4.3.1 等比数列的概念(精讲)(原卷版)人教版高中数学精讲精练选择性必修二

【例
1-2】（2023
春·高二课时练习）在各项均为负的等比数列 an 中，
2an
3an 1
，且
a2
a5
8 27
.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) 16 是否为该数列的项？若是，为第几项？ 81
【一隅三反】
1．（2023 秋·云南）在等比数列an中，
(1)已知 a1 3 ， q = 2 ，求 a5 ；
A． 3 2
B． 3 2
C． 2 6
D． 2 6
【例 2-2】（2023 春·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）已知数列an是等比数列，函数 y x2 5x 6
的零点分别是 a2, a10 ，则 a6 （ ）
A．2
B． 6
C． 3
D． 6
【例 2-3】（2023·全国·高二专题练习）等比数列an 的各项都为正数，且 a5a6 a4a7 18 ，则
2 4 8 16
3．（2023
秋·高二课时练习）已知数列 an 的递推公式为
an
2an1 a1
1n
1.
2,
(1)求证：an 1 为等比数列；
(2)求 an 的通项公式．
4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 an 的首项
a1
3 5
，
an1
3an 2an 1
.
(1)证明：数列
1
1 为等比数列；
A．数列
{1 an
}
是等比数列
B．数列
{1 an
}
是递增数列
C．数列{log2 an} 是等差数列
D．数列{log2 an} 是递增数列
2．（2023·全国·高二课堂例题）判断下列数列是否为等比数列： (1)1，1，1，1，1； (2)0，1，2，4，8 (3)1， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ．
数列，其和为 12，求该数列．
【一隅三反】 1．（2023 春·高二课时练习）四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为 14， 中间两数之和为 12，求这四个数．
2．（2022·高二课时练习）在 320 与 5 之间插入 5 个数，使这 7 个数成等比数列，求所插入的 5 个数．
2（2023·全国·高二课堂例题）已知等比数列 an 的首项为
a1
27
，公比
q
1 3
．
(1)求 a8 ； (2)判断 18 是否是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．
考点二 等比中项及其应用
【例 2-1】（2023 春·黑龙江齐齐哈尔）在等比数列an 中， a4a6 24 ，则 a5 （ ）
C． 3n
D．2 2n
【例 4-2】（2023 秋·高二课时练习）已知数列an满足： a1 1， an 2an1 3n 2 ．
(1)求证：an 3 为等比数列；
(2)求 an 的通项公式．
【一隅三反】 1．（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知等比数列{an} ， a1 =1， q = 2 ，则（ ）.
(2)已知 a1 1， q = 2 ， an 16 ，求 n ；
(3)已知 a1
1 3
，
a7
9 ，求 q；
(4)已知 q
3 2
， a4
27 ，求
a1 ．
(5)若 a1 3 ， q 2 ，求 a6 ；
(6)若 a3 20 ， a6 160 ，求 a1 和 q；
(7)若 a5 a1 15 ， a4 a2 6 ，求 a3 .
a1a2a3 4, a4a5a6 12, an1an2an3 324 ，下列说法正确的是（ ）
A． q2 3
B． a23 4
C． a4a6 2 3
D． n 12
考点三 灵活设元求解等比数列
【例 3】（2023 春·高二课时练习）设四个数中前三个数依次成等比数列，其和为 19，后三个数依次成等差
4.3.1 等比数列的概念（精讲）
考点一 等比数列基本量的运算
【例 1-1】（2023 秋广东潮州）在等比数列an中，
(1)已知 a5 8 ，a8 1，求 a1 ， q；
(2)已知 a3 2 ， q 1 ，求 a15 ； (3)已知 a4 12 ， a8 6 ，求 a12 ； (4)已知 a5 a1 15 ， a4 a2 6 ，求 a3 ．
律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每
A．5
B．﹣5
C． 5
D．﹣10
3．（2022·高二课时练习）在由正数组成的等比数列an 中，若 a4a5a6 3 ，log3 a1 log3 a2 log3 a8 log3 a9
的为
A．
4 3
B． 3 4
C． 2
4
D． 33
4．（2023·高二课时练习）（多选）在正项等比数列{an}中，公比为 q，已知
an
(2)求数列 an 的通项公式.
考点五 等比数列的实际应用 【例 6】（2023 秋·高二课时练习）小张买了一辆价值 10 万元的新车，根据市场行情，该款车每年按 20％ 的速度折旧．
(1)用一个式子表示 nn N 年后这辆车的价值；
(2)如果他打算使用 6 年后卖掉这辆车，他大概能得多少钱？
பைடு நூலகம்
【一隅三反】
1．（2023·全国·高二专题练习）某钢厂的年产量由 2010 年的 40 万吨增加到 2020 年的 60 万吨，假设该钢
厂的年产量从 2010 年起年平均增长率相同，那么该钢厂 2030 年的年产量将达（ ）
A．80 万吨
B．90 万吨
C．100 万吨
D．120 万吨
2．（2023 春·浙江杭州·高二统考期末）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯
log3a1 log3a2 log3a10 等于（ ）
A．12
B．10
C．8
D．30
【一隅三反】
1．（2022 春·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）等比数列an 中， a1 1， a9 9 ，则 a5 等于（ ）
A． 3
B． 2 2
C．3
D． 2 2
2．（2022 秋·陕西西安·高二校考期中）若 a,b, c 为实数，数列﹣1，a,b, c ，﹣25 是等比数列，则 b 的值为（ ）
3．（2022·高二课时练习）已知数列an是一个各项均为正数，且单调递增的等比数列，其前 4 项之积为
16，第 2 项与第 3 项之和为 5，求这个等比数列的前 4 项．
考点四 等比数列的判定
【例 4-1】（2023 春·浙江绍兴·高二校考期中）（多选）下列数列为等比数列的是（ ）
A． 2n
B． n2