高考数学压轴专题2020-2021备战高考《空间向量与立体几何》全集汇编含答案

数学《空间向量与立体几何》期末复习知识要点
一、选择题
1．如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -的底面边长为a ，侧棱长
为2a ，则1AC 与侧面11ABB A 所成的角是( )
A ．30°
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
【答案】A
【解析】
【分析】 以C 为原点，在平面ABC 中，过点C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出1AC 与侧面11ABB A 所成的角．
【详解】
解：以C 为原点，在平面ABC 中，过点C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则3(a A ，2a ，0)，1(0C ，02)a ，13(a A 2
a 2)a ，(0B ，a ，0)， 13(a AC =u u u u r ，2a -2)a ，3(a AB =u u u r ，2a ，0)，1(0AA =u u u r ，02)a ， 设平面11ABB A 的法向量(n x =r ，y ，)z ，
则13·02·
20a a n AB x y n AA az ⎧=+=⎪⎨⎪==⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，得(1n =r 3，0)， 设1AC 与侧面11ABB A 所成的角为θ，
则111||31sin |cos ,|2
||||23n AC a n AC n AC a θ=<>===r u u u u r r u u u u r g r u u u u r g ， 30θ∴=︒，
1AC ∴与侧面11ABB A 所成的角为30°．
故选：A ．
【点睛】
本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
2．《九章算术》是中国古代的数学瑰宝，其第五卷商功中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”翻译成现代汉语就是：今有三面皆为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道，前端下宽6尺，上宽一丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺（注：一丈=十尺）．则该五面体的体积为（ ）
A ．66立方尺
B ．78立方尺
C ．84立方尺
D ．92立方尺
【答案】C
【解析】
【分析】 如图，在DC ，EF 上取G ，H ，使得DG EH AB ==，连接BG ，BH ，GH ，CH ，
ADE BGH B CGHF V V V --=+，计算得到答案.
【详解】
如图，在DC ，EF 上取G ，H ，使得DG EH AB ==，连接BG ，BH ，GH ，CH ， 故多面体的体积11()7332
ADE BGH B CGHF V V V S AB CG HF --=+=⋅+⨯+⨯⨯直截面
111736(42)7384232
=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了几何体体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
3．若四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为（ ）
A ．2
B ．25+
C ．425+
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】 根据四面体的三视图可知：一侧面垂直于底面，且底面是以该侧面与底面的交线为直角边的直角三角形，然后根据面面垂直的性质定理，得到与底面的另一直角边为交线的侧面为直角三角形求解.
【详解】
由四面体的三视图可知：平面PAB ⊥平面ABC ，BC AB ⊥，
所以BC ⊥平面PAB ，所以BC PB ⊥，
所以,ABC PBC V V 是直角三角形，
如图所示：
所以直角三角形的面积和
为:11112252252222
ABC PBC S S AB BC PB BC +=
⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=+V V . 故选：B
【点睛】
本题主要考查三视图的应用以及线面垂直，面面垂直的关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）
A ．12
B ．24
C ．22
D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】
如图建立空间直角坐标系，可证明1A D ⊥平面11ABC D ，故平面11ABC D 的一个法向量为：1DA u u u u r ，利用点到平面距离的向量公式即得解.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则：
1111(,,1),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0),
(0,1,1)22
O D A B C 111(,,0)22
OD ∴=--u u u u r 由于AB ⊥平面111,ADD A AD ⊂平面11ADD A
1AB A D ∴⊥，又11AD A D ⊥，1AB AD I
1A D ∴⊥平面11ABC D 故平面11ABC D 的一个法向量为：1(1
,0,1)DA =u u u u r O ∴到平面11ABC D 的距离为：
1111||224||2
OD DA d DA ⋅===u u u u r u u u u r u u u u r 故选：B
【点睛】
本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A 3
B ．π
C ．3π
D ．12π
【答案】C
【解析】
【分析】
该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，把这个三棱锥放到正方体中，即可求出其外接球的表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，如
图所示
该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥1A BCD AB BC BD -===，.
所以该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，球的直径2r 为正方体体对角线的长. 即22221113r =++=.
所以外接球的表面积为243r ππ=.
故选：C .
【点睛】
本题考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.
6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点12,P P 分别是线段1,AB BD （不包括端点）上的动点,且线段12PP 平行于平面11A
ADD ,则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．124 B ．112 C ．16 D ．12
【答案】A
【解析】
由题意在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点12,P P 分别是线段1,AB BD 上的动点，
且线段12PP 平行于平面11121,A
ADD PP B AD B ∆~∆， 设1,(0,1)PB x x =∈，即122
2,PP x P =到平面11AA B B 的距离为x ， 所以四棱锥121PP AB 的体积为2111(1)1()326V x x x x =
⨯⨯-⨯⨯=-， 当12x =时，体积取得最大值124
，故选A ．
点睛：本题考查了空间几何体的结构特征，及几何体的体积的计算，其中解答中找出所求
四面体的底面面积和四面体的高是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于空间几何体的体积与表面积的计算时，要正确把握几何体的结构特征和线面位置关系在解答中的应用．
7．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β
B ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥β
C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β
D ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线、平面平行垂直的关系进行判断．
【详解】
由α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，知：
在A 中，若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故A 错误； 在B 中，若α⊥β，n ∥α，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故B 错误；
在C 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误；
在D 中，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，
∴若n ⊥α，则n ⊥β，故D 正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
8．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12
．则下列结论中正确的个数为
①AC ⊥BE ；
②EF ∥平面ABCD ；
③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；
④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B
【解析】
试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确
考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质
9．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43
BAC AP ∠==
，AB AC ==P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32π
B ．48π
C ．64π
D ．72π 【答案】C
【解析】
【分析】
先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122
GO AP =
=，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可.
【详解】 在ABC V
中，AB AC ==23BAC π∠=，可得6
ACB π∠=， 则ABC V
的外接圆的半径2sin 2sin 6
AB r ACB ===ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122
GO AP ==， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，
则222OA OG AG =+，即外接球半径
4R ==，
则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=.
故选C.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
10．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM与ED平行②CN与BE是异面直线
③CN与BM成60 角④DM与BN是异面直线
以上四个命题中，正确命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．
【详解】
把平面展开图还原原几何体如图：
由正方体的性质可知，BM与ED异面且垂直，故①错误；
CN与BE平行，故②错误；
连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；
由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确．
∴正确命题的个数是2个．
故选：B ．
【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．
11．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为
A ．1∶2
B ．1∶3
C ．1∶5
D ．3∶2
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】
设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝
r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选C ．
【点睛】
本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．
12．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14
圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）
A ．12π+
B ．136π+
C ．12π+
D ．1233
π+ 【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可． 【详解】 解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体， 如图所示；
则该组合体的体积为21111111212323436
V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为
136π+． 故选B ．
【点睛】
本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．
13．在正四面体A BCD -中，P 是AB 的中点，Q 是直线BD 上的动点，则直线PQ 与AC 所成角可能为（ ）
A ．12π
B ．4π
C ．512π
D ．2
π 【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，取BC 的中点M ，连接MQ ，则//AC MQ ，所以QPM ∠为异面直线PQ 与AC 所成角，在利用余弦定理可得242MQ x x =+-，易知PQ MQ =，所以在等腰三角形PMQ 中()2cos 0442QPM x x x ∠=≤≤+-，即可求出
33cos 123QPM ∠∈⎣⎦
，，进而求出结果. 【详解】
取BC 的中点M ，连接MQ ，则//AC MQ ，所以QPM ∠为异面直线PQ 与AC 所成角，如下图所示：
设正四面体A BCD -的棱长为4，()04BQ x x =≤≤，，
在BMQ ∆中，22222cos 6042MQ BM BQ BM BQ x x =+-⋅︒=+-，
在正四面体A BCD -中，易知PQ MQ =，
所以在等腰三角形PMQ 中，()2cos 0442QPM x x x ∠=≤≤+-， 所以33cos 123QPM ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦
，，所以异面直线PQ 与AC 所成角可能为512π. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查了异面直线成角，余弦定理的应用，考查了空间几何中的动态问题，考查学生的应用能力和空间想象能力，属于中档题.
14．某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．26【答案】B
【解析】 解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC - ，
其中面积最大的面为：1232232
PAC S V =⨯=
本题选择B 选项.
点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
15．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A ．122π
B ．12π
C ．82π
D ．10π
【答案】B
【解析】
分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积. 详解：根据题意，可得截面是边长为2 2的圆，且高为2， 所以其表面积为222)22212S πππ=+=，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
16．某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）
A ．152π
B ．12π
C ．112π
D ．212
π 【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图可知，该几何体为由
18的球体和14
的圆锥体组成，结合三视图中的数据，利用球和圆锥的体积公式求解即可.
【详解】 由三视图可知，该几何体为由
18的球体和14
的圆锥体组成， 所以所求几何体的体积为11+84
V V V =球圆锥， 因为31149=3=8832V ππ⨯⨯球， 221111=34344312
V r h πππ⨯⨯=⨯⨯⨯=圆锥， 所以915322V πππ=
+=，即所求几何体的体积为152
π. 故选：A
【点睛】
本题考查三视图还原几何体及球和圆锥的体积公式；考查学生的空间想象能力和运算求解能力；三视图正确还原几何体是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
17．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为( )
A 6
B 5
C ．2
D ．1
【解析】
由三视图可知该多面体的直观图为如图所示的四棱锥P ABCD -：
其中，四边形ABCD 为边长为1的正方形，PE ⊥面ABCD ，且1AE =，1PE =. ∴222AP AE PE =+=，2BE AB AE =+=，222DE AD AE =+= ∴225CE BE BC =+=，225PB BE PE =+=,223PD PE DE =+= ∴226PC CE PE =+=
∴最长棱为PC
故选A.
点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：①首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③画出整体，然后再根据三视图进行调整.
18．如图1，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N ，Q 分别是线段AD 1，B 1C ，C 1D 1上的动点，当三棱锥Q-BMN 的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为
A ．2
B ．1
C ．32
D ．52
【答案】C
【解析】
【分析】
判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可．
由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 在11C D 的中点，
俯视图如图所示：
可得其面积为：1113222111122222
⨯-
⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选C ． 【点睛】 本题主要考查三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题.
19．设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则（ ） A ．若//αβ，则//l m
B ．若//m a ，则//αβ
C ．若m α⊥，则αβ⊥
D ．若αβ⊥，则//l m
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断可得答案.
【详解】
A. 若//αβ，则l 与m 可能平行，可能异面，所以A 不正确.
B. 若//m a ，则α与β可能平行，可能相交，所以B 不正确.
C. 若m α⊥，由m β⊂，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，所以C 正确. D 若αβ⊥，且l α⊂，m β⊂，则l 与m 可能平行，可能异面，可能相交, 所以D 不正确.
【点睛】
本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基础题.
20．一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A ．6π
B ．12π
C ．32π
D ．48π
【答案】B
【解析】
【分析】
先作出几何图形，确定四个直角和边长，再找到外接球的球心和半径，再计算外接球的表面积.
由题得几何体原图如图所示，
其中SA⊥平面ABC,BC⊥平面SAB,SA=AB=BC=2,
所以2,3
SC=
设SC中点为O,则在直角三角形SAC中，3,
在直角三角形SBC中，OB=1
3 2
SC=
所以3
所以点O3
所以四面体外接球的表面积为43=12
ππ.
故选：B
【点睛】
本题主要考查四面体的外接球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理的能力.。