2024学年北京市十五中数学高三第一学期期末综合测试试题含解析

2024学年北京市十五中数学高三第一学期期末综合测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[
)1,+∞
B ．1,
C ．(),1-∞
D ．(],1-∞
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
23
B ．
13
C ．
43
D ．
56
3．半正多面体(semiregular solid ) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．8
3
B ．4
C ．
163
D ．
203
4．若集合{}
A=|2x x x R ≤∈，，{}
2
B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ）
A ．{}|02x x ≤≤
B ．{}2|x x ≤
C ．{}2|0x x -≤≤
D ．∅
5．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x
≥⎧⎪
=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不
同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．11,65⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．11,
54⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．11,
54⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
6．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足
3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当30,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+，
则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ） A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
7．已知点1F 是抛物线C ：2
2x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A ．
62
2
- B ．21-
C ．
62
2
+ D ．21+
8．()()()()(
)*
121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）
A ．3
n C
B ．2
1n C +
C ．1
n n C -
D ．
3112
n C + 9．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种. A ．360 B ．240 C ．150 D ．120
10．抛物线的焦点是双曲线
的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准
线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线
的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知函数2()e (2)e x
x f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ）
A ．1
B ．
1
2
或0 C ．1或0 D ．2或0
12．ABC ∆中，25BC =D 为BC 的中点，4
BAD π
∠=，1AD =，则AC =（ ）
A ．5
B ．22
C ．65
D ．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数2()x f x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________.
14．已知集合{|||4,},{1,}=<∈=A x x x Z B m ，若A B A ⋃=，且3m A -∈，则实数m 所有的可能取值构成的集合是________.
15．已知函数()1
ln
1x f x ax
-=-为奇函数，则a =______. 16．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱1BB 的中点，点F 是棱1CC 靠近
1C 的三等分点，且三棱锥1A AEF -的体积为2，则四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为______．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知动圆M 恒过点10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，且与直线1
2
y
相切. （1）求圆心M 的轨迹E 的方程；
（2）设P 是轨迹E 上横坐标为2的点，OP 的平行线l 交轨迹E 于A ，B 两点，交轨迹E 在P 处的切线于点T ，问：是否存在实常数λ使2
||||||PT TA TB λ=⋅，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
18．（12分）已知函数()x
f x e =.
（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若对任意的m ∈R ，当0x >时，都有2
12()221m f x km x ⎛⎫
+>- ⎪⎝⎭
恒成立，求最大的整数k . （参考数据：
3
1.78≈）
19．（12分）在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ＝1，AA 1＝2，E ，F ，G 分别是棱AA 1，AC 和A 1C 1的中点，以{}
,,FA FB FG 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz .
（1）求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值； （2）求二面角F-BC 1-C 的余弦值．
20．（12分）已知函数()213f x t x x =++--R . （1）求实数t 的取值范围；
（2）设实数R 为t 的最小值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c m ++=，求222111
123
a b c +++++的最小值. 21．（12分）设函数()121f x x x =++-． （1）求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若()f x 的最小值为a ，且x y z a ++=，求()()2
2
212x y z ++++的最小值．
22．（10分）已知函数ln (),x
x ax
f x a R e +=
∈ （1）若函数()y f x =在()00ln 2ln3x x x =<<处取得极值1，证明：1123ln 2ln 3
a -<<- （2）若1
()x f x x e
-
恒成立，求实数a 的取值范围. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解题分析】
命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒>
2、A 【解题分析】
利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积．
【题目详解】
几何体的三视图的直观图如图所示，
则该几何体的体积为：12
112
33⨯⨯⨯=．
故选：A．
【题目点拨】
本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．
3、D
【解题分析】
根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.
【题目详解】
如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，
∴该几何体的体积为
1120 2228111
323
V=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，
故选：D.
【题目点拨】
本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.
4、C
【解题分析】
试题分析：化简集合
故选C ．
考点：集合的运算． 5、D 【解题分析】
做出函数(),()f x g x 的图象，问题转化为函数(),()f x g x 的图象在[5,5]-有7个交点，而函数(),()f x g x 在[5,0]-上有3个交点，则在[0,5]上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【题目详解】
作出函数(),f x ()g x 的图象如图所示，由图可知
方程()()f x g x =在[5,0]-上有3个不同的实数根， 则在[0,5]上有4个不同的实数根， 当直线y kx =经过(4,1)时，14
k =； 当直线y kx =经过(5,1)时，15
k =， 可知当
11
54
k ≤<时，直线y kx =与()f x 的图象在[0,5]上有4个交点， 即方程()()f x g x =，在[0,5]上有4个不同的实数根. 故选:D. 【题目点拨】
本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题. 6、D 【解题分析】
根据()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫
-
+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得函数()f x 的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得3
3101022
f f f f f -=-====（
）（）（）（）（） ，利用周期性可得函数()f x 在区间[]
0,6上的零点个数． 【题目详解】
∵()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫
-
+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，33332222f x f x ∴-++=++（）（） ，可得3f x f x （）（）+=，
函数()f x 的周期为3， ∵当30,
2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时， ()()
2
ln 1f x x x =-+， 令0f
x =（），则211x x -+=，解得0x =或1， 又∵函数()f x 是定义域为R 的奇函数，
∴在区间33
[]22
-，上，有11000f f f -=-==（
）（），（）． 由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫
-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取0x =，得3322f f -=（
）（） ，得33022f f =-=（）（）， ∴3
3101022
f f f f f -=-====（
）（）（）（）（）． 又∵函数()f x 是周期为3的周期函数，
∴方程()f x =0在区间[]
0,6上的解有39012345622
，，，，，，，，． 共9个，
故选D ． 【题目点拨】
本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题． 7、D 【解题分析】
根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1
1）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ． 【题目详解】
直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -
，F 1（0，2p ），F 2（0，2
p -），
代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx +p 2＝0， ∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，
∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：2222y x a b
-=1，
丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨=
=，
2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（ 1）p ，
2c ＝p ，
∴离心率e
c
a ===1， 故选：D ． 【题目点拨】
本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题． 8、B 【解题分析】
根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论． 【题目详解】
由题意展开式中x 的一次项系数为2
1(1)122
n n n n C +++++=
=． 故选：B ． 【题目点拨】
本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式． 9、C 【解题分析】
可分成两类，一类是3个新教师与一个老教师结对，其他一新一老结对，第二类两个老教师各带两个新教师，一个老教师带一个新教师，分别计算后相加即可． 【题目详解】
分成两类，一类是3个新教师与同一个老教师结对，有33
5360C A =种结对结对方式，第二类两个老教师各带两个新教
师，有223
533
902!
C C A =．
∴共有结对方式60＋90＝150种．
故选：C ． 【题目点拨】
本题考查排列组合的综合应用．解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情，是先分类还是先分步，确定方法后再
计数．本题中有一个平均分组问题．计数时容易出错．两组中每组中人数都是2，因此方法数为22
532!
C C ．
10、A 【解题分析】
先由题和抛物线的性质求得点P 的坐标和双曲线的半焦距c 的值，再利用双曲线的定义可求得a 的值，即可求得离心率.
【题目详解】 由题意知，抛物线焦点，准线与x 轴交点
，双曲线半焦距
，设点
是以点为直角顶点
的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上， 所以
抛物线的准线，从而
轴，所以
，
即
故双曲线的离心率为
故选A 【题目点拨】
本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题. 11、C 【解题分析】
求出函数的导函数，当0t >时，只需(ln )0f t -=，即1ln 10t t -+=，令1()ln 1g t t t
=-+，利用导数求其单调区间，即可求出参数t 的值，当0t =时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断； 【题目详解】 解：∵2()e (2)e x
x f x t t x =+--（0t ≥），
∴()()2()2e
(2)e 1e 12e 1x
x x x f x t t t '=+--=-+，∴当0t >时，由()0f x '=得ln x t =-，
则()f x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增， 所以(ln )f t -是极小值，∴只需(ln )0f t -=，
即1ln 10t t -+=.令1()ln 1g t t t =-+，则2
11
()0g t t t '=+>，∴函数()g t 在(0,)+∞上单 调递增.∵(1)0g =，∴1t =；
当0t =时，()2e x f x x =--，函数()f x 在R 上单调递减，∵(1)2e 10f =--<，2
(2)22e 0f --=->，函数()
f x 在R 上有且只有一个零点，∴t 的值是1或0. 故选：C 【题目点拨】
本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题. 12、D 【解题分析】
在ABD ∆
中，由正弦定理得sin B =
cos cos 4ADC B π⎛⎫
∠=+= ⎪⎝⎭
，在ADC ∆中，由余弦定理可得
AC .
【题目详解】
在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin 4
AD BD
B π=
，得sin 10B =，又BD AD >，所以B
为锐角，所以cos 10
B =
，cos cos 45
ADC B π⎛⎫
∴∠=+=
⎪⎝⎭， 在ADC ∆中，由余弦定理可得2222cos 4AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=，
2AC ∴=.
故选：D 【题目点拨】
本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2 -0e x y = 【解题分析】 设切点坐标为(
)2,t
t e
，利用导数求出曲线()y f x =在切点()2,t
t e 的切线方程，将原点代入切线方程，求出t 的值，
于此可得出所求的切线方程． 【题目详解】
设切点坐标为(
)2,t
t e
，()2x f x e =，()22x f x e '∴=，()22t f t e '=，
则曲线()y f x =在点(
)2,t
t e
处的切线方程为()222t
t y e
e x t -=-，
由于该直线过原点，则222t t e te -=-，得12
t =
， 因此，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为2y ex =，故答案为20ex y -=． 【题目点拨】
本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是： （1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；
（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标； （3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程． 14、{0,2,3}. 【解题分析】
化简集合A ，由B A ⊆，以及3m A -∈，即可求出结论. 【题目详解】
集合{3,2,1,0,1,2,3}A =---，若A B A ⋃=， 则m 的可能取值为3,2,1---，0，2，3， 又因为3m A -∈，
所以实数m 所有的可能取值构成的集合是{0,2,3}. 故答案为:{0,2,3}. 【题目点拨】
本题考查集合与元素的关系，理解题意是解题的关键，属于基础题. 15、1- 【解题分析】
利用奇函数的定义得出()()f x f x -=-，结合对数的运算性质可求得实数a 的值. 【题目详解】 由于函数()1ln
1x f x ax -=-为奇函数，则()()f x f x -=-，即111ln ln ln 111
x x ax
ax ax x ----=-=+--，
1111
x ax
ax x ---∴
=+-，整理得22211x a x -=-，解得1a =±.
当1a =时，真数1
11x x
-=
=--，不合乎题意； 当1a =-时，()1ln 1x f x x -=+，解不等式
1
01
x x ->+，解得1x <-或1x >，此时函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞-+∞，定义域关于原点对称，合乎题意.
综上所述，1a =-. 故答案为：1-. 【题目点拨】
本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 16、12 【解题分析】
由题意，设底面平行四边形ABCD 的BC a =，且BC 边上的高为b ，直四棱柱1111ABCD A B C D -的高为h ，分别表示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积，即可求解。

【题目详解】
由题意，设底面平行四边形ABCD 的AB a ，且AB 边上的高为b ，直四棱柱1111ABCD A B C D -的高为h ， 则直四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V Sh abh ==， 又由三棱锥1A AEF -的体积为11111111
23326
A AEF F AA E V V S h ah b abh --===⨯⨯==， 解得12abh =，即直四棱柱的体积为12。

【题目点拨】
本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题，其中解答中正确认识几何体的结构特征，合理、恰当地表示直四棱柱三棱锥的体积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2
2x y =；（2）存在，5
2
. 【解题分析】
（1）根据抛物线的定义，容易知其轨迹为抛物线；结合已知点的坐标，即可求得方程；
（2）由抛物线方程求得点P 的坐标，设出直线l 的方程，利用导数求得点T 的坐标，联立直线l 的方程和抛物线方程，结合韦达定理，求得,TA TB ，进而求得2
PT 与TA TB 之间的大小关系，即可求得参数λ. 【题目详解】
（1）由题意得，点M 与点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
的距离始终等于点M 到直线1
2
y
的距离， 由抛物线的定义知圆心M 的轨迹是以点10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
为焦点，直线1
2
y
为准线的抛物线， 则
1
22
p =，1p =.∴圆心M 的轨迹方程为22x y =. （2）因为P 是轨迹E 上横坐标为2的点， 由（1）不妨取(2,2)P ，所以直线OP 的斜率为1. 因为//l OP ，所以设直线l 的方程为y x m =+，0m ≠. 由2
12
y x =
，得y x '=，则E 在点P 处的切线斜率为2， 所以E 在点P 处的切线方程为22y x =-.
由,22,y x m y x =+⎧⎨
=-⎩得2,
22,
x m y m =+⎧⎨=+⎩所以(2,22)T m m ++，
所以[][]2
2
22||(2)2(22)25PT m m m =+-++-=.
由2,2y x m x y
=+⎧⎨=⎩消去y 得2220x x m --=， 由480m ∆=+>，得1
2
m >-且0m ≠. 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则122x x +=，122x x m =-. 因为点T ，A ，B 在直线l 上，
所以1||(2)TA m =-+，2||(2)TB m =-+， 所以12||||2(2)(2)TA TB x m x m ⋅=-+⋅-+
()212122(2)(2)x x m x x m =-++++ 222|22(2)(2)|2m m m m =--+++=，
所以2
5
||||||2
PT TA TB =⋅. ∴52
λ=
故存在5
2
λ=
，使得2||||||PT TA TB λ=⋅. 【题目点拨】
本题考查抛物线轨迹方程的求解，以及抛物线中定值问题的求解，涉及导数的几何意义，属综合性中档题. 18、（1）y ex =（2）2 【解题分析】
（1）先求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程.
（2）对m 分成，0,0m m =≠两种情况进行分类讨论.当0m ≠时
，将不等式2
12()1m f x x ⎛
⎫
+
>- ⎪⎝⎭
转化为2
11
2()f x x m
-+
>，构造函数1()2()h x f x x =+，利用导数求得()h x 的最小值（设为a
）的取值范围，由a >
210am -+>在m ∈R 上恒成立，结合一元二次不等式恒成立，判别式小于零列不等式，解不等式求得k 的取值范围. 【题目详解】
（1）已知函数()x
f x e =，则(1,(1))f 处即为(1,)e ， 又()x
f x e '=，(1)k f e '==，
可知函数()x
f x e =过点(1,(1))f 的切线为(1)-=-y e e x ，即y ex =.
（2）注意到0x >，
不等式212()1m f x x ⎛⎫+>- ⎪⎝
⎭中， 当0m =时，显然成立；
当0m ≠
时，不等式可化为12()f x x +
> 令11()2()2x h x f x e x x =+
=+，则21
()2x h x e x
'=-， 11
222
11()2221240h e e '=-=⎛⎫
⎪⎭
- <⎝，
2
32 1.7830
1
(22
3
h'=-=-≈⨯-
⎭
>
⎝
所以存在
1
2
x
⎛
∈
⎝⎭
，
使
()0
02
1
20
x
h x e
x
'=-=.
由于2x
y e
=在()
0,∞
+上递增，
2
1
y
x
=在()
0,∞
+上递减，所以
x是()
'
h x的唯一零点.
且在区间()0
0,x上()0
h x
'<，()
h x递减，在区间()
,x+∞上()0
h x
'>，()
h x递增，
即()
h x的最小值为()0
02
000
111
2x
h x e
x x x
=+=+
，令
1
2)
t
x
=∈，
则2
2
00
11
(3
t t
x x
+=+∈+，将()
h x的最小值设为a
，则(3
a∈，
因此原式需满足a>
210
am-+>在m∈R上恒成立，
又0
a>，可知判别式840
k a
∆=-<即可，即
2
a
k<
，且(3
a∈+
k可以取到的最大整数为2.
【题目点拨】
本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
19、（1
）
4
.（2
.
【解题分析】
（1）先根据空间直角坐标系，求得向量AC和向量BE的坐标，再利用线线角的向量方法求解.
（2）分别求得平面BFC1的一个法向量和平面BCC1的一个法向量，再利用面面角的向量方法求解.
【题目详解】
规范解答（1）因为AB＝1，AA1＝2，则F(0，0，0)，A
1
,0,0
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，C
1
,0,0
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
B0,
2
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
，E
1
,0,1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
所以AC ＝(－1，0，0)，BE
＝1,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
记异面直线AC 和BE 所成角为α，
则cosα＝|cos 〈,BE AC 〉|
1
|1|
-⨯
4
， 所以异面直线AC 和BE
所成角的余弦值为
4
. （2） 设平面BFC 1的法向量为m = (x 1，y 1，z 1)．
因为FB
＝0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，1FC ＝1,0,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭， 则1111
3
02120
2m FB y m FC x z ⎧⋅==⎪⎪⎨
⎪⋅=-+=⎪⎩
取x 1＝4，得平面BFC 1的一个法向量为m ＝(4，0
，1)． 设平面BCC 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．
因为CB ＝1
,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，1CC ＝(0，0，2)，
则221210220
n CB
x y n CC z ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅
==⎩
取x 2
得平面BCC 1的一个法向量为n ＝，－1，0)
，
所以cos 〈,m n
=
17
根据图形可知二面角F-BC 1-C 为锐二面角， 所以二面角F-BC 1-C 的余弦值为17
. 【题目点拨】
本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，面面角的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中
档题.
20、（1）4t ≥；（2）9
22
【解题分析】
（1）首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；
(2)首先确定m 的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式. 【题目详解】
（1）因为函数定义域为R ，即2130t x x ++--=恒成立，所以213t x x ≥-++-恒成立
5,1,21313,13,5, 3.x x x x x x x x +≤-⎧⎪
-++-=--<<⎨⎪--≥⎩
由单调性可知当1x =-时，213x x -++-有最大值为4，即4t ≥； （2）由（1）知4m =，22216a b c ++=， 由柯西不等式知()()2222222
1111231119123a b c a b c ⎛⎫++⨯+++++≥++= ⎪+++⎝⎭
所以
222111912322a b c ++≥+++，即222
111
123
a b c +++++的最小值为922. 当且仅当2193a =，2163b =，2
133
c =时，等号成立
【题目点拨】
本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21、（1）{
1x x ≤-或}1x ≥（2）最小值为27
4
． 【解题分析】
（1）讨论1x <-，112x ≤≤-，1
2
x >三种情况，分别计算得到答案. （2）计算得到3
2
x y z ++=，再利用均值不等式计算得到答案. 【题目详解】
（1）()3,1,12,1,213,,2x x f x x x x x ⎧
⎪-<-⎪
⎪
=-+-≤≤⎨
⎪
⎪>⎪⎩
当1x <-时，由33x -≥，解得1x <-； 当1
12
x ≤≤-时，由23x -+≥，解得1x =-； 当1
2
x >
时，由33x ≥，解得1x ≥． 所以所求不等式的解集为{
1x x ≤-或}1x ≥． （2）根据函数图像知：当1
2x =时，()min 32a f x ==，所以32
x y z ++=． 因为()()2
12x y z ++++⎡⎤⎣⎦
()()()()()()22
21221212x y z x y x z y z =+++++++++++⎡⎤⎣⎦
()()22
2312x y z ⎡⎤≤++++⎣⎦
，
由32x y z ++=
，可知()()281
124
x y z ++++=⎡⎤⎣⎦， 所以()()22
2
27
124
x y z ++++≥
， 当且仅当32x =
，1
2y =，12
z =-时，等号成立． 所以()()2
2
212x y z ++++的最小值为
27
4
．
【题目点拨】
本题考查了解绝对值不等式，函数最值，均值不等式，意在考查学生对于不等式，函数知识的综合应用. 22、（1）证明见详解；（2）(,1]-∞ 【解题分析】
（1）求出函数()y f x =的导函数()f x '
，由()f x 在0x x =处取得极值1，可得0()0f x '=且0()1f x =.解出
001x a e x =-
，构造函数1()(0)x
r x e x x
=->，分析其单调性，结合0ln 2ln 3x <<，即可得到a 的范围，命题得证；
（2）由1()x
f x x e -
分离参数，得到ln 1x x a e x x --恒成立，构造函数ln 1()x
x g x e x x
=--，求导函数22
ln ()x x e x g x x
'+=，再构造函数2()ln x
h x x e x =+，进行二次求导()
21()2x h x x x e x '=++.由0x >知()0h x '>，则()h x 在(0,)+∞上单调递增.根据零点存在定理可知()h x 有唯一零点1x ，且
11
12
x <<.由此判断出()10,x x ∈时，()g x 单调递减，()1,x x ∈+∞时，()g x 单调递增，则()min 1()g x g x =，即1111
ln 1
x
x a e x x -
-.由()10h x =得1111ln x x x e x =-
，再次构造函数()(0)x k x xe x =>，求导分析单调性，从而得11ln x x =-，即11
1x e x =，最终求得()11g x =，则1a .
【题目详解】
解：（1）由题知，1
(ln )
()x
a x ax x f x e '+-+=
∵函数()y f x =在0x x =，处取得极值1，
()()000001
ln 0x a x ax x f x e +-+'∴==，且()00
00
ln 1x ax f x e
+==， 0000
1
ln x a x ax e x ∴
+=+=， 00
1x a e x ∴=-
， 令1()(0)x
r x e x x =-
>，则21
()0x r x e x
'=+> ()r x ∴为增函数，
00ln 2ln 3x <<< (ln 2)(ln3)r a r ∴<<，即11
23ln 2ln 3
a -
<<-成立. （2）不等式1
()x f x x e
≤-
恒成立， 即不等式ln 1x xe x ax --≥恒成立，即ln 1
x
x a e x x
-
-恒成立， 令ln 1()x
x g x e x x =--，则2222
1ln 1ln ()x x
x x e x g x e x x x '-+=-+= 令2()ln x
h x x e x =+，则(
)
2
1()2x
h x x x e x
'=++
, 0x
，()0h x '∴>，
()h x ∴在
(0,)+∞上单调递增，且1(1)0,ln 202h e h ⎛⎫=>=-< ⎪
⎝⎭
， ()h x ∴有唯一零点1x ，且
11
12
x <<， 当()10,x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()1,x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增.
()min 1()g x g x ∴=，
1111
ln 1
x x a e x x ∴-
- 由()10h x =整理得1
11
1
ln x
x x e x =-
1112
x <<，1ln 0x -> 令()(0)x k x xe x =>，则方程1111
ln x x x e x =-等价于()()11ln k x k x =- 而()(1)x
k x x e '=+在(0,)+∞上恒大于零，
()k x ∴在(0,)+∞上单调递增， ()()11ln k x k x =-.
11ln x x ∴=-
11
1x e x ∴= ()()111111111
ln 1111x x x g x e x x x x x -∴=-
-=--=， 1a ∴ ∴实数a 的取值范围为(,1]-∞.
【题目点拨】
本题考查了函数的极值，利用导函数判断函数的单调性，函数的零点存在定理，证明不等式，解决不等式恒成立问题.其中多次构造函数，是解题的关键，属于综合性很强的难题.。