安徽省1号卷A10联盟2020届高三上学期摸底考试数学(理)试卷及答案

1号卷∙A10联盟2020届高三摸底考
数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ券(非选择题)两部部分。

满分150分，考试时间120分钟。

请在答题卷上作答。

第Ⅰ卷 选择题(共60分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1.设全集{}{}2,60,ln(1)U R A x x x B x y x ==--<==-，则()U A B I ð＝( )
A.[1，3)
B. (1，3]
C.(1，3)
D.(－2，1]
2.在复平面内，复数247i z i
-=+ (i 是虚数单位)对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若741413a a =，则137
S S ＝( ) A.2 B.12 C.1413 D.1314
4.已知偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区向[0，2]上是增函数，则(2019),(),(4)f f f π-的大小关系是( )
A.(2019)(4)()f f f π<-<
B.()(4)(2019)f f f π<-<
C.(4)()(2019)f f f π-<<
D.(4)(2019)()f f f π-<<
5.某高中数学兴趣小组准备选拔x 名男生、y 名女生，若x 、y 满足约束条件251127
x y y x x -≥⎧⎪⎪≥-⎨⎪≤⎪⎩，则数学兴趣小组最多选拔学生( )
A.21人
B.16人
C.13人
D.11人
6.函数cos ()f x x
=的部分图象大致为( )
7.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x =在x ＝x 1，x ＝x 2，x ＝x 3(x 1<x 2<x 3)处的函数值分别为y 1＝f(x 1)，y 2＝f(x 2)，y 3＝f(x 3)，则在区间[x 1，x 3]上f(x)可以用二次函数来近似代替：111212()()()()f x y k x x k x x x x ≈++---，其中3221112213231
,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---。

若令x 1＝0，22x π=
，3x π=，请依据上述算法，估算sin 5π的值是( ) A.1425 B.35 C.1625 D.1725
8.设函数()f x 的导函数为'()f x ，且()3'(2)2ln f x xf x =-，则曲线()y f x =在点(4，f(4))处切线的倾斜角为( ) A.6π B.4
π C.34π D.56π 9.已知双曲线C ： 22
221(0)y x a b a b
-=>>的一条新近线与直线3250x y --=垂直，则此双曲线的离心率为( )
13 13 15 1510.已知P 为直线2x ＋y —5＝0上的动点，过点P 作圆C ：(x —1)2＋(y ＋2)2＝2的一条切线，切点为Q ，则△PCQ 面积的最小值是( )
6 6 C.3 D.6 11.已知函数()sin 232f x a x x =的图象关于直线12x π
=-对称，若12()()4f x f x ⋅=-，则
12x x -的最小值为( )
A.3π
B.23π
C.4π
D.2
π 12.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，记△ABC 和四边形ACC 1A 1的外接圆圆心分别为O 1、O 2，若AC ＝2，且三棱柱外接球体积为
323π，则O 1A ＋O 2A 的最大值为( ) A.10 B.5 C.10 D.25 第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

将答案填写在题中的横线上。

13.已知向量a ＝(3，4)，b ＝(－1，m)，且b 在a 方向上的投影为1，则实数m ＝
14.记等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 6＝242
S S +，则{}n a 的公比为 15.如图，在单位圆中，723PON S ∆=，△MON 为等边三角形；30°<∠POM<90°，则sin ∠POM 的值为 。

16.已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 、N 在抛物线上，且M 、N 、F 三点共线，点P 在
准线l 上，若PN NM =u u u r u u u u r ，则p MF
= 。

三、解答题(本大题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

)
17.(本小题满分10分)
已知命题p ：函数2
1y mx x =-+在(2,)+∞上单调递增；命题q ：椭圆22
13223x y m m -=+-的焦点在x 轴上。

(I)若q 为真命题，求实数m 的取值范围；
(Ⅱ)若“p q ∧”为假，且“p q ∨”为真，求实数m 的取值范围。

18.(本小题满分12分)
在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos cos 2cos 0c B b C a A ++=，sin 6cos sin ,2A B C c ==。

(I)求角A ；
(II)求b 。

19.(本小题满分12分)
国家统计局北京调查总队3月5日发布《2018年北京市居民时间利用调査报告》，北京市居民平均每天使用互联网的时间为3小时6分钟。

某大学为了掌握学生每天使用手机上网情况，随机抽取了100名学生对其进行调查。

下面是根据调查结果绘制的时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均上网时间不低于200分钟的学生称为“手机控”，低于200分钟的学生称为“非手机控”。

(I)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有97.5％的把握认为“手机控”与性别有关？
非手机控 手机控 合计 男
50 女
l4 合计
(II)将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取4人，记被抽取的4人中“手机控”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期EX 。

附：2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++(n ＝a ＋b ＋c ＋d) P(K 2≥k) 0.10
0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
20.(本小题满分12分)
如图(1)所示，在△BCD 中，AD 是BC 边上的高，且∠ACD ＝45°，AB ＝2AD ，E 是BD 的中点。

现沿AD 进行翻折，使得平面ACD ⊥平面ABD ，得到的图形如图(2)所示。

(Ⅰ)求证：AB ⊥CD
(Ⅱ)求直线AE 与平面BCE 所成角的正弦值。

21.(本小题满分12分)
设点D 为圆E ：22(3)16x y ++=上的动点，点3，0)，线段DF 的垂直平分线与DE 相交于
点C 。

(Ⅰ)求证：动点C 的轨迹是椭圆，并求出该椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设(I)中椭圆的上顶点为P ，经过点Q(2，－1)的直线l 与该椭圆交于A ，B 两点(异于点P)，记直线PA 的斜率为k 1，直线PB 的斜率为k 2，求k 1十k 2的值。

22.(本小题满分12分)
已知函数()ln f x x x =
(Ⅰ)若函数()()(2)x f x m x ϕ=-+，讨论函数()x ϕ在[3，＋∞)上的单调性；
(Ⅱ)求证：22
()2e f x e <。