2018年东北三省三校一模考试(数学理科)

2018年东北三省三校一模考试(数学理科)
D
润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[]
20,10
--，需求量为100台；最低气
温位于区间[)
25,20
--，需求量为200台；最低气温位于区间[)
35,25
--，需求量为300台。

公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：
最低气温(℃)[)
35,30
--[)
30,25
--[)
25,20
--[)
20,15
--[]
15,10
--
天数11 25 36 16 2
以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率.
(1)求11月份这种电暖气每日需求量X(单位：台)的分布列；
(2)若公司销售部以每日销售利润Y(单位：元)的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200
台或250台，两者之中选其一，应选哪个？
19.如图，四棱锥P ABCD
-中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA PD
=，底面ABCD为矩形，点M、E、N分别为线段AB、BC、CD的中
点，F是PE上的一点，2
PF FE
=.直线PE与平面ABCD所成的角
为4
π. (1)证明：PE ⊥平面MNF ；
(2)设AB AD =，求二面角B MF N --的余弦值.
20.已知椭圆()22
2
2:10x
y C a b a
b
+=>>过抛物线2
:4M x
y
=的焦点F ，1
F ，2
F
分别是椭圆C 的左、右焦点，且1
1
2
6F F F F ⋅=. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l 与抛物线M 相切，且与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB △面积的最大值.
21.已知函数()x
f x e =，()ln
g x x =，()
h x kx b =+.
(1)当0b =时，若对任意()0,x ∈+∞均有()()()f x h x g x ≥≥成立，求实数k 的取值范围；
(2)设直线()h x 与曲线()f x 和曲线()g x 相切，切点分别为
()()
11,A x f x ，()()2
2
,B x g x ，其中1
0x <.
①求证：2
x
e
>；
②当2
x x ≥时，关于x 的不等式()1
1ln 0a x x x x -+-≥恒成立，求实数a
的取值范围.
22.已知曲线1
C 的极坐标方程为：4cos ρθ=，以极点为坐标
原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线2
C 的
参数方程为：
1323x t y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩(t 为参数)，点()3,0A .
(1)求出曲线1
C 的直角坐标方程和曲线2
C 的普通方程； (2)设曲线1
C 与曲线2
C 相交于P ，Q 两点，求AP AQ ⋅的值.
23.已知不等式25211x x ax -++>-. (1)当1a =时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为R ，求a 的范围.
2018年三省三校一模考试（数学理科）答案
一．选择题：CABBA BDABD CA 二．填空题：
13.1 14.
3
2
15.C 16. ①③ 三．解答题：
17. （本题满分12分） 解：（Ⅰ）令1n =，得21
11423
a a a =+-，且0
n
a
>，解得1
3
a
=. 当2n ≥时，22
111
4422n
n n n n n S S a a a a ----=-+-，即22
11
422n
n n n n a a a a a --=-+-，
整理得
11()(2)0
n
n n n a a a a --+--=，
0n a >，12
n
n a
a -∴-=，
所以数列{}n
a 是首项为3，公差为2的等差数列，
故3(1)221
n
a
n n =+-⨯=+.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：2
2111111
()1444(1)41
n
n b
a n n n n n n =
===--+++，
12+
n n T b b b ∴=++1111
1111(1)(1)422314144
n
n n n n =-+-+
+-=-=+++.
18．（本题满分12分）
解：（1）由已知X 的可能取值为100,200,300 X 的分布列为
X 100 200 300 P
0.2
0.4
0.4
（2） 由已知 ①当订购200台时，
E()[20010050(200100)]0.22002000.835000Y =⨯-⨯-⨯+⨯⨯=(元) ② 当订购250台时，
E()[20010050(250100)]0.2[20020050(250200)]0.4Y =⨯-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯
+[200250]0.437500
⨯⨯=（元）
综上所求，当订购250台时，Y 的数学期望最大，11月每日应订购250台。

19．（本题满分12分）
.解：（Ⅰ）取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP AD ⊥.
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，4
PEO π∠=，OP OE
=.
方法一：因为//MN BC ，//OE AB ，所以MN OE ⊥，所以MN PE ⊥.
又12
4
4
EF PE ==，12
EQ OE =，所以2
4
EF EQ
EO EP ==，所以EFQ ∆∽EOP ∆， 所以2
EFQ EOP π∠=∠=，所以PE FQ ⊥.且MN
FQ Q
=，所以PE ⊥平面
MNF
.
方法二：取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ,连接FQ ，则
OP AD
⊥.
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面AC ，4
PEO π
∠=，OP OE =. 又因为//MN BC ，//OE AB ，所以MN OE ⊥，所以MN PE ⊥.
以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴，
建立空间直角坐标系O xyz -.
设AB m =，AD n =，则()0,0,P m ，()0,,0E m ，,,022n m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,
,44m m F ⎛⎫
⎪⎝⎭， 于是()0,,PE m m =-,,,244n m m MF ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
. 所以0PE MF ⋅=，所以PE MF ⊥，且MN
MF M
=，所以PE ⊥平面MNF
（Ⅱ）取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面AC ，所以OP ⊥平面AC ，
4
PEO π
∠=
，OP OE =.
以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴的
正方向，
建立空间直角坐标系O xyz -. 设AB AD m ==，则()0,0,P m ，()0,,0E m ，
,,02m B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，,,022m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,44m m F ⎛⎫
⎪⎝
⎭， 于是()0,,PE m m =-，0,,02m BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,,244m m m BF ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
.
设平面BMF 的一个法向量为=1
n (),,x y z ，则0
BM BF ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩1
1n n ， 从而
0202
44m
y m m m x y z ⎧-=⎪⎪⎨
⎪--+=⎪⎩，令1x =,得()1,0,2=1n .
而平面NMF 的一个法向量为=2
n ()
0,,PE m m =-.
所以10
cos ,552m
⋅<>=
=-⨯121
2
12=n n n n
n n
20．（本题满分12分）
.解: （Ⅰ）(0,1),1F b ∴=，又
1126
F F F F ⋅=，2
26,3
c
c ∴==.又
222,2a b c a -=∴=，
∴
椭圆C 的标准方程为
2
214
x y +=.
（Ⅱ）设直线l 与抛物线相切于点0
(,)P x y ，则2
000:()
42
x x
l y x x -=-，
即
2
0024
x x y x =-
，
联立直线与椭圆
2
002
22414
x x y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去
y
，整理得
223
40001(1)40
4
x x x x x +-+-=.
由24
0016(1)0
x
x ∆=+->，得20
0845
x
<<+
设1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y ，则：
34
00121222
0016
,14(1)
x x x x x x x x -+==++.
则22422
0002
001212120
416(1)||1|1()444x x x x x AB x x x x x x ++-=+-=++-=
原点O 到直线l 的距离20
20
24
d x =+
故OAB ∆面积
1
||2
S d AB =⋅=224244200000002
00016(1)[16(1)]11111x x x x x x x x +-+-⋅+=≤=+，
当且仅当2
440
00
16(1)x x
x +-=，即20
426
x
=+取等号，
故OAB ∆面积的最大值为1. 21．（本题满分12分） 解（Ⅰ）:当0b =时：()h x kx = 由()()()f x h x g x ≥≥知：ln x
e kx x
≥≥
依题意：ln x e x
k x x
≥≥对(0,)x ∈+∞恒成立
设
/
2
(1)()(0),()x x e e x m x x m x x x -=>∴=
当(0,1)x ∈时/
()0m x <；当(1+)x ∈∞，时/
()0m x >，min
[()](1)m x m e
∴==
设/
2
ln 1ln ()(0),()x x n x x n x x x -=>∴=
当(0,)x e ∈时/
()0n x >；当(+)x e ∈∞，时/
()0n x <，max
1
[()]
()n x n e e
∴==
故：实数k 的取值范围是1[]e e ， （Ⅱ）由已知：()'
x
f x e =，()'
1g x x
= ①：由()
1
111x x y e e x -=-得：()()1
1
1
1x x h x e x e =+-⋅
由()2
22
1
ln y x
x x x -=
-得：()2
2
1ln 1
h x x x
x =+-
故
()1
1212111ln x x e x e x x
⎧=⎪⎨
⎪-=-⎩
10
x <，()1
1
10x e x ∴-<，2
ln 1
x
∴>，故：2
x
e
>
②：由①知：1
2
x x
e -=，()1
1
1
11x e x x -=+且2
1
x
e >>
由()1
1ln 0a x x x x -+-≥得：()1
1ln a x x x x -≥-，()2
x x ≥ 设()()2
ln G x x x x x x =-≥
()'
1ln 1ln 0G x x x =--=-<
()
G x ∴在)2
,x +∞⎡⎣为减函数，()()2222
max
ln G x G x x x x ∴==-⎡⎤⎣⎦
由()12
22
1ln a x x
x x -≥-得：
()()1
22
11ln a x x x -≥- ∴ ()()11
11a x x -≥-
又1
0x < 1a ∴≤
22.解：（本小题满分10分） （Ⅰ）
4cos ρθ=
θ
ρρcos 42=∴
222cos ,sin x y x y
ρρθρθ=+∴==
x
y x 422=+∴
1
C ∴的直角坐标方程为:x
y x
422
=+
13,23(3)3,2
x t y x y ⎧
=-⎪⎪
∴=-⎨
⎪=⎪⎩
2
C ∴的普通方程为)
3(3--
=x y
（Ⅱ）将x y x t y t x 4,23,21322=+⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧=-=代入
得：)2
13(443)
2
13(22
t t t -=+-
t
t t 212932-=+-∴ 0
32=--∴t t
3
,12121-=⋅=+∴t t t t
由t 的几何意义可得：3
2121
===⋅⋅t t t t AQ AP
23．（本小题满分10分）
（Ⅰ）当1a =时：不等式为:25211x x x -++>- 等价于：:
11552222252112521125211
x x x x x x x x x x x x ⎧⎧⎧<--≤≤>
⎪⎪⎪⎨
⎨⎨⎪⎪⎪-+-->--+++>--++>-⎩⎩⎩或或
解得：:1155
2222
x x x <--≤≤>或或 所以：不等式的解集为:
∞∞（-,+) （Ⅱ）设函数()2521f x x x =-++=
1442
156225442
x x x x x ⎧
-+<-⎪⎪⎪-
≤≤⎨⎪⎪
->
⎪⎩
设函数()1g x ax =-过定点（0，-1） 画出),()f x g x （的图像，
（52
，（
（0，
由数形结合得a的范围是14
[4,)
5。