得斜率乘积为1-，只要得出点,M N 坐标即可列式．
11.B 12.B 13.2【分析】根据命题为假得到
[]1,2x ∀∈-，0x a -≤恒成立，简单计算，可得答案.
【详解】命题“0x R ∃∈，20020x x a --=”为假命题，故[]1,2x ∀∈-，0x a -≤恒成立.
所以[]1,2x ∀∈-，a x ≥恒成立， 故2a ≥所以实数a 的最小值为2故答案为：2.
【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，掌握等价转化的思想，化繁为简，意在考查学生的推断能力，属基础题. 14.22
14536
x y +=；解析：设直线l 上的点为(),9P t t +，取()13,0F -关于直线l 的对称点()9,6Q -
，12222a PF PF PQ PF QF =+=+≥== ，当且仅当2
,,Q P F 共线，即22
PF QF K K =，也即96312
t t +=--时，5t =-，()5,4P -
，据3,c a ==得，2245,36a b ==，椭圆的方程2214536x y +=. 15.12
-
1 17.（1）3m ≥或1m ≤-（2）732m ≤<或11m -<≤ 【分析】（1）先求命题q 为真时，参数的范围，再求其补集即可；
（2）由题可知，命题一真一假，故分别求解命题为真时参数的范围，再先交后并即可.
【详解】（1）命题q ：x R ∀∈，不等式22230x mx m +++>恒成立
得2
44(23)0m m ∆=-+<，解得13m -<<由q ⌝为真，故q 为假，则3m ≥或1m ≤- （2）由题意知命题p ：(1)(27)0m m --<，得712
m << 由（1）知命题q ：∴13m -<<又p q ∧为假，p q ∨为真 ，所以p 真q 假或p 假q 真 则71231m m m ⎧<<⎪⎨⎪≥≤-⎩或或71213m m m ⎧≥≤⎪⎨⎪-<<⎩
或 解得m 的取值范围：732m ≤<或11m -<≤
18.（1）5m <； （2）4 ； （3）4.【分析】（1）根据圆的标准的方程条件列不等式求出m 的范围；（2）利用垂径定理得出圆的半径，从而得出m 的值．
（3）（2）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出m 的值．
【详解】（1）方程C 为 ()()22
125x y m -+-=-， 50,5m m -><时即表示圆．
（2）由（1）知圆C 的圆心为()1,2，半径为5m -，22812360x y x y +--+=可化为()()22
4616x y -+-=，故圆心为()4,6，半径为4．又两圆外切，所以()()22416254m -+-=-+，即554m =-+，可得4m =． （3）圆C 的圆心()1,2到直线:240l x y +-=的距离为
221224
512d +⨯-==+， 由45,5
MN =则12525MN =， 又 22212r d MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22
5255,m ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得 4m =． 【点睛】本题考查圆的标准方程的特征，圆与圆外切的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用．属于基础题．
19.（1）证明见解析 （2）2AD =
【详解】试题分析：(1)由题意结合线面垂直的判断定理可得CE ⊥平面ADEF ，然后利用面面垂直的判断定理即可证得平面ACE ⊥平面ADEF .
(2)建立空间直角坐标系，结合题意利用夹角公式可得求得直线AE 与平面ACF 的夹角的正弦值3sin θ=，据此可得2AD =. 试题解析：（1）∵2AC =，1AE EC ==，∴222AC AE CE =+，
∴AE EC ⊥；又EF CE ⊥，AE EF E ⋂=，∴CE ⊥平面
ADEF ；
因为CE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面ADEF .
（2）因为平面ACE ⊥平面ADEF ，
平面ACE 平面ADEF AE =，AE AD ⊥，
所以AD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC AD ⊥；
以A 为原点，,AC AD 所在直线分别为,x y 轴，过点A 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2AD a =，则()0,0,0A ，()
2,0,0C ，
,,22F a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，2
2E ⎛ ⎝⎭，设平面ACF 的一个法向量(),,m x y z =，因为()
2,0,0AC =
2AF
a ⎛=-
⎝
⎭，∴0022
x ay z ⎧=-+=⎪⎩
，取z =，1y a =，则10,m a ⎛
= ⎝，222AE ⎛= ⎝⎭
，设直线AE 与平面ACF 的夹角为
θ，故sin ||||1AE m AE m θ⋅===，解得1a =（1a =-舍去），故2AD =. 20.（
1）2
212x y +=；（2）最小值为
，此时直线l 的方程为1x =-．
【分析】（1）根据椭圆C 上的点到其左焦点的最大距离为1
1a c +=再由2
e =，联立求解即可. （2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =-，可分别求导T ，A ，B 的坐标，然后利用两点间距离公式求解；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为
()1y k x =+，由()22112
y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，利用弦长公式求得AB ，再由()112y x k x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，求得交点1
2,T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而得到1TF =
1TF AB 求解. 【详解】（1
）由题可知2
c e a ==
，又椭圆C 上的点到其左焦点的最大距离为1+
所以1a c +=
a =1c =，∴1
b ==，所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为
1x =-，则()2,0T -， 所以
A ⎛- ⎝⎭，1,2
B ⎛
- ⎝⎭
，此时12TF AB =；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y 由()22112
y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得
()2222
214220k x k x k +++-=，由韦达定理得2122421k x x k +=-+，21222221k x x k -⋅=+，则
)2
2112k AB k +==+，
联立()112
y x k x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，可得12,T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，所以1TF =所以
2221
2TF AB
==>=22
1k k +≠所以等号不成立．综上，1
TF AB 的最小值为2
，此时直线l 的方程为1x =-． 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与直线，直线与椭圆的位置关系以及最值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21.（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）证明//OG CD ，再利用线面平行判定定理，即可证明； （2）证明AC ⊥平面ODE 内的两条相交直线EO 、DO ；
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC
BD O =，∴点O 是BD 的中点，
∵点G 为BC 的中点，∴//OG CD ，
又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴直线OG ∥平面EFCD . （2）∵BF CF =，点G 为BC 的中点，∴FG BC ⊥.
∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF ⋂平面ABCD BC =， FG ⊂平面BCF ，FG BC ⊥，∴FG ⊥平面ABCD ，
∵AC ⊂平面ABCD ，∴FG
AC ， ∵//OG AB ，12OG AB =，EF AB ∥，12
BF AB =， ∴OG EF ∥，OG EF =，∴四边形EFGO 为平行四边形，∴FG EO ∥， ∵FG AC ⊥，FG EO ∥，∴AC EO ⊥，
∵四边形ABCD 是菱形，∴AC DO ⊥，∵AC EO ⊥，AC DO ⊥，EO DO O ⋂=，EO 、DO 在平面ODE 内，∴AC ⊥平面ODE .
【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，求解时注意条件书写的完整性.
22.（1）22
1
364x y +=（2）6（3）PAB ∆的内切圆的圆心在一条定直线x =
【分析】（1）由题意求出椭圆方程中的,,a b c ，得解；（2）分别利用弦长公式及点到直线的距离公式求出三角形的底与高，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）先证明0PA PB k k +=，从而可得APB ∠的角平分线平行y 轴，从而可证PAB ∆的内切圆的圆心在一条定直线上.【详解】解：（1
）由题意知：2c =
，得c =222
3,32a b a b c =-==，所以6,2a b ==，故椭圆C 的方程为：22
1364x y +=； （2）设直线l 的方程为：13
y x t =+，代入椭圆方程可得：22269360x tx t ++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则212129363,2
t x x t x x -+=-=，
所以AB =
，又AB =2t =或2t =-， 由题意可得0t <，故AB 所在直线方程为123y x =
-，即360x y --=，
所以点(P 到直线AB
的距离d ==
故PAB ∆
的面积为11622S AB d =⋅=⨯=； （3）设直线l 的方程为：13y x m =
+，代入椭圆方程 22269360x mx m ++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则212129363,2
m x x m x x -+=-=，
PA PB k k +=
==，
12(y x -
+21(y x
-121(3
x m x =+-
-211(3
x m x ++--
2121222936()12(3120332
m x x m x x m m -=+-+-+=⋅--⋅-+=即 0PA PB k k +=，所以APB ∠的角平分线平行y 轴，
故PAB ∆
的内切圆的圆心在一条定直线x =.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法、弦长公式及点到直线的距离公式，重点考查了圆锥曲线中的定值问题，属综合性较强的题型.。