2017届高三复习:数列大题训练50题及答案
北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:数列 含答案
![北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:数列 含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/ee7631fd6c85ec3a86c2c53d.png)
北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数 列一、选择、填空题1、(2016年北京高考)已知{}na 为等差数列,nS 为其前n 项和,若16a=,350a a +=,则6=S _______。
.2、(2015年北京高考)设{}na 是等差数列。
下列结论中正确的是A.若021>+a a,则032>+a aB 。
若031>+a a,则021<+a aC 。
若210a a<<,则312a a a > D 。
若01<a,则()0)(3212>--a a a a3、(2014年北京高考)若等差数列{}na 满足7890a a a ++>,7100a a +<,则当n =______时,{}na 的前n 项和最大.4、(朝阳区2016届高三二模)为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召,某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元,以后每年支出的费用比上一年多2万元。
每年销售蔬菜的收入为26万元。
设()f n 表示前n 年的纯利润(()f n =前n 年的总收入-前n 年的总费用支出-投资额),则()f n = (用n 表示);从第 年开始盈利.5、(东城区2016届高三二模)成等差数列的三个正数的和等于6,并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{}nb 中的b 、b 、b ,则数列{}nb 的通项公式为A.12n n b -= B 。
13n n b -= C 。
22n n b -=D 。
23n n b -=6、(丰台区2016届高三一模)若数列{}na 满足*12(0,)N n n na a a n,且2a 与4a 的等差中项是5,则12n aa a 等于(A)2n(B )21n(C )12n (D )121n7、(海淀区2016届高三二模)在数列{}na 中,12a=,且1(1)nn n ana ++=,则3a的值为A 。
湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编:数列 含答案 精品
![湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编:数列 含答案 精品](https://img.taocdn.com/s3/m/9bd2fefe5022aaea998f0f81.png)
湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编数列2017.02一、选择、填空题1、(黄冈市2017届高三上学期期末)设数列{}n a 满足122,6a a ==,且2122n n n a a a ++-+=,若[]x 表示不超过x 的最大整数,则122017201720172017a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 2、(荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考)“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数.具体数列为:1,1,2,3,5,8,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{}n a 为“斐波那契”数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和,则(Ⅰ)7S =__________; (Ⅱ)若2017a m =,则2015S =__________.(用m 表示) 3、(荆州市五县市区2017届高三上学期期末)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足41n n S a =+*()n ∈N ,设3log ||n n b a =,则数列{}n b 的通项公式为________.4、(襄阳市2017届高三1月调研)在等差数列{}n a 中,已知123249,21a a a a a ++==,数列{}n b 满足()12121211,2n n n n n b b b n N S b b b a a a *+++=-∈=+++,若2n S >,则n的最小值为A. 5B. 4C. 3D. 25、(襄阳市优质高中2017届高三1月联考)已知121,,,9a a --成等差数列,1239,,,,1b b b --成等比数列,则()221b a a -的值为 A. 8 B. 8- C. 8± D.98±6、(孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是 .7、(湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考)在等差数列{}n a 中,36954a a a ++=,设数列{}n a 的前n 项和为n S ,则11S =A. 18B. 99C. 198D. 2978、(荆州中学2017届高三1月质量检测)已知数列{}n a 为等差数列,满足32015OA a OB a OC =+uu r uur uu u r,其中,,A B C 在一条直线上,O 为直线AB 外一点,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则2017S 的值为( ) A.20172 B. 2017 C. 2016 D. 201529、(荆州中学2017届高三1月质量检测)对于数列{}n a ,定义na a a Hn nn 12122-+++=为{}n a 的“优值”.现在已知某数列{}n a 的“优值”12+=n Hn ,记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ,若6n S S ≤对任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是二、解答题1、(黄冈市2017届高三上学期期末) 已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,n为正整数.(1)令2n n n b a =,求证:数列{}n b 为等差数列,并求出数列{}n a 的通项公式; (2)令121,n n n n n c a T c c c n+==+++,求n T .2、(荆门市2017届高三元月调考)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11=a ,当2n ≥时,2)1(2-+=n n a n S .(Ⅰ)求2a ,3a 和通项n a ;(Ⅱ)设数列{}n b 满足12-⋅=n n n a b ,求{}n b 的前n 项和n T .3、(荆州市五县市区2017届高三上学期期末)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且623518,3n n S S a a =+=,数列{}n b 满足124n S n b b b =.(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (Ⅱ)令2log n n c b =,且数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求2016T .4、(天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试)已知函数()x f x a =的图象过点1(1,)2,且点2(1,)()n a n n n*-∈N 在函数()x f x a =的图象上. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)令112n n n b a a +=-,若数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证5n S <.5、(武汉市2017届高三毕业生二月调研考) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,0n a >,且满足()22441,.n n a S n n N *+=++∈(1)求1a 及通项公式n a ;(2)若()1nn n b a =-,求数列{}n b 的前n 项和n T .6、(武汉市武昌区2017届高三1月调研)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知19a =,2a 为整数,且5n S S ≤ .(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ,求证:49n T ≤.7、(襄阳市2017届高三1月调研)设各项均为正数的等比数列{}n a 中,132464,72.a a a a =+= (1)求数列{}n a 的通项公式; (2))设21log n nb n a =,n S 是数列{}n b 的前n 项和,不等式()log 2n a S a >-对任意正整数n 恒成立,求实数a 的取值范围.8、(孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末)已知数列{n a }的前n 项和为n s ,且1a =2,n +1n a =2(n+1)n a(1)记=nn a b n,求数列{n b }的通项公式; (2)求通项n a 及前n 项和n s .9、(湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考)已知等差数列{}n a 满足()()()()()1223121.n n a a a a a a n n n N *+++++++=+∈(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .10、(荆州中学2017届高三1月质量检测)已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,{}n b 是等差数列,且1.n n n a b b +=+ (Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+,求数列{}n c 的前n 项和n T .参考答案一、选择、填空题1、20162、(Ⅰ)33 (Ⅱ)1m -3、n b n =-4、B5、A6、357、C 8、A 9、167[,]73二、解答题 1、解:(I )在中,令n=1,可得,即当时,,.又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.……6分(II)由(I )得,所以由①-②得……12分2、(I)11=a ,当2n =时,22222(1)32S a a =+=-,则24a =,当3n =时,24)41(22333-=++=a a S ,则63=a ,………………2分 当2n ≥时,2)1(2-+=n n a n S ,∴当3n ≥时,2211-=--n n na S , ∴当3n ≥时,n n n n n a na a n S S 2)1()(211=-+=---, 即3n ≥时,1)1(-=-n n na a n ,所以11-=-n an a n n , …………………4分 因为22323==a a ,111=a ,所以11n n a a n n -==-…32232a a===,因此,当2n ≥时,n a n 2=,故1,(1),2,(2)n n a n n =⎧=⎨⎩≥. ……………6分(Ⅱ)由(I)可知,1,(1),2,(2)n nn b n n =⎧=⎨⋅⎩≥,所以当1=n 时,11==b T n ,…………8分 当2n ≥时,12n T b b =++…2312232n b +=+⨯+⨯+…2n n +⋅, 则34222232n T =+⨯+⨯+…1(1)22n n n n ++-⋅+⋅, 作差得:3418(22n T =--++…112)2(1)21n n n n n ++++⋅=-⋅+ 故12)1(1+⋅-=+n n n T ,)(+∈N n . ……………………………………………………12分3、解:(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ,则[]11116155(2)18(1)(31)3(1)(2)a d a d a n d a n d +=++⎧⎪⎨+-=+-⎪⎩由(1)得12590a d -+=, ·················· 2分 由(2)得1a d =,联立得13a d ==, ············· 3分 所以3n a n =. ························· 4分易知164b =, ························ 5分 当2n ≥时11214n S n b b b --=,又124n S n b b b =,两式相除得64(2)n n b n =≥, ················· 7分 164b =满足上式,所以64n n b =. ··············· 8分 (Ⅱ)2log 646n n c n ==,111111()36(1)361n n c c n n n n +==-++, 10分11(1)361n T n =-+, ····················· 11分 因此2016562017T =. ····················· 12分 4、【解析】(Ⅰ)∵函数()x f x a =的图象过点1(1,)2, ∴11,()()22x a f x ==………………………………………………2分又点2(1,)()n a n n n*-∈N 在函数()x f x a =的图象上从而2112n n a n -=,即212n n n a -=……………………………………6分(Ⅱ)证明:由22(1)21222n n n n n n n b ++=-= 得23521222n n n S +=+++………………………………8分 则231135212122222n n n n n S +-+=++++ 两式相减得, 23113111212()222222n n n n S ++=++++- ∴2552n nn S +=-…………………………………………11分∴5n S <……………………………………………………12分5、6、解:(Ⅰ)由19a =,2a 为整数可知,等差数列{}n a 的公差d 为整数, 由5n S S ≤,知560,0a a ≥≤, 于是940d +≥ ,950d +≤,d 为整数,2d ∴=-.故{}n a 的通项公式为112n a n =-…………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ),得()()11111111292292112n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪----⎝⎭, 1111111111......27957921122929n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ,令192n b n =-,由函数()192f x x=-的图象关于点()4.5,0对称及其单调性,知12340b b b b <<<<,567...0b b b <<<<,41n b b ∴≤=.1141299n T ⎛⎫∴≤-= ⎪⎝⎭………12分7、(Ⅰ)解:设数列{a n }的公比为q ,则错误!未找到引用源。
2017年高考试题分类汇编(数列)
![2017年高考试题分类汇编(数列)](https://img.taocdn.com/s3/m/cd3af46df242336c1eb95e34.png)
2017年高考试题分类汇编(数列)考点1 等差数列1.(2017·全国卷Ⅰ理科)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 CA .1B .2C .4D .82.(2017·全国卷Ⅱ理科)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则11nk kS ==∑ . 21n n + 3.(2017·浙江)已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是 “465+2S S S >”的 CA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 考点2等比数列1.(2017·全国卷Ⅲ理科)设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-,则4a =____.8-2.(2017·江苏卷)等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知374S =,6634S =,则8a = . 32 3.(2017·全国卷Ⅱ理科)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远 望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是: 一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍, 则塔的顶层共有灯 BA .1盏B .3盏C .5盏D .9盏 考法3 等差数列与等比数列综合1.(2017·全国卷Ⅲ理科)等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0.若2a ,3a ,6a 成等比数列,则{}n a 前6项的和为 AA .24-B .3-C .3D .82.(2017·北京理科)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b ==-,44a b =8=,则22a b =____. 1 3.(2017·全国卷Ⅰ文科)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知22S =,36S =-. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(2)n n a =-(Ⅱ)求n S ,并判断1n S +,n S ,2n S +是否成等差数列.4.(2017·全国卷Ⅱ文科)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的 前n 项和为n T .11a =-,11b =,222a b +=.(Ⅰ)若335a b +=,求{}n b 的通项公式; 12n n b -= (Ⅱ)若321T =,求3S . 321S =或36S =-.5.(2017·北京文科)已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==,24a a +10=,245b b a ⋅=.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式;21n a n =- , (Ⅱ)求和:13521n b b b b -++++.312n T -=.6.(2017·天津理科)已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()n S n *∈N ,{}n b 是首 项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式; 32n a n =-,2n n b = (Ⅱ)求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 1328433n n n T +-=⨯+ 7.(2017·天津文科)已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*()n S n ∈N ,{}n b 是首 项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式; 32n a n =-,2n n b = (Ⅱ)求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N . 2(34)216n n T n +=-⨯+8.(2017·山东理科)已知{}n x 是各项均为正数的等比数列,且123x x +=,322x x -=.(Ⅰ)求数列{}n x 的通项公式; 12n n x -=(Ⅱ)如图,在在平面直角坐标xOy 中,依次连接点11(,1)P x ,22(,1)P x ,,11(,1)n n P x n +++得到折线121n PP P +,求由该折线与直线0y =,1x x =,1n x x +=所围成的区域面积n T .1211222n n n T --=⨯+9.(2017·山东文科)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且126a a +=,123a a a =.(Ⅰ)求数列{}n a 通项公式; 2n n a =(Ⅱ){}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和n S ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 15(25)()2n n T n =-+⨯考法4 一般数列1.(2017·全国卷Ⅲ文科)设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式;221n a n =- (Ⅱ)求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 221n n S n =+。
(完整版)2017高考数列专题复习(精典版知识点+大题分类+选择题+答案详解)
![(完整版)2017高考数列专题复习(精典版知识点+大题分类+选择题+答案详解)](https://img.taocdn.com/s3/m/1571f2f9ba1aa8114531d99f.png)
文科数列专题复习一、等差数列与等比数列1。
基本量的思想:常设首项、(公差)比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等。
转化为“基本量”是解决问题的基本方法。
2.等差数列与等比数列的联系1)若数列{}n a 是等差数列,则数列}{n a a 是等比数列,公比为d a ,其中a 是常数,d 是{}n a 的公差。
(a 〉0且a ≠1); 2)若数列{}n a 是等比数列,且0n a >,则数列{}log a n a 是等差数列,公差为log a q ,其中a 是常数且0,1a a >≠,q 是{}n a 的公比。
3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。
4、典型例题分析【题型1】等差数列与等比数列的联系例1 (文16)已知{a n}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项;(Ⅱ)求数列{2an}的前n项和S n.解:(Ⅰ)由题设知公差d≠0,由a1=1,a1,a3,a9成等比数列得121d+=1812dd++,解得d=1,d=0(舍去),故{a n}的通项a n=1+(n-1)×1=n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知2m a=2n,由等比数列前n项和公式得S m=2+22+23+…+2n=2(12)12n--=2n+1-2。
小结与拓展:数列{}n a是等差数列,则数列}{n a a是等比数列,公比为d a,其中a是常数,d是{}n a的公差.(a>0且a≠1).【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例2 已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项对应相同,且a1+2a2+22a3+…+2n-1a n=8n对任意的n∈N*都成立,数列{bn+1-b n}是等差数列.求数列{a n}与{b n}的通项公式。
解:a1+2a2+22a3+…+2n-1a n=8n(n∈N*)①当n≥2时,a1+2a2+22a3+…+2n-2a n-1=8(n-1)(n∈N*)②①-②得2n-1a n=8,求得a n=24-n,在①中令n=1,可得a1=8=24-1,∴a n=24-n(n∈N*).由题意知b1=8,b2=4,b3=2,∴b2-b1=-4,b3-b2=-2,∴数列{b n+1-b n}的公差为-2-(-4)=2,∴b n+1-b n=-4+(n-1)×2=2n-6,法一(迭代法)b n=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(b n-b n-1)=8+(-4)+(-2)+…+(2n-8)=n2-7n+14(n∈N*).法二(累加法)即b n-b n-1=2n-8,b n-1-b n-2=2n-10,…b3-b2=-2,b2-b1=-4,b1=8,相加得b n=8+(-4)+(-2)+…+(2n-8)=8+(n -1)(-4+2n -8)2=n 2-7n +14(n∈N *).小结与拓展:1)在数列{a n }中,前n 项和S n 与通项a n 的关系为:⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n 。
普通高中2017高考高三数学第一次模拟试题精选:数列04含答案
![普通高中2017高考高三数学第一次模拟试题精选:数列04含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/cfe2e23f3b3567ec112d8a0e.png)
数列045、设3x x f =)(,等差数列{}n a 中73=a ,12321=++a a a ,记n S =()31+n a f ,令n n n S a b =,数列}1{nb 的前n 项和为n T . (1)求{}n a 的通项公式和n S ;(2)求证:31<n T ;(3)是否存在正整数n m ,,且n m <<1,使得n m T T T ,,1成等比数列?若存在,求出n m ,的值,若不存在,说明理由.【答案】解:(1)设数列{}n a 的公差为d ,由7213=+=d a a , 12331321=+=++d a a a a .解得11=a ,d =3 , ……………2分 ∴23-=n a n ……………4分∵3x x f =)(, ∴S n =()31+n a f =131+=+n a n . ……………6分(2))13)(23(+-==n n S a b n n n∴)131231(31)13)(23(11+--=+-=n n n n b n ……………8分 ∴31)1311(31<+-=n T n ……………10分(3)由(2)知,13+=n n n T ∴13,411+==m m T T m ,13+=n n n T ,∵n m T T T ,,1成等比数列. ∴ 1341)13(2+=+n n m m ……………12分 即n n m m 4312+=+6当1=m 时,7n n 43+=,n =1,不合题意;当2=m 时,413n n 43+=,n =16,符合题意; 当3=m 时,919n n 43+=,n 无正整数解;当4=m 时,1625n n 43+=,n 无正整数解; 当5=m 时,2531n n 43+=,n 无正整数解;当6=m 时,3637n n 43+=,n 无正整数解; ……………15分当7≥m 时,010)3(1622>--=--m m m ,则1162<+m m ,而34343>+=+n n n ,所以,此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列. ……………17分综上,存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列. ……………18分另解:(3)由(2)知,13+=n n n T ∴13,411+==m m T T m ,13+=n n n T ∵n m T T T ,,1成等比数列. ∴ 21()31431m n m n =⋅++, ……………12分 取倒数再化简得n n mm 4312+=+6 当2=m 时,413n n 43+=,n =16,符合题意; ……………14分 2221161611193,0,39339m m m m m m m +⎛⎫≥<≤=+=+-≤< ⎪⎝⎭时, 而34343>+=+nn n , 所以,此时不存在正整数m 、n , 且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列. ……………17分 综上,存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列. ……………18分6、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且34135=+a a ,93=S .数列}{n b 的前n 项和为n T ,满足n n b T -=1.(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)写出一个正整数m ,使得91+m a 是数列}{n b 的项;(3)设数列}{n c 的通项公式为ta a c n n n +=,问:是否存在正整数t 和k (3≥k ),使得1c ,2c ,k c 成等差数列?若存在,请求出所有符合条件的有序整数对),(k t ;若不存在,请说明理由.【答案】(1)设数列}{n a 的首项为1a ,公差为d ,由已知,有⎩⎨⎧=+=+9333416211d a d a ,……(2分)解得11=a ,2=d ,…………(3分)所以}{n a 的通项公式为12-=n a n (*N ∈n ).…………(4分)(2)当1=n 时,1111b T b -==,所以211=b .……(1分) 由n n b T -=1,得111++-=n n b T ,两式相减,得11++-=n n n b b b , 故n n b b 211=+,……(2分) 所以,}{n b 是首项为21,公比为21的等比数列,所以n n b ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21.……(3分) )4(2182191+=+=+m m a m ,…………(4分) 要使91+m a 是}{n b 中的项,只要n m 24=+即可,可取4=m .…………(6分) (只要写出一个m 的值就给分,写出42-=n m ,*N ∈n ,3≥n 也给分)(3)由(1)知,tn n c n +--=1212,…………(1分) 要使1c ,2c ,k c 成等差数列,必须k c c c +=122,即tk k t t +--++=+12121136,…………(2分) 化简得143-+=t k .…………(3分) 因为k 与t 都是正整数,所以t 只能取2,3,5.…………(4分)当2=t 时,7=k ;当3=t 时,5=k ;当5=t 时,4=k .…………(5分) 综上可知,存在符合条件的正整数t 和k ,所有符合条件的有序整数对),(k t 为: )7,2(,)5,3(,)4,5(.…………(6分)7、等比数列....{}n c 满足11410-+⋅=+n n n c c ,*N n ∈,数列{}n a 满足n a n c 2=(1)求{}n a 的通项公式;(5分)(2)数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅,n T 为数列{}n b 的前n 项和.求n n T ∞→lim ;(5分)(3)是否存在正整数(),1m n m n <<,使得1,,m n T T T 成等比数列?若存在,求出所有,m n 的值;若不存在,请说明理由.(6分)【答案】解:(1)解:40,103221=+=+c c c c ,所以公比4=q 2分 10411=+c c 计算出21=c 3分 121242--=⋅=n n n c 4分 12-=∴n a n 5分(2)11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭6分 于是11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 8分 n n T ∞→lim =21 10分(3)假设否存在正整数(),1m n m n <<,使得1,,m n T T T 成等比数列,则2121321m n m n ⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭, 12分 可得2232410m m n m -++=>,由分子为正,解得1122m -<<+由,1m N m *∈>,得2m =,此时12n =, 当且仅当2m =,12n =时,1,,m n T T T 成等比数列。
高三上学期考试数学理试题分类汇编:数列Word版含答案
![高三上学期考试数学理试题分类汇编:数列Word版含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/a12188932b160b4e777fcf59.png)
北京市部份区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编数列一、选择、填空题一、(昌平区2017届高三上学期期末)已知正项等比数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,12a =,2312a a +=,则5S =________ .二、(朝阳区2017届高三上学期期末)已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S .若12a =,32a S =,则2a = ,10S =3、(朝阳区2017届高三上学期期中)各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ,245S S =,则1a = ,4S =4、(东城区2017届高三上学期期末)数列{}n a 表示第n 天午时某种细菌的数量.细菌在理想条件下第n 天的日增加率0.6n r =(*1n nn na a r n a +-=∈N ,).当这种细菌在实际条件下生长时,其日增加率n r 会发生转变.下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q 随时间的转变规律.那么,对这种细菌在实际条件下日增加率n r 的规律描述正确的是5、(丰台区2017届高三上学期期末)在等比数列}{n a 中,31=a ,123+=a a a +9,则456+a a a +等于(A )9(B )72(C )9或72(D ) 9或-726、(海淀区2017届高三上学期期中)已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =+,则23a a +=_____.7、(石景山区2017届高三上学期期末)等差数列{}n a 学科网中,12a =,公差不为零,且1a ,3a ,11a 恰好是某等比数列的前三项,那么该等比数列公比的值等于 .8、(通州区2017届高三上学期期末)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若11a =,7524S S -=,则6____.S =9、(西城区2017届高三上学期期末)设等比数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项和为n S .若11a =,34a =,则n a =____;6S =____.二、解答题一、(朝阳区2017届高三上学期期末)设(3)m,n m n ≤≤是正整数,数列:m A 12m a ,a ,,a ,其中(1)i a i m ≤≤是集合{123},,,,n 中互不相同的元素.若数列m A 知足:只要存在1i,j i j m ≤<≤()使i j a a n +≤,总存在1k k m ≤≤()有i j k a a a +=,则称数列m A 是“好数列”.(Ⅰ)当6100m ,n ==时,(ⅰ)若数列6:11789790A ,,x,y,,是一个“好数列”,试写出x,y 的值,并判断数列:11789097,,,x,,y 是不是是一个“好数列”?(ⅱ)若数列6:1178A ,,a,b,c,d 是“好数列”,且a b c d <<<,求a,b,c,d 共有多少种不同的取值?(Ⅱ)若数列m A 是“好数列”,且m 是偶数,证明:1212m a a a n m ++++≥.二、(朝阳区2017届高三上学期期中)已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列,11a =,且248111,,a a a 成等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ,求证:1n T <.3、(朝阳区2017届高三上学期期中)设b a ,是正奇数,数列}{n c (n *∈N )概念如下:b c a c ==21,,对任意3≥n ,n c 是21--+n n c c 的最大奇约数.数列}{n c 中的所有项组成集合A .(Ⅰ)若15,9==b a ,写出集合A ;(Ⅱ)对1≥k ,令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值),求证:k k d d ≤+1;(Ⅲ)证明集合A 是有限集,并写出集合A 中的最小数.4、(东城区2017届高三上学期期末)已知{}n a 是等比数列,知足13a =,424a =,数列{}n n a b +是首项为4,公差为1的等差数列.(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和.五、(海淀区2017届高三上学期期末)对于无穷数列{}n a ,{}n b ,若1212max{,,,}min{,,,}(1,2,3,)k k k b a a a a a a k =-=,则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.其中,12max{,,,}k a a a ,12min{,,,}k a a a 别离表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数.已知{}n a 为无穷数列,其前n 项和为n S ,数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”. (Ⅰ)若21n a n =+,求{}n b 的前n 项和; (Ⅱ)证明:{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ; (Ⅲ)若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =,求所有知足该条件的{}n a .六、(丰台区2017届高三上学期期末)已知无穷数列{}n c 知足1112n n c c +=--. (Ⅰ)若117c =,写出数列{}n c 的前4项; (Ⅱ)对于任意101c ≤≤,是不是存在实数M ,使数列{}n c 中的所有项均不大于M ?若存在,求M 的最小值;若不存在,请说明理由;(Ⅲ)当1c 为有理数,且10c ≥时,若数列{}n c 自某项后是周期数列,写出1c 的最大值.(直接写出结果,无需证明)7、(海淀区2017届高三上学期期中)已知数列{}n a 是公差为2的等差数列,数列{}n b 知足1n n n b b a +-=,且2318,24b b =-=-.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求n b 取得最小值时n 的值.八、(海淀区2017届高三上学期期中)已知数列{}n a 是无穷数列,知足11lg |lg lg |n n n a a a +-=-(2,3,4,n =).(Ⅰ)若122,3a a ==,求345,,a a a 的值;(Ⅱ)求证:“数列{}n a 中存在*()k a k ∈N 使得lg 0k a =”是“数列{}n a 中有无数多项是1”的充要条件;(Ⅲ)求证:在数列{}n a 中*()k a k ∃∈N ,使得12k a <≤.九、(通州区2017届高三上学期期末)已知数列}{n a 对任意的*N n ∈知足:+212n n n+a a a ,则称数列}{n a 为“T 数列”.(Ⅰ)求证:数列{}2n 是“T 数列”;(Ⅱ)若212nn a n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭,试判断数列{}n a 是否是“T 数列”,并说明理由;(Ⅲ)若数列{}n a 是各项均为正的“T 数列”,求证:13212421n na a a n a a a n.10、(西城区2017届高三上学期期末)数字1,2,3,,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ,设n S 为所有这样的排列组成的集合.集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤,都有}i j a i a j --≤;集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤,都有}i j a i a j ++≤.(Ⅰ)用列举法表示集合3A ,3B ; (Ⅱ)求集合nn A B 的元素个数;(Ⅲ)记集合n B 的元素个数为n b .证明:数列{}n b 是等比数列.参考答案一、选择、填空题一、62 二、4,110 3、12,1524、B 五、D 六、24 7、4 八、36 九、12n -;63二、解答题 一、解:(Ⅰ)(ⅰ) 89100x ,y ==,或10089x ,y ==;数列:11789097,,,x,,y 也是一个“好数列”. …………………………………3分 (ⅱ)由(ⅰ)可知,数列必含89100,两项, 若剩下两项从909199,,,中任取,则都符合条件,有21045C =种; 若剩下两项从798088,,,中任取一个,则另一项必对应909199,,,中的一个,有10种;若取6877a ≤≤,则791188a ≤+≤,902299a ≤+≤,“好数列”必超过6项,不符合;若取67a =,则61178a A +=∈,另一项可从909199,,,中任取一个,有10种;若取5667a <<,则671178a <+<,782289a <+<,“好数列”必超过6项,不符合;若取56a =,则67b =,符合条件,若取56a <,则易知“好数列”必超过6项,不符合;综上,a,b,c,d 共有66种不同的取值. ………………………………………7分 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)易知,一个“好数列”各项任意排列后,仍是一个“好数列”. 又“好数列”12m a ,a ,,a 各项互不相同,所以,不妨设12m a a a <<<.把数列配对:121122m m m m a a ,a a ,,a a -++++,只要证明每一对和数都不小于1n +即可. 用反证法,假设存在12mj ≤≤学科网,使1j m j a a n +-+≤, 因为数列单调递增,所以111211m j m j m j j m j a a a a a a a n -+-+-+-+<+<+<<+≤,又因为“好数列”,故存在1k m ≤≤,使得1(1)i m j k a a a i j +-+=≤≤,显然1>k m j a a +-,故1k m j >+-,所以k a 只有1j -个不同取值,而1i m j a a +-+有j 个不同取值,矛盾. 所以,121122m m m m a a ,a a ,,a a -++++每一对和数都不小于1n +,故12(1)2m ma a a n +++≥+,即1212m a a a n m ++++≥.…………………13分 二、解:(Ⅰ)设{}n a 的公差为d .因为248111,,a a a 成等比数列,所以2428111()a a a =⋅.即2111111()37a d a d a d=⋅+++ .化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+,即21d a d =.又11a =,且0d ≠,解得1d = .所以有1(1)n a a n d n =+-=. …………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)得:11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++.所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ . 因此,1n T <. …………………13分 3、解:(Ⅰ)数列}{n c 为:9,15,3,9,3,3,3,…….故集合}3,15,9{=A . ……………3分 (Ⅱ)证明:由题设,对3≥n ,2-n c ,1-n c 都是奇数,所以21--+n n c c 是偶数.从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c , 所以},m ax {21--≤n n n c c c ,当且仅当21--=n n c c 时等号成立. 所以,对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212,且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222.所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221,当且仅当122-=k k c c 时等号成立.………9分(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当3≥n 时,有},m ax {21--≤n n n c c c . 所以对3≥n ,有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=. 又n c 是正奇数,且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的, 所以数列}{n c 中的不同项是有限的. 所以集合A 是有限集.集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数. ……………14分4、解:(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q . 由题意,得3418a q a ==,2q =. 所以11132n n n a a q --==⋅(1,2,)n =. ……………3分又数列{}n n a b +是首项为4,公差为1的等差数列, 所以4(1)1n n a b n +=+-⋅.从而1(3)32n n b n -=+-⨯(1,2,)n =. ……………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知1(3)32n n b n -=+-⨯(1,2,)n =数列{3}n +的前n 项和为(7)2n n +. ……………9分 数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(12)32312n n -=⨯--. ……………12分 所以,数列{}n b 的前n 项和为(7)3232n n n +-⨯+. ………13分 五、解:(Ⅰ)由21n a n =+可得{}n a 为递增数列, 所以12121max{,,,}min{,,,}21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=-,故{}n b 的前n 项和为22(1)2n n n n -⨯=-.- (Ⅱ)因为12121max{,,,}max{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≤=,12121min{,,,}min{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≥=,所以1211211212max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-所以1(1,2,3,)n n b b n +≥=. 又因为1110b a a =-=, 所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-=,所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .(Ⅲ)由121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =可得当1n =时,11a a =;当2n =时,121223a a a b +=+,即221b a a =-,所以21a a ≥;当3n =时,123133263a a a a b ++=+,即3213132()()b a a a a =-+-(*), 若132a a a ≤<,则321b a a =-,所以由(*)可得32a a =,与32a a <矛盾;若312a a a <≤,则323b a a =-,所以由(*)可得32133()a a a a -=-, 所以3213a a a a --与同号,这与312a a a <≤矛盾; 若32a a ≥,则331b a a =-,由(*)可得32a a =. 猜想:知足121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =的数列{}n a 是: 1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证,左式=121212(1)[12(1)]2n n n S S S na n a na a -+++=++++-=+, 右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--+=+-=+.下面证明其它数列都不知足(Ⅲ)的题设条件.法1:由上述3n ≤时的情况可知,3n ≤时,1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是第一次不符合1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项,则1231k k a a a a a -≤===≠,由题设条件可得2212(1)(1)222k k k k k k k k a a a b ----+=+(*), 若12k a a a ≤<,则由(*)式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾; 若12k a a a <≤,则2k k b a a =-,所以由(*)可得21(1)()2k k k k a a a a --=- 所以21k k a a a a --与同号,这与12k a a a <≤矛盾; 所以2k a a ≥,则1k k b a a =-,所以由(*)化简可得2k a a =.这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不知足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2:当i n ≤时,11212max{,,,}min{,,,}i i i i a a a a a a a a b -≤-=,所以1121()ki k i a a b b b =-≤+++∑,(1,2,3,,)k n =即112()k k S ka b b b ≤++++,(1,2,3,,)k n =由1(1,2,3,)n n b b n +≥=可得(1,2,3,,)k n b b k n ≤=又10b =,所以可得1(1)k n S ka k b ≤+-(1,2,3,)k =, 所以12111(2)[02(1)]n n n n n S S S a a na b b b n b +++≤++++⨯++++-,即121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 所以121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++≤+等号成立的条件是1(1,2,3,,)i i n a a b b i n -===,所以,所有知足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.(说明:各题的其他做法,可对着参考答案的评分标准相应给分)六、解:(Ⅰ)12462,,,,77777……………….4分 (Ⅱ)存在知足题意的实数M , 且M 的最小值为1. 解法一:猜想10≤≤n c ,下面用数学归纳法进行证明. (1)当1n =时,101c ≤≤,结论成立.(2)假设当)(*N k k n ∈=时结论成立,即10≤≤k c , 当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤, 即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤, 故01121k c ≤--≤. 又因为+1=112k k c c --, 所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由(1),(2)知,10≤≤n c 成立 所以1M ≥,当112c =时,可适当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二:当2≥n 时,若存在2,3,4...,k =知足11k c -<,且1k c >. 显然1,21,01≠-k c ,则1211<<-k c 时,1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾; 2101<<-k c 时,121<=-k k c c 与1>k c 矛盾;所以01(2)n c n ≤≤≥ 所以1M ≥,当112c =时,可适当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1. ……………………10分 (Ⅲ)2………………13分7、解析:(I )(II )八、解析:(III)九、解:(Ⅰ)22252n n n ++=⋅,12242n n +⋅=⋅ 212n n n a a a ++∴+-=21222220n n n n +++-⋅=> 212n n n a a a ++∴+>……………….3分(Ⅱ)222112(2)2n n n n a a a n +++⎛⎫+-=+⋅ ⎪⎝⎭212n n ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭1212(1)2n n +⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭2221(2)[(1)]24nn n n +⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭214024nn n ⎛⎫-⎛⎫=⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得,*4,n n N >∈,故数列{}n a 不是T 数列.……………….7分(Ⅲ)要证13212421n n a a a n a a a n +++++>+++ 只需证1321242()(1)n n n a a a n a a a ++++>++++……………….8分下面运用数学归纳法证明。
山东省13市2017届高三最新考试数学理试题分类汇编:数列 Word版含答案
![山东省13市2017届高三最新考试数学理试题分类汇编:数列 Word版含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/c9c0b2f2172ded630b1cb625.png)
山东省13市2017届高三最新考试数学理试题分类汇编数列2017.03一、选择、填空题1、(聊城市2017届高三高考模拟(一))已知数列{}n a 为等差数列,且1251,5,8a a a ≥≤≥,设数列{}n a 的前n 项和为S ,15S 的最大值为M ,最小值为m ,则M m + ( ) A .500 B .600 C. 700 D .8002、(青岛市2017年高三统一质量检测)已知1x >,1y >,且lg x ,14,lg y 成等比数列,则xy 有A .最小值10 BC .最大值10D二、解答题QQ 请到学科网下载,不要放到群1、(滨州市2017届高三下学期一模考试) 已知数列{}n a 满足22,,2,n n n a n a n N a n +++⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数为偶数,且121,2a a ==.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令1(1),n n n n b a a n N ++=-∈,求数列{}n b 的前n 项和n S .2、(德州市2017届高三第一次模拟考试)已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-,n N +∈,21n b n =-,且12a =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设1nn n n na cb -=,n T 为数列{}nc 的前n 项和,求n T .3、(菏泽市2017年高考一模)在数列{a n }中,a 1=1,=+(n ∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =1+a(n ∈N*),求数列{2nb n }的前n 项和S n .4、(济宁市2017届高三第一次模拟(3月))已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()22n n S a n N *=-∈,数列{}n b 为等差数列,且满足2183,b a b a ==.(I)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (II)令()111n n n c a +=--,关于k 的不等式()40971100,k c k k N *≥≤≤∈的解集为M ,求所有()k k a b k M +∈的和S .5、(聊城市2017届高三高考模拟(一))设,n n S T 分别是数列{}n a 和{}n b 的前n 项和,已知对于任意*n N ∈,都有323n n a S =+,数列{}n b 是等差数列,且51025,19T b ==. (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)设()1n nn a b c n n =+,数列{}n c 的前n 项和为R ,求使n R >2017成立的n 的取值范围.6、(临沂市2017届高三2月份教学质量检测(一模))已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()21n n S a n n N *=+-∈.(I)求数列{}n a 的通项公式;(II)定义[]x x x =+,其中[]x 为实数x 的整数部分,x 为x 的小数部分,且01x ≤<,记1n n n na a c S +=,求数列{}n c 的前n 项和n T .7、(青岛市2017年高三统一质量检测)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且121n n a S +=+,N n *∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)令32log n n c a =,21n n n b c c +=⋅ ,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意N n *∈,n T λ<恒成立,求实数λ的取值范围.8、(日照市2017届高三下学期第一次模拟)已知数列{}n a 满足1111,14n na a a +==-,其中n N +∈.(I)设221n n b a =-,求证:数列{}n b 是等差数列,并求出数列{}n a 的通项公式;(II)设41n n a c n =+,数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ,是否存在正整数m ,使得11n m m T c c +<对于n N +∈恒成立,若存在,求出m 的最小值,若不存在,请说明理由.9、(泰安市2017届高三第一轮复习质量检测(一模))若数列{}n a 是公差为2的等差数列,数列{}n b 满足1211,2n n n n b b a b b nb +==+=且 (I)求数列{}{}n n a b 、的通项公式; (Ⅱ)设数列{}n c 满足11n n n a c b ++=,数列{}n c 的前n 项和为n T ,若不等式()1nn T λ-<12n n -+对一切n N *∈都成立,求实数λ的取值范围.10、(潍坊市2017届高三下学期第一次模拟) 已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S 。
2017年数列汇编 - 答案
![2017年数列汇编 - 答案](https://img.taocdn.com/s3/m/bf6ef601a45177232f60a2ab.png)
金牌数学高二(必修五)专题系列之 数列(四)2107年真题汇编一、等差数列1.通项公式: . 2.等差中项: . 3.求和公式: . 4.性 质: . 二、等比数列1.通项公式: .2.等比中项: .3.求和公式: .4.性 质: .三、等差等比通用公式: .题型一 选择题例1: (2017年新课标Ⅰ) 4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1B .2C .4D .8【答案】C【解析】设公差为d ,则有112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =,故选 C.变式训练1. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )A .1盏B .3盏C .5盏D .9盏 【答案】B【解析】塔的顶层共有灯x 盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由()71238112x -=-可得3x =,故选B 。
2. (2017年新课标Ⅲ卷理) 9.等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{}n a 前6项的和为 A .-24 B .-3 C .3 D .8【答案】A【解析】设等差数列的公差为0d ≠,()()()2232612115a a a d d d =⋅⇒+=++,22d d =-,()0d ≠,所以2d =-,()665612242S ⨯=⨯+⨯-=-,故选A. 3. (2017年浙江卷) 6.已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C题型二 填空题例2:( 2017年新课标Ⅱ卷理) 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则11nk kS==∑ .【答案】21nn + 【解析】设等差数列的首项为1a ,公差为d ,所以1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ,解得111a d =⎧⎨=⎩ ,所以()1,2n nn n a n S +==,那么()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,那么11111111221......21223111nk k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ .变式训练1.(2017年新课标Ⅲ卷理)设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3,则a 4 = ___________. 【答案】8-【解析】由题意可得:()()1211113a q a q ⎧+=-⎪⎨-=-⎪⎩ ,解得:112a q =⎧⎨=-⎩ ,则3418a a q ==-2. (2017年北京卷理) (10)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1,a 4=b 4=8,则22a b =_______. 【答案】1【解析】322131383,211(2)a d q d qb -+-+=-=⇒==-⇒==-⨯-3. (2017年江苏卷)等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ .【解析】当1q =时,显然不符合题意;当1q ≠时,3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩,解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩,则7812324a =⨯=.题型二 解答题例3:( 2017年全国Ⅲ卷文)设数列{}n a 满足()123+212n a a n a n ++-=… (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和; 【答案】【解析】(1)当=1n 时,12a = (1)当2n ≥时,由()123+212n a a n a n ++-=...① (2)()()12-13+232-1n a a n a n ++-=...②. (3)① -②得()212n n a -= (4)即()2221n a n n =≥- 验证12a =符合上式 所以()221n a n N n *=∈- (6)(2)()()2112121212121n a n n n n n ==-+-+-+ (8)11111111211335232121212121n nS n n n n n n =-+-++-+-=-=---+++ (12)变式训练1.(2017年天津卷理)已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()n S n *∈N ,{}n b 是学 科.网首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =.(Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅱ)求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N .【答案】 (1)32n a n =-.2nn b =.(2)1328433n n n T +-=⨯+. 【解析】(I )设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .由262n a n =-,12124n n b --=⨯,有221(31)4nn n a b n -=-⨯, 故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯,23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯,上述两式相减,得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯1112(14)4(31)414(32)48.n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328433n n n T +-=⨯+. 所以,数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 2【山东省济南市2012届高三12月考】28. (本小题满分8分)已知}{n a 是一个公差大于0的等差数列,且满足16,557263=+=a a a a . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式:(Ⅱ)等比数列}{n b 满足:1,2211-==a b a b ,若数列n n n b a c ⋅=,求数列}{n c 的前n 项和n S .【答案】28.(本小题满分8分)解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,则依题设d >0 由1672=+a a .得12716a d += ① ---------------1分 由3655,a a ⋅=得11(2)(5)55a d a d ++= ② ---------------2分由①得12167a d =-将其代入②得(163)(163)220d d -+=。
山东省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练:数列 含答案
![山东省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练:数列 含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/27f519abbe23482fb5da4c1a.png)
山东省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练数列一、选择、填空题1、(齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考)若12,x x 是函数()()20,0f x xax b a b =-+>> 的两个不同的零点,且12,2,x x -成等比数列,若这三个数重新排序后成等差数列,则a b + 的值等于( ) (A )7 (B )8 (C)9 (D)10 2、(齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等比数列,则角B 3、(德州市2016届高三上学期期末)已知数列{na }为等差数列,1233a aa ++=,5679a a a ++=,则4a =A .1B .2C .3D .44、(莱芜市2016届高三上学期期末)若等差数列{}na 的前7项和721S=,且21a=-,则6a =A 。
5 B.6 C 。
7 D.85、(泰安市2016届高三上学期期末)设{}na 是公差为正数的等差数列,若1310a a+=,1316a a =,则12a 等于A.25B.30 C 。
35 D.406、((济宁市2016届高三上学期期末)在数列{}na 中,112,2(*)n n n aa a n N +==+∈,则数列{}n a 的通项公式为7、(胶州市2016届高三上学期期末)等比数列{}na 的前项和为nS ,已知12323S S S ,,成等差数列,则数列{}n a 的公比为8、(泰安市2016高三3月模拟)已知{}na 为等比数列,下列结论 ①3542a a a +≥;②2223542aa a +≥;③若35a a =,则12a a =; ④若53aa >,则75a a >。
其中正确结论的序号是 ▲ 。
9、(威海市2016高三3月模拟)已知数列{}na 的前n 项和为nS ,且21()n n S a n *=-∈N ,则5a =A.16- B. 16 C 。
江苏省苏州市2017届高三数学 数列综合 含答案 精品
![江苏省苏州市2017届高三数学 数列综合 含答案 精品](https://img.taocdn.com/s3/m/17101d210740be1e650e9a31.png)
姓名____________学号___________一、填空题:1. 已知等比数列}{n a 的各项均为正数,42a ,3a ,54a 成等差数列,且2232a a =,那么数列}{n a 的通项公式=n a .2. 已知n S 为数列}{n a 的前项和,且12+=n n S ,则数列}{n a 的通项公式为 .3. 已知数列满足11=a ,11--=-n n n n a a a a ,则数列}{n a 的通项公式为 .4.对于数列}{n a ,定义数列}{n b 满足:)(1*+∈-=Νn a a b n n n ,且)(11*+∈=-Νn b b n n ,13=a ,14-=a ,则=1a .5.已知数列}{n a 满足11=a ,1log log 212+=+n n a a )(*∈Νn ,它的前项和为n S ,且满足1025>n S 的最小n 的值是 .6. 已知数列}{n a 满足11=a ,)(1)1(11*+∈=+-Νn a a n n )(,则∑=+10011)(k k kaa 的值为 .7.已知数列}{n a 满足01=a ,1331+-=+n n n a a a )(*∈Νn ,则=2017a .8. 若数列}{n a 中,11=a ,n S 为数列}{n a 的前项和,且1(1)34nn nS S n S +=+≥,求数列}{n a 的通项=n a .二、解答题:9. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ,且11=a ,241+=+n n a S )(*∈Νn ,(1)设nn n a b 2=,求证:数列}{n b 是等差数列;(2)求数列}{n a 的通项公式.10.已知数列}{n a 满足:211=a , nq p a a n n n -⋅=-+1-13)(*∈Νn ,∈q p ,R . (1)若0=q ,且数列}{n a 为等比数列,求p 的值.(2)若1=p ,且4a 为数列}{n a 的最小项,求q 的取值范围.数列综合答案:1.n )21(;2.⎩⎨⎧≥==-2,21,31n n a n n ;3.21n a n =;4.8;5.11;6. 101100;7.0;8.见详解.解答与提示:5.因为1log 12=+n n a a ,所以21=+nn a a,可得12-=n n a ,102512>-=n n S ,则n 的最小值为11.6.由题意11++=-n n n n a a a a ,两边同除以1+n n a a 得,1111=-+nn a a ,则}1{n a 等差,所以n n a n =⨯-+=1)1(11,则na n 1=,所以111)1(11+-=+=+n n n n a a n n ,所以101100)(10011=∑=+k k k a a . 7.由01=a 及递推关系1331+-=+n n n a a a ,计算2a ,3a ,4a ,所以01=a ,32-=a ,33=a ,04=a ,则}{n a 周期为3,所以012017==a a . 8.取倒数4311+=+n n S S ,则)21(3212+=++n n S S ,又03211≠=+S ,所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n S 为等比,则nn S 321=+,所以231-=n n S ,所以⎪⎩⎪⎨⎧≥+⋅-⋅-==2,12383321,12n n a n n nn . 9. (1)因为241+=+n n a S ,所以)2(241≥+=-n a S n n ,两式相减得)2(4411≥=+-+n a a a n n n , 所以n n nn n n n n n b a a a b b 224221111111==+=++--++-+)2(≥n ,所以数列}{n b 是等差数列.(2)由(1)可得413)1(4321-=-+=n n b n ,所以nn n a 2413⋅-=.10. (1)当0=q 时,1-13n n n p a a ⋅=-+, 2-1-3n n n p a a ⋅=-,…, 0123⋅=-p a a (2≥n ),累加可得213211-⋅+=-n n p a (2≥n ),又数列}{a n 为等比数列,且211=a ,01或=∴p .(2)当1=p 时,nq a a n n n -=-+1-13,累加可得,[]q n n a n n )1(3211--=-4a ≥,即()q n n n ⋅--≥-1227321-对∀)(*∈Νn 恒成立,当1=n 时,613≥q ,当2=n 时,512≥q ,当3=n 时3≥q ,当4=n 时,∈q R ,当5≥n 时,1227321---≤-n n q n 恒成立,令1227321---=-n n c n n ,因为01>-+n n c c ,∴数列}{c n 在5≥n 且)(*∈Νn 时单调递增,4275=≤∴c q ,综上,4273≤≤q .。
高三数列专题练习30道带答案
![高三数列专题练习30道带答案](https://img.taocdn.com/s3/m/0e50a1aa6bec0975f465e254.png)
高三数列专题训练二一、解答题1.在公差不为零的等差数列{}n a 中,已知23a =,且137a a a 、、成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,记292n nb S =,求数列{}n b 的前n 项和n T . 2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{}n b 的前n 项和n T .3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,218a =,且1116S +,2S ,3S 成等差数列,数列{}n b 满足2n b n =. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设n n n c a b =⋅,若对任意*n N ∈,不等式121212n n c c c S λ+++≥+-…恒成立,求λ的取值范围.4.已知等差数列{n a }的公差2d =,其前n 项和为n S ,且等比数列{n b }满足11b a =,24b a =,313b a =.(Ⅰ)求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ; (Ⅱ)记数列{1nS }的前n 项和为n T ,求n T . 5.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()21,2,3,n n S a n =-=.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足11b =,且1n n n b b a +=+,求数列{}n b 的通项公式; (3)设()3n n c n b =-,求数列{}n c 的前n 项和n T .6.已知差数列等{}n a 的前n 项和n S ,且对于任意的正整数n满足1n a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设11n n n b a a +=, 求数列{}n b 的前n 项和n B .7.对于数列}{n a 、}{n b ,n S 为数列}{n a 的前n 项和,且n a S n S n n n ++=+-+)1(1,111==b a ,231+=+n n b b ,*∈N n .(1)求数列}{n a 、}{n b 的通项公式; (2)令)1()(2++=n n n b n n a c ,求数列}{n c 的前n 项和n T .8.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且1212112()a a a a +=+, 34534511164()a a a a a a ++=++. (1)求{}n a 的通项公式; (2)设21()n n nb a a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T . 9.已知数列{}n a 的首项11a =,前n 项和为nS ,且1210n n S S n +---=(*n ∈N ).(Ⅰ) 求证:数列{1}n a +为等比数列; (Ⅱ) 令n n b na =,求数列{}n b 的前n 项和n T . 10.已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足312a 是13a 与22a 的等差中项,且123a a a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设3log n n b a =,且n S 为数列{}n b 的前n 项和,求数列12{}nnS S +的前n 项和n T . 11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2121,2n n n a S a a ==+.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若2n an b =,求13521...n b b b b +++++.12.设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1,且2514,,a a a 构成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈,求{}n b 的前n 项和n T . 13.已知数列{}n a 是等比数列,满足143,24a a ==,数列{}n b 满足144,22b b ==,且{}n n b a -是等差数列.(I )求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (II )求数列{}n b 的前n 项和。
最新2017高考数学数列经典例题
![最新2017高考数学数列经典例题](https://img.taocdn.com/s3/m/5d9a1c5c05087632311212ba.png)
最新2017高考数学数列经典例题高考数学数列经典例题(一)高考数学数列经典例题(一)高考数学数列知识点数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做数列的项。
(1)从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就不是同一数列,例如数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是不同的数列。
(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,在同一数列中可以出现多个相同的数字,如:-1的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,…构成数列:-1,1,-1,1,…。
(4)数列的项与它的项数是不同的,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,也就是相当于f(n),而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值,相当于f(n)中的n。
(5)次序对于数列来讲是十分重要的,有几个相同的数,由于它们的排列次序不同,构成的数列就不是一个相同的数列,显然数列与数集有本质的区别。
如:2,3,4,5,6这5个数按不同的次序排列时,就会得到不同的数列,而{2,3,4,5,6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合。
数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类,分为有穷数列和无穷数列。
在写数列时,对于有穷数列,要把末项写出,例如数列1,3,5,7,9,…,2n-1表示有穷数列,如果把数列写成1,3,5,7,9,…或1,3,5,7,9,…,2n-1,…,它就表示无穷数列。
(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类:递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。
数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数,其内涵的本质属性是确定这一列数的规律,这个规律通常是用式子f(n)来表示的,这两个通项公式形式上虽然不同,但表示同一个数列,正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样,也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式,但在形式上,又不一定是唯一的,仅仅知道一个数列前面的有限项,无其他说明,数列是不能确定的,通项公式更非唯一。
各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编:数列 含答案
![各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编:数列 含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/ca2360be941ea76e59fa0425.png)
福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编数学科网列2017.03一、选择、填空题1、(福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟)设}{n a 是公差为正数的等差数列,若321321,15a a a a a a =++=80,则131211a a a ++=(A )120 (B )105 (C )90 (D )75 2、(福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟)我国古代数学名著《九章算术》中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前两步为:第一步:构造数列11111,,,,,234nL . ① 第二步:将数列①的各项乘以2n,得到一个新数列1234,,,,,n a a a a a L . 则1223341n n a a a a a a a a -++++=L .3、(漳州市八校2017届高三上学期期末联考) 等差数列{}n a 中,n S 是前n 项和,且k S S S S ==783,,则k 的值为( )A.4B.11C.2D. 124、(漳州市八校2017届高三下学期2月联考)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若32S =,618S =,则105S S 等于( ) A .-3 B .5 C .-31 D .335、(漳州市八校2017届高三下学期2月联考)已知数列}{n a 与}{n b 满足)(32*∈+=N n b a n n ,若}{n b 的前n 项和为)13(23-=nn S 且λλ3)3(36+-+>n b a n n 对一切*∈N n 恒成立,则实数λ的取值范围是 .6、(福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次(12月)月考) 已知等差数列{}n a 前9项和为27,()1099=8=a a ,则A . 100 B. 99 C. 98 D. 977、(福建省八县(市)一中联考2017届高三上学期期中)已知数列{}n a 是等比数列,数列{}n b 是等差数列,若1598a a a ⋅⋅=-,2586b b b π++=,则4637cos1b b a a +-⋅的值是( )A.12B.2C.12-D.2-8、(福州市第八中学2017届高三第六次质量检查)n n n C B A ∆的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n C B A ∆的面积为n S ,n=1,2,3,…,若11c b >,1112a c b =+,n n a a =+1,21nn n a c b +=+,21nn n a b c +=+,则 A.{S n }为递增数列 B.{S n }为递减数列C.{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列9、(福州外国语学校2017届高三适应性考试(九))数列{}n a 满足143a =,()()*111n n n a a a n N +-=-∈,且12111n nS a a a =+++…学科网,则n S 的整数部分的所有可能值构成的集合是( )A .{}0 1 2,, B .{}0 1 2 3,,, C.{}1 2, D .{}0 2, 10、(晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考)数列{a n }中,a 2=2,a 6=0且数列{11+n a }是等差数列,则a 4=( ) (A )21 (B )31 (C )41 (D )6111、(厦门第一中学2017届高三上学期期中考试)n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知()()()*0,431,n n n n a S a a n N >=+-∈.则{}n a 的通项公式n a =_____________.12、(福建省师大附中2017届高三上学期期中考试)已知数列{}n a 满足:112(2)n n n a a a n -+=+≥,11=a ,且2410a a +=,若n S 为数列{}n a 的前n 项和,则2183n n S a ++的最小值为(A )4(B )3(C )264(D )13313、(福建省霞浦第一中学2017届高三上学期期中考试)等比数列{a n }的各项均为正数,且385618a a a a +=,则3132310log log log a a a +++=LA .12B .10C .8D .32log 5+ 14、(漳州市八校2017届高三上学期期末联考)数列n n n n n n a a a S S n a 的通项公式为则且项和为的前}{,12,}{-== 二、解答题 1、(福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟)已知数列{a n }满足111,(1)(1)!.n n a a n a n +==+++(Ⅰ)求证:数列!n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭学科网是等差数列,并求{a n }的通项公式; (Ⅱ)设11++=n n n a a n b ,求数列{}n b 的前n 项和n T .2、(莆田市2017届高三3月教学质量检查) 已知数列{}n a 的前n 项和2n S n kn =+,其中k 为常数,1413,,a a a 成等比数列. (1)求k 的值及数列{}n a 的通项公式; (2)设14(1)(3)n n n b a a +=++,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:512n T <.3、(漳州市八校2017届高三上学期期末联考)在数列}{n a 中,1,111+•==+n nn a c a a a (c为常数,*N ∈n ),且521,,a a a 成公比不为1的等比数列. (1)求证:数列}1{na 是等差数列;并求c 的值; (2)设1+=n n n a ab ,求数列}{n b 的前n 项和为.n S4、(漳州市八校2017届高三下学期2月联考)已知等比数列{}n a 的公比1q >,且满足:23428a a a ++=,且32a +是24,a a 的等差中项.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若1122log ,S n n n n n b a a b b b ==+++L ,求使1262n n S n ++>g 成立的正整数n 的最小值.5、(漳州市第二片区2017届高三上学期第一次联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ,满足S n =n 2-3n .(I )求数列{a n }的通项公式a n ;(II )设b n =1S n +4n ,数列{b n }的前n 项和T n (n ∈N *),当T n >20162017 时,求n 的最小值.6、(福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次(12月)月考) 已知等差数列{}n a 满足:1=2a ,且1313a a a ,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式.(Ⅱ)记S n 为数列{}n a 的前项n 和,是否存在正整数n ,使得S 40600?n n >+若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由.7、(福建省八县(市)一中联考2017届高三上学期期中)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ()n N *∈,且满足222n n a S n +=+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求证:21223111133(2)(2)3(2)(2)3(2)(2)4n n n a a a a a a +⋯+++<------.8、(福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次(12月)月考)记S n 为数列{}n a 的前项n 和,已知0n a >, 22S =2n n n a a --(n N *∈)(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式. (Ⅱ)设2223n n n b a a +=,求数列{}n b 的前项n 和n T .9、(厦门第一中学2017届高三上学期期中考试)设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()2125n n n a a a +++=,且2510a a =。
数列难题专题(含答案)
![数列难题专题(含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/afb51d78941ea76e58fa04c9.png)
数列难题专题一.解答题(共50小题)1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =n (n+1)(n ∈N *). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)若数列{b n }满足:,求数列{b n }的通项公式;(Ⅲ)令(n ∈N *),求数列{c n }的前n 项和T n .2.已知数列{a n }是等差数列,且a 1=2,a 1+a 2+a 3=12. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =a n •3n ,求数列{b n }的前n 项和S n .3.已知数列{a n }中,a 1=3,a 2=5,其前n 项和S n 满足S n +S n ﹣2=2S n ﹣1+2n ﹣1(n ≥3).令b n =.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若f (x )=2x ﹣1,求证:T n =b 1f (1)+b 2f (2)+…+b n f (n )<(n ≥1).4.已知等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,且S 1,S 2,S 4成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)令b n =(﹣1)n ﹣1,求数列{b n }的前n 项和T n .5.已知等差数列{a n }的公差d >0,设{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 2•S 3=36. (Ⅰ)求d 及S n ;(Ⅱ)求m ,k (m ,k ∈N *)的值,使得a m +a m+1+a m+2+…+a m+k =65.6.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=a ,a n+1=S n +3n ,n ∈N *. (Ⅰ)设b n =S n ﹣3n ,求数列{b n }的通项公式; (Ⅱ)若a n+1≥a n ,n ∈N *,求a 的取值范围.7.已知数列{an }的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中λ为常数.(Ⅰ)证明:an+2﹣an=λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.8.设数列{an }的首项a1∈(0,1),an=,n=2,3,4…(1)求{an}的通项公式;(2)设,求证bn <bn+1,其中n为正整数.9.设数列满足|an﹣|≤1,n∈N*.(Ⅰ)求证:|an |≥2n﹣1(|a1|﹣2)(n∈N*)(Ⅱ)若|an |≤()n,n∈N*,证明:|an|≤2,n∈N*.10.已知数列{an }的前n项和Sn=,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.11.给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|﹣|x+c|.数列a1,a2,a3,…满足an+1=f(an),n∈N*.(1)若a1=﹣c﹣2,求a2及a3;(2)求证:对任意n∈N*,an+1﹣an≥c;(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.12.数列{an }满足:a1+2a2+…nan=4﹣,n∈N+.(1)求a3的值;(2)求数列{an }的前 n项和Tn;(3)令b1=a1,bn=+(1+++…+)an(n≥2),证明:数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2+2lnn.13.设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn满足Sn2﹣(n2+n﹣3)Sn﹣3(n2+n)=0,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.14.已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列{an}前n项和为Sn ,且满足S5=2a4+a5,a9=a3+a4.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若am am+1=am+2,求正整数m的值;(3)是否存在正整数m,使得恰好为数列{an}中的一项?若存在,求出所有满足条件的m值,若不存在,说明理由.15.已知等差数列{an }中,首项a1=1,公差d为整数,且满足a1+3<a3,a2+5>a4,数列{bn}满足,其前n项和为Sn.(1)求数列{an }的通项公式an;(2)若S2为S1,Sm(m∈N*)的等比中项,求m的值.16.已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2(n ∈N *) (1)证明:1≤≤2(n ∈N *);(2)设数列{a n 2}的前n 项和为S n ,证明(n ∈N *).17.已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0,且a 2,a 5,a 14分别是等比数列{b n }的b 2,b 3,b 4. (Ⅰ)求数列{a n }与{b n }的通项公式; (Ⅱ)设数列{c n }对任意自然数n 均有=a n+1成立,求c 1+c 2+…+c 2014的值.18.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,,n ∈N *.(1)求a 2的值;(2)求数列{a n }的通项公式; (3)证明:对一切正整数n ,有.19.数列{a n }的首项a 1=1,前n 项和S n 与a n 之间满足a n =(n ≥2).(1)求证:数列{}是等差数列;(2)设存在正数k ,使(1+S 1)(1+S 2)..(1+S n )对一切n ∈N ×都成立,求k 的最大值. 20.若数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,.(1)证明:数列{a n ﹣2}为等比数列; (2)求数列{S n }的前n 项和T n .21.已知数列{a n },{b n }满足b n =a n+1﹣a n ,其中n=1,2,3,…. (Ⅰ)若a 1=1,b n =n ,求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)若b n+1b n ﹣1=b n (n ≥2),且b 1=1,b 2=2.(ⅰ)记c n =a 6n ﹣1(n ≥1),求证:数列{c n }为等差数列; (ⅱ)若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.求a 1应满足的条件.22.在数列{an }中,a1=3,an+1an+λan+1+μan2=0(n∈N+)(Ⅰ)若λ=0,μ=﹣2,求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若λ=(k0∈N+,k≥2),μ=﹣1,证明:2+<<2+.23.设数列{an }的前n项和为Sn,若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”.(1)若数列{an }的前n项和为Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数列”;(2)设{an }是等差数列,其首项a1=1,公差d<0,若{an}是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数列{an },总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.24.已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列{an} 前n项和为Sn ,且满足S3=a4,a3+a5=2+a4(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an }前2k项和S2k;(3)在数列{an }中,是否存在连续的三项am,am+1,am+2,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出所有满足条件的正整数m的值;若不存在,说明理由.25.已知数列{an }满足a1=1,|an+1﹣an|=p n,n∈N*.(Ⅰ)若{an }是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值;(Ⅱ)若p=,且{a2n﹣1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式.26.已知数列{an }满足:a1∈N*,a1≤36,且an+1=(n=1,2,…),记集合M={an|n∈N*}.(Ⅰ)若a1=6,写出集合M的所有元素;(Ⅱ)如集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;(Ⅲ)求集合M的元素个数的最大值.27.设数列{an }的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1﹣2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有.28.已知公比为q(q≠1)的无穷等比数列{an }的首项a1=1.(1)若q=,在a1与a2之间插入k个数b1,b2,…,bk,使得a1,b1,b2,…,bk,a2,a3成等差数列,求这k个数;(2)对于任意给定的正整数m,在a1,a2,a3的a1与a2和a2与a3之间共插入m个数,构成一个等差数列,求公比q的所有可能取值的集合(用m表示);(3)当且仅当q取何值时,在数列{an }的每相邻两项ak,ak+1之间插入ck(k∈N*,ck∈N)个数,使之成为一个等差数列?并求c1的所有可能值的集合及{cn}的通项公式(用q表示).29.已知数列{an }的各项均为正数,bn=n(1+)n an(n∈N+),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x﹣e x的单调区间,并比较(1+)n与e的大小;(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令cn =(a1a2…an),数列{an},{cn}的前n项和分别记为Sn,Tn,证明:Tn<eSn.30.设等差数列{an }的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).(1)若a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{}的前n项和Tn.31.正整数列{an },{bn}满足:a1≥b1,且对一切k≥2,k∈N*,ak是ak﹣1与bk﹣1的等差中项,bk是ak﹣1与bk﹣1的等比中项.(1)若a2=2,b2=1,求a1,b1的值;(2)求证:{an }是等差数列的充要条件是{an}为常数数列;(3)记cn =|an﹣bn|,当n≥2(n∈N*)时,指出c2+…+cn与c1的大小关系并说明理由.32.已知数列{an }是无穷数列,a1=a,a2=b(a,b是正整数),.(Ⅰ)若a1=2,a2=1,写出a4,a5的值;(Ⅱ)已知数列{an }中,求证:数列{an}中有无穷项为1;(Ⅲ)已知数列{an }中任何一项都不等于1,记bn=max{a2n﹣1,a2n}(n=1,2,3,…;max{m,n}为m,n较大者).求证:数列{bn}是单调递减数列.33.对于项数为m的有穷数列{an },记bk=max{a1,a2,…,ak}(k=1,2,…,m),即bk为a1,a2,…,a k 中的最大值,并称数列{bn}是{an}的控制数列,如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{an }的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{an}.(2)设{bn }是{an}的控制数列,满足ak+bm﹣k+1=C(C为常数,k=1,2,…,m),求证:bk=ak(k=1,2,…,m).(3)设m=100,常数a∈(,1),an =an2﹣n,{bn}是{an}的控制数列,求(b1﹣a1)+(b2﹣a2)+…+(b100﹣a100).34.已知数列{an }是等差数列,Sn为{an}的前n项和,且a10=19,S10=100;数列{bn}对任意n∈N*,总有b1•b2•b3…bn﹣1•bn=an+2成立.(Ⅰ)求数列{an }和{bn}的通项公式;(Ⅱ)记cn =(﹣1)n,求数列{cn}的前n项和Tn.35.已知f(x)=,数列{an }为首项是1,以f(1)为公比的等比数列;数列{bn}中b1=,且bn+1=f(bn),(1)求数列{an }和{bn}的通项公式(2)令,{cn }的前n项和为Tn,证明:对∀n∈N+有1≤Tn<4.36.已知数列{an }满足a1=,an=(n≥2,n∈N).(1)试判断数列是否为等比数列,并说明理由;(2)设bn =,求数列{bn}的前n项和Sn;(3)设cn =ansin,数列{cn}的前n项和为Tn.求证:对任意的n∈N*,Tn<.37.已知数列{an }满足an≤an+1≤3an,n∈N*,a1=1.(1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围;(2)设{an }是公比为q的等比数列,Sn=a1+a2+…an,若Sn≤Sn+1≤3Sn,n∈N*,求q的取值范围.(3)若a1,a2,…ak成等差数列,且a1+a2+…ak=1000,求正整数k的最大值,以及k取最大值时相应数列a1,a2,…ak的公差.38.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x)=x成立,则称x为f(x)的不动点.如果函数f(x)=有且仅有两个不动点0和2.(1)试求b、c满足的关系式.(2)若c=2时,各项不为零的数列{an }满足4Sn•f()=1,求证:<<.(3)设bn =﹣,Tn为数列{bn}的前n项和,求证:T2009﹣1<ln2009<T2008.39.在数列{an }中,a1=1,an+1=(1+)an+.(1)设bn =,求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{an }的前n项和Sn.40.已知数列{an }的前n项和为Sn,且满足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).(Ⅰ)求数列{an }的通项公式an;(Ⅱ)设Tn 为数列{}的前n项和,求Tn;(Ⅲ)设bn =,证明:b1+b2+b3+…+bn<.41.已知数列an满足(1)求数列an 的通项公式an;(2)设,求数列bn 的前n项和Sn;(3)设,数列cn 的前n项和为Tn.求证:对任意的.42.如图,已知曲线C 1:y=(x >0)及曲线C 2:y=(x >0),C 1上的点P 1的横坐标为a 1(0<a 1<).从C 1上的点P n (n ∈N +)作直线平行于x 轴,交曲线C 2于点Q n ,再从点Q n 作直线平行于y 轴,交曲线C 1于点P n+1.点P n (n=1,2,3,…)的横坐标构成数列{a n } (Ⅰ)试求a n+1与a n 之间的关系,并证明:a 2n ﹣1<; (Ⅱ)若a 1=,求证:|a 2﹣a 1|+|a 3﹣a 2|+…+|a n+1﹣a n |<.43.已知数列{a n }中,a 1=1,a n+1=(n ∈N *).(1)求证:{+}是等比数列,并求{a n }的通项公式a n ;(2)数列{b n }满足b n =(3n ﹣1)••a n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,若不等式(﹣1)n λ<T n +对一切n ∈N *恒成立,求λ的取值范围.44.设数列{a n }的前n 项和为S n ,对一切n ∈N *,点(n ,)都在函数f (x )=x+的图象上.(1)计算a 1,a 2,a 3,并归纳出数列{a n }的通项公式;(2)将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a 1),(a 2,a 3),(a 4,a 5,a 6),(a 7,a 8,a 9,a 10);(a 11),(a 12,a 13),(a 14,a 15,a 16),(a 17,a 18,a 19,a 20);(a 21)…,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n },求b 5+b 100的值; (3)设A n 为数列的前n 项积,若不等式A n <f (a )﹣对一切n ∈N *都成立,求a的取值范围.45.数列{bn }的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有;(1)试证明数列{bn}是等差数列,并求其通项公式;(2)如果等比数列{an }共有2017项,其首项与公比均为2,在数列{an}的每相邻两项ai与ai+1之间插入i个(﹣1)i bi (i∈N*)后,得到一个新数列{cn},求数列{cn}中所有项的和;(3)如果存在n∈N*,使不等式成立,若存在,求实数λ的范围,若不存在,请说明理由.46.已知数列{an}的首项,,n=1,2,….(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)证明:对任意的x>0,,n=1,2,…;(Ⅲ)证明:.47.已知数列{an }的前n项和为Sn,数列{bn},{cn}满足(n+1)bn=an+1﹣,(n+2)cn=﹣,其中n∈N*.(1)若数列{an }是公差为2的等差数列,求数列{cn}的通项公式;(2)若存在实数λ,使得对一切n∈N*,有bn ≤λ≤cn,求证:数列{an}是等差数列.48.已知数列{an }满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn }滿足,证明:数列{bn}是等差数列;(Ⅲ)证明:.49.已知数列{an }的各项均为正数,且a1=1,对任意的n∈N*,均有an+12﹣1=4an(an+1),bn=2log2(1+an)﹣1.(1)求证:{1+an }是等比数列,并求出{an}的通项公式;(2)若数列{bn }中去掉{an}的项后,余下的项组成数列{cn},求c1+c2+…+c100;(3)设dn =,数列{dn}的前n项和为Tn,是否存在正整数m(1<m<n),使得T1、Tm、Tn成等比数列,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.50.在数列{an }中,a1=2,an+1=an+2n+1(n∈N*)(1)求证:数列{an﹣2n}为等差数列;(2)设数列{bn }满足bn=log2(an+1﹣n),若…对一切n∈N*且n≥2恒成立,求实数k的取值范围.参考答案与试题解析一.解答题(共50小题)1.已知数列{an }的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn }满足:,求数列{bn}的通项公式;(Ⅲ)令(n∈N*),求数列{cn }的前n项和Tn.【分析】(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=n(n+1)﹣(n﹣1)n=2n,由此能求出数列{an}的通项公式.(Ⅱ)由(n≥1),知,所以,由此能求出bn.(Ⅲ)=n(3n+1)=n•3n+n,所以Tn =c1+c2+c3+…+cn=(1×3+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+…+n),令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,由错位相减法能求出,由此能求出数列{cn}的前n项和.【解答】解:(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an =Sn﹣Sn﹣1=n(n+1)﹣(n﹣1)n=2n,知a1=2满足该式,∴数列{an }的通项公式为an=2n.(2分)(Ⅱ)∵(n≥1)①∴②(4分)②﹣①得:,bn+1=2(3n+1+1),故bn=2(3n+1)(n∈N*).(6分)(Ⅲ)=n(3n+1)=n•3n+n,∴Tn =c1+c2+c3+…+cn=(1×3+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+…+n)(8分)令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,①则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得:﹣2Hn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴,…(10分)∴数列{cn}的前n项和…(12分)【点评】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项,结合含两个变量的不等式的处理问题,对数学思维的要求比较高,要求学生理解“存在”、“恒成立”,以及运用一般与特殊的关系进行否定,本题有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.解题时要认真审题,注意错位相减法的灵活运用.2.已知数列{an }是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn =an•3n,求数列{bn}的前n项和Sn.【分析】(1)由数列{an }是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12,利用等差数列的通项公式先求出d=2,由此能求出数列{an}的通项公式.(2)由an =2n,知bn=an•3n=2n•3n,所以Sn=2×3+4×32+6×33+…+2(n﹣1)×3n﹣1+2n×3n,再由错位相减法能够求出数列{bn }的前n项和Sn.【解答】解:(1)∵数列{an }是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12,∴2+2+d+2+2d=12,解得d=2,∴an=2+(n﹣1)×2=2n.(2)∵an=2n,∴bn =an•3n=2n•3n,∴Sn=2×3+4×32+6×33+…+2(n﹣1)×3n﹣1+2n×3n,①3Sn=2×32+4×33+6×34+…+2(n﹣1)×3n+2n×3n+1,②①﹣②得﹣2Sn=6+2×32+2×33+2×34+…+2×3n﹣2n×3n+1=2×﹣2n×3n+1=3n+1﹣2n×3n+1﹣3=(1﹣2n)×3n+1﹣3∴Sn=+.【点评】本题考查数列的通项公式的求法和数列前n项和的求法,综合性强,难度大,易出错.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地运用错位相减法进行求和.3.已知数列{an }中,a1=3,a2=5,其前n项和Sn满足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1(n≥3).令bn=.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若f(x)=2x﹣1,求证:Tn =b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)<(n≥1).【分析】(Ⅰ)由题意知an =an﹣1+2n﹣1(n≥3)(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a3﹣a2)+a2=2n+1.(Ⅱ)由于=.故Tn =b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)=,由此可证明Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)<(n≥1).【解答】解:(Ⅰ)由题意知Sn ﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1(n≥3)即an =an﹣1+2n﹣1(n≥3)∴an =(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a3﹣a2)+a2=2n﹣1+2n﹣2+…+22+5=2n+1(n≥3)检验知n=1、2时,结论也成立,故an=2n+1.(Ⅱ)由于bn=,f(x)=2x﹣1,∴=.故Tn =b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)==.【点评】本题考查数列的性质和综合应用,解题时要认真审题.仔细解答.4.已知等差数列{an }的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)令bn =(﹣1)n﹣1,求数列{bn}的前n项和Tn.【分析】(Ⅰ)利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出;(Ⅱ)由(Ⅰ)可得bn=.对n分类讨论“裂项求和”即可得出.【解答】解:(Ⅰ)∵等差数列{an }的公差为2,前n项和为Sn,∴Sn ==n2﹣n+na1,∵S1,S2,S4成等比数列,∴,∴,化为,解得a1=1.∴an =a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得bn=(﹣1)n﹣1==.∴Tn=﹣++…+.当n为偶数时,Tn=﹣++…+﹣=1﹣=.当n为奇数时,Tn=﹣++…﹣+=1+=.∴Tn=.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法,属于难题.5.已知等差数列{an }的公差d>0,设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2•S3=36.(Ⅰ)求d及Sn;(Ⅱ)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am +am+1+am+2+…+am+k=65.【分析】(Ⅰ)根据等差数列通项公式和前n项和公式,把条件转化为关于公差d的二次方程求解,注意d的范围对方程的根进行取舍;(Ⅱ)由(Ⅰ)求出等差数列{an }的通项公式,利用等差数列的前n项和公式,对am+am+1+am+2+…+am+k=65化简,列出关于m 、k 的方程,再由m ,k ∈N *进行分类讨论,求出符合条件的m 、k 的值. 【解答】解:(Ⅰ)由a 1=1,S 2•S 3=36得, (a 1+a 2)(a 1+a 2+a 3)=36,即(2+d )(3+3d )=36,化为d 2+3d ﹣10=0, 解得d=2或﹣5, 又公差d >0,则d=2, 所以S n =n=n 2(n ∈N *).(Ⅱ)由(Ⅰ)得,a n =1+2(n ﹣1)=2n ﹣1, 由a m +a m+1+a m+2+…+a m+k =65得,,即(k+1)(2m+k ﹣1)=65,又m ,k ∈N *,则(k+1)(2m+k ﹣1)=5×13,或(k+1)(2m+k ﹣1)=1×65, 下面分类求解:当k+1=5时,2m+k ﹣1=13,解得k=4,m=5;当k+1=13时,2m+k ﹣1=5,解得k=12,m=﹣3,故舍去; 当k+1=1时,2m+k ﹣1=65,解得k=0,故舍去;当k+1=65时,2m+k ﹣1=1,解得k=64,m=﹣31,故舍去; 综上得,k=4,m=5.【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式,及分类讨论思想和方程思想,难度较大,考查了分析问题和解决问题的能力.6.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=a ,a n+1=S n +3n ,n ∈N *. (Ⅰ)设b n =S n ﹣3n ,求数列{b n }的通项公式; (Ⅱ)若a n+1≥a n ,n ∈N *,求a 的取值范围.【分析】(Ⅰ)依题意得S n+1=2S n +3n ,由此可知S n+1﹣3n+1=2(S n ﹣3n ).所以b n =S n ﹣3n =(a ﹣3)2n ﹣1,n ∈N *.(Ⅱ)由题设条件知S n =3n +(a ﹣3)2n ﹣1,n ∈N *,于是,a n =S n ﹣S n ﹣1=,由此可以求得a 的取值范围是[﹣9,+∞).【解答】解:(Ⅰ)依题意,S n+1﹣S n =a n+1=S n +3n ,即S n+1=2S n +3n , 由此得S n+1﹣3n+1=2S n +3n ﹣3n+1=2(S n ﹣3n ).(4分)因此,所求通项公式为bn =Sn﹣3n=(a﹣3)2n﹣1,n∈N*.①(6分)(Ⅱ)由①知Sn=3n+(a﹣3)2n﹣1,n∈N*,于是,当n≥2时,a n =Sn﹣Sn﹣1=3n+(a﹣3)×2n﹣1﹣3n﹣1﹣(a﹣3)×2n﹣2=2×3n﹣1+(a﹣3)2n﹣2,a n+1﹣an=4×3n﹣1+(a﹣3)2n﹣2=,当n≥2时,⇔a≥﹣9.又a2=a1+3>a1.综上,所求的a的取值范围是[﹣9,+∞).(12分)【点评】本题考查数列的综合运用,解题时要仔细审题,注意挖掘题设中的隐含条件.7.已知数列{an }的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中λ为常数.(Ⅰ)证明:an+2﹣an=λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.【分析】(Ⅰ)利用an an+1=λSn﹣1,an+1an+2=λSn+1﹣1,相减即可得出;(Ⅱ)对λ分类讨论:λ=0直接验证即可;λ≠0,假设存在λ,使得{an}为等差数列,设公差为d.可得λ=an+2﹣an=(an+2﹣an+1)+(an+1﹣an)=2d,.得到λSn=,根据{an}为等差数列的充要条件是,解得λ即可.【解答】(Ⅰ)证明:∵an an+1=λSn﹣1,an+1an+2=λSn+1﹣1,∴an+1(an+2﹣an)=λan+1∵an+1≠0,∴an+2﹣an=λ.(Ⅱ)解:①当λ=0时,an an+1=﹣1,假设{an}为等差数列,设公差为d.则an+2﹣an=0,∴2d=0,解得d=0,∴an =an+1=1,∴12=﹣1,矛盾,因此λ=0时{an}不为等差数列.②当λ≠0时,假设存在λ,使得{an}为等差数列,设公差为d.则λ=an+2﹣an=(an+2﹣an+1)+(an+1﹣an)=2d,∴.∴,,∴λSn=1+=,根据{an}为等差数列的充要条件是,解得λ=4.此时可得,an=2n﹣1.因此存在λ=4,使得{an}为等差数列.【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法,属于难题.8.设数列{an }的首项a1∈(0,1),an=,n=2,3,4…(1)求{an}的通项公式;(2)设,求证bn <bn+1,其中n为正整数.【分析】(1)由题条件知,所以{1﹣an }是首项为1﹣a1,公比为的等比数列,由此可知(2)方法一:由题设条件知,故bn >0.那么,bn+12﹣bn2=an+12(3﹣2an+1)﹣an2(3﹣2an)=由此可知bn <bn+1,n为正整数.方法二:由题设条件知,所以.由此可知bn<bn+1,n为正整数.【解答】解:(1)由,整理得.又1﹣a1≠0,所以{1﹣an}是首项为1﹣a1,公比为的等比数列,得(2)方法一:由(1)可知,故bn>0.那么,bn+12﹣bn2=an+12(3﹣2an+1)﹣an2(3﹣2an)= =又由(1)知an >0且an≠1,故bn+12﹣bn2>0,因此bn <bn+1,n为正整数.方法二:由(1)可知,因为,所以.由an≠1可得,即两边开平方得.即bn <bn+1,n为正整数.【点评】本题考查数列的综合应用,难度较大,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件.9.设数列满足|an﹣|≤1,n∈N*.(Ⅰ)求证:|an |≥2n﹣1(|a1|﹣2)(n∈N*)(Ⅱ)若|an |≤()n,n∈N*,证明:|an|≤2,n∈N*.【分析】(I)使用三角不等式得出|an |﹣|an+1|≤1,变形得﹣≤,使用累加法可求得<1,即结论成立;(II)利用(I)的结论得出﹣<,进而得出|an|<2+()m•2n,利用m的任意性可证|an|≤2.【解答】解:(I)∵|an ﹣|≤1,∴|an|﹣|an+1|≤1,∴﹣≤,n∈N*,∴=(﹣)+(﹣)+…+(﹣)≤+++…+==1﹣<1.∴|an |≥2n﹣1(|a1|﹣2)(n∈N*).(II)任取n∈N*,由(I)知,对于任意m>n,﹣=(﹣)+(﹣)+…+(﹣)≤++…+=<.∴|an|<(+)•2n≤[+•()m]•2n=2+()m•2n.①由m的任意性可知|an|≤2.否则,存在n∈N*,使得|a|>2,取正整数m0>log且m>n,则2•()<2•()=|a|﹣2,与①式矛盾.综上,对于任意n∈N*,都有|an|≤2.【点评】本题考查了不等式的应用与证明,等比数列的求和公式,放缩法证明不等式,难度较大.10.已知数列{an }的前n项和Sn=,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.【分析】(1)利用“当n≥2时,an =Sn﹣Sn﹣1;当n=1时,a1=S1”即可得出;(2)对任意的n>1,假设都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.利用等比数列的定义可得,即(3n﹣2)2=1×(3m﹣2),解出m为正整数即可.【解答】(1)解:∵Sn=,n∈N*.∴当n≥2时,an =Sn﹣Sn﹣1=﹣=3n﹣2,(*)当n=1时,a1=S1==1.因此当n=1时,(*)也成立.∴数列{an }的通项公式an=3n﹣2.(2)证明:对任意的n>1,假设都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.则,∴(3n﹣2)2=1×(3m﹣2),化为m=3n2﹣4n+2,∵n>1,∴m=3n2﹣4n+2=>1,因此对任意的n>1,都存在m=3n2﹣4n+2∈N*,使得a1,an,am成等比数列.【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法,考查了恒成立问题的等价转化方法,考查了反证法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.11.给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|﹣|x+c|.数列a1,a2,a3,…满足an+1=f(an),n∈N*.(1)若a1=﹣c﹣2,求a2及a3;(2)求证:对任意n∈N*,an+1﹣an≥c;(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.【分析】(1)对于分别取n=1,2,an+1=f(an),n∈N*.去掉绝对值符合即可得出;(2)由已知可得f(x)=,分三种情况讨论即可证明;(3)由(2)及c>0,得an+1≥an,即{an}为无穷递增数列.分以下三种情况讨论:当a1<﹣c﹣4时,当﹣c﹣4≤a1<﹣c时,当a1≥﹣c时.即可得出a1的取值范围.【解答】解:(1)a2=f(a1)=f(﹣c﹣2)=2|﹣c﹣2+c+4|﹣|﹣c﹣2+c|=4﹣2=2,a 3=f(a2)=f(2)=2|2+c+4|﹣|2+c|=2(6+c)﹣(c+2)=10+c.(2)由已知可得f(x)=当an ≥﹣c时,an+1﹣an=c+8>c;当﹣c﹣4≤an <﹣c时,an+1﹣an=2an+3c+8≥2(﹣c﹣4)+3c+8=c;当an <﹣c﹣4时,an+1﹣an=﹣2an﹣c﹣8>﹣2(﹣c﹣4)﹣c﹣8=c.∴对任意n∈N*,an+1﹣an≥c;(3)假设存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列.由(2)及c>0,得an+1≥an,即{an}为无穷递增数列.又{an }为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,an≥﹣c,从而an+1=f(an)=an+c+8,由于{an}为等差数列,因此公差d=c+8.①当a1<﹣c﹣4时,则a2=f(a1)=﹣a1﹣c﹣8,又a2=a1+d=a1+c+8,故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8,即a1=﹣c﹣8,从而a2=0,当n≥2时,由于{an }为递增数列,故an≥a2=0>﹣c,∴an+1=f(an)=an+c+8,而a2=a1+c+8,故当a1=﹣c﹣8时,{an}为无穷等差数列,符合要求;②若﹣c﹣4≤a1<﹣c,则a2=f(a1)=3a1+3c+8,又a2=a1+d=a1+c+8,∴3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=﹣c,应舍去;③若a1≥﹣c,则由an≥a1得到an+1=f(an)=an+c+8,从而{an}为无穷等差数列,符合要求.综上可知:a1的取值范围为{﹣c﹣8}∪[﹣c,+∞).【点评】本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法,考查了推理能力和计算能力.12.数列{an }满足:a1+2a2+…nan=4﹣,n∈N+.(1)求a3的值;(2)求数列{an }的前 n项和Tn;(3)令b1=a1,bn=+(1+++…+)an(n≥2),证明:数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2+2lnn.【分析】(1)利用数列的递推关系即可求a3的值;(2)利用作差法求出数列{an }的通项公式,利用等比数列的前n项和公式即可求数列{an}的前 n项和Tn;(3)利用构造法,结合裂项法进行求解即可证明不等式.【解答】解:(1)∵a1+2a2+…nan=4﹣,n∈N+.∴a1=4﹣3=1,1+2a2=4﹣=2,解得a2=,∵a1+2a2+…+nan=4﹣,n∈N+.∴a1+2a2+…+(n﹣1)an﹣1=4﹣,n∈N+.两式相减得nan=4﹣﹣(4﹣)=,n≥2,则an=,n≥2,当n=1时,a1=1也满足,∴an=,n≥1,则a3=;(2)∵an=,n≥1,∴数列{an}是公比q=,则数列{an }的前 n项和Tn==2﹣21﹣n.(3)bn =+(1+++…+)an,∴b1=a1,b2=+(1+)a2,b3=(1++)a3,∴bn =+(1+++…+)an,∴Sn =b1+b2+…+bn=(1+++…+)a1+(1+++…+)a2+…+(1+++…+)an=(1+++…+)(a1+a2+…+an)=(1+++…+)Tn=(1+++…+)(2﹣21﹣n)<2×(1+++…+),设f(x)=lnx+﹣1,x>1,则f′(x)=﹣.即f(x)在(1,+∞)上为增函数,∵f(1)=0,即f(x)>0,∵k≥2,且k∈N•时,,∴f()=ln+﹣1>0,即ln>,∴ln,,…,即=lnn,∴2×(1+++…+)=2+2×(++…+)<2+2lnn,即Sn<2(1+lnn)=2+2lnn.【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算,以及数列和不等式的综合,利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键.考查学生的计算能力,综合性较强,难度较大.13.设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn满足Sn2﹣(n2+n﹣3)Sn﹣3(n2+n)=0,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.【分析】(1)本题可以用n=1代入题中条件,利用S1=a1求出a1的值;(2)利用an 与Sn的关系,将条件转化为an的方程,从而求出an;(3)利用放缩法,将所求的每一个因式进行裂项求和,即可得到本题结论.【解答】解:(1)令n=1得:,即.∴(S1+3)(S1﹣2)=0.∵S1>0,∴S1=2,即a1=2.(2)由得:.∵an>0(n∈N*),∴Sn>0.∴.∴当n≥2时,,又∵a1=2=2×1,∴.(3)由(2)可知=,∀n∈N*,=<=(),当n=1时,显然有=<;当n≥2时,<+=﹣•<所以,对一切正整数n,有.【点评】本题考查了数列的通项与前n项和的关系、裂项求和法,还用到了放缩法,计算量较大,有一定的思维难度,属于难题.14.已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列{an}前n项和为Sn ,且满足S5=2a4+a5,a9=a3+a4.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若am am+1=am+2,求正整数m的值;(3)是否存在正整数m,使得恰好为数列{an}中的一项?若存在,求出所有满足条件的m值,若不存在,说明理由.【分析】(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q由题意列式求出公差和公比,则等差数列和等比数列的通项公式即可得出;(2)分am =2k和am=2k﹣1,利用amam+1=am+2即可求出满足该等式的正整数m的值;(3)对于k∈N*,有..假设存在正整数m,使得恰好为数列{an}中的一项,设=L(L∈N*),则,变形得到(3﹣L)3m﹣1=(L﹣1)(m2﹣1),由此式得到L的可能取值,然后依次分类讨论求解.【解答】解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,则a1=1,a2=2,a3=1+d,a4=2q,a9=1+4d.∵S5=2a4+a5,∴a1+a2+a3=a4,即4+d=2q,又a9=a3+a4.∴1+4d=1+d+2q.解得:d=2,q=3.∴对于k∈N*,有.故;(2)若am =2k,则由amam+1=am+2,得2•3k﹣1(2k+1)=2•3k,解得:k=1,则m=2;若am=2k﹣1,则由(2k﹣1)•2•3k﹣1=2k+1,此时左边为偶数,右边为奇数,不成立.故满足条件的正数为2;(3)对于k∈N*,有..假设存在正整数m,使得恰好为数列{an}中的一项,又由(1)知,数列中的每一项都为正数,故可设=L(L∈N*),则,变形得到(3﹣L)3m﹣1=(L﹣1)(m2﹣1)①.∵m≥1,L≥1,3m﹣1>0,∴L≤3.又L∈N*,故L可能取1,2,3.当L=1时,(3﹣L)3m﹣1>0,(L﹣1)(m2﹣1)=0,∴①不成立;当L=2时,(3﹣2)3m﹣1=(2﹣1)(m2﹣1),即3m﹣1=m2﹣1.若m=1,3m﹣1≠m2﹣1,令,则=.因此,1=T2>T3>…,故只有T2=1,此时m=2,L=2=a2.当L=3时,(3﹣3)3m﹣1=(3﹣1)(m2﹣1).∴m=1,L=3=a3.综上,存在正整数m=1,使得恰好为数列{an}中的第三项,存在正整数m=2,使得恰好为数列{an}中的第二项.【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质,训练了分类讨论的数学思想方法,考查了学生综合分析问题和解决问题的能力,考查了学生的逻辑思维能力,是压轴题.15.已知等差数列{an }中,首项a1=1,公差d为整数,且满足a1+3<a3,a2+5>a4,数列{bn}满足,其前n项和为Sn.(1)求数列{an }的通项公式an;(2)若S2为S1,Sm(m∈N*)的等比中项,求m的值.【分析】(1)由题意,得,由此可解得an=1+(n﹣1)•2=2n﹣1.(2)由=,知=.由此可求出m的值.【解答】解:(1)由题意,得解得<d<.又d∈Z,∴d=2.∴an=1+(n﹣1)•2=2n﹣1.(2)∵=,∴=.∵,,,S2为S1,Sm(m∈N*)的等比中项,∴S22=SmS1,即,解得m=12.【点评】本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.16.已知数列{an }满足a1=且an+1=an﹣an2(n∈N*)(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{an 2}的前n项和为Sn,证明(n∈N*).【分析】(1)通过题意易得0<an ≤(n∈N*),利用an﹣an+1=可得>1,利用==≤2,即得结论;(2)通过=an ﹣an+1累加得Sn=a1﹣an+1,对an+1=an﹣an2两边同除以an+1an采用累积法可求出an+1的范围,从而得出结论.【解答】证明:(1)由题意可知:an+1﹣an=﹣an2≤0,即an+1≤an,故an≤,1≤.由an =(1﹣an﹣1)an﹣1得an=(1﹣an﹣1)(1﹣an﹣2)…(1﹣a1)a1>0.所以0<an≤(n∈N*),又∵a2=a1﹣=,∴==2,又∵an ﹣an+1=,∴an>an+1,∴>1,∴==≤2,∴1≤≤2(n∈N*),综上所述,1<≤2(n∈N*);(2)由已知,=an ﹣an+1,=an﹣1﹣an,…,=a1﹣a2,累加,得Sn =++…+=a1﹣an+1,①由an+1=an﹣an2两边同除以an+1an得,和1≤≤2,得1≤≤2,累加得1+1+...1≤+﹣+...+﹣≤2+2+ (2)所以n≤﹣≤2n,因此≤an+1≤(n∈N*)②,由①②得≤(n∈N*).【点评】本题是一道数列与不等式的综合题,考查数学归纳法,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.17.已知等差数列{an }的首项a1=1,公差d>0,且a2,a5,a14分别是等比数列{bn}的b2,b3,b4.(Ⅰ)求数列{an }与{bn}的通项公式;(Ⅱ)设数列{cn }对任意自然数n均有=an+1成立,求c1+c2+…+c2014的值.【分析】(Ⅰ)依题意,a2,a5,a14成等比数列⇒(1+4d)2=(1+d)(1+13d),可求得d,继而可求得数列{an }的通项公式;由b2=a2=3,b3=a5=9,可求得q与其首项,从而可得数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)由(Ⅰ)知an =2n﹣1,bn=3n﹣1,由++…+=an+1,可求得c1=b1a2=3,=an+1﹣an=2(n≥2),于是可求得数列{cn }的通项公式,继而可求得c1+c2+…+c2014的值.【解答】解:(Ⅰ)∵a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,∵a2,a5,a14成等比数列,∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2,∴an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1;又b2=a2=3,b3=a5=9,∴q=3,b1=1,∴bn=3n﹣1.(Ⅱ)∵++…+=an+1,∴=a2,即c1=b1a2=3,又++…+=an(n≥2),∴=an+1﹣an=2(n≥2),∴cn =2bn=2•3n﹣1(n≥2),∴cn=.∴c1+c2+…+c2014=3+2×3+2×32+…+2×32013=3+2×(3+32+ (32013)=3+2×。
2017年各省份高考数列题(附答案)
![2017年各省份高考数列题(附答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/f3b044e014791711cd79179c.png)
1.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求和:13521n b b b b -++++.2.等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a =▲当1q =时,显然不符合题意;当1q ≠时,3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩,解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩,则7812324a =⨯=. 3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若4562448a a S +==,,则{}n a 的公差为()A .1B .2 C .4 D .845113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+=联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②3⨯-①②得()211524-=d 624d =4d =∴4.记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{}n a 的通项公式;(2)求Sn ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则11nk kS ==∑ 由题意有:1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得111a d =⎧⎨=⎩, 数列的前n 项和()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=, 裂项有:()1211211k S k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,据此: 11111111221......21223111nk k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的前n 项和为n T ,11221,1,2a b a b =-=+=(1)若335a b +=,求{}n b 的通项公式;(2)若321T =,求3S .1)设的公差为d ,的公比为q ,则,.由得d+q=3. ①7.等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0.若2a ,3a ,6a 成等比数列,则{}n a 前6项的和为()A .24-B .3-C .3D .8∵{}n a 为等差数列,且236,,a a a 成等比数列,设公差为d .则2326a a a =⋅,即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =,代入上式可得220d d += 又∵0d ≠,则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-,故选A. 8.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式;(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .:(I)设数列{}n a 的公比为q ,由题意知,22111(1)6,a q a q a q +==. 又0n a >, 解得1,22a q ==, 所以2n n a =.两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-. 9.已知为等差数列,前n 项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,.(Ⅰ)求和的通项公式;(Ⅱ)求数列的前n项和.(Ⅰ)解:设等差数列的公差为,等比数列的公比为.由已知,得,而,所以.又因为,解得.所以,.由,可得.由,可得,联立①②,解得,由此可得.所以,的通项公式为,的通项公式为.10.已知等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件。
【山东省】2017年高考数学(理科)-等差数列、等比数列 -专题练习-答案
![【山东省】2017年高考数学(理科)-等差数列、等比数列 -专题练习-答案](https://img.taocdn.com/s3/m/e27af2ad5ef7ba0d4b733b2e.png)
山东省2017年高考数学(理科)专题练习等差数列、等比数列答案【真题回访】回访一等差数列基本量的运算1.C2.A回访二等差数列基本量的运算3.B4.64热点题型1 等差、等比数列的基本运算【例2】(1)D(2)C【变式训练二】(1)A(2)C热点题型3 等差、等比数列的证明两式相减得121()n n n n a a a a λ+++-=, 由于10n a ≠+,所以2n n a a λ+-=. (2)由题设知11a =,1211a a S λ=-,可得21a λ=-. 由(1)知,31a λ=+ 令2132a a a =+,解得4λ=.故24n n a a +-=,由此可得21{}n a -是首项为1,公差为4的等差数列,2143n a n -=-.{}2n a 是首项为3,公差为4的等差数列,241n a n =-.所以21n a n =-,12n n a a +-= ,因此存在4λ=,使得数列{}n a 为等差数列. 专题限时集训(四) 等差数列、等比数列 【高考达标】 一、选择题 1.A 2.B 3.A 4.D 5.D 二、填空题 6.2016 7.20 8.28 三、解答题 9.[解](1)当1n =时,由1111()q S qa +=-,得11a =.当2n ≥时,由)11(n n q S qa +=-,得1111()n n q S qa +-=--,两式相减得1n n a qa =-.又1()0q q -≠,所以{}n a 是以1为首项,q 为公比的等比数列,故1n n a q =-.山东省2017年高考数学(理科)专题练习=.故a 1a 2…a n =a n 1q1+2+…+(n -1)=23n ·⎝⎛⎭⎫12=.n 27n 1结合n ∈N *可知n =3或4时,t 有最大值6.又y =2t 为增函数,从而a 1a 2…a n 的最大值为26=64.] 热点题型1 等差、等比数列的基本运算 【例1】(1)B [设等比数列{a n }的公比为q ,由a 1+a 3=30,a 2+a 4=S 4-(a 1+a 3)=90,所以公比q =a 2+a 4a 1+a 3=3,首项a 1=301+q 2=3,所以a n =3n ,b n =1+log 33n=1+n ,则数列{b n }是等差数列,前15项的和为15×2+162=135,故选B .](2)D [由题意知S 1=a 1,S 2=2a 1-1,S 4=4a 1-6,因为S 1,S 2,S 4成等比数列, 所以S 22=S 1·S 4,即(2a 1-1)2=a 1(4a 1-6),解得a 1=-12,故选D .]【变式训练一】(1)6 [(1)由a 1=1,a n +1=a n +3,得a n +1-a n =3, 所以数列{a n }是首项为1,公差为3的等差数列. 由S n =n +n n -12×3=51,即(3n +17)(n -6)=0, 解得n =6或n =-173(舍). ](2)13 [由题意知S 1+3S 3=4S 2,即a 1+3(a 1+a 2+a 3)=4(a 1+a 2),即3a 3=a 2,所以a 3a 2=13,即公比q =13.] 【例2】(1)D [(1)由题意得S 4=41(1)1q a q --=9,所以1-q 41-q =9a 1.由a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3=(a 21q 3)2=814得a 21q 3=92.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为1a 1⎝⎛⎭⎫1-1q 41-1q=q 4-1a 1q 3q -1=1a 1q 3·9a 1=9a 21q3=2,故选D .] (2)C [由S 15=11515()2a a +=15×2a 82=15a 8>0,S 16=11616()2a a +=16×a 8+a 92<0,可得a 8>0,a 9<0,d <0,故S n 最大为S 8.又d <0,所以{a n }单调递减,因为前8项中S n 递增,所以S n 最大且a n 取最小正值时S na n 有最大值,即S 8a 8最大,故选C .] 【变式训练二】(1)A [(1)∵{a n }是等差数列,∴a 2+a 12=2a 7,∴2a 2-a 27+2a 12=4a 7-a 27=0.又a 7≠0,∴a 7=4.又{b n }是等比数列,∴b 3b 11=b 27=a 27=16.](2)C [∵{a n }为等比数列,∴a 5+a 7是a 1+a 3与a 9+a 11的等比中项,∴(a 5+a 7)2=(a 1+a 3)(a 9+a 11),故a 9+a 11=a 5+a 72a 1+a 3=428=2.同理a 9+a 11是a 5+a 7与a 13+a 15的等比中项, ∴(a 9+a 11)2=(a 5+a 7)(a 13+a 15),故a 13+a 15=a 9+a 112a 5+a 7=224=1.∴a 9+a 11+a 13+a 15=2+1=3.] 【例3】[解] (1)证明:由题意得a 1=S 1=1+λa 1, 故λ≠1,a 1=11-λ,故a 1≠0.由S n =1+λa n ,S n +1=1+λa n +1得a n +1=λa n +1-λa n , 即a n +1(λ-1)=λa n .由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,所以a n +1a n =λλ-1.因此{a n }是首项为11-λ,公比为λλ-1的等比数列, 于是a n =11-λ⎝⎛⎭⎫λλ-1n -1.(2)由(1)得S n =1-⎝⎛⎭⎫λλ-1n .由S 5=3132得1-⎝⎛⎭⎫λλ-15=3132,即⎝⎛⎭⎫λλ-15=132. 解得λ=-1. 【变式训练三】.[解] (1)证明:由题设知a n a n +1=λS n -1,a n +1a n +2=λS n +1-1, 两式相减得a n +1(a n +2-a n )=λa n +1, 由于a n +1≠0,所以a n +2-a n =λ. (2)由题设知a 1=1,a 1a 2=λS 1-1, 可得a 2=λ-1. 由(1)知,a 3=λ+1. 令2a 2=a 1+a 3,解得λ=4.故a n +2-a n =4,由此可得{a 2n -1}是首项为1,公差为4的等差数列,a 2n -1=4n -3. {a 2n }是首项为3,公差为4的等差数列,a 2n =4n -1.. 所以a n =2n -1,a n +1-a n =2,因此存在λ=4,使得数列{a n }为等差数列.专题限时集训(四) 等差数列、等比数列 【高考达标】 一、选择题1.A [a 2a 3a 4=a 33=8,所以a 3=2,所以a 7=a 3q 4=8,从而q 2=2,所以a 1=a 3q 2=1,故选A .]2.B [法一:由题意得a 3=2,a 7-2a 4=a 3+4d -2(a 3+d )=6,解得d =4,故选B . 法二:在公差为d 的等差数列{a n }中,a m =a n +(m -n )d (m ,n ∈N *).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 7-2a 4=a 1+6d -2a 1+3d =6,a 3=a 1+2d =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-6,d =4.] 3.A [若q =1,则3a 1+6a 1=2×9a 1, 得a 1=0,矛盾,故q ≠1.所以31(1)1q a q --+61(1)1q a q -- =291(1)1q a q--,解得q 3=-12或1(舍),故选A .]4.D [由已知条件知{a n }是首项为3,公差为3的等差数列.数列{b n }是首项为3,公比为3的等比数列,∴a n =3n ,b n =3n .又c n =ba n =33n ,∴c 2 016=33×2 016=272 016,故选D .]5.D [根据等差数列的前n 项和公式及S n T n =n2n +1(n ∈N *),可设S n =kn 2,T n =kn (2n +1),又当n ≥2时,a n =S n -S n -1=k (2n -1),b n =T n -T n -1=k (4n -1),所以a 5b 6=923,故选D .] 二、填空题6.2016 [在等差数列{a n }中,由S 3=2a 3知,3a 2=2a 3,而S 5=15,则a 3=3,于是a 2=2,从而其公差为1,首项为1,因此a n =n ,故a 2 016=2 016.]7.20 [由等差数列的性质可得a 3=35,a 4=33,故d =-2,a n =35+(n -3)×(-2)=41-2n ,易知数列前20项大于0,从第21项起为负项,故使得S n 达到最大值的n 是20.] 8.28 [由题意可知,公比q 3=a 6a 3=27,∴S 6S 3=1-q 61-q 3=1+q 3=1+27=28.] 三、解答题9.[解] (1)当n =1时,由(1-q )S 1+qa 1=1,得a 1=1.当n ≥2时,由(1-q )S n +qa n =1,得(1-q )S n -1+qa n -1=1,两式相减得a n =qa n -1. 又q (q -1)≠0,所以{a n }是以1为首项,q 为公比的等比数列,故a n =q n -1. (2)证明:由(1)可知S n =1-a n q1-q ,又S 3+S 6=2S 9,得1-a 3q 1-q +1-a 6q 1-q =21-a 9q1-q, 化简得a 3+a 6=2a 9,两边同除以q 得a 2+a 5=2a 8.故a 2,a 8,a 5成等差数列.10.[解] (1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+7d =4,5a 1+5×42d =-5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-5,d =2,故a n =2n -7(n ∈N *). (2)由a n =2n -7<0,得n <72,即n ≤3,所以当n ≤3时,a n =2n -7<0,当n ≥4时,a n =2n -7>0. 易知S n =n 2-6n ,S 3=-9,S 5=-5,所以T 5=-(a 1+a 2+a 3)+a 4+a 5=-S 3+(S 5-S 3)=S 5-2S 3=13. 当n ≤3时,T n =-S n =6n -n 2;当n ≥4时,T n =-S 3+(S n -S 3)=S n -2S 3=n 2-6n +18.故T n =⎩⎪⎨⎪⎧6n -n 2,n ≤3,n 2-6n +18,n ≥4. 【名校冲刺】 一、选择题1.A [设等差数列{a n }的公差为d ,因为S 2=2a 1+d =10,S 5=52(a 1+a 5)=5(a 1+2d )=55,所以d =4,所以k PQ =a n +2-a n n +2-n =2d2=d =4,故选A .]2.A [根据已知得3a n =a n +1,∴数列{a n }是等比数列且其公比为3, ∴a 5+a 7+a 9=(a 2+a 4+a 6)×33=9×33=35, ∴log 13(a 5+a 7+a 9)=log 1335=-5.]3.C [第一行三数成等差数列,由等差中项的性质有a 41+a 42+a 43=3a 42,同理第二行也有a 51+a 52+a 53=3a 52,第三行也有a 61+a 62+a 63=3a 62,又每列也成等差数列,所以对于第二列,有a 42+a 52+a 62=3a 52,所以a 41+a 42+a 43+a 51+a 52+a 53+a 61+a 62+a 63=3a 42+3a 52+3a 62=3×3a 52=63,所以a 52=7,故选C .] 4.D [由2na n =(n -1)a n -1+(n +1)a n +1得na n -(n -1)a n -1=(n +1)a n +1-na n ,又因为1×a 1=1,2×a 2-1×a 1=5,所以数列{na n }为首项为1,公差为5的等差数列,则20a 20=1+19×5,解得a 20=245,故选D .] 二、填空题5.6 [由题意,得S k +2-S k =a k +1+a k +2=8,S k -S k -2=a k -1+a k =4(k >2),两式相减,得4d =4,即d =1.由S k =ka 1+k k -12=0,得a 1=-k -12,将a 1=-k -12代入a k -1+a k =4,得-(k -1)+(2k -3)=k -2=4,解得k =6.]6.⎝⎛⎭⎫0,63∪(1,+∞) [由题意得log k a n =2n +2,则a n =k 2n +2,∴a n +1a n =k 2n +1+2k 2n +2=k 2,即数列{a n }是以k 4为首项,k 2为公比的等比数列,c n =a n lg a n =(2n +2)·k 2n +2lg k ,要使c n <c n +1对一切n ∈N *恒成立,即(n +1)lg k <(n +2)·k 2·lg k 对一切n ∈N *恒成立.当k >1时,lg k >0,n +1<(n +2)k 2对一切n ∈N *恒成立;当0<k <1时,lg k <0,n +1>(n +2)k 2对一切n ∈N *恒成立,只需k 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫n +1n +2min .∵n +1n +2=1-1n +2单调递增,∴当n =1时,n +1n +2取得最小值,即⎝ ⎛⎭⎪⎫n +1n +2min =23,∴k 2<23,且0<k <1,∴0<k <63.综上,k ∈⎝⎛⎭⎫0,63∪(1,+∞).] 三、解答题7.[解] (1)当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n 2+2n -[2(n -1)2+2(n -1)]=4n , 当n =1时,a 1=S 1=4=4×1, 所以数列{a n }的通项公式为a n =4n .(2)由点(b n ,a n )在函数y =log 2 x 的图象上得a n =log 2b n ,且a n =4n , 所以b n =2a n =24n =16n ,故数列{b n }是以16为首项,公比为16的等比数列,1所以T n =n16(116)116--=16n +1-1615. 8.[解] (1)由已知可得a 1=S 1=p +2,S 2=4p +4,即a 1+a 2=4p +4,∴a 2=3p +2. 由已知得a 2-a 1=2p =2,∴p =1,∴a 1=3,∴a n =2n +1,n ∈N *.(2)证明:在等比数列{b n }中,b 3=a 1=3,b 4=a 2+4=9,则公比为b 4b 3=3.由b 3=b 1·32,得b 1=13, ∴数列{b n }是以13为首项,以3为公比的等比数列,∴T n =n 1(13)313--=16·(3n-1),即T n +16=16×3n=12×3n -1.又∵T 1+16=12,T n +16T n -1+16=3,n ≥2,n ∈N *,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n +16是以12为首项,以3为公比的等比数列.。
江苏省2017届高三数学一轮复习专题突破训练:数列 含答案
![江苏省2017届高三数学一轮复习专题突破训练:数列 含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/8fd5fee65f0e7cd1852536b0.png)
江苏省2017年高考一轮复习专题突破训练数列一、填空题1、(2016年江苏高考)已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和。
若a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是 ▲ .2、(2015年江苏高考)数列{}na 满足11a=,且11n na a n +-=+,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为_________.3、(2014年江苏高考)在各项均为正数的等比数列}{na 中,若12=a,2682a a a +=,则6a 的值是 ▲4、(南京市2016届高三三模)设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S n =2a n -2,则a 8a 6= ▲ .5、(南通、扬州、泰州三市2016届高三二模)在等比数列{}na 中,21a=,公比1q ≠±.若135,4,7a a a 成等差数列,则6a 的值是 ▲ .6、(南通市2016届高三一模)设等比数列}{na 的前n 项的和为nS ,若15,342==S S ,则6S 的值为7、(苏锡常镇四市2016届高三一模)设数列{a n }是首项为l,公差不为零的等差数列,S n 为其前n 项和,若S 1,S 2,S 3成等比数列,则数列{a n }的公差 为 。
8、(苏锡常镇四市市2016届高三二模)设公差为d (d 为奇数,且1d >)的等差数列{}na 的前n 项和为nS ,若19m S-=-,0mS=,其中3m >,且*m ∈N ,则na = ▲ .9、(镇江市2016届高三一模)S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若错误!=错误!,则错误!=________.10、(常州市2016届高三上期末)已知等比数列{}na 的各项均为正数,且1249aa +=,3456a a a a +++=40,则7899a a a ++的值为11、(淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末)若公比不为1的等比数列}{na 满足13)(log 13212=⋯aa a ,等差数列}{nb 满足77a b =,则1321b bb +⋯++的值为12、(南京、盐城市2016届高三上期末)设nS 是等比数列{}na 的前n 项和,0na >,若6325S S -=,则96S S -的最小值为 ▲13、(无锡市2016届高三上期末)对于数列{}na ,定义数列{}nb 满足:1()n n n b a a n N *+=-∈,且1341(),1,1n n b b n N a a *+-=∈==-则1a =14、(扬州市2016届高三上期末)已知等比数列{}na 满足4212=+a a,523a a =,则该数列的前5项的和为 ▲15、(扬州中2016届高三3月质检)已知等差数列{}na 的公差0≠d ,且39108aa a a +=-.若n a =0 ,则n = .二、解答题1、(2016年江苏省高考)记{}1,2,100U =…,.对数列{}()*na n N ∈和U 的子集T ,若T =∅,定义0TS =;若{}12,,k T t t t =…,,定义12+k T t t t S a a a =++…。
福建省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:数列 含答案
![福建省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:数列 含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/c30f1ce0cc7931b764ce1562.png)
福建省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、选择、填空题1、(2016年全国I 卷)已知等差数列{}na 前9项的和为27,10=8a,则100=a ( )(A)100 (B )99 (C )98 (D )97 2、(2016年全国I 卷)设等比数列满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为3、(2015年全国II 卷)等比数列{a n }满足a 1=3,135a aa ++=21,则357aa a ++=( )(A)21 (B )42 (C )63 (D )844、(福建省2016届高三4月质检)已知等比数列{}na 的各项均为正数且公比大于1,前n 项积为nT ,且243a aa =,则使得1n T >的n 的最小值为(A )4 (B )5 (C)6 (D )75、(福州市2016届高三5月综合质量检测)数列{}na 的前n 项和为nS .已知12a=,1(1)2n n n SS n++-=,则100S=________6、(龙岩市2016届高三3月质量检查)已知{}na 是公差为12的等差数列,nS 为{}na 的前n 项和.若2614,,a a a 成等比数列,则5S=A .352B .35C .252 D .257、(南平市2016届高三3月质量检查) 数列{}na 中,31,2111nn n a a a a+==+记数列}1{na 的前n 项和为nT ,则8T 的值为(A )57 (B)77(C)100 (D )1268、(莆田市2016高中毕业班3月质量检测)已知公比为2的等比数列{}na 的前n 项和为nS ,若45616a a a ,则9SA .56B .128C .144D .1469、(泉州市2016届高中毕业班3月质量检查)已知数列}{na 的前n项和为,,,046,21>==n n S S SS 且22122,+-n n n S S S ,成等比数列,12221-2,++n n n S S S ,成等差数列,则2016a 等于A.1008-B.1009- C 。
江西省各地2017届高三最新考试数学文试题分类汇编:数列含答案
![江西省各地2017届高三最新考试数学文试题分类汇编:数列含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/f64f43f814791711cd791749.png)
江西省各地2017届高三最新考试数学文试题分类汇编数学科网列 2017。
02一、选择、填空题1、(红色七校2017届高三第二次联考)已知{}na 是公比为q 的等比数列,nS 是{}n a 的前n 项和,且369SS =,若正数,a b 满足:24q a b +=,则2112a b +--的最小值为( ).A .2B .322C .52D .3214+2、(红色七校2017届高三第二次联考)已知数列{}na 的前n 项和21n S n n =++,则135a a a ++=;3、(江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考)已知数列{}na 、{}n b 满足2log ,n n b a n N +=∈,其中{}nb 是等差数列,且920094a a =,则=++++2017321.....b b b b ( )A 。
2017 B.4034 C. 2log 2017D 。
201724、(新余市2017高三上学期期末考试)已知等比数列{a n }中,a n+1=36,a n+3=m ,a n+5=4,则圆锥曲线+=1的离心率为( ) A . B . C .或 D .5、(新余市2017高三上学期期末考试)若等差数列{a n }的前7项和S 7=21,且a 2=﹣1,则a 6= 7 .6、(江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考)等差数列{}na 的前n 项和为n S ,若公差,0>d 0))((5958<--S S S S,则( )A .78||||aa > B .78||||aa < C .78||||aa = D .70a=7、(江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考)已知等比数列{}na 满足:1611=a,12573-=a a a ,则______3=a 。
8、(江西师范大学附属中学2017届高三12月月考)在等差数列{}na 中,已知386a a +=,则2163aa +的值为( )A.24 B 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2017届高三复习:数列大题训练50题1 .数列{n a }的前n 项和为n S ,且满足11a =,2(1)n n S n a =+. (1)求{n a }的通项公式; (2)求和T n =1211123(1)na a n a ++++.2 .已知数列}{n a ,a 1=1,点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ,求函数)(n f 最小值.3 .已知函数x ab x f =)( (a ,b 为常数)的图象经过点P (1,81)和Q (4,8)(1) 求函数)(x f 的解析式;(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数,n S 是数列{a n }的前n 项和,求n S 的最小值。
4 .已知y =f (x )为一次函数,且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列,f (8)=15.求n S =f (1)+f (2)+…+f (n )的表达式. 5 .设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n n S c ca =+-,其中c 是不等于1-和0的实常数.(1)求证: {}n a 为等比数列;(2)设数列{}n a 的公比()q f c =,数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥,试写出1n b⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,并求12231n n b b b b b b -+++的结果.6 .在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N*),满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线,且点B n (n,b n ) (n ∈N*)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15,求数列{a n }中的最小项.7 .已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立,数列1{}n n b b +-是等差数列.(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)问是否存在k ∈N *,使得(0,1)k k b a -∈请说明理由. 8 .已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a n n n n 且中(I )试求a 2,a 3的值; (II )若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列,试求λ的值. 9 .已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n , (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令n nn S T 2=,①当n 为何正整数值时,1+>n n T T :②若对一切正整数n ,总有m T n ≤,求m 的取值范围。
10.已知数列}{n a 的前n 项和)(n f 是n 的二次函数,)(n f 满足),2()2(n f n f -=+且.3)1(,0)4(-==f f(1)求数列}{n a 的通项公式; (2)设数列}{n b 满足21++=n n n a a b ,求}{n b 中数值最大和最小的项. 12.已知数列{}n a 中,12a =,且当2n ≥时,1220n n n a a ---= (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若{}n a 的前n 项和为n S ,求n S 。
13.正数数列{}n a 的前n 项和n S,满足1n a =+,试求:(I )数列{}n a 的通项公式;(II )设11n n n b a a +=,数列的前n 项的和为n B ,求证:12n B <。
14.已知函数)(x f =157++x x ,数列{}n a 中,2a n +1-2a n +a n +1a n =0,a 1=1,且a n ≠0, 数列{b n }中, b n =f (a n -1) (1)求证:数列{na 1}是等差数列; (2)求数列{b n }的通项公式; (3)求数列{n b }的前n 项和S n .15.已知函数)(x f =a ·b x 的图象过点A (4,41)和B (5,1).(1)求函数)(x f 解析式;(2)记a n =log 2)(n f n ∈N *,n S 是数列{}n a 的前n 项和,解关于n 的不等式0≤⋅n n S a16.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且()0,21≠≥⋅=-n n n n S n S S a ,921=a . (1)求证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1为等差数列; (2)求数列{}n a 的通项公式.17.在平面直角坐标系中,已知),(n n a n A 、),(n n b n B 、*))(0,1(N n n C n ∈-,满足向量1n n A A +与向量n n C B 共线,且点),(n n b n B *)(N n ∈都在斜率6的同一条直线上. (1)证明数列{}n b 是等差数列;(2)试用11,b a 与n 来表示n a ; (3)设a b a a -==11,,且1215≤<a ,求数}{n a 中的最小值的项. 18.设正数数列{n a }的前n 项和n S 满足2)1(41+=n n a S . (I )求数列{n a }的通项公式; (II )设11+⋅=n n n a a b ,求数列{n b }的前n 项和n T .19.已知等差数列{a n }中,a 1=1,公差d >0,且a 2、a 5、a 14分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项. (Ⅰ)求数列{a n }、{b n }的通项a n 、b n ; (Ⅱ)设数列{c n }对任意的n ∈N*,均有2211b c b c ++…+nn b c =a n+1成立,求c 1+c 2+…+c 2005的值.20.已知数列{n a }满足11=a ,且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且 (1)求证:数列{n na 2}是等差数列;(2)求数列{n a }的通项公式;(3)设数列{n a }的前n 项之和n S ,求证:322->n S nn。
21.设数列{a n }的前n 项和为n S =2n 2,{b n }为等比数列,且a 1=b 1,b 2(a 2 -a 1) =b 1。
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)设c n =nnb a , 求数列{c n }的前n 项和T n .22.已知函数()f x与函数y =(a >0)的图象关于x y =对称. (1) 求()f x ;(2)若无穷数列{}n a 满足1121,n n a S a a a ==++⋅⋅⋅+,且点)n n P S 均在函数()y f x =上,求a 的值,并求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的所有项的和(即前n 项和的极限)。
23.已知函数))((,1}{,13)(11*+∈==+=N n a f a a a x xx f n n n 满足数列 (1)求证:数列}1{na 是等差数列; (2)若数列}{nb 的前n 项和.,,122211n nn n n n T a b a b a b T S 求记+++=-= 24.已知数列{}n a 和{}n b 满足:11a =,22a =,0n a >,n b =*n ∈N ),且{}n b 是以q 为公比的等比数列(I )证明:22n n a a q +=;(II )若2122n n n c a a -=+,证明数列{}n c 是等比数列; (III )求和:1234212111111n na a a a a a -++++++ 25.已知a 1=2,点(a n ,a n +1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上,其中n=1,2,3,… (1)证明数列{lg(1+a n )}是等比数列;(2)设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n ),求数列{a n }的通项及T n ;26.等差数列}{n a 是递增数列,前n 项和为n S ,且a 1,a 3,a 9成等比数列,255a S =.(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)若数列}{n b 满足121+⋅++=n n n a a n n b ,求数列}{n b 的前n 项的和.27.已知向量11(2,),(,2),()n n n n a a b a n N ++==∈*且11a =.若a 与b 共线, (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .28.已知:数列}{n a 满足+-∈=++++N a n a a a a n n ,333313221 . (1)求数列}{n a 的通项; (2)设,nn a nb =求数列}{n b 的前n 项和S n .29.对负整数a ,数310,66,32++++a a a a 可构成等差数列. (1)求a 的值;(2)若数列{}n a 满足)(211+++∈-=N n a a a n n n 首项为0a ,①令nn n a b )2(-=,求{}n b 的通项公式;②若对任意1212-+<+∈n n a a N n 有,求0a 取值范围. 30.数列.23,5,2}{1221n n n n a a a a a a -===++满足 (1)求证:数列}{1n n a a -+是等比数列; (2)求数列{n a }的通项公式; (3)若.}{,n n n n S n b na b 项和的前求数列=31.已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点,其导函数为'()62f x x =-,数列{}n a 的前n 项和为n S ,点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
(Ⅰ)、求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)、设13+=n n n a a b ,n T 是数列{}n b 的前n 项和,求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ;32.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足)2(02,2111≥=+=-n S S a a n n n(Ⅰ)判断}1{nS 是否为等差数列?并证明你的结论; (Ⅱ)求S n 和a n(Ⅲ)求证:.4121....22221nS S S n -≤+++ 33.若n A 和n B 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和,对任意正整数n 有n A B n a n n n 13124,232=-+-=。