2023-2024学年山东省枣庄市滕州高一下学期3月月考数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年山东省枣庄市滕州高一下册3月月考数学试题
一、单选题
1．如图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，记BC a =
，BA c = ，则向量CD =
A ．12a c
-- B ．12
a c
- C ．12
a c
-+ D ．12
a c
+ 【正确答案】C
【详解】试题分析：由向量的减法几何意义得1122
CD BD BC BA BC a c =-=-=-+
选项C ．
向量减法的几何意义．2．计算1tan151tan15-︒
=+︒
（
）A ．3-B 3
C ．33
-
D ．
33
【正确答案】D
【分析】由两角差的正切公式，结合tan451︒=，即可求出答案.【详解】()1tan15tan 45tan153
tan 45151tan151tan 45tan153
-︒︒-︒==︒-︒=
+︒+︒︒.故选：D
3．已知ABC 是边长为2的等边三角形，则CA AB ⋅=
（
）
A ．2-
B ．23-
C ．2
D ．23
【正确答案】A
【分析】由向量数量积计算公式及图形可得答案.
【详解】由图做CD AB = ，则,CA AB 夹角为2π
3
，又由题可知
2CA AB == ，则2π1cos 22232CA AB CA AB ⎛⎫
⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
.故选：A
4．已知4,3,(23)(2)13a b a b a b ==-⋅+= ，求a 与b
的夹角θ=（
）A ．
π6
B ．
π4
C ．
π3D ．
2π3
【正确答案】C
【分析】由(23)(2)13a b a b -⋅+=
可得6a b ⋅= ，后由向量夹角公式可得答案.
【详解】22(23)(2)134341364271346a b a b a b a b a b a b -⋅+=⇒--⋅=⇒--=⋅⇒⋅= ，
则61432cos a b θa b ⋅===⨯⋅
，又[]0,πθ∈，则θπ3
=.故选：C
5．已知π1sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，则πsin 26x ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭（
）A ．
42
9
B ．
29
C ．
79
D ．29
-
【正确答案】C 【分析】令π6t x =-，则π
6x t =+，1sin 3
t =，再利用诱导公式及二倍角公式计算可得；
【详解】令π6t x =-
，则π6x t =+，1sin 3
t =，所以πππsin 2=sin 2666x t ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π27sin 2cos 212sin 1299t t t ⎛
⎫=+==-=-= ⎝
⎭.
故选：C.
6．若平面向量,,a b c 两两的夹角相等，且2,2,3a b c ===
，则2a b c ++= （
）
A ．2
B ．10
C ．5或2
D ．10或4
【正确答案】D
【分析】,,a b c
两两的夹角相等，可得夹角为0︒或120︒,再分两种情况讨论，结合数量积的运算律
即可得解.
【详解】(
)
2
222242424a b c
a b c a b a c a b b c c =
+++++++⋅=⋅⋅++
.
因为平面向量a ，b ，c
两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，
即a ，b
，c 两两的夹角为0︒或120︒,当夹角为0︒时，222610a b c ++=++= ，
当夹角为120︒时，
24a b c =++ ，所以210a b c ++=
或4.
故选：D ．
7．已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2,AO AB AC OA AB =+= ，则向量CA 在向量BC 上的投影
向量为（）
A ．14
BC
B ．34
BC
uu u
r C ．14BC
-
D ．34
BC
-
【正确答案】D
【分析】根据条件作图可得ABO 为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可
【详解】 2AO AB AC
=+
所以ABC 外接圆圆心O 为BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，如图：
又||||AB AO =
，所以ABO 为等边三角形，
30ACB ∴∠=︒，
||||cos30|CA BC BC ∴=︒ ，
向量CA 在向量BC 上的投影为：3||cos30|||4
CA BC BC -︒==-
．
故投影向量为34
BC - .
故选：D ．
8．如图，已知扇形AOB 的半径为2，其圆心角为π
4
，四边形PQRS 是该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为(
)
A 21
B ．222
C 233
D ．
36
【正确答案】B
【分析】设POA α∠=，根据几何图形的性质把矩形面积表示成关于α的三角函数最值问题.【详解】连接PO ，设POA α∠=，则2sin 2cos PS QR,OS αα===，由已知可得：三角形OQR 是等腰直角三角形，即2sin QR OR α==，所以()2cos sin RS OS OR αα=-=-，
故矩形QRSP 的面积为：
()()π4sin cos sin 2sin2cos2222sin 224PS RS αααααα⎛
⎫⋅=⋅-=+-=+- ⎪⎝⎭
显然当π
8
=α时，取得最大值222，
故选:B
二、多选题
9．下列关于向量的命题正确的是（
）
A ．对任一非零向量a ，||
a a
是一个单位向量B ．对任意向量,a b
，||||||||a b a b -≤- 恒成立C ．若a b = 且c b =
，则a c
= D ．在OAB 中，C 为边AB 上一点，且:3:2AC CB =，则325
5
OC OA =+
【正确答案】AC
【分析】A 选项，计算||
a
a 的模可判断选项正误；B 选项，通过比较2||a
b - ，2||||||a b -
大小可判断选项正误；
C 选项，由等式的传递性可判断选项正误；
D 选项，结合图形及向量相减法则可判断选项正误.
【详解】A 选项，1||a a = ，则||a a 是一个单位向量，故A 正确；B 选项，222222||||||||||||2||||222||||a b a b a b a b a b a b a b a b ---=+---+⋅=⋅-
，
设向量,a b 夹角为θ，则()22||||2||||cos 10a b a b a b ⋅-=-≤θ
，当且仅当,a b 反向时取等号，则22||||||||||||||||a b a b a b a b -≥-⇒-≥-
，故B 错误；
C 选项，由等式性质可知C 正确；
D 选项，如图，因:3:2AC CB =，则()
3322
AC CB OC OA OB OC =⇒-=
-
53322255
OC OB OA OC OB OA ⇒=+⇒=+
，故D 错误.
故选：AC
10．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在直线AB 上，且2AP PB =
，求点P 的坐标（
）
A ．()6,9-
B ．10,13⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
C ．()8,15-
D ．()
5,6-【正确答案】AB
【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可.
【详解】设(),P x y ，因为()2,3A ，()4,3B -，且点P 在直线AB 上，故由2AP PB =
可得以下两
种情况：
2AP PB = ，此时有()()23243x ,y x,y --=---，解得1013
x ,y ==-；或2AP PB =-
，此时有()()23243x ,y x,y --=----，解得6,9x y ==-；
故选：AB
11．已知函数2()2sin 21f x x x =-++，则（）
A ．()f x 在[0,]π内有2个零点
B ．()f x 在π0,8⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增
C ．()f x 的图象可由2sin 2y x =的图象向左平移π
6
个单位长度得到D ．()f x 在π,02⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1
【正确答案】ABD
【分析】对于A ，把三角函数化简，求函数()f x 的零点进行验证；对于B ，求函数()f x 的单调递
增区间进行验证；对于C ，通过图像平移公式进行验证；对于D ，由π,02x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
得出整体角的取
值范围，再得到()f x 的最大值.
【详解】2
π()2sin sin 21cos 2sin 22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=-+==+ ⎪⎝
⎭.
对于A ，令π
2π,6
x k k Z +=∈，则ππ122k x =-+.
当1k =时，5π12x =
；当2k =时，11π
12
x =满足题意，故A 正确；对于B ，令πππ
2π22π,262
k x k k -+≤+≤+∈Z ，则ππππ36k x k -+≤≤+.
当0k =时，()f x 在ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递增，所以()f x 在π0,8⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增正确，故B 正确；
对于C ，由2sin 2y x =的图象向左平移π6个单位长度得到ππ2sin 22sin 263y x x ⎛⎫⎛
⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故C 错
误；
对于D ，若π,02x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，则π5ππ2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，[]π2sin 2162,x ⎛⎫+∈ ⎪⎝
-⎭，
所以()f x 在π,02⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1，故D 正确.
故选：ABD.
12．已知函数()2sin()(0,0||)π,22πf x x x ωϕωϕ=+><<=为函数的一条对称轴，且3()8
π
f =若
()f x 在3(,π)84
π
-
-上单调，则ω的取值可以是（）
A ．
43
B ．
83
C ．
163
D ．
203
【正确答案】AD
【分析】由π
2x =为对称轴，
及3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
求出ω的取值集合，再根据函数在区间上单调，求出ω
的范围，即可求出ω的值；【详解】π
2x =
为对称轴πππ22
k ωϕ⇒+=+，Z k ∈
；3π3ππ2π883f m ωϕ⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭
或2ππ32m +，m Z ∈；联立解之得:()4823k m ω=-+或()4
823k m ω=--，Z k ∈，m Z ∈；
又在3ππ,8
4⎛⎫
-- ⎪⎝⎭上单调，
π3πππ
4880ωω⎧⎛⎫---=≤⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪>⎩
，所以08ω<≤43
ω∴=或
203故选：AD.三、填空题
13．若()2,3a =
与()2,6b x =- 共线，则x =_______
【正确答案】2
-【分析】由两个向量共线的坐标表示直接求得结果.
【详解】已知()2,3a =
与()2,6b x =- 共线，
则2(6)320x ⨯--⨯=，解得2x =-.故答案为.2
-14．已知函数π
()sin()(0,0,||)2
f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，点3(0,)2-，π(,0)3，
7π
(
,0)3
在图象上，求(π)f =
_______
【分析】根据图象可得函数周期，据此求出12ω=
，再代入点π(,0)3可得π6
ϕ=-，再代入点3
(0,2-
求出A ，得到函数解析式进而求解即可.【详解】由函数图像可知2A =.
设函数()f x 的最小正周期为T ，则7ππ24π33T ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，又因为0ω>，由2π
4πT ω
=
=，解得12
ω=
，又由图可知函数()f x 经过点π,03⎛⎫
⎪⎝⎭，则1πsin 023ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭
，
所以1π
2π,Z 23
k k ϕ⨯+=∈，解得π2π,Z 6k k ϕ=-∈，
又因为π
2ϕ<
，所以当0k =时，π6
ϕ=-，所以1()sin()26
f x A x π
=-，
又函数图象过点3
(0,2-，所以π3sin()62
A -=-，解得3A =，
所以1()3sin()26f x x π=-，故1
ππ(π)3sin π3sin 2
63f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭
故
2
15．求()
sin160350=
_______
【分析】将切化弦，利用两角和差余弦公式可将原式分子化成一个三角函数，再利用二倍角公式及诱导公式化简求得结果.
【详解】()
)
sin50tan50
20sin16035os500c ⎫
=⎭=⎪
()
sin 5020
cos502cos 503020cos50-+=⋅
.
故答案为
16．已知ABC 的外接圆圆心为O ，H 为ABC 的重心且4,6AB AC ==
则()
B O H
C A H ⋅+=
_________
【正确答案】263
-
【分析】由三角形重心及外心的性质即可得出结果.
【详解】如图所示，取BC 中点D ，过O 作,OE AB OF AC ⊥⊥，则E F 、是AB AC 、的中点.
∵H 为ABC 的重心，∴()
21233
HB HC HD AD AB AC +===+
，
21cos 2
OA AB AB OA OAB AB �-鬃�-
u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u
r ,同理212OA AC AC ×
=-u u u r u u u r u u u r ，故()()
()
22115226
3663O HB HC A O B AC AB A A C
A ⋅+=⋅⋅+=-+=-=- 故26
3
-
结论点睛：
（1）三角形的重心是三角形三条中线的交点，且是中线的三等分点（靠中点近），即
()
123
AO AB AC OD =+=u u u r u u u r u u u r u u u r ；
（2）三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，即
有.222
111222
AO AB AB ,BO BC BC ,CO CA CA ×
=×=×=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 四、解答题
17．已知||1,||1a b ==
，且向量a 与b 不共线.
(1)若a 与b
的夹角为120︒，求()()
3a b a b -⋅+ ；
(2)若a 与b 的夹角为60︒且向量- a kb 与2ka b -
的夹角为锐角，求实数k 的取值范围.
【正确答案】(1)1(2)(37,22,37.
⋃
【分析】（1）由数量积定义可求得a b ⋅ ，展开(2)()a b a b -⋅+代入a b ⋅
即可求得结果；
（2）由向量ka b + 与ka b - 的夹角的锐角，可得()()0ka b ka b ⋅>+-r r r r 且不同向共线，展开解k 即可.
【详解】（1）a 与b 的夹角为120︒，
11cos1201122a b a b ⎛⎫
∴⋅=︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
，
()()
22332132112a b a b a a b b ∴⎛⎫
=+⨯⎭
-⋅+=+⋅---= ⎪⎝ .
（2）a 与b
的夹角为60︒，
11cos601122a b a b ∴⋅=︒=⨯⨯=
，
向量- a kb 与2ka b - 的夹角为锐角，
(
)(
)
20a kb ka b ∴-⋅->
，且不能同向共线，
(
)(
)
()
222
22222302
k a kb ka b ka k a b kb k +∴-⋅-=-+⋅+=-> ，()
2(0)a kb ka b λλ-≠-> ，
解得33k <<
且k ≠
即3k <
3k <<∴实数k
的取值范围是(
3.
⋃
18．已知函数()3π11
2πsin sin +22
6f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ω的最小正周期为2π；
(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的单调递增区间.
【正确答案】(1)(
)5π412f x x ⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭(2)π11πππ,,Z 248248k k k ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣⎦
【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式可将()f x
15π2
12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ω，后由周期计算公式可得
解析式；
（2）由（1）结合函数sin y x =的单调增区间可得答案.
【详解】（1）π11ππ()sin +s 266in 22f x x x ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ωω1π1πsin cos 2266x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ω
ω1ππ1
5π242
126x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎝⎭ωω，因为最小正周期为π2，
所以2π
π
822
=
⇒=ωω
.所以(
)5π412f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；
（2）由π5ππ2π42π,Z 2122k x k k -
+≤+≤+∈，得π11πππ
,Z 248248
k k x k -≤≤+∈，则()f x 单调递增区
间为π11πππ,,Z 248248k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
.
19．已知()2cos ,cos ,,2cos )a x x b x x == 函数()1f x a b m =+- 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为5，(1)求常数m 的值；
(2)当x ∈R 时，求使()4f x ≥成立的x 的取值集合.
【正确答案】(1)3
m =(2)π|ππ,3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
Z 【分析】（1）利用向量的数量积及三角恒等变换化简()f x ，再根据三角函数的图象与性质即可求m ；
（2）由（1）求得()f x ，根据三角函数的图象与性质即可解不等式.
【详解】（1）()1
f x a b m =+- 2
()cos 2cos 12cos 2f x x x x m x x m
=++-=++π2sin 26x m ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，ππ7π2,666x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭，∴函数()f x 的最大值为2m +，25m ∴+=，3m =，
（2）由（1）得π()2sin 236f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，由()4f x ≥得π1sin(2)62x +≥，∴()ππ5π2π22πZ 666
k x k k +£+£+Î解得.πππ3
k x k ≤≤+()k ∈Z ()4f x ≥成立的x 的取值集合是π|ππ,Z 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
．20．
如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间.
(1)求d 与时间t （单位：s ）之间函数关系ππsin()0,0,22d A t K A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝
⎭(2)在（1）的条件下令()()sin f x A x ωϕ=-，()f x 的横坐标缩小为原来的π30，纵坐标变缩小为原来的14
得到函数()g x ，画出()g x 在[]0,π上的图象
【正确答案】(1)ππ4sin(
t )2156
d =-+；(2)图象见解析【分析】（1）由最大值和最小值及周期求出,,A K ω的值，再利用特殊点求出ϕ，即可得函数的关系式；
（2）先通过三角函数图象变换求出解析式，再根据正弦型函数五点作图的特点列表、描点、连线即可得大致图象.
【详解】（1）由题意max min 42,242d d =+=-=-，所以max min 6(2)422
d d A ---===，max min 62222d d K +-===，因为逆时针方向每分转2圈，所以22ππ6015ω⨯=
=,因为0=t 时，0d =，所以04sin 2ϕ=+，即1sin 2
ϕ=-，又ππ22
ϕ-<<，所以π
=6ϕ-，所以ππ4sin(
t 2156d =-+；（2）由（1）知ππ()4sin 15
6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的横坐标缩小为原来的π30，纵坐标变缩小为原
来的14得到函数π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，列表如下
π
26x +π6
π2π3π22π13π6x 0
π65π122π311π12π()f x 1
210
1-012描点连线，图象如图.
21．在OPQ △中，12OA OP = ，14
OB OQ = ，QA 与PB 相交于点C ，设OP a = ，.OQ b = (1)用a ，b 表示OC ；
(2)过C 点作直线l 分别与线段OQ ，OP 交于点M ，N ，设OM OQ λ= ，ON OP μ= ，求3μλ+的最
小值.
【正确答案】(1).371=+7
OC a b →→ (2)127
.【分析】（1）由,,A C Q 三点共线可得，存在k 使AC k AQ = ，则(1)+
2k OC kb a -= ；同理由P ，C ，B 三点共线，存在t 使1+4
()t OC ta b -= ，根据平面向量基本定理即可求出k ，t ，得出结果；（2）由,,N C M 三点共线可得，存在x 使(1)OC xOM x ON =+- ，又由（1）知77
1=+3OC a b →→ ，根据
平面向量基本定理即可求出1+=7317μλ
，再求得结果．【详解】（1）A ，C ，Q 三点共线，设=AC k AQ ，
即()
OC OA k OQ OA -=- ，11=22OA OP a = ，.OQ b = (1)=+(1)=+.2k OC k OQ k OA kb a ∴⋅⋅-- 同理由P ，C ，B 三点共线可得：
(1)=+(1)=+4
t OC t OP t OB ta b ⋅⋅-- ，其中,k t R ∈，根据平面向量基本定理知：1214k t t
k -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得71=k ，7=3t ..371=+7
OC a b →→∴ （2）由,,N C M 三点共线，
(1)OC xOM x ON
=+- (1).
x b x a λμ=+- 又由(1)知77
1=+3OC a b →→ ，所以()173
17x x λμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩故1+=1.773μλ
(
)166123+=+2777777379μλλμμλλμ⎛⎫+++
⎪⎝⎭，当且仅当26,77λμ==故3μλ+的最小值为127
.22
．已知函数π()sin 2sin 24f x x x m ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭；(1)当1m =时，求函数()f x 的值域；
(2)当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时()0f x ≥恒成立，求m 的取值范围；【正确答案】
(1)1314⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
(2)4
m ≤
【分析】（1）把三角函数()f x 化简，设sin cos t x x =+，表示sin cos x x ，利用二次函数求值域；（2）由()0f x ≥恒成立进行参变分离，通过求函数的最值得出结果.
【详解】（1）当1m =时，π()sin 222sin cos sin cos 24f x x x x x x x ⎛⎫=+-=++- ⎪⎝
⎭，
设πsin cos sin ,4t x x x t ⎛⎫⎡=++∈ ⎪⎣⎝⎭
，则21sin cos 2
t x x -=，22123y t t t t ∴=-+-=+-，
当12
t =-时，min 134y =-，t =时，max 1y =-.
∴()f x 的值域为1314⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
（2）()π()sin 2sin 22sin cos sin cos 204f x x x m x x m x x m ⎛⎫=+-=++-≥ ⎪⎝
⎭，()2sin cos 2sin cos x x m x x ≥-+，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦
，
令πsin cos 0,4t x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，()()()()2
224231324222t t t m t t t t ---+-≤==-+----，()
()32442t t -+-≥-，当且仅当322t t
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