【数学】黑龙江省哈尔滨第三中学2014届高三高考模拟考试 (文)

黑龙江省哈尔滨市第三中学2013-2014年高三下学期第三次
高考模拟考试数学试卷（文史类）
第I 卷 （选择题，共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．)
1. 已知全集R U =，集合}032{2>--=x x x A ，}42{<<=x x B ，那么集合
=B A C U )(（）
（A ）}41{≤≤-x x （B ）}32{≤<x x （C ）}32{<≤x x （D ）}41{<<-x x 2. 复数10
21i i i +++等于（） （A ）i （B ）i -（C ）i 2（D ）i 2- 3. 已知3
.02
.0=a ，3log 2.0=b ，4log 2.0=c ，则（）
（A ）c b a >>（B ）b c a >>（C ）a c b >>（D ）a b c >> 4. 已知直线n m ,和平面α，则n m //的一个必要条件是（）
（A ）α//m ，α//n （B ）α⊥m ，α⊥n （C ）α//m ，α⊂n （D ）n m ,与α成等角 5. 已知x 与y 之间的一组数据：
已求得关于y 与x （A ）1（B ）85.0（C ）7.0（D ）5.0
6. 在数列{}n a 中，已知1221-=+++n n a a a ，则2
2221n
a a a +++ 等于（） )2
1n
（B ）()3
12
2
-n
（C ）14-n
（D ）314-n
7. 执行如图所示的程序框图，若输出15=S ，则框图中①处 可以填入（）
（A ）4>n （B ）8>n （C ）16>n （D ）16<n
8. 已知y x z +=2，其中实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且z 的最大值是最小值的4倍，则a
的值是（） （A ）
112（B ）41
（C ）4（D ）2
11
9. 已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线
于A ,B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若4=，则该双曲线的离心率是（）
（A ）5（B ）52（C ）
5
10
（D ）5102
10. 已知函数)4
2sin(3)(π
-
=x x f ，则下列结论正确的是（）
（A ）若0)()(21==x f x f ，则)(21Z k k x x ∈=-π
（B ）函数()x f 的图象与)4
2cos(3)(π
+
=x x g 的图象相同
（C ）函数()x f 的图象关于)0,8
(π
-
对称
（D ）函数()x f 在区间]8
3
,81[ππ-
上是增函数
11. 已知一个正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为23的正方形，则
该正四面体的内切球的表面积为 （）
（A ）π6（B ）π54（C ）π12（D ）π48
12. 定义在),1(+∞上的函数)(x f 满足下列两个条件：（1）对任意的),1(+∞∈x 恒有
)(2)2(x f x f =成立；（2）当(]2,1∈x 时，x x f -=2)(．记函数=)(x g )1()(--x k x f ，若
函数)(x g 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（）
（A ）[)2,1（B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛2,34（D ）⎪⎭
⎫⎢⎣⎡2,34
第Ⅱ卷（非选择题， 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 从1,2,3,4,5,6这六个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是.
14. 若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足2
1
31+=，则=⋅.
15. 已知)2,0(,1010)4
cos(πθπ
θ∈=
+
，则=-)3
2sin(π
θ. 16. 若在由正整数构成的无穷数列}{n a 中，对任意的正整数n ，都有1+≤n n a a ，且对任意
的正整数k ，该数列中恰有12-k 个k ，则2014a =.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）
设
ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，满足
C b c B c b A a sin )32(sin )32(sin 2-+-=．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若2=a ，32=b ，求ABC ∆的面积．
18. （本小题满分12分）
某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成)50,40[，)60,50[，)70,60[，)80,70[，)90,80[，]100,90[六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题.
（Ⅰ）求分数在[)80,70内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；
（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对
值大于10的概率.
19. （本小题满分12分）
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，211====BC AB A B B B ，︒=∠901BC B ，D 为AC 的中点，D B AB 1⊥．
（Ⅰ）求证：平面⊥11A ABB 平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥D BB C 1-的体积．
20. （本小题满分12分）
已知椭圆:C 122
22=+b
y a x （0>>b a ）的左，右焦点分别为21,F F ，上顶点为B ．Q 为抛物
线x y 122=的焦点，且01=⋅F ，=+1212QF F F 0． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过定点)2,0(P 的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点（M 在N P ,之间），设直线l 的斜率为k （0>k ），在x 轴上是否存在点)0,(m A ，使得以AN AM ,为邻边的平、行四边
A
B
D
1A
1B 1C
C A
形为菱形？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
21. （本小题满分12分）
已知函数1ln )(+-=ax x x f （0>a ）. （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值；
（Ⅱ）若2
1=
a ，且关于x 的方程
b x x f +-=61)(在[]4,1上恰有两个不等的实根，
求实数b 的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正数的数列{}n a 满足11=a ，2ln 1++=+n n n a a a （*∈N n ）， 求证：12-≤n n a .
请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本小题满分10分）选修4－1如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ， CGE CFD ADE ,,都是⊙O 的割线，AC =（Ⅰ）证明：2
AC AE AD =⋅； （Ⅱ）证明：AC FG //．
23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+-= 21 23
3t y t x （t 为参数）. （Ⅰ）过极点作直线l 的垂线，垂足为点P ，求点P 的极坐标； （Ⅱ）若点N M ,分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN
的最小值.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数m x x g x x f ++-=-=3)(,2)(.
（Ⅰ）若关于x 的不等式0)(≥x g 的解集为}15{-≤≤-x x ，求实数m 的值； （Ⅱ）若)()(x g x f >对于任意的R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
2014年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试
数学答案（文史类）
选择题:
1B 2A3A 4D 5D 6D 7B 8B 9D 10D 11A 12D 填空题:13．52 14.98- 15.10
3
34- 16.45 解答题:
17. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得c b c b c b a )32()32(22-+-=，
整理得bc a c b 3222=-+， …………………………2分
所以2
3
cos =
A ． …………………………4分 又),0(π∈A ，故6
π
=
A ． …………………………5分
（Ⅱ）由正弦定理可知
B b A a sin sin =
，又2=a ，32=b ，6
π
=A ， 所以2
3
sin =
B ． …………………………6分 又)65,
0(π∈B ，故3
π
=B 或
32π． …………………………8分 若3π=B ，则2
π
=C ，于是3221==∆ab S ABC ； ………………………… 10分
若32π=B ，则6
π=C ，于是3sin 21==∆C ab S ABC ． ………………………… 12分
18.解：（Ⅰ）3.0………………………………2分 （Ⅱ）
3
220
………………………………6分 （Ⅲ）第1组：61.060=⨯人（设为1，2，3，4，5，6） 第6组：31.060=⨯人（设为A ，B ，C ）
共有36个基本事件，满足条件的有18个，所以概率为
2
1
…………12分 19.解：（Ⅰ）取AB 中点为O ，连接OD ，1OB ．
因为A B B B 11=，所以AB OB ⊥1． 又D B AB 1⊥，111B D B OB = ，
A
D
1
A 1
B 1
C O
所以⊥AB 平面OD B 1，
因为⊂OD 平面OD B 1，所以OD AB ⊥．…3分 由已知，1BB BC ⊥，又BC OD //， 所以1BB OD ⊥，因为B BB AB =1 ， 所以⊥OD 平面11A ABB ．
又⊂OD 平面ABC ，所以平面⊥ABC 平面11A ABB ． ………………6分 （Ⅱ）三棱锥D BB C 1-的体积=三棱锥BCD B -1的体积
由（Ⅰ）知，平面⊥ABC 平面11A ABB ,平面 ABC 平面AB A ABB =11,
AB OB ⊥1, ⊂1OB 平面11A ABB
所以ABC OB 平面⊥1,即BCD OB 平面⊥1,
O B 1即点1B 到BCD 平面的距离,31=O B …………………9分
12
1
==
∆∆ABC BCD S S …………11分 所以3
3313111=⨯⨯=
=--BCD B D BB C V V ……………………12分 20.解：（Ⅰ）由已知)0,3(Q ，QB B F ⊥1，c c QF +==34||1，所以1=c ．……… 1分 在BQ F Rt 1∆中，2F 为线段Q F 1的中点， 故=||2BF 22=c ，所以2=a ．………2分
于是椭圆C 的标准方程为13
422=+y x ．…4分 （Ⅱ）设2:+=kx y l （0>k ），
),(),,(2211y x N y x M ，取MN 的中点为
,(00y x E 假设存在点)0,(m A 使得以AN AM ,为邻边的平行四边形为菱形，则MN AE ⊥．
0416)34(134
2222
2
=+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=kx x k y x kx y ， 4102>⇒>∆k ，又0>k ，所以21
>k ． …………………………6分
因为3416221+-=+k k x x ，所以3
4820+-=k k
x ，3462200+=+=k kx y ． ………8分
因为MN AE ⊥，所以k k AE 1-=，即
k m k k k 13
480346
22-=-+--+， 整理得k
k k k
m 3423
422+
-
=+-
=． …………………………10分
因为21
>
k 时，3434≥+k k ，]123,0(41∈+k
k ，所以)0,63[-
∈m ． ………12分 21.解：（Ⅰ）函数的定义域为()+∞,0，
)0(1
)(>--
='x x
ax x f ， 单调递增，)(,0)(,1,0x f x f a >'⎪⎭⎫ ⎝⎛单调递减，
)(,0)(,1x f x f a <'⎪⎭⎫
⎝⎛∞+ 当
a x 1=
时，)(x f 取最大值a
a f ln )1
(-=…………………4分
（Ⅱ）21=
a ，由
b x x f +-=61)(得b x
x =+-13
ln 在[]4,1上有两个不同的实根， 设[]4,1,13
ln )(∈+-
=x x
x x g x
x
x g 33)(-=
'，[)3,1∈x 时，0)(>'x g ，(]4,3∈x 时，0)(<'x g 3ln )3()(max ==g x g ，
3
12ln 2)4(,32)1(-==
g g
02ln 213
1
2ln 232)4()1(<-=+-=
-g g ，得)4()1(g g < 则⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡
-
∈3ln ,312ln 2b …………………8分 （Ⅲ）由（1）知当1=a 时，1ln -<x x 。

由已知条件12212ln ,01+=++-≤++=>+n n n n n n n a a a a a a a ， 故),1(211+≤++n n a a 所以当2≥n 时，,21101≤++<
-n n a a ,21
1
021≤++<--n n a a ⋅⋅⋅，
,211
012≤++<
a a 相乘得,21
1011-≤++<n n a a 又,11=a 故n
n a 21≤+，即12-≤n
n a …………………12分
22解：（Ⅰ）由切割线定理知AE AD AB ⋅=2
,又AB AC =，得AE AD AC ⋅=2
⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分
（Ⅱ）由AE AD AC ⋅=2
得CDA ∆∽ACE ∆，所以CEA ACD ∠=∠ 又四边形GEDF 四点共圆，所以CED CFG ∠=∠ 故ACF CFG ∠=∠,所以AC FG //……………10分 23解：（Ⅰ）点P 的极坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛32,
23π……………5分
（Ⅱ）MN 的最小值为
2
1
……………10分 24.解：（Ⅰ）因为03)(≥++-=m x x g ，所以m x ≤+3，所以33-≤≤--m x m ，
由题意⎩
⎨⎧-=--=--1353m m 所以2=m ；………………………………5分
（Ⅱ）若)()(x g x f >恒成立，所以m x x >++-32恒成立，
因为5)3()2(32=+--≥++-x x x x 当且仅当0)3)(2(≤+-x x 时取等， 所以5<m . ……………………10分。