高考数学(文)一轮复习精品资料 专题36 基本不等式(教学案)含解析

1.了解基本不等式的证明过程．
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．基本不等式ab ≤
a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2
＋b 2
≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b
≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．
(4)
a 2＋
b 22
≥⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b
2
，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平
均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2
4
.(简记：和定积最大)
高频考点一 利用基本不等式求最值
例1、(1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋1
4x －5
的最大值为________．
(2)函数y ＝x 2＋2
x －1
(x >1)的最小值为________．
(3)函数y ＝
x －1
x ＋3＋x －1
的最大值为________．
【答案】 (1)1 (2)23＋2 (3)1
5
【感悟提升】(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一
正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
【变式探究】(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． (2)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |
b 取最小值时，a 的值为________．
【答案】 (1)5 (2)－2
∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，
12|a |＋|a |
b
取得最小值． 【感悟提升】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 【举一反三】(1)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3
＝(12)y ，若1x ＋m
y
(m >0)的最小值为3，则m 等于( )
A ．2
B ．2 2
C ．3
D ．4
(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【答案】 (1)D (2)6
9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·(x ＋3y 2)2
，
当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t >0，则t 2
＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，
又∵t >0，∴t ≥6.
故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 高频考点二 基本不等式与学科知识的综合
例2、(1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2
－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c
的最小值是( )
A ．9
B ．8
C ．4
D ．2
(2)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1
b
，则m ＋n 的最小值是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】 (1)A (2)B
【变式探究】已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m
a ＋3
b 恒成立，则m 的最大值为( )
A ．9
B ．12
C ．18
D ．24
【答案】 B
【解析】 由3a ＋1b ≥m
a ＋3b
得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋a
b
＋6.
又
9b a ＋a
b
＋6≥29＋6＝12，
∴m ≤12，∴m 的最大值为12. 【感悟提升】
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围． 【举一反三】(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4
n
的最小值为( )
A.32
B.53
C.94
D.256
(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1
(a ∈R )，若对于任意x ∈N *
，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围_______．
【答案】 (1)A (2)若,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
则235z x y =+-的最小值为_____________.
【答案】－10
【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数235z x y =+-经过点(1,1)A --时取得最小值，即min 2(1)3(1)510z =⨯-+⨯--=-．
5.【2016高考新课标1文数】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元. 【答案】216000
6.【2016高考上海文科】若,x y满足
0,
0,
1,
x
y
y x
≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪≥+
⎩
则2
x y
-的最大值为_______.
【答案】－2
【解析】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，令y x z 2-=，当直线z x y 2
1
21-=经过点)1,0(P 时，z 取得最大值2-.
1.【2015高考湖南，文7】若实数,a b 满足
12
a b
+=ab 的最小值为( )
A B 、2 C 、 D 、4 【答案】C
【解析】
12
121002ab a b ab ab a b
a b a +=∴=
+≥⨯=∴≥，＞，＞，（当且仅当
2b a =时取等号）
，所以ab 的最小值为，故选C.
2.【2015高考重庆，文14】设,0,5a b a b >+=,________. 【答案】23
3.【2015高考福建，文5】若直线1(0,0)x y
a b a b
+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C 【解析】由已知得
111a b +=，则11=()()a b a b a b +++2+b a
a b
=+，因为0,0a b >>，所以
+b a a b ≥，故4a b +≥，当=b a a b
，即2a b ==时取等号． 4．（2014·辽宁卷）对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c
的
最小值为________． 【答案】－2
【解析】由题知2c ＝－(2a ＋b )2
＋3(4a 2
＋3b 2
)．
(4a 2＋3b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13≥(2a ＋b )2⇔4a 2＋3b 2≥34(2a ＋b )2，即2c ≥54(2a ＋b )2
，
当且仅当4a 2
1＝3b
2
1
3，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时，
|2a ＋b |取得最大值
8
5
c ，此时c ＝40λ2. 3a －4b ＋5c ＝18λ2－1λ＝18⎝ ⎛⎭
⎪⎫1λ－42－2≥－2，
当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，3a －4b ＋5
c
取最小值－2.
5．（2014·山东卷）若⎝
⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6
的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2
的最小值为________．
【答案】2
【解析】T r ＋1＝C r
6(ax 2)6－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫b x r
＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－3b 3＝20，即a 3b 3
＝1，
所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2
的最小值是2. 6．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m 3
，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元
D ．240元
【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m 2
)．容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立)．故选C. 【答案】C
7．(2014·重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．
【答案】7＋4 3
8．（2014·四川卷）已知F 为抛物线y 2
＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.1728 D.10
【答案】B
【解析】由题意可知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 2
2＝2，
解得y 1y 2＝1或y 1y 2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y 1y 2＜0，即y 1y 2＝－2. 当y 2
1≠y 2
2时，AB 所在直线方程为y －y 1＝
y 1－y 2y 21－y 22(x －y 21)＝
1y 1＋y 2
(x －y 2
1)， 令y ＝0，得x ＝－y 1y 2＝2，即直线AB 过定点C (2，0)．
于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y 1|＋12×2|y 2|＋12×14|y 1|＝18(9|y 1|＋8|y 2|)≥
1
8
×29|y 1|×8|y 2|＝3，当且仅当9|y 1|＝8|y 2|且y 1y 2＝－2时，等号成立．当y 2
1＝y 2
2时，取y 1＝2，y 2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而172
8>3，
故选B.
9．(2013年高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2
－3xy ＋4y 2
－z ＝0，则当z
xy
取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0 B.98 C ．2 D.9
4
【答案】C
10．（2013·重庆卷）（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3 22
【答案】B
【解析】因为－6≤a≤3，所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝9
2
，当且仅当3－a ＝a ＋6，即
a ＝－3
2
时等号成立，故选B.
1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2
＋14
)>lg x (x >0)
B ．sin x ＋1
sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )
C ．x 2
＋1≥2|x |(x ∈R ) D.
1
x 2＋1
>1(x ∈R ) 【答案】 C
2．设非零实数a ，b ，则“a 2
＋b 2
≥2ab ”是“a b ＋b a
≥2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】 B
【解析】 因为a ，b ∈R 时，都有a 2
＋b 2
－2ab ＝(a －b )2
≥0， 即a 2
＋b 2
≥2ab ，而a b ＋b a
≥2⇔ab >0，
所以“a 2
＋b 2
≥2ab ”是“a b ＋b a
≥2”的必要不充分条件，故选B. 3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4
b
的最小值是( )
A.72 B ．4 C.92 D ．5
【答案】 C
4．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3
【答案】 D
【解析】 由题意得⎩⎨⎧
ab >0，
ab ≥0，
3a ＋4b >0，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
a >0，
b >0.
又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3
b
＝1.
所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b
＋4b
a
≥7＋2
3a b ·4b
a
＝7＋43，
当且仅当3a b ＝4b
a
时取等号．故选D.
5．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．0
【答案】 A
【解析】 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1
y
＝1，且x >0，y >0.
∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×(2x ＋1y )＝4y x ＋x
y
＋4≥4＋4＝8.
6．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2，
r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r ＞q
【答案】 C
7．已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.2
2
B ．2 2 C. 2 D ．2
【答案】 D
【解析】 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，
即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0， ∴2xy ≥2，∴xy ≥2.
8．设正实数x ，y ，z 满足x 2
－3xy ＋4y 2
－z ＝0.则当z
xy
取得最小值时， x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0
B.98
C ．2 D.94
【答案】 C
【解析】 由题意知：z ＝x 2－3xy ＋4y 2
，
则z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x
－3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y 2. 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2
＝－2y 2
＋4y ＝－2(y －1)2
＋2≤2. 9．若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2
x ＋3
恒成立，则a 的取值范围是________． 【答案】 (－∞，22－3]
10．若关于x 的方程9x
＋(4＋a )3x
＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 (－∞，－8]
【解析】 分离变量得－(4＋a )＝3x
＋43x ≥4，得a ≤－8.
11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1
y
的最小值．
解 (1)∵x >0，y >0，
∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，
∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．
因此有⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝5，
y ＝2，
此时xy 有最大值10.
∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.
∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，。