高三等比数列复习专题doc
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一、等比数列选择题
1.等比数列{}n a 中,1234a a a ++=,4568a a a ++=,则789a a a ++等于( )
A .16
B .32
C .64
D .128
2.已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,且a 1,a 3,a 4成等比数列,则S n 取最大值时n 的值为( ) A .4
B .5
C .4或5
D .5或6
3.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?此问题中1斗为10升,则牛主人应偿还多少升粟?( ) A .
503
B .
507
C .
100
7
D .
200
7
4.已知等比数列{}n a 中,1354a a a ⋅⋅=,公比q =,则456a a a ⋅⋅=( ) A .32
B .16
C .16-
D .32-
5.等比数列{}n a 中11a =,且14a ,22a ,3a 成等差数列,则()*n
a n N n
∈的最小值为( ) A .
16
25
B .
49
C .
12
D .1
6.等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0.若2a 、3a 、6a 成等比数列,则{}n a 的前6项的和为( ) A .24-
B .3-
C .3
D .8
7.一个蜂巢有1只蜜蜂,第一天,它飞出去找回了5个伙伴;第二天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去,第六天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有( )只蜜蜂. A .55989
B .46656
C .216
D .36
8.明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”.在创造律制的过程中,他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法,还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法.比
如,若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列,则有大吕
=
大吕=
太簇.据此,可得正项等比数列{}
n a 中,k a =( )
A .n -
B .n -
C .
D . 9.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2
6780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且
77b a =,则3810b b b =( )
A .1
B .8
C .4
D .2
10.已知数列{}n a 为等比数列,12a =,且53a a =,则10a 的值为( ) A .1或1-
B .1
C .2或2-
D .2
11.已知数列{}n a 是等比数列,n S 为其前n 项和,若364,12S S ==,则12S =( ) A .50
B .60
C .70
D .80
12.已知1,a 1,a 2,9四个实数成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,9五个数成等比数列,则b 2(a 2﹣a 1)等于( ) A .8
B .﹣8
C .±8
D .98
13.古代数学名著《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:一女子善于织布,每天织的布是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问该女子每天分别织布多少?由此条件,若织布的总尺数不少于20尺,该女子需要的天数至少为 ( ) A .6
B .7
C .8
D .9
14.设数列{}n a ,下列判断一定正确的是( )
A .若对任意正整数n ,都有24n
n a =成立,则{}n a 为等比数列
B .若对任意正整数n ,都有12n n n a a a ++=⋅成立,则{}n a 为等比数列
C .若对任意正整数m ,n ,都有2m n
m n a a +⋅=成立,则{}n a 为等比数列
D .若对任意正整数n ,都有
312
11
n n n n a a a a +++=⋅⋅成立,则{}n a 为等比数列
15.已知等比数列{}n a 的通项公式为2*
3()n n a n N +=∈,则该数列的公比是( )
A .
19
B .9
C .
13
D .3
16.已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =,公比2q ,则5S 等于( )
A .32
B .31
C .16
D .15 17.已知1,a ,x ,b ,16这五个实数成等比数列,则x 的值为( )
A .4
B .-4
C .±4
D .不确定
18.正项等比数列{}n a 的公比是1
3
,且241a a =,则其前3项的和3S =( ) A .14
B .13
C .12
D .11
19.已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+,若存在两项m a ,n a
14a =,则
14
m n
+的最小值为( ) A .
53
B .
32
C .
43
D .
116
20.在流行病学中,基本传染数R 0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人,为第一轮传染,这R 0个人中每人再传染R 0个人,为第二轮传染,…….R 0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =,平均感染周期为7天,设某一轮新增加的感染人数为M ,则当M >1000时需要的天数至少为( )参考数据:lg38≈1.58 A .34
B .35
C .36
D .37
二、多选题21.题目文件丢失!
22.在数列{}n a 中,如果对任意*n N ∈都有
21
1n n n n
a a k a a +++-=-(k 为常数),则称{}n a 为等
差比数列,k 称为公差比.下列说法正确的是( ) A .等差数列一定是等差比数列 B .等差比数列的公差比一定不为0
C .若32n
n a =-+,则数列{}n a 是等差比数列
D .若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比
23.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1a p =,122n n S S p --=(2n ≥,p 为非零常数),则下列结论正确的是( ) A .{}n a 是等比数列 B .当1p =时,4158
S =
C .当1
2
p =
时,m n m n a a a +⋅= D .3856a a a a +=+
24.记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若2410a a +=,23464a a a =,则( )
A .1
12n n n S S ++-= B .12n n a
C .21n
n S =-
D .1
21n n S -=-
25.已知集合{
}*
21,A x x n n N
==-∈,{}*
2,n
B x x n N ==∈将A
B 的所有元素从
小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为( ) A .25 B .26
C .27
D .28
26.在等比数列{a n }中,a 5=4,a 7=16,则a 6可以为( )
A .8
B .12
C .-8
D .-12
27.已知数列是{}n a
是正项等比数列,且
37
23
a a +=,则5a 的值可能是( )
A .2
B .4
C .85
D .
83
28.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件
11a >,781a a ⋅>,
871
01
a a -<-,则下列结论正确的是( ) A .01q << B .791a a ⋅> C .n S 的最大值为9S
D .n T 的最大值为7T
29.设{}n a 是各项均为正数的数列,以n a ,1n a +为直角边长的直角三角形面积记为
n S ()n *∈N ,则{}n S 为等比数列的充分条件是( )
A .{}n a 是等比数列
B .1a ,3a ,⋅⋅⋅ ,21n a -,⋅⋅⋅或 2a ,4a ,⋅⋅⋅ ,2n a ,⋅⋅⋅是等比数列
C .1a ,3a ,⋅⋅⋅ ,21n a -,⋅⋅⋅和 2a ,4a ,⋅⋅⋅,2n a ,⋅⋅⋅均是等比数列
D .1a ,3a ,⋅⋅⋅ ,21n a -,⋅⋅⋅和 2a ,4a ,⋅⋅⋅ ,2n a ,⋅⋅⋅均是等比数列,且公比相同 30.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件
11a >,66771
1,
01
a a a a -><-,则下列结论正确的是( ) A .01q <<
B .681a a >
C .n S 的最大值为7S
D .n T 的最大值为6T
31.已知数列{} n a 满足11a =,1
21++=+n n a a n ,*n N ∈, n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和,则下列结论中正确的是( ) A .()211
21n n
S n a -=-⋅ B .212
n n S S =
C .2311222n n n S S ≥
-+ D .212
n n S S ≥+ 32.将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵,如下图:
111213212223231
32
3331312
n n n n n n n
n
a a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列,每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知112a =,13611a a =+,记这2n 个数的和为
S .下列结论正确的有( )
A .3m =
B .7
67173a =⨯
C .1
(31)3
j ij a i -=-⨯
D .()1
(31)314
n S n n =
+- 33.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中,n S 是数列{}n a 的前n 项和,若 1418a a +=, 2312a a +=,则下列说法正确的是( )
A .2q
B .数列{}2n S +是等比数列
C .8
510S =
D .数列{}lg n a 是公差为2的等差数列
34.等比数列{}n a 中,公比为q ,其前n 项积为n T ,并且满足11a >.99100·10a a ->,991001
01
a a -<-,下列选项中,正确的结论有( ) A .01q << B .9910110a a -< C .100T 的值是n T 中最大的
D .使1n T >成立的最大自然数n 等于198
35.对于数列{}n a ,若存在正整数()2k k ≥,使得1k k a a -<,1k k a a +<,则称k a 是数列
{}n a 的“谷值”,k 是数列{}n a 的“谷值点”,在数列{}n a 中,若9
8n a n n =+-,下面
哪些数不能作为数列{}n a 的“谷值点”?( ) A .3
B .2
C .7
D .5
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一、等比数列选择题 1.A 【分析】
由()4633512a a a a a a q +++=+,求得3
q ,再由()3
7s 94s 6a a a a a a q ++=++求解.
【详解】
1234a a a ++=,4568a a a ++=.
∴3
2q =,
∴()3
78945616a a a a a a q ++=++=.
故选:A 2.C
【分析】
由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差1
2
d =-,再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠,
134,,a a a 成等比数列,2
314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+,则12
d =-,
()()2
111198122
4
4216
n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+
=-
=--+ ⎪⎝⎭,
所以当4n =或5时,n S 取得最大值. 故选:C. 3.D 【分析】
设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1,a 2,a 3,利用等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】
5斗50=升,设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1,a 2,a 3,
由题意可知a 1,a 2,a 3构成公比为2的等比数列,且S 3=50,则(
)3
11212
a --=50,
解得a 1=507
,所以牛主人应偿还粟的量为2
3120027a a ==
故选:D 4.A 【分析】
由等比数列的通项公式可计算得出()6
456135a a a q a a a ⋅⋅=⋅⋅,代入数据可计算得出结果.
【详解】
由6
326456135135432a a a a q a q a q a a a q ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⨯=.
故选:A. 5.D 【分析】
首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠,根据14a ,22a ,3a 成等差数列,列出等量关系式,求得2q ,比较
()*n
a n N n
∈相邻两项的大小,求得其最小值. 【详解】
在等比数列{}n a 中,设公比(0)q q ≠,
当11a =时,有14a ,22a ,3a 成等差数列, 所以21344a a a =+,即244q q =+,解得2q ,
所以1
2
n n
a ,所以1
2n n a n n
-=
, 1
2111n n a n n a n n
++=≥+,当且仅当1n =时取等号, 所以当1n =或2n =时,()*
n a n N n
∈取得最小值1,
故选:D. 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有等比数列的通项公式,三个数成等差数列的条件,求数列的最小项,属于简单题目. 6.A 【分析】
根据等比中项的性质列方程,解方程求得公差d ,由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2
326a a a =,
即2
(12)(1)(15)d d d +=++,整理可得220d d +=,又公差不为0,则2d =-, 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)
661(2)2422
S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选:A 7.B 【分析】
第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ,则数列{}n a 成等比数列.根据等比数列的通项公式,可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量. 【详解】
设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ,根据题意得 数列{}n a 成等比数列,它的首项为6,公比6q = 所以{}n a 的通项公式:1
66
6n n n a -=⨯=
到第6天,所有的蜜蜂都归巢后, 蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂. 故选:B . 8.C 【分析】
根据题意,由等比数列的通项公式,以及题中条件,即可求出结果.
【详解】
因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示,四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示,所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示,因为
11n n a a q -=
,所以q =
所以11
1
111k k n n k a a a a a ---⎛⎫ ⎪
⎛== ⎭
⎝
⎝
1111
n k k n n n
a a
----==⋅ 故选:C. 9.B 【分析】
根据等差数列的性质,由题中条件,求出72a =,再由等比数列的性质,即可求出结果. 【详解】
因为各项不为0的等差数列{}n a 满足2
6780a a a -+=,
所以2
7720a a -=,解得72a =或70a =(舍);
又数列{}n b 是等比数列,且772b a ==,
所以3
3810371178b b b b b b b ===.
故选:B. 10.C 【分析】
根据等比数列的通项公式,由题中条件,求出公比,进而可得出结果. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ,
因为12a =,且53a a =,所以2
1q =,解得1q =±, 所以9
1012a a q ==±.
故选:C. 11.B 【分析】
由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】 解:
数列{}n a 是等比数列,
3S ∴,63S S -,96S S -,129S S -也成等比数列,
即4,8,96S S -,129S S -也成等比数列,
易知公比2q ,
9616S S ∴-=,12932S S -=,
121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.
故选:B. 12.A 【分析】
由已知条件求出公差和公比,即可由此求出结果. 【详解】
设等差数列的公差为d ,等比数列的公比为q , 则有139d +=,4
19q ⋅=,
解之可得83
d =
,2
3q =, ()22218
183
b a a q ∴-=⨯⨯=.
故选:A. 13.B 【分析】
设女子第一天织布1a 尺,则数列{}n a 是公比为2的等比数列,由题意得
515(12)
512a S -==-,解得1531
a =
,由此能求出该女子所需的天数至少为7天. 【详解】
设女子第一天织布1a 尺,则数列{}n a 是公比为2的等比数列,
由题意得515(12)
512a S -==-,解得1531a =
, 5
(12)
3120
12
n n S -∴=-,解得2125n . 因为6264=,72128=
∴该女子所需的天数至少为7天.
故选:B 14.C 【分析】
根据等比数列的定义和判定方法逐一判断. 【详解】
对于A ,若24n
n
a =,则2n
n a =±,+1
+12n n a =±,则1
2n n
a a +=±,即后一项与前一项的比不一定是常数,故A 错误;
对于B ,当0n a =时,满足12n n n a a a ++=⋅,但数列{}n a 不为等比数列,故B 错误; 对于C ,由2
m n
m n a a +⋅=可得0n a ≠,则+1
+12
m n m n a a +⋅=,所以1+1
222
n n m n m n a a +++==,故{}n a 为公比为2的等比数列,故C 正确;
对于D ,由312
11
n n n n a a a a +++=⋅⋅可知0n a ≠,则312n n n n a a a a +++⋅=⋅,如1,2,6,12满
足312n n n n a a a a +++⋅=⋅,但不是等比数列,故D 错误. 故选:C. 【点睛】
方法点睛:证明或判断等比数列的方法,
(1)定义法:对于数列{}n a ,若()1
0,0n n n
a q q a a +=≠≠,则数列{}n a 为等比数列; (2)等比中项法:对于数列{}n a ,若()2
21
0n n n n a a a a ++=≠,则数列{}n a 为等比数列;
(3)通项公式法:若n n a cq =(,c q 均是不为0的常数),则数列{}n a 为等比数列; (4)特殊值法:若是选择题、填空题可以用特殊值法判断,特别注意0n a =的判断. 15.D 【分析】
利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ,利用2
1
a a 求出公比即可
【详解】
设公比为q ,等比数列{}n a 的通项公式为2*
3()n n a n N +=∈,
则31327a ==,4
2381a ==,2
1
3a q a ∴
==, 故选:D 16.B 【分析】
先求得首项,根据等比数列的求和公式,代入首项和公比的值,即可计算出5S 的值. 【详解】
因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =,公比2q
,所以2
11a a q
=
=,又因为1111n
n
a q S q
q
,所以()551123112
S -=
=-.
故选:B. 17.A 【分析】
根据等比中项的性质有216x =,而由等比通项公式知2x q =,即可求得x 的值. 【详解】
由题意知:216x =,且若令公比为q 时有2
0x q =>,
∴4x =, 故选:A 18.B 【分析】
根据等比中项的性质求出3a ,从而求出1a ,最后根据公式求出3S ; 【详解】
解:因为正项等比数列{}n a 满足241a a =,由于2243a a a =,所以2
31a =. 所以31a =,2
11a q ∴=,因为1
3
q =
,所以19a =. 因此()3131131a q S q
-==-.
故选:B 19.B 【分析】
设正项等比数列{}n a 的公比为0q >,由7652a a a =+,可得2
2q q =+,解得2q
,
根据存在两项m a 、n a 14a =14a =,6m n +=.对m ,n 分类讨论即可得出. 【详解】
解:设正项等比数列{}n a 的公比为0q >, 满足:7652a a a =+,
22q q ∴=+,
解得2q
,
存在两项m a 、n a 14a =,
∴14a =,
6m n ∴+=,
m ,n 的取值分别为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),
则
14m n
+的最小值为143242+=.
故选:B . 20.D 【分析】
假设第n 轮感染人数为n a ,根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式,根据题意列
出关于n 的不等式,求解出结果,从而可确定出所需要的天数. 【详解】
设第n 轮感染人数为n a ,则数列{}n a 为等比数列,其中1 3.8a =,公比为0 3.8R =,
所以 3.81000n
n a =>,解得 3.8333
log 1000 5.17lg3.8lg3810.58
n >=
=≈≈-, 而每轮感染周期为7天,所以需要的天数至少为5.17736.19⨯=. 故选:D . 【点睛】
关键点点睛:解答本题的关键点有两个:(1)理解题意构造合适的等比数列;(2)对数的计算.
二、多选题 21.无
22.BCD 【分析】
考虑常数列可以判定A 错误,利用反证法判定B 正确,代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】
对于数列{}n a ,考虑121,1,1n n n a a a ++===,
21
1n n n n
a a a a +++--无意义,所以A 选项错误;
若等差比数列的公差比为0,
21
2110,0n n n n n n
a a a a a a +++++---==,则1n n a a +-与题目矛盾,所以B 选项说法正确;
若32n
n a =-+,
21
13n n n n
a a a a +++-=-,数列{}n a 是等差比数列,所以C 选项正确; 若等比数列是等差比数列,则1
1,1n n q a a q -=≠,
()()
11211111
111111n n n
n n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---,所以D 选项正确. 故选:BCD 【点睛】
易错点睛:此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意: (1)常数列作为特殊的等差数列公差为0; (2)非零常数列作为特殊等比数列公比为1. 23.ABC 【分析】
由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义,判断出A 正确;利用等比数列的求和公式判断B 正确;利用等比数列的通项公式计算得出C 正确,D 不正确.
由122(2)n n S S p n --=≥,得22
p a =
. 3n ≥时,1222n n S S p ---=,相减可得120n n a a --=,
又2112a a =,数列{}n a 为首项为p ,公比为1
2
的等比数列,故A 正确; 由A 可得1p =时,441
11521812
S -
=
=-,故B 正确; 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为212
1122
m n m n p p ++⋅=⋅,可得12p =,故C 正确;
38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭,56451112||||22128a a p p ⎛⎫
+=+=⋅ ⎪⎝⎭
,
则3856a a a a +>+,即D 不正确; 故选:ABC. 【点睛】 方法点睛:
由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11
,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解,考查学生的计算能
力. 24.BC 【分析】
根据数列的增减性由所给等式求出1a d 、,写出数列的通项公式及前n 项和公式,即可进行判断. 【详解】
数列{a n }为单调递增的等比数列,且24100a a +=>,0n a ∴>
23464a a a =,2364a ∴=,解得34a =,
2410a a +=,4
410q q
∴+=即22520q q -+=,解得2q
或
12
, 又数列{a n }为单调递增的等比数列,取2q
,3124
14
a a q =
==, 1
2
n n
a ,212121
n n n S -==--,()1121212n n n
n n S S ++-=---=.
故选:BC 【点睛】
本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式,属于
25.CD 【分析】
由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为2
3
1,2,3,2,5,7,2,9
,利用列举法,结合等差数列
以及等比数列的求和公式,验证即可求解. 【详解】
由题意,数列{}n a 的前n 项依次为2
3
1,2,3,2,5,7,2,9
,
利用列举法,可得当25n =时,A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,
则数列{}n a 的前25项分别为:1,3,5,7,9,11,13,
37,39,2,4,8,16,32,
可得52520(139)2(12)
40062462212
S ⨯+-=+=+=-,2641a =,所以2612492a =,
不满足112n n S a +>; 当26n =时,A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,
则数列{}n a 的前25项分别为:1,3,5,7,9,11,13,
37,39,41,2,4,8,16,32,
可得52621(141)2(12)
44162503212
S ⨯+-=+=+=-,2743a =,所以2612526a =,
不满足112n n S a +>; 当27n =时,A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,
则数列{}n a 的前25项分别为:1,3,5,7,9,11,13,
37,39,41,43,2,4,8,16,32,
可得52722(143)2(12)
48462546212
S ⨯+-=+=+=-,2845a =,所以2712540a =,
满足112n n S a +>; 当28n =时,A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,
则数列{}n a 的前25项分别为:1,3,5,7,9,11,13,
37,39,41,43,45,2,4,8,16,32,
可得52823(145)2(12)
52962591212
S ⨯+-=+=+=-,2947a =,所以2812564a =,
满足112n n S a +>,
所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选:CD. 【点睛】
本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式,以及“分组求和法”的应用,其中解答中正确理解题意,结合列举法求得数列的前n 项和,结合选项求解是解答的关键,着重考查推理与运算能力. 26.AC
求出等比数列的公比2q =±,再利用通项公式即可得答案; 【详解】
57216
24
a q q a ==⇒=±, 当2q
时,65428a a q ==⨯=,
当2q =-时,654(2)8a a q ==⨯-=-, 故选:AC. 【点睛】
本题考查等比数列通项公式的运算,考查运算求解能力,属于基础题. 27.ABD 【分析】
根据基本不等式的相关知识,结合等比数列中等比中项的性质,求出5a 的范围,即可得到所求. 【详解】
解:依题意,数列是{}n a 是正项等比数列,30a ∴>,70a >,50a >,
∴2
373752323262a a a a a +
=, 因为50a >,
所以上式可化为52a ,当且仅当3a =,7a = 故选:ABD . 【点睛】
本题考查了等比数列的性质,考查了基本不等式,考查分析和解决问题的能力,逻辑思维能力.属于中档题. 28.AD 【分析】
根据题意71a >,81a <,再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】
因为11a >,781a a ⋅>,
871
01
a a -<-, 所以71a >,81a <,所以01q <<,故A 正确.
27981a a a =<⋅,故B 错误;
因为11a >,01q <<,所以数列{}n a 为递减数列,所以n S 无最大值,故C 错误; 又71a >,81a <,所以n T 的最大值为7T ,故D 正确. 故选:AD
本题考查了等比数列的性质、定义,考查了基本知识的掌握情况,属于基础题. 29.AD 【分析】
根据{}n S 为等比数列等价于2
n n
a a +为常数,从而可得正确的选项. 【详解】
{}n S 为等比数列等价于
1n n S S +为常数,也就是等价于12
+1n n n n a a a a ++即2n n
a a +为常数.
对于A ,因为{}n a 是等比数列,故22
n n
a q a +=(q 为{}n a 的公比)为常数,故A 满足; 对于B ,取21221,2n
n n a n a -=-=,此时满足2a ,4a ,⋅⋅⋅ ,2n a ,⋅⋅⋅是等比数列,
1a ,3a ,⋅⋅⋅ ,21n a -,⋅⋅⋅不是等比数列,
21
21
n n a a +-不是常数,故B 错. 对于C ,取2123,2n n
n n a a -==,此时满足2a ,4a ,⋅⋅⋅ ,2n a ,⋅⋅⋅是等比数列,
1a ,3a ,⋅⋅⋅ ,21n a -,⋅⋅⋅是等比数列,
21213n n a a +-=,2222n n
a
a +=,两者不相等,故C 错. 对于D ,根据条件可得2
n n
a a +为常数. 故选:AD. 【点睛】
本题考查等比数列的判断,此类问题应根据定义来处理,本题属于基础题. 30.AD 【分析】
分类讨论67,a a 大于1的情况,得出符合题意的一项. 【详解】
①671,1a a >>, 与题设
671
01
a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设
671
01
a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.
得671,1,01a a q ><<<,则n T 的最大值为6T .
∴B ,C ,错误.
故选:AD. 【点睛】
考查等比数列的性质及概念. 补充:等比数列的通项公式:()1
*
1n n a a q n N -=∈.
31.CD 【分析】
根据数列{} n a 满足11a =,121++=+n n a a n ,得到1223+++=+n n a a n ,两式相减得:
22n n a a +-=,然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式,再逐项判断.
【详解】
因为数列{} n a 满足11a =,121++=+n n a a n ,*n N ∈, 所以1223+++=+n n a a n , 两式相减得:22n n a a +-=,
所以奇数项为1,3,5,7,….的等差数列; 偶数项为2,4,6,8,10,….的等差数列; 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =, A. 令2n =时, 311111236S =++=,而 ()13
22122
⨯-⋅=,故错误; B. 令1n =时, 213122
S =+=,而 111
22S =,故错误;
C. 当1n =时, 213122
S =+
=,而 3113
2222-+=,成立,当2n ≥时,
211111...23521n n S S n =++++--,因为221n n >-,所以
11212n n >-,所以111111311...1 (352148222)
n n n ++++>++++=--,故正确; D. 因为21111...1232n n S S n n n n
-=+++++++,令()1111
...1232f n n n n n
=+++++++,因为
()11111
1()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++,所以()f n 得到递增,
所以()()1
12
f n f ≥=,故正确;
故选:CD 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义,等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用,还考查了转化求解问题的能力,属于较难题. 32.ACD 【分析】
根据题设中的数阵,结合等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式,逐项求解,即
【详解】
由题意,该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列,每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列,且112a =,13611a a =+,
可得22
13112a a m m ==,6111525a a d m =+=+,所以22251m m =++,
解得3m =或1
2
m =-
(舍去),所以选项A 是正确的; 又由666
6761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯,所以选项B 不正确;
又由1
111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a m
a i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯,所以选
项C 是正确的; 又由这2n 个数的和为S , 则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++
++++++++++
11121(13)(13)(13)131313
n n n n a a a ---=++
+
---1(231)(31)22n
n n +-=-⋅ 1
(31)(31)4
n n n =
+-,所以选项D 是正确的, 故选ACD. 【点睛】
本题主要考查了数表、数阵数列的求解,以及等比数列及其前n 项和公式的应用,其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式,准确计算是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题. 33.ABC 【分析】
由1418a a +=,23
12a a +=,31118a a q +=,21112a q a q +=,公比q 为整数,解得
1a ,q ,可得n a ,n S ,进而判断出结论.
【详解】
∵1418a a +=,23
12a a +=且公比q 为整数,
∴31118a a q +=,2
1112a q a q +=,
∴12a =,2q
或1
2
q =
(舍去)故A 正确, ()12122212
n n n S +-=
=--,∴8510S =,故C 正确;
∴1
22n n S ++=,故数列{}2n S +是等比数列,故B 正确;
而lg lg 2lg 2n
n a n ==,故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列,故D 错误.
故选:ABC .
本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用,属于中档题. 34.ABD 【分析】
由已知9910010a a ->,得0q >,再由
991001
01
a a -<-得到1q <说明A 正确;再由等比数列
的性质结合1001a <说明B 正确;由10099100·
T T a =,而10001a <<,求得10099T T <,说明C 错误;分别求得1981T >,1991T <说明D 正确.
【详解】
对于A ,9910010a a ->,2197
1·1a q ∴>,()2
981··1a q q ∴>.
11a >,0q ∴>.
又
991001
01
a a -<-,991a ∴>,且1001a <. 01q ∴<<,故A 正确;
对于B ,2
99101100100·01
a a a a ⎧=⎨<<⎩,991010?
1a a ∴<<,即99101·10a a -<,故B 正确; 对于C ,由于10099100·
T T a =,而10001a <<,故有10099T T <,故C 错误; 对于D ,()()()()19812198119821979910099100·
····991T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=⨯>, ()()()199121991199219899101100·····1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<,故D 正确.
∴不正确的是C .
故选:ABD . 【点睛】
本题考查等比数列的综合应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题. 35.AD 【分析】
计算到12a =,232
a =
,32a =,474a =,565a =,612a =,727a =,89
8a =,根据
“谷值点”的定义依次判断每个选项得到答案. 【详解】
98n a n n =+
-,故12a =,232
a =,32a =,474a =,565a =,612a =,727a =,898
a =
. 故23a a <,3不是“谷值点”;12a a >,32a a >,故2是“谷值点”;
67a a >,87a a >,故7是“谷值点”;65a a <,5不是“谷值点”.
故选:AD.
【点睛】
本题考查了数列的新定义问题,意在考查学生的计算能力和应用能力.。