【数学】黑龙江省哈尔滨第三中学2014届高三高考模拟考试 (文)
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黑龙江省哈尔滨市第三中学2013-2014年高三下学期第三次
高考模拟考试数学试卷(文史类)
第I 卷 (选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.)
1. 已知全集R U =,集合}032{2>--=x x x A ,}42{<<=x x B ,那么集合
=B A C U )(()
(A )}41{≤≤-x x (B )}32{≤<x x (C )}32{<≤x x (D )}41{<<-x x 2. 复数10
21i i i +++等于() (A )i (B )i -(C )i 2(D )i 2- 3. 已知3
.02
.0=a ,3log 2.0=b ,4log 2.0=c ,则()
(A )c b a >>(B )b c a >>(C )a c b >>(D )a b c >> 4. 已知直线n m ,和平面α,则n m //的一个必要条件是()
(A )α//m ,α//n (B )α⊥m ,α⊥n (C )α//m ,α⊂n (D )n m ,与α成等角 5. 已知x 与y 之间的一组数据:
已求得关于y 与x (A )1(B )85.0(C )7.0(D )5.0
6. 在数列{}n a 中,已知1221-=+++n n a a a ,则2
2221n
a a a +++ 等于() )2
1n
(B )()3
12
2
-n
(C )14-n
(D )314-n
7. 执行如图所示的程序框图,若输出15=S ,则框图中①处 可以填入()
(A )4>n (B )8>n (C )16>n (D )16<n
8. 已知y x z +=2,其中实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2,且z 的最大值是最小值的4倍,则a
的值是() (A )
112(B )41
(C )4(D )2
11
9. 已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点为F ,过F 的直线l 交双曲线的渐近线
于A ,B 两点,且与其中一条渐近线垂直,若4=,则该双曲线的离心率是()
(A )5(B )52(C )
5
10
(D )5102
10. 已知函数)4
2sin(3)(π
-
=x x f ,则下列结论正确的是()
(A )若0)()(21==x f x f ,则)(21Z k k x x ∈=-π
(B )函数()x f 的图象与)4
2cos(3)(π
+
=x x g 的图象相同
(C )函数()x f 的图象关于)0,8
(π
-
对称
(D )函数()x f 在区间]8
3
,81[ππ-
上是增函数
11. 已知一个正四面体的俯视图如图所示,其中四边形ABCD 是边长为23的正方形,则
该正四面体的内切球的表面积为 ()
(A )π6(B )π54(C )π12(D )π48
12. 定义在),1(+∞上的函数)(x f 满足下列两个条件:(1)对任意的),1(+∞∈x 恒有
)(2)2(x f x f =成立;(2)当(]2,1∈x 时,x x f -=2)(.记函数=)(x g )1()(--x k x f ,若
函数)(x g 恰有两个零点,则实数k 的取值范围是()
(A )[)2,1(B )⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34(C )⎪⎭⎫ ⎝⎛2,34(D )⎪⎭
⎫⎢⎣⎡2,34
第Ⅱ卷(非选择题, 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.) 13. 从1,2,3,4,5,6这六个数中,随机抽取2个不同的数,则这2个数的和为偶数的概率是.
14. 若等边ABC ∆的边长为2,平面内一点M 满足2
1
31+=,则=⋅.
15. 已知)2,0(,1010)4
cos(πθπ
θ∈=
+
,则=-)3
2sin(π
θ. 16. 若在由正整数构成的无穷数列}{n a 中,对任意的正整数n ,都有1+≤n n a a ,且对任意
的正整数k ,该数列中恰有12-k 个k ,则2014a =.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分12分)
设
ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,满足
C b c B c b A a sin )32(sin )32(sin 2-+-=.
(Ⅰ)求角A 的大小;
(Ⅱ)若2=a ,32=b ,求ABC ∆的面积.
18. (本小题满分12分)
某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取60名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成)50,40[,)60,50[,)70,60[,)80,70[,)90,80[,]100,90[六组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题.
(Ⅰ)求分数在[)80,70内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(Ⅱ)从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中位数;
(Ⅲ)若从第1组和第6组两组学生中,随机抽取2人,求所抽取2人成绩之差的绝对
值大于10的概率.
19. (本小题满分12分)
如图,在三棱柱111C B A ABC -中,211====BC AB A B B B ,︒=∠901BC B ,D 为AC 的中点,D B AB 1⊥.
(Ⅰ)求证:平面⊥11A ABB 平面ABC ; (Ⅱ)求三棱锥D BB C 1-的体积.
20. (本小题满分12分)
已知椭圆:C 122
22=+b
y a x (0>>b a )的左,右焦点分别为21,F F ,上顶点为B .Q 为抛物
线x y 122=的焦点,且01=⋅F ,=+1212QF F F 0. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;
(Ⅱ)过定点)2,0(P 的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点(M 在N P ,之间),设直线l 的斜率为k (0>k ),在x 轴上是否存在点)0,(m A ,使得以AN AM ,为邻边的平、行四边
A
B
D
1A
1B 1C
C A
形为菱形?若存在,求出实数m 的取值范围;若不存在,请说明理由.
21. (本小题满分12分)
已知函数1ln )(+-=ax x x f (0>a ). (Ⅰ)求函数)(x f 的最大值;
(Ⅱ)若2
1=
a ,且关于x 的方程
b x x f +-=61)(在[]4,1上恰有两个不等的实根,
求实数b 的取值范围;
(Ⅲ)设各项为正数的数列{}n a 满足11=a ,2ln 1++=+n n n a a a (*∈N n ), 求证:12-≤n n a .
请考生在第22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)选修4-1如图,AB 是⊙O 的一条切线,切点为B , CGE CFD ADE ,,都是⊙O 的割线,AC =(Ⅰ)证明:2
AC AE AD =⋅; (Ⅱ)证明:AC FG //.
23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标平面内,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C
的极坐标方程是θρcos 4=,直线l 的参数方程是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+-= 21 23
3t y t x (t 为参数). (Ⅰ)过极点作直线l 的垂线,垂足为点P ,求点P 的极坐标; (Ⅱ)若点N M ,分别为曲线C 和直线l 上的动点,求MN
的最小值.
24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数m x x g x x f ++-=-=3)(,2)(.
(Ⅰ)若关于x 的不等式0)(≥x g 的解集为}15{-≤≤-x x ,求实数m 的值; (Ⅱ)若)()(x g x f >对于任意的R x ∈恒成立,求实数m 的取值范围.
2014年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试
数学答案(文史类)
选择题:
1B 2A3A 4D 5D 6D 7B 8B 9D 10D 11A 12D 填空题:13.52 14.98- 15.10
3
34- 16.45 解答题:
17. 解:(Ⅰ)由已知及正弦定理可得c b c b c b a )32()32(22-+-=,
整理得bc a c b 3222=-+, …………………………2分
所以2
3
cos =
A . …………………………4分 又),0(π∈A ,故6
π
=
A . …………………………5分
(Ⅱ)由正弦定理可知
B b A a sin sin =
,又2=a ,32=b ,6
π
=A , 所以2
3
sin =
B . …………………………6分 又)65,
0(π∈B ,故3
π
=B 或
32π. …………………………8分 若3π=B ,则2
π
=C ,于是3221==∆ab S ABC ; ………………………… 10分
若32π=B ,则6
π=C ,于是3sin 21==∆C ab S ABC . ………………………… 12分
18.解:(Ⅰ)3.0………………………………2分 (Ⅱ)
3
220
………………………………6分 (Ⅲ)第1组:61.060=⨯人(设为1,2,3,4,5,6) 第6组:31.060=⨯人(设为A ,B ,C )
共有36个基本事件,满足条件的有18个,所以概率为
2
1
…………12分 19.解:(Ⅰ)取AB 中点为O ,连接OD ,1OB .
因为A B B B 11=,所以AB OB ⊥1. 又D B AB 1⊥,111B D B OB = ,
A
D
1
A 1
B 1
C O
所以⊥AB 平面OD B 1,
因为⊂OD 平面OD B 1,所以OD AB ⊥.…3分 由已知,1BB BC ⊥,又BC OD //, 所以1BB OD ⊥,因为B BB AB =1 , 所以⊥OD 平面11A ABB .
又⊂OD 平面ABC ,所以平面⊥ABC 平面11A ABB . ………………6分 (Ⅱ)三棱锥D BB C 1-的体积=三棱锥BCD B -1的体积
由(Ⅰ)知,平面⊥ABC 平面11A ABB ,平面 ABC 平面AB A ABB =11,
AB OB ⊥1, ⊂1OB 平面11A ABB
所以ABC OB 平面⊥1,即BCD OB 平面⊥1,
O B 1即点1B 到BCD 平面的距离,31=O B …………………9分
12
1
==
∆∆ABC BCD S S …………11分 所以3
3313111=⨯⨯=
=--BCD B D BB C V V ……………………12分 20.解:(Ⅰ)由已知)0,3(Q ,QB B F ⊥1,c c QF +==34||1,所以1=c .……… 1分 在BQ F Rt 1∆中,2F 为线段Q F 1的中点, 故=||2BF 22=c ,所以2=a .………2分
于是椭圆C 的标准方程为13
422=+y x .…4分 (Ⅱ)设2:+=kx y l (0>k ),
),(),,(2211y x N y x M ,取MN 的中点为
,(00y x E 假设存在点)0,(m A 使得以AN AM ,为邻边的平行四边形为菱形,则MN AE ⊥.
0416)34(134
2222
2
=+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=kx x k y x kx y , 4102>⇒>∆k ,又0>k ,所以21
>k . …………………………6分
因为3416221+-=+k k x x ,所以3
4820+-=k k
x ,3462200+=+=k kx y . ………8分
因为MN AE ⊥,所以k k AE 1-=,即
k m k k k 13
480346
22-=-+--+, 整理得k
k k k
m 3423
422+
-
=+-
=. …………………………10分
因为21
>
k 时,3434≥+k k ,]123,0(41∈+k
k ,所以)0,63[-
∈m . ………12分 21.解:(Ⅰ)函数的定义域为()+∞,0,
)0(1
)(>--
='x x
ax x f , 单调递增,)(,0)(,1,0x f x f a >'⎪⎭⎫ ⎝⎛单调递减,
)(,0)(,1x f x f a <'⎪⎭⎫
⎝⎛∞+ 当
a x 1=
时,)(x f 取最大值a
a f ln )1
(-=…………………4分
(Ⅱ)21=
a ,由
b x x f +-=61)(得b x
x =+-13
ln 在[]4,1上有两个不同的实根, 设[]4,1,13
ln )(∈+-
=x x
x x g x
x
x g 33)(-=
',[)3,1∈x 时,0)(>'x g ,(]4,3∈x 时,0)(<'x g 3ln )3()(max ==g x g ,
3
12ln 2)4(,32)1(-==
g g
02ln 213
1
2ln 232)4()1(<-=+-=
-g g ,得)4()1(g g < 则⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡
-
∈3ln ,312ln 2b …………………8分 (Ⅲ)由(1)知当1=a 时,1ln -<x x 。
由已知条件12212ln ,01+=++-≤++=>+n n n n n n n a a a a a a a , 故),1(211+≤++n n a a 所以当2≥n 时,,21101≤++<
-n n a a ,21
1
021≤++<--n n a a ⋅⋅⋅,
,211
012≤++<
a a 相乘得,21
1011-≤++<n n a a 又,11=a 故n
n a 21≤+,即12-≤n
n a …………………12分
22解:(Ⅰ)由切割线定理知AE AD AB ⋅=2
,又AB AC =,得AE AD AC ⋅=2
⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分
(Ⅱ)由AE AD AC ⋅=2
得CDA ∆∽ACE ∆,所以CEA ACD ∠=∠ 又四边形GEDF 四点共圆,所以CED CFG ∠=∠ 故ACF CFG ∠=∠,所以AC FG //……………10分 23解:(Ⅰ)点P 的极坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛32,
23π……………5分
(Ⅱ)MN 的最小值为
2
1
……………10分 24.解:(Ⅰ)因为03)(≥++-=m x x g ,所以m x ≤+3,所以33-≤≤--m x m ,
由题意⎩
⎨⎧-=--=--1353m m 所以2=m ;………………………………5分
(Ⅱ)若)()(x g x f >恒成立,所以m x x >++-32恒成立,
因为5)3()2(32=+--≥++-x x x x 当且仅当0)3)(2(≤+-x x 时取等, 所以5<m . ……………………10分。