2015届北京市西城区(南区)高一第二学期期末数学试题(含答案)word版
(全优试卷)版北京市西城区高一下学期期末考试数学试题 Word版(含答案)
北京市西城区2015-2016学年下学期高一年级期末考试数学试卷试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知数列}{n a 满足21+=+n n a a ，且21=a ，那么5a ＝（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 112. 如果0<<b a ，那么下列不等式正确的是（ ） A. 2a ab > B. 22b a < C.b a 11< D. ba 11-<- 3. 在掷一个骰子的试验中，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件B A 发生的概率为（ ）A.31 B. 21 C. 32 D. 654. 下图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩在区间[50，70）中的学生人数是（ ）A. 30B. 25C. 22D. 205. 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的i 值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66. 在不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x 表示的平面区域内任取一个点),(y x P ，使得1≤+y x 的概率为（ ）A.21 B. 41 C. 81 D. 121 7. 若关于x 的不等式a xx ≥+4对于一切),0(+∞∈x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. ]5,(-∞B. ]4,(-∞C. ]2,(-∞D. ]1,(-∞ 8. 在△ABC 中，若C bacos <，则△ABC 为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形9. 某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如下表所示：体积（升/件）重量（公斤/件）利润（元/件）甲 20108乙10 20 10在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为（ ）A. 65元B. 62元C. 60元D. 56元 10. 设R b a ∈,，给出下列判断：①若111=-ab ，则1≤-b a ； ②若133=-b a ，则1≤-b a ；③若b a ,均为正数，且122=-b a ，则1≤-b a ；④若b a ,均为正数，且1=-b a ，则1≥-b a 。
北京市西城区(南区)2012-2013学年高一下学期期末质量检测数学试卷Word版含答案
北京市西城区（南区）2012-2013学年下学期高一期末质量检测数学试卷本试卷满分100分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。
1. 与角－70°终边相同的角是 A. 70°B. 110°C. 250°D. 290°2. sin43°cos17°＋cos43°sin17°的值为 A. 21-B.21 C.23D. 23-3. 已知向量a ＝)1,(x ，b ＝),4(x ，若向量a 和b 方向相同，则实数x 的值是 A. －2B. 2C. 0D.58 4. 函数)3sin(π-=x y 的单调递增区间是A. )](265,26[Z k k k ∈++-ππππB. )](2611,265[Z k k k ∈++ππππ C. )](234,23[Z k k k ∈++ππππD. )](23,232[Z k k k ∈++-ππππ 5. 若直线过点（1，1），（2，31+），则此直线的倾斜角的大小为 A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 在等差数列}{n a 中，1091=+a a ，则5a 的值为 A. 5B. 6C. 8D. 107. 如图所示， M 是△ABC 的边AB 的中点，若b CA a CM ==,，则CB ＝A. b a 2-B. b a -2C. b a 2+D. b a +28. 与直线012=+-y x 关于直线1=x 对称的直线的方程是 A. 012=-+y x B. 012=-+y x C. 032=-+y xD. 032=-+y x9. 设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，已知23,233243-=-=a S a S ，则公比q 等于A. 3B. 4C. 5D. 610. 已知直线过点A （1，2），且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是 A. 0543=+-y x 和1=x B. 0534=+-y x 和1=y C. 0543=+-y x 和1=yD. 0534=+-y x 和1=x11. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≤+21y x y y x ，则y x z +=3的最大值为A. －8B. 3C. 5D. 712. 点),(y x P 是函数)25,21(sin 23)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=x x x f π图象上的点，已知点Q （2，0），O 为坐标原点，则QP OP ⋅的取值范围为A. ]0,1[-B. ]2,1[-C. ]3,0[D. ]13,1[--二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
北京市西城区2015届高三二模数学理考试试题
北京市西城区2015 年高三二模试卷数学（理科）2015.5本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．1．设集合，集合，则A B ＝（）A．（－1‚ 3）B．（1‚ 3］C．［1‚ 3）D．（－1‚ 3］2．已知平面向量，则实数k ＝（）A．4 B．－4 C．8 D．－83．设命题p ：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则下列命题中真命题是（）4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s属于（）A． {1‚ 2}B．{1‚ 3}C．{2 ‚ 3}D．{1‚ 3‚ 9}5．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 6．数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（ ）A ．B ．21C ．42D ．847．若“ x ＞1 ”是“不等式成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞3B ．a ＜ 3C ．a ＞ 4D ．a ＜ 4 8．在长方体，点M 为AB 1 的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP ＋PQ 的最 小值为（ ）第Ⅱ卷（非选择题 共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．复数＝＿＿＿＿10．双曲线C ：的离心率为 ；渐近线的方程为 ．11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝ ；cos 2α＝ ． 12．如图，P 为O 外一点，PA 是切线， A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B 、C ，且 PC ＝ 2PA ， D 为线段 PC 的中点， AD 的延长线交O 于点 E ．若PB ＝34，则PA ＝ ；AD ·DE ＝ ．13．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 种．（用数字作答）14．如图，正方形ABCD 的边长为2， O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺 时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记，OP 所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S ＝ f （x），那么对于函数f （x）有以下三个结论：①；②任意，都有③任意其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角A，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，已知a ＝7，b ＝3，．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝ b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图1，在边长为4 的菱形ABCD中，于点E ，将△ADE沿DE 折起到的位置，使，如图2．⑴求证：平面BCDE ；⑵求二面角的余弦值；⑶判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13 分）已知函数，其中a∈R ．⑴当时，求f (x)的单调区间；⑵当a＞0时，证明：存在实数m ＞0，使得对于任意的实数x，都有｜ f (x)｜≤m成立．19．（本小题满分14 分）设分别为椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB｜＝2．⑴若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程；⑵设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点F1，证明：20．（本小题满分13 分）无穷数列P ：，满足，对于数列P ，记，其中表示集合中最小的数．（Ⅰ）若数列P :1‚ 3‚ 4 ‚ 7 ‚ …，写出；（Ⅱ）若，求数列P 前n项的和；（Ⅲ）已知＝46，求的值．。
北京市西城区2015届高三二模数学文试题 Word版含答案-推荐下载
下列命题中真命题是（ ）
（A） p q
（C） (p) (q)
4．执行如图所示的程序框图，若输入的 n {1, 2,3} ， 则输出的 s 属于（ ） （A）{1, 2} （B）{1, 3} （C）{2, 3}
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2015西城区高三二模数学(理)试题及答案
北京市西城区2015 年高三二模试卷数学（理科）2015.5本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至2 页，第Ⅱ卷 3 至6 页，共150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第I卷（选择题共40 分）1．设集合，集合 ，则A B ＝（）A．（－1‚ 3）B．（1‚ 3］C．［1‚ 3）D．（－1‚ 3］2．已知平面向量，，则实数k ＝（）A．4 B．－4 C．8 D．－83．设命题p ：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则下列命题中真命题是（）4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s属于（）A． {1‚ 2}B．{1‚ 3}C．{2 ‚ 3}D．{1‚ 3‚ 9}5．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3 B．4 C．5 D．66．数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（）A ．B ．21C ．42D ．847．若“ x ＞1 ”是“不等式2x> a - x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞3B ．a ＜ 3C ．a ＞ 4D ．a ＜ 4 8．在长方体，点M 为AB 1 的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP ＋PQ 的最 小值为（ ）第Ⅱ卷（非选择题 共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．复数＝＿＿＿＿10．双曲线C ：的离心率为 ；渐近线的方程为 ．11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝ ；cos 2α＝ ．12．如图，P 为O 外一点，P A 是切线， A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B 、C ，且 PC ＝ 2P A ， D 为线段 PC 的中点， AD 的延长线交O 于点 E ．若PB ＝34，则P A ＝ ；AD ·DE ＝ ．13．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 种．（用数字作答）14．如图，正方形ABCD 的边长为2， O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺 时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记，OP 所经过的在正方形 ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S ＝ f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论：①；②任意，都有③任意其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角A，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，已知a ，b ＝3，．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图1，在边长为4 的菱形ABCD中，于点E ，将△ADE沿DE折起到的位置，使，如图2．⑴求证：平面BCDE ；⑵求二面角的余弦值；⑶判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（本小题满分13 分）已知函数，其中a∈R ．⑴当时，求f (x)的单调区间；⑵当a＞0时，证明：存在实数m ＞0，使得对于任意的实数x，都有｜ f (x)｜≤m成立．19．（本小题满分14 分）设分别为椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB｜＝2．⑴若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程；⑵设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点F1，证明：20．（本小题满分13 分）无穷数列P ：，满足，对于数列P ，记，其中表示集合中最小的数．（Ⅰ）若数列P :1‚ 3‚ 4 ‚ 7 ‚ …，写出；（Ⅱ）若，求数列P 前n项的和；（Ⅲ）已知＝46，求的值．。
2015北京西城高考二模数学理(含解析)
北京市西城区2014—2015学年度第二学期高三综合练习数学（理科） 2015．5第一部分（选择题 共40 分）一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设集合{}10A x x =->，集合{}3B x x =≤，则AB =（ ）．A ．()1,3-B ．(]1,3C ．[)1,3D ．[]1,3-2．已知平面向量a ，b ，c 满足()1,1a =-，()2,3b =，()2,c k =-，若()//a b c +，则实数k =（ ）． A ．4 B ．4- C ．8 D 8-3．设命题p ：函数()1x f x e -=在R 上为增函数；命题q ：函数()()cos πf x x =+为奇函数．则下列命题中真命题是：（ ）．A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∧⌝ 4．执行如图所示的程序框图，若输入的{}1,2,3n ∈，则输出的s 属于（ ）． A ．{}1,2 B ．{}1,3 C ．{}2,3 D ．{}1,3,95．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．66．数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 的前21项的和等于（ ）．A ．212B ．21C ．42D ．84 7．若“1x >”是“不等式2x a x >-成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是：（ ）． A ．3a > B ．3a < C ．4a > D ．4a <8．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB 11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点，（点P Q 、可以重合），则MP PQ +的最小值为（ ）．A B C ．34 D ．1第二部分（非选择题 共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．复数10i3i=+______． 10．双曲线22:184x y C -=的离心率为_________；渐近线的方程为_________．11．已知角α的终边经过点()3,4-，则cos α=______;cos 2α=_________．12．如图，P 为O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于B C 、，且2PC PA =，D 为线段PC 的中点，AD 的延长线交O 于E ，若34PB =，则PA =_____；AD DE =________．13．现有6人要排成一排照相，其中①②，则不同的排法有______种．（用数字作答）14．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为x []()0,πx ∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：①π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有ππ422f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③任意12π,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜ 其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13 分）在锐角ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，已知a =3b =sin B A +=． （Ⅰ）求角A 的大小． （Ⅱ）求ABC △的面积．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图：为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”的数量为n ，比较m n 、的大小关系．（Ⅱ）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为和值时，2s 达到最小值．（只需写出结论）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，DE AB ⊥于点E ，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D DC ⊥，如图2． （Ⅰ）求证：1A E ⊥BCDE ．（Ⅱ）求二面角1E A B C --的余弦值；（Ⅲ）判断在线段EB 上是否存在点P ，使平面1A DP ⊥1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13 分）已知函数()211xf x ax -=+，其中R a ∈．（Ⅰ）当14a =-时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a ＞时，证明：存在实数0m ＞，使得对于任意的实数x ，都有()f x m ≤成立．19．（本小题满分14 分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且2AB =．（Ⅰ）若椭圆E E 的方程； （Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：OP >20．（本小题满分13 分）无穷数列12:,,,,n P a a a ，满足i a N *∈，且1()i i a a i N *+∈≤．对于数列P ，记{}()m i n ()k n T P na k k N *=∈≥，其中{}min n n a k ≥表示集合{}n n a k ≥中最小的数． （Ⅰ）若数列:1,3,4,7,P ，写出1()T P ，2()T P ，，()s T P ；（Ⅱ）若()21k T P k =-，求数列P 前n 项的和； （Ⅲ）已知2046a =，求12201246()()()s a a a T P T P T P =+++++++的值．北京市西城区高三年级二模数学试卷（理工类） 2015．5一、选择题：二、填空题：三、解答题：15．（本小题满分13分） （Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，3sin B=3sin B A =，解得sin A =， 因为ABC △为锐角三角形，所以π3A =． （Ⅱ）在ABC △中，由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得219726c c+-=，即2320c c -+=，解得1c =或2c =，当1c =时，因为222cos 02a c b B ac +-==<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去．当2c =时，因为222cos 02a c b B ac +-==>．且b c >，b a >．所以ABC △为锐角三角形，符合题意．所以ABC △的面积11sin 3222S bc A ==⨯⨯=．16．（本小题满分13分）（Ⅰ）根据茎叶图，得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=，乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=．由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数5m =， 乙型号电视机的“星级卖场”的个数5n =． 所以m n =．（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2，且02552102(0)9C C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，20552102(2)9C C P X C ===，所以X 的分布列：所以252()0121999E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）当0b =时，2s 达到最小值． 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）因为DE BE ⊥，BE DC ∥， 所以DE DC ⊥，又因为1A D DC ⊥，1A D DE D =I ， 所以DC ⊥平面1A DE ， 所以1DC A E ⊥，又因为1A E DE ⊥，DC DE D =I ， 所以1A E ⊥平面BCDE ．（Ⅱ）因为1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，所以1A E ，DE ，BE 两两垂直，以EB ，ED ，1EA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系．易知DE =则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B，C，D ，所以1(2,0,2)BA =-u u u r，BC =u u u r， 平面1A BE 的一个法向量为(0,1,0)n =r， 设平面1A BC 的法向量为(,,)m x y z =u r， 由10BA m ⋅=u u u r u r ，0BC m ⋅=u u u r u r，得22020x z x -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得(,m =u r，所以cos ,m n m n m n⋅<>==⋅u r ru r r u r r 由图，得二面角1E A B C --的平面角为钝二面角， 所以二面角1E A B C --的余弦值为．（Ⅲ）结论：在线段EB 上不存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ． 假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ．设(,0,0)P t （02t ≤≤），则1(,0,2)A P t =-u u u r，12)A D =-u u u r ， 设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =u r，由10A D p ⋅=u u u r u r ，10A P p ⋅=u u u r u r，得11112020z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得)p t =u r ， 因为平面1A DP ⊥平面1A BC ，所以0m p ⋅=u r u r，即0+=， 解得3t =-， 因为02t ≤≤，所以在线段上EB 不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ． 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）当14a =-时，函数21()114xf x x -=-． 其定义域为{|2}x x ∈≠±R ，求导，得22222224(1)3()0114(1)4(1)44x x x f x x x -+----'==<--，所以函数()f x 在区间(,2)-∞-，(2,2)-，(2,)+∞上单调递减． （Ⅱ）当0a >时，21()1xf x ax -=+的定义域为R ，求导，得22221()(1)ax ax f x ax --'=+，令()0f x '=，解得110x =-，211x =+， 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减， 又因为(1)0f =，当1x <时，21()01x f x ax -=>+；当1x >时，21()01xf x ax -=<+， 所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤，记12max{(),()}M f x f x =，其中12max{(),()}f x f x 为两数1()f x ，2()f x 中最大的数 综上，当0a >时，存在实数[),m M ∈+∞，使得对任意的实数x ，不等式()f x M ≤恒成立． 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）设由题意，得224a b +=，且c a =解得a 1b =，c =所以椭圆E 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）由题意，的224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a+=-，则1(,0)F c -，2(,0)F c ，c ，设00(,)P x y ， 由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率100F P y k x c=+， 直线2F P 的斜率200F P y k x c=-，所以直线2F P 的方程为00(c)y y x x c=--， 当0x =时，00y c y x c -=-，即点00(0,)y cQ x c--， 所以直线1F Q 的斜率为10F Q y k c x =-， 因为以PQ 为直径的圆经过点1F ， 所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⨯=⨯=-+-， 化简，得22200(24)y x a =--，①又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内， 所以22002214x y a a+=-，00x >，00y >，② 由①②，解得202a x =，20122y a =-，所以22222001(2)22OP x y a =+=-+，因为22242a b a +=<，所以22a >，OP > 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）1()1T P =，2()2T P =，3()2T P =，4()3T P =，5()4T P =． （Ⅱ）由题意，1()1T P =，2()3T P =，3()5T P =，4()7T P =，L 因为2()3T P =，且()min{|}k n T P n a k =≥， 所以32a ≥，且22a <，同理，由3()5T P =，()min{|}k n T P n a k =≥， 得53a ≥，且43a <，以此类推，得74a ≥，64a <；L ；21n a n -≥，22n a n -<；L 因为1()i i a a i +∈*N ≤，i a ∈*N ，所以121a a ==，342a a ==，L ，212n n a a n -==，L当n 为奇数时，21211(1)2(12)224n n n n a a a -+++++=++++=L L ，当n 为偶数时，21222(12)24n n n na a a ++++=+++=L L ，所以数列{}n a 前n 项的和22(1),21,42,2,4n n n k S k n n n k ⎧+=-⎪⎪=∈⎨+⎪=⎪⎩*N （Ⅲ）解法一：考察符合条件的数列P 中，若存在某个(119)i i ≤≤满足1i i a a +<，对应可得()k T P ， 及12201246()()()s a a a T P T P T P =+++++++L L ． 因为()min{|}k n T P n a k =≥，所以1()1i a T P i +=+．下面将数列P 略作调整，仅将第i a 的值增加1，具体如下：设1j j a a '=+，对于任何(1)j j ≠，令j j a a '=，可得数列P '及其对应数列()k T P '， 根据数列()k T P '的定义，可得1()i a T P i +'=，且()()(1)j j i T P T P j a '=≠+． 显然11()()1i i a a T P T P ++'=-．所以12201246()()()s a a a T P T P T P '''''''=+++++++L L121120121246(1)()()(1)()i i i i i a a a a a a a a T P T P T T T P -+++=++++++++++++-+++L L L L 12201246()()()a a a T P T P T P s =+++++++=L L ． 即调整后得s s '=，如果数列{}n a '还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{}n a 中的每一项变为相等，且操作中保持s 的值不变， 而当122046a a a ====L 时，1246()()()1T P T P T P ====L ， 所以12201246()()()966s a a a T P T P T P =+++++++=L L ．解法二：将问题一般化，下面求1212()()()n n a s a a a T P T P T P =+++++++L L ． 当1n =时，1()1T P =，2()1T P =，L ，()1i a T P =，故11112s a a a =+⨯=．当2n =时，1()1T P =，2()1T P =，L ，()1i a T P =，1()2i a T P +=，2()2i a T P +=，L ，2()2a T P =， 故1242421()23s a a a a a a =++⨯+-⨯=，猜想(1)n s n a =+，下面用数学归纳法证明：（1）当1n =时，由以上叙述可知，命题成立． （2）假设当n k =时，命题成立，即4(1)s k a =+． 当1n k =+时， 若1k k a a +=，则12112()()()k k a s a a a a T P T P T P +=++++++++L L 11(1)(2)k k k k a a k a ++=++=+，命题成立． 若1k k a a +>，则11211212()()()()()()k k k k k k a a a a s a a a a T P T P T P T P T P T P ++++=++++++++++++L L L112112()()()(1)(1)(1)k k k k k a a a a a a a T P T P T P k k k ++-=+++++++++++++++L L L 144444444444424444444444443共个11(1)(1)(1)(1)k k k k a a k a a k k k ++-=+++++++++L 144444444444424444444444443共个11(1)(1)()k k k k k a a k a a ++=++++-1(2)k k a +=+，命题成立．由（1）和（2），得(1)()n s n a n =+∈*N ． 所以当2046a =时，(201)46966s =+⨯=．北京市西城区2014—2015学年度第二学期高三综合练习数学（理科）选填解析1. 【答案】B【解析】{}1A x x =>，{}3B x x =≤，所以(]1,3A B =． 故答案为B ．2. 【答案】D【解析】()1,4a b +=，且()//a b c +，所以有4812k k =⇒=--． 故答案为D ．3. 【答案】D【解析】由题意得命题p 为真，命题q ：函数()()cos πcos f x x x =+=-为偶函数，命题q 为假命题，则q ⌝为真命题，从而()p q ∧⌝为真命题． 故答案为D ．4. 【答案】A【解析】当1n =时，经过判断得31n s =⇒=，所以输出1s =，当2n =时，经过判断得92n s =⇒=，所以输出2s =，当3n =时，经过判断得1s =，所以输出1s =，综上输出的s 满足的集合为{}1,2． 故答案为A ．5. 【答案】B【解析】设平均费用为y ，则246464432x y x x x+==+≥，当且仅当644x x =，即4x =时取到最小值．故答案为B ．6. 【答案】B【解析】由数列{}n a 为等差数列，根据等差数列的性质得2420a a a +++()2205a a =+()121510a a =+=，所以()1212a a +=，则()1212121212a a S +⨯==．故答案为B ．7. 【答案】A【解析】由于1x >是2x a x >-的必要而不充分条件，所以2x a x >-，即2x x a +>的解集是{}1x x > 的子集，令()2xf x x =+，则()f x 为增函数，那么()()13f x f >=，则3a >，此时满足2x x a +>条件的x 一定是{}1x x >的子集． 故答案为A ．8. 【答案】C【解析】对角线1AC 上的动点P 到底面ABCD 上的Q 点的最小值为点P 在底面ABCD 上的投影，即直线AC 上，所以选择确定点Q ，点1B 沿着线1AC 旋转，使得11ACC B 在一个平面上，过1AB 的中点M 做AC 的垂线，垂足为Q ，MQ 与1AC 的交点为P ，线段MQ 的长度为我们求的最小值．由题意长方体1111ABCD A B C D -，11AB BC AA ===可得111π6B AC CAC ∠=∠=，则1π3MAC ∠=，另外1AB =则AM =π334MQ ==． 故答案为C ．9. 【答案】13i +【解析】()()()()10i 3i 10i 3i 10i13i 3i 3i 3i 10--===+++-． 故答案为13i +．10. y =【解析】由题意得，2228,412a b c ==⇒=，所以离心率c e a ===，渐近线为b y x a =±==．y x =．11. 【答案】35-，725-【解析】由题意得3cos 5α=-，所以2237cos 22cos 121525αα⎛⎫=-=⋅--=- ⎪⎝⎭．故答案为35-，725-．12. 【答案】32， 98【解析】由切割线定理得22PA PB PC PB PA =⋅=⋅，所以32PA =3PC =；再根据相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，由D 是PC 的中点，所以32DC =，34BD PD PB =-=，则339248AD DE BD DC ⋅=⋅=⋅=．故答案为32，98．13. 【答案】288【解析】所有甲乙不相邻的排法为4245A A ，排除甲与乙两人不相邻，但甲站在两端的情况为114244C C A ，故所以满足条件的排法为4211445244288A A C C A -= 故答案为288．14. 【答案】①②【解析】①如图，当π3AOP ∠=时，OP 与AM 相交于点M ，因为1AO =，则AM =，π132f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭正确；②由于对称性ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恰好是正方形的面积，所以ππ422f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正确； ③显然()f x 是增函数，所以()()12120f x f x x x ->-，错误．故答案为①②．。
2015西城区高三二模数学(理)试题及答案
1．设集合，集合 ，则A B ＝（）A．（－1‚ 3）B．（1‚ 3］C．［1‚ 3）D．（－1‚ 3］2．已知平面向量，，则实数k ＝（）A．4 B．－4 C．8 D．－83．设命题p ：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则下列命题中真命题是（）4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s属于（）A． {1‚ 2}B．{1‚ 3}C．{2 ‚ 3}D．{1‚ 3‚ 9}5．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3 B．4 C．5 D．66．数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（）A．B．21 C．42D．847．若“ x ＞1 ”是“不等式2x >a -x成立”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a ＞3 B．a ＜3 C．a ＞4 D．a ＜4第Ⅱ卷（非选择题 共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．复数＝＿＿＿＿10．双曲线C ：的离心率为 ；渐近线的方程为 ．11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝ ；cos 2α＝ ．12．如图，P 为O 外一点，P A 是切线， A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B 、C ，且 PC ＝ 2P A ， D 为线段 PC 的中点， AD 的延长线交O 于点 E ． 若PB ＝34，则P A ＝ ；AD ·DE ＝ ．13．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 种．（用数字作答）三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ＝3，．（Ⅰ） 求角A 的大小；（Ⅱ） 求△ABC 的面积．16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝ b ＝ 3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图1，在边长为4 的菱形ABCD中，于点E ，将△ADE沿DE 折起到的位置，使，如图2．⑴求证：平面BCDE ；⑵求二面角的余弦值；⑶判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（本小题满分13 分）已知函数，其中a R ．⑴当时，求f (x)的单调区间；⑵当a＞0时，证明：存在实数m ＞0，使得对于任意的实数x，都有｜ f (x)｜≤m成立．。
精品解析：北京市西城区高一下学期期末数学试题(含答案)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！高一第二学期期末数学试卷一､选择题1. 下列各角中，与27°角终边相同的是（ ）A. 63° B. 153°C. 207°D. 387°【答案】D 【解析】【分析】写出与27°终边相同角的集合，取k 值得答案.【详解】与27°角终边相同的角的集合为{}27360,k k Z a a =°+×°Î，取1k =，可得387a =°.∴与27°角终边相同的是387°.故选：D【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.2. 圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，则圆柱的侧面积为（ ）A. 220cm p B. 210cm p C. 228cm p D. 214cm p 【答案】A 【解析】【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可.【详解】圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，则圆柱的侧面积为()222520cm S p p =´´=侧.故选：A【点睛】本小题主要考查圆柱的侧面积公式，属于基础题.3. sin 2p a æö+=ç÷èø（ ）A. sin a B. cos aC. sin a- D. cos a-【答案】B 【解析】【分析】直接利用诱导公式得答案.【详解】依题意sin cos 2p a a æö+=ç÷èø.故选：B【点睛】本小题主要考查诱导公式，属于基础题.4. 设(),a p p Î-，且1cos 2a =-，则a =（ ）A. 23p -或23p B. 3p-或3pC. 3p-或23pD. 23p -或3p 【答案】A 【解析】【分析】由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解.【详解】因为(),a p p Î-，且1cos 2a =-，则23p a =-或23p.故选：A【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.5. 设a r ，b r均为单位向量，且14a b ×=r r ，则2a b +=r r （ ）A. 3 C. 6D. 9【答案】B 【解析】【分析】利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】a r ，b r均为单位向量，且14a b ×=r r ，则a +==r 故选：B【点睛】本小题主要考查向量模的运算，属于基础题.6. 下列四个函数中，以p 为最小正周期，且在区间0,2p æöç÷èø上为增函数的是（ ）A. sin 2y x =B. cos 2y x =C. tan y x= D. sin2x y =【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】解：在区间0,2p æöç÷èø上，()20,x p Î，sin 2y x =没有单调性，故排除A .在区间0,2p æöç÷èø上，()20,x p Î，cos 2y x =单调递减，故排除B .在区间0,2p æöç÷èø上，tan y x =单调递增，且其最小正周期为p ，故C 正确；根据函数以p 为最小正周期，sin 2x y =的周期为2412pp=，可排除D .故选：C .【点睛】本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的关键，属于基础题.7. 已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°【答案】A 【解析】【分析】根据向量的坐标表示，求得,a b r r的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =r，()1,2b =r ，设向量a r ，b r的夹角为q，则cos q =，又因为0180q °££°，所以45q =°．故选：A .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8. 设a ，()0,b p Î，且a b >，则下列不等关系中一定成立的是（ ）A. sin sin a b < B. sin sin a b> C. cos cos a b< D. cos cos a b>【答案】C 【解析】【分析】根据正弦函数以及余弦函数在()0,p 上的单调性求解即可.【详解】因a ，()0,b p Î，且a b >，而sin y x =在()0,p 上有增有减；故sin a 与sin b 大小关系不确定，cos y x =在()0,p 上单调递减；若a b >，则cos cos a b <成立；故选：C【点睛】本题主要考查了利用正余弦函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题.9.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移j (02pj <£)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则j =（ ）A.6p B.4p C.3pD.2p【答案】C 【解析】【分析】由图可知，17248g f p p æöæö==ç÷ç÷èøèø()()sin 2x g x j =-，于是推出为1717sin 22424g p p j æöæö=-=ç÷ç÷èøèø1722124k p p j p -=+或324k p p +，k Z Î，再结合02p j <£，解之即可得j 的值.【详解】由图可知，17sin 22488g f pp p æöæöæö==´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，因为()f x 的图象向右平移j 个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x j =-，所以171717sin 2sin 2242412g pp p j j æöæöæö=-=-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，所以1722124k p p j p -=+或17322124k p pj p -=+，k Z Î，解得712k p j p =-或3k pj p =-，k Z Î，因02p j <£，所以3pj =.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.10.棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台.小棱锥的体积记为y ，棱台的体积记为x ，则y 与x 的函数图象为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】设棱锥的体积为V ，则y V x =-，即y 是关于x 的一次函数，且单调递减，故而得解.为【详解】设棱锥的体积为V ，则V 为定值，所以y V x =-，即y 是关于x 的一次函数，且单调递减，故选：A【点睛】本小题主要考查函数图象，属于基础题.二､填空题11. 已知圆的半径为2，则5p的圆心角所对的弧长为______.【答案】25p 【解析】【分析】由已知结合弧长公式即可直接求解.【详解】由弧长公式可得2255l r pp a ==´=.故答案为：25p 【点睛】本小题主要考查弧长公式，属于基础题.12. 在平面直角坐标系xOy 中，角a 和角b 均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称.若1sin 3a =，则sin b =______.【答案】13-【解析】【分析】由题意可得()sin sin b a =-，由此能求出结果.【详解】∵在平面直角坐标系xOy 中，角a 与角b 均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，∴()1sin sin sin 3b a a =-=-=-，故答案为：13-【点睛】本小题主要考查三角函数的对称性，属于基础题.13. 向量a r ，b r满足1b =r ，1a b ×=r r .若()a b b l -^r r r ，则实数l =______.【答案】1【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算法则，可列出关于λ的方程，解之即可.【详解】解：∵()a b b l -^r r r ，∴()20a b b a b b l l -×=×-=r r r r r r ，即10l -=，解得1l =.故答案为：1.【点睛】本题考查了向量垂直求参数，考查了向量数量积的定义，属于基础题.14.已知正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是______；球的表面积是______.【答案】(1). 12p 【解析】【分析】首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积.【详解】解：正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r ，则()2222222212r =++=，解得r =，故球直径为.球的表面积为2412S p p =´´=.故答案为：12p .【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.15. 已知函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p-£<ì=í££î给出下列三个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 有且仅有3个零点；③()f x 的值域是[]1,1-.其中，正确结论的序号是______.的【答案】②③【解析】【分析】判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③.【详解】函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p -£<ì=í££î，①由于()()1,sin 0f fp p p -=-==，所以()f x 是非奇非偶函数，所以①不正确；②()0f x =，可得2x p=-，0x =，x p =，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确；③函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p-£<ì=í££î，()f x 的值域是[]1,1-，正确；正确结论的序号是：②③.故答案为：②③.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、零点、值域.16.设函数()()sin 06f x x p w w æö=+>ç÷èø，若()3f x f p æö³-ç÷èø对任意的实数x 都成立，则w 的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】由题意可得()f x 的最小值为3f p æö-ç÷èø，可得2362k p p p w p -+=-，k Z Î，解方程可得w 的最小值.【详解】解：若()3f x f p æö³-ç÷èø对任意的实数x 都成立，可得()f x 的最小值为3f p æö-ç÷èø，可得2362k pppw p -+=-，k Z Î，即有26k w =-，k Z Î，由0>w ，可得w 的最小值为2，此时0k =.故答案为：2.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.三､解答题17. 已知0,2p a æöÎç÷èø，且4cos 5a =.（1）求tan a 的值；（2）求2sinsin 22aa +的值.【答案】（1）34；（2）5350.【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式求得sin a ，再由商的关系求得tan a ；（2）直接利用二倍角的正弦公式、降次公式求解.【详解】（1）∵0,2a p æöÎç÷èø，且4cos 5a =，∴3sin 5a ==，则sin 3tan cos 4a a a ==；（2）∵3sin 5a =，4cos 5a =，∴21cos sinsin 22sin cos 22a a a a a -+=+4134535225550-=+´´=.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式.18. 如图，正三棱锥P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥P ABC -的表面积；（2）求正三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）；（2【解析】【分析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，利用勾股定理求得PD ，可得三角形PBC 的面积，进一步可得正三棱锥P ABC -的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥P ABC -的表面积可求；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ^底面ABC .求解PO ，再由棱锥体积公式求解.【详解】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt PBD △中，可得PD ==∴12PBC S BC PD =×=△.∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥P ABC -的侧面积是3PBC S =△.∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 602ABC S =´´´°=△则正三棱锥P ABC -的表面积为；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ^底面ABC .且13OD AD ==.在Rt POD V 中，PO ==.∴正三棱锥P ABC -的体积为13ABC S PO ×=△【点睛】本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题.19. 在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且34C p =，sin A =.（1）求sin B 的值；（2）若5c a -=，求ABC V 的面积.【答案】（12）52.【解析】【分析】（1）先根据sin A =cos A 的值，再由4B A p =-得到sin sin 4B A p æö=-ç÷èø，根据两角和与差的公式可求得sin B 即可；（2）由34C p =可求得sin C 的值，进而根据正弦定理可求得a ，c 的关系，再由5c a -=-可求出a ，c 的值，最后利用三角形的面积公式即得结果.【详解】解：（1）因为34C p =，sin A =，所以cos A ==由已知得4B A p=-.所以sin sin sin cos cos sin 444B A A A p p p æö=-=-==ç÷èø（2）由（1）知34C p =，所以sin C =且sin B =由正弦定理得sin sin a A c C ==.又因为5c a -=-，所以5c =，a =.所以15sin 522ABC S ac B ===△.【点睛】本题考查了三角形的正弦定理和面积公式，考查了同角三角关系和两角和与差的正弦公式，属于中档题.20. 已知函数()cos2sin cos x f x x x=+.（1）求()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间02p éùêúëû，上的最大值；（3）求()f x 的单调递减区间.【答案】（1）|,4x x k k Z p p ìü¹-Îíýîþ；（2）1；（3）()32,244k k k Z p p p p éù-+Îêúëû.【解析】【分析】（1）由分母不为零得到sin cos 0x x +¹04x p æö+¹ç÷èø求解.（2）利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()4f x x p æö=+ç÷èø，再利用余弦函数的性质求解. （3）由（2）知()4f x x p æö=+ç÷èø，利用余弦函数的性质，令 224k x k p p p p £+£+求解.【详解】（1）因sin cos 0x x +¹04x p æö+¹ç÷èø，解得4x k pp +¹，所以()f x 的定义域是|,4x x k k Z p p ìü¹-Îíýîþ为（2）因为()22cos2cos sin sin cos sin cos x x x f x x x x x-==++，cos sin x x =-，4x p æö=+ç÷èø又0,2x p éùÎêúëû，所以3,444x p p p éù+Îêúëû，cos 4x p éæö+Îêç÷èøë，所以()f x 区间02p éùêúëû，上的最大值是1；（3）令 224k x k p p p p £+£+，解得 32244k x k p p p p -££+， 所以()f x 的单调递减区间.是()32,244k k k Z p p p p éù-+Îêúëû【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，二倍角公式，辅助角法以及三角函数的性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.21. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点.（1）在图中作出平面1AD E 和底面ABCD 的交线，并说明理由；（2）平面1AD E 将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比.【答案】（1）答案见解析；（2）7:17.【解析】【分析】（1）在正方形11DCC D 中，直线1D E 与直线DC 相交，设1D E DC F Ç=，连接AF ，可证F Î平面ABCD 且F Î平面1AD E ，得到平面1AD E Ç平面ABCD AF =；（2）设BC AF G Ç=，连接GE ，证明1//EG AD ，则平面1AD E 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台1CGE DAD -.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.求出棱台1CGE DAD -的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案.【详解】（1）在正方形11DCC D 中，直线1D E 与直线DC 相交，设1D E DC F Ç=，连接AF ，∵F DC Î，DC Ì平面ABCD ，则F Î平面ABCD ，∵1F D E Î，1D E Ì平面1AD E ，∴F Î平面1AD E .∴平面1AD E Ç平面ABCD AF =.（2）设BC AF G Ç=，连接GE ，由E 为1CC 的中点，得G 为BC 的中点，∴1//EG AD ，则平面1AD E 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台1CGE DAD -.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.1111-77178833F DAD F CGE F DAD DAD CGE DAD V V V S FD ---=-==´´=△棱台.∴另一部分几何体的体积为3717233-=.∴两部分的体积比为7:17【点睛】本小题主要考查面与面位置关系，考查几何体体积的求法.22. 如图，在扇形OAB 中，120AOB Ð=°，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.（1）若OA OP ^，求PA PB ×uuu r uuu r 的值；（2）求PA PB ×uuu r uuu r 的最小值.【答案】（1）2-；（2）2-.【解析】【分析】（1）先通过倒角运算得出30POB Ð=°，120APB Ð=°，再在POB V中，由余弦定理可求得PB =uuu r cos PA PB PA PB APB ×=×Ðuuu r uuu r uuu r uuu r ，代入数据进行运算即可得解；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P a a ，其中20,3p a éùÎêúëû，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有a 的式子表示出PA PB ×uuu r uuu r，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解.【详解】（1）当OA OP ^时，如图所示，的∵120AOB Ð=°，∴1209030POB Ð=°-°=°，18030752OPB °-°Ð==°，∴7545120APB Ð=°+°=°，在POB V中，由余弦定理，得222222cos 22222cos308PB OB OP OB OP POB =+-×Ð=+-´´´°=-∴PB ==uuu r ，又PA OA ==uuu r ，∴1cos 22PA PB PA PB APB æö×=×Ð=´-=-ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r （2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，∵120AOB Ð=°，2OB =，∴(B -，设()2cos ,2sin P a a ，其中20,3p a éùÎêúëû，则()()22cos ,2sin 12cos 2sin PA PB a a a a ×=--×---uuu r uuur 2222cos 4cos 4sin a a a a=--+-+2cos 24sin 26p a a a æö=--+=-++ç÷èø.∵20,3p a éùÎêúëû，∴5,666p p p a éù+Îêúëû，1sin ,162p a æöéù+Îç÷êúèøëû，∴当62ppa +=，即3pa =时，PA PB ×uuu r uuu r取得最小值为2-.【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．。
2015-2016年北京市西城区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）已知数列{a n}满足a n+1＝a n+2，且a1＝2，那么a5＝（）A．8B．9C．10D．112．（4分）如果a＜b＜0，那么下列不等式正确的是（）A．ab＞a2B．a2＜b2C．＜D．3．（4分）在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪发生的概率为（）A．B．C．D．4．（4分）如图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩在区间[50，70）中的学生人数是（）A．30B．25C．22D．205．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（）A．3B．4C．5D．66．（4分）在不等式组表示的平面区域内任取一个点P（x，y），使得x+y≤1的概率为（）A．B．C．D．7．（4分）若关于x的不等式x+≥a对于一切x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，5]B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1] 8．（4分）在△ABC中，若＜cos C，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形9．（4分）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如表所示：在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为（）A．65元B．62元C．60元D．56元10．（4分）设a，b∈R，给出下列判断：①若，则a﹣b≤1；②若a3﹣b3＝1，则a﹣b≤1；③若a，b均为正数，且a2﹣b2＝1，则a﹣b≤1；④若a，b均为正数，且，则a﹣b≥1．则所有正确判断的序号是（）A．①②B．③C．③④D．②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．11．（5分）不等式的解集是．12．（5分）如图茎叶图记录了在某项体育比赛中，七位裁判为一名选手打出的分数，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为，方差为．13．（5分）某学校举办了一次写作水平测试，成绩共有100分，85分，70分，60分及50分以下5种情况，并将成绩分成5个等级，从全校参赛学生中随机抽取30名学生，情况如下：已知在全校参加比赛的学生中任意抽取一人，估计出该同学成绩达到60分及60分以上的概率为，其成绩等级为“A或B”的概率为，则a＝；b＝．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2＝2，则a1+2a3的最小值是．15．（5分）某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人，若这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1＝a（0＜a≤1），a n+1＝（n∈N*）①若a3＝，则a＝；②记S n＝a1+a2+…+a n，则S2016＝．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（13分）等差数列{a n}的首项a1＝1，其前n项和为S n，且a3+a5＝a4+7．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式S n＜3a n﹣2的n的值．18．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C＝，a＝6．（Ⅰ）若c＝14，求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．19．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．20．（13分）已知函数f（x）＝mx2+（1﹣3m）x﹣4，m∈R．（Ⅰ）当m＝1时，求f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＞﹣1；（Ⅲ）当m＜0时，若存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）＞0，求m的取值范围．21．（14分）已知{a n}是递增的等差数列，S n为{a n}的前n项和，且S5＝5，a3，a4，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求|a1|+|a2|+…+|a100|的值；（Ⅲ）若集合中有且仅有2个元素，求λ的取值范围．22．（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣a1，n∈N*．（Ⅰ）若a1＝1，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对于正整数m，p，q（m＜p＜q），5a m，a p，a q这三项经过适当的排序后能构成等差数列，试用m表示p和q；（Ⅲ）已知数列{t n}，{r n}满足|t n|＝|r n|＝a n，数列{t n}，{r n}的前100项和分别为T100，R100，且T100＝R100，试问：是否对于任意的正整数k（1≤k≤100）均有t k＝r k成立，请说明理由．2015-2016学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）已知数列{a n}满足a n+1＝a n+2，且a1＝2，那么a5＝（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：∵a n+1＝a n+2，且a1＝2，∴数列{a n}是等差数列，公差为2，首项为2．那么a5＝2+2×（5﹣1）＝10．故选：C．2．（4分）如果a＜b＜0，那么下列不等式正确的是（）A．ab＞a2B．a2＜b2C．＜D．【解答】解：∵a＜b＜0，∴ab＜a2，故A错误；a2＞b2，故B错误；ab＞0，故，即＞，故C错误；﹣＜﹣，故D正确；故选：D．3．（4分）在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，∴P（A）＝＝，P（）＝，∴一次试验中，事件A∪发生的概率为：P（A∪）＝P（A）+P（）＝＝．故选：C．4．（4分）如图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩在区间[50，70）中的学生人数是（）A．30B．25C．22D．20【解答】解：根据频率分布直方图中频率和为1，得：10（2a+3a+7a+6a+2a）＝1，解得a＝；∴模块测试成绩落在[50，70）中的频率是10（2a+3a）＝50a＝50×＝，∴对应的学生人数是100×＝25．故选：B．5．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：模拟执行程序，可得A＝2，S＝0，n＝1不满足条件S＞2，执行循环体，S＝1，n＝2不满足条件S＞2，执行循环体，S＝，n＝3不满足条件S＞2，执行循环体，S＝，n＝4不满足条件S＞2，执行循环体，S＝，n＝5满足条件S＞2，退出循环，输出n的值为5．故选：C．6．（4分）在不等式组表示的平面区域内任取一个点P（x，y），使得x+y≤1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：不等式组组，得x+y≤1概率为阴影部分的面积，则P＝＝，故选：C．7．（4分）若关于x的不等式x+≥a对于一切x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，5]B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]【解答】解：∵x＞0；∴，当x＝，即x＝2时取等号；∴的最小值为4；∴4≥a；∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：B．8．（4分）在△ABC中，若＜cos C，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【解答】解：在△ABC中，∵＜cos C，∴sin A＜sin B cos C，∴sin（B+C）＜sin B cos C，展开化为：cos B sin C＜0，∵B，C∈（0，π）．∴cos B＜0，B为钝角．∴△ABC为钝角三角形．故选：A．9．（4分）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如表所示：在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为（）A．65元B．62元C．60元D．56元【解答】解：设运送甲x件，乙y件，利润为z，则由题意得，即，且z＝8x+10y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝8x+10y得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象知当直线y＝﹣x+经过点B时，直线的截距最大，此时z最大，由，得，即B（4，3），此时z＝8×4+10×3＝32+30＝62，故选：B．10．（4分）设a，b∈R，给出下列判断：①若，则a﹣b≤1；②若a3﹣b3＝1，则a﹣b≤1；③若a，b均为正数，且a2﹣b2＝1，则a﹣b≤1；④若a，b均为正数，且，则a﹣b≥1．则所有正确判断的序号是（）A．①②B．③C．③④D．②④【解答】解：①若，取a＝2，b＝，则a﹣b＝＞1，因此①不一定正确；②若a3﹣b3＝1，取a＝，b＝﹣，则a﹣b＝＞1，因此不一定正确；③若a，b均为正数，且a2﹣b2＝1，则a＝，∴a﹣b＝＝≤1，因此正确；④若a，b均为正数，且，则，两边平方可得：a＝1+2+b，∴a﹣b＝1+2≥1，因此正确．则所有正确判断的序号是（）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．11．（5分）不等式的解集是{x|0＜x＜1}．【解答】解：∵＞1，∴﹣1＝＞0，∴＞0，∴0＜x＜1．∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．12．（5分）如图茎叶图记录了在某项体育比赛中，七位裁判为一名选手打出的分数，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为92，方差为 2.8．【解答】解：由题意所剩数据：90，90，93，93，94，所以平均数＝（90+90+93+93+94）＝92，方差S2＝[（90﹣92）2+（90﹣92）2+（93﹣92）2+（94﹣92）2+（93﹣92）2]＝2.8，故答案为：92，2.8；13．（5分）某学校举办了一次写作水平测试，成绩共有100分，85分，70分，60分及50分以下5种情况，并将成绩分成5个等级，从全校参赛学生中随机抽取30名学生，情况如下：已知在全校参加比赛的学生中任意抽取一人，估计出该同学成绩达到60分及60分以上的概率为，其成绩等级为“A或B”的概率为，则a＝5；b＝10．【解答】解：∵在全校参加比赛的学生中任意抽取一人，估计出该同学成绩达到60分及60分以上的概率为，其成绩等级为“A或B”的概率为，∴，解得a＝5，b＝10．故答案为：5，10．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2＝2，则a1+2a3的最小值是4．【解答】解：∵a2＝2，且a n＞0由基本不等式可得，a 1+2a3≥2＝＝4即最小值为故答案为：15．（5分）某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人，若这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为．【解答】解：某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人，基本事件总数为n＝＝10，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的对立事件为甲和乙都没被录用，∴甲或乙被录用的概率为p＝1﹣＝．故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}中，a1＝a（0＜a≤1），a n+1＝（n∈N*）①若a3＝，则a＝；②记S n＝a1+a2+…+a n，则S2016＝1512．【解答】解：①∵a1＝a（0＜a≤1），a n+1＝（n∈N*），∴a2＝﹣a1+＝﹣a+．当时，a3＝﹣a2+＝a＝，舍去；当时，a3＝a2﹣1＝﹣a+＝，解得a＝，满足条件．∴a＝．②a1＝a（0＜a≤1），a n+1＝（n∈N*），∴a2＝﹣a1+＝﹣a+．当时，a3＝﹣a2+＝a，∴a4＝﹣a2+＝﹣a，∴a n+2＝a n．S2016＝（a1+a2）×1008＝1512．当时，a3＝a2﹣1＝﹣a+＝﹣a+，∴a4＝﹣a3+＝﹣+＝a+1＞1，∴a5＝a4﹣1＝a．∴a n+4＝a n．∴S2016＝（a1+a2+a3+a4）×504＝3×504＝1512．综上可得：S2016＝1512．故答案分别为：；1512．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（13分）等差数列{a n}的首项a1＝1，其前n项和为S n，且a3+a5＝a4+7．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式S n＜3a n﹣2的n的值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d．…．（1分）因为a3+a5＝a4+7，所以2a1+6d＝a1+3d+7．…．（3分）因为a1＝1，所以3d＝6，即d＝2，…．（5分）所以a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1．…．（7分）（Ⅱ）因为a1＝1，a n＝2n﹣1，所以，…．（9分）所以n2＜3（2n﹣1）﹣2，所以n2﹣6n+5＜0，…．（11分）解得1＜n＜5，所以n的值为2，3，4．…．（13分）18．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C＝，a＝6．（Ⅰ）若c＝14，求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，，∴，即．（Ⅱ）∵，解得b＝2．又∵c2＝a2+b2﹣2ab cos C，∴，∴．19．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，第3组的频率为．即①处的数据为35，②处的数据为0.300．…（3分）（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人；第4组：人；第5组：人．所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，人．…（6分）（Ⅲ）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）．其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），（B1，B2）9种可能．所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P＝．…（13分）20．（13分）已知函数f（x）＝mx2+（1﹣3m）x﹣4，m∈R．（Ⅰ）当m＝1时，求f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＞﹣1；（Ⅲ）当m＜0时，若存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）＞0，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m＝1时，函数f（x）＝x2﹣2x﹣4在（﹣2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数．（2分）又f（﹣2）＝4，f（1）＝﹣5，f（2）＝﹣4，所以，f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值分别为4和﹣5．（4分）（Ⅱ）不等式f（x）＞﹣1，即mx2+（1﹣3m）x﹣3＞0，当m＝0时，解得x＞3．（5分）当m≠0时，（x﹣3）（mx+1）＝0的两根为3和，（6分）当m＞0时，，不等式的解集为．（7分）当m＜0时，，所以，当时，，不等式的解集为．（8分）当时，不等式的解集为∅．（9分）当时，，不等式的解集为．（10分）综上，当m＞0时，解集为；当m＝0时，解集为{x|x＞3}；当时，解集为；当m＝﹣时，解集为∅；当时，解集为．（Ⅲ）因为m＜0，所以f（x）＝mx2+（1﹣3m）x﹣4是开口向下的抛物线，抛物线的对称轴为，（11分）若存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）＞0，则（1﹣3m）2+16m＞0，（12分）即9m2+10m+1＞0，解得m＜﹣1或，综上，m的取值范围是．（13分）21．（14分）已知{a n}是递增的等差数列，S n为{a n}的前n项和，且S5＝5，a3，a4，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求|a1|+|a2|+…+|a100|的值；（Ⅲ）若集合中有且仅有2个元素，求λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d．由S5＝5，可得，由a3，a4，a7成等比数列，可得，∴解得（舍）或，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣5．（Ⅱ）解2n﹣5＜0，可得，∴数列{a n}中a1＜0，a2＜0，其余各项均大于零．∴|a1|+|a2|+…+|a100|＝﹣a1﹣a2+a3+…+a100＝＝．（Ⅲ）设，，令c n﹣c n﹣1＞0，得，所以c1＜c2＜c3＜c4，c4＞c5＞c6＞…，又由，知c1＜0，c2＜0，其余各项均大于零．在中，，且t4＞t6＞t8＞…，计算得，∴λ的取值范围是．22．（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣a1，n∈N*．（Ⅰ）若a1＝1，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对于正整数m，p，q（m＜p＜q），5a m，a p，a q这三项经过适当的排序后能构成等差数列，试用m表示p和q；（Ⅲ）已知数列{t n}，{r n}满足|t n|＝|r n|＝a n，数列{t n}，{r n}的前100项和分别为T100，R100，且T100＝R100，试问：是否对于任意的正整数k（1≤k≤100）均有t k＝r k成立，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴S n﹣1＝2a n﹣1﹣a1，∴当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（2a n﹣a1）﹣（2a n﹣1﹣a1），整理得a n＝2a n﹣1，又a n＞0，∴＝2，数列{a n}是公比为2的等比数列，∴数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，{a n}是公比为2的等比数列．①若5a m为a p，a q的等差中项，则2×5a m＝a p+a q，∴，化为2p﹣m﹣1+2q﹣m﹣1＝5，又m＜p＜q，m，p，q∈N*，∴2p﹣m﹣1＝1，2q﹣m﹣1＝4，∴p﹣m﹣1＝0，q﹣m﹣1＝2．即p＝m+1，q＝m+3．②若a p为5a m，a q的等差中项，则2a p＝5a m+a q，∴，∴2p＝5×2m﹣1+2q﹣1，∴2p﹣m+1﹣2q﹣m＝5，等式左边为偶数，右边为奇数，等式不成立，舍去．③若a q为5a m，a p的等差中项，则2a q＝5a m+a p，同理也不成立．综上，p＝m+1，q＝m+3．（Ⅲ）由，得，∴t100＝r100或t100＝﹣r100，若t100＝﹣r100，不妨设t100＞0，r100＜0，则＝．则＝．由已知a1＞0，∴R100＜T100，与已知不符，∴t100＝r100，∴R99＝T99，同上可得t99＝r99，如此下去，t98＝r98，…，t1＝r1，即对于任意的正整数k（1≤k≤100），均有t k＝r k成立．。
[vip专享]2015西城区高三二模数学(文)试题及答案
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北京市西城区2015年高三二模试卷数 学（文科） 2015.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合，集合，则（ ）{|10}A x x =->3{|}B x x =≤A B = （A ）(1,3)-（B ）(1,3]（C ）[1,3)（D ）[1,3]-3. 设命题：函数在上为增函数；命题：函数为奇函数. 则p 1()e x f x -=R q ()cos 2f x x = 下列命题中真命题是（） （A ） （B ） （C ） （D ）p q ∧()p q ⌝∨()()p q ⌝∧⌝()p q ∧⌝4．执行如图所示的程序框图，若输入的，{1,2,3}n ∈ 则输出的属于（ ）s （A ）{1,2}（B ）{1,3}（C ）{2,3}（D ）{1,3,9}5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和 侧(左)视图如图所示，则俯视图可以为（ ）2．已知平面向量满足，，，若，则实数（ ,,a b c (1,1)=-a (2,3)=b (2,)k =-c ()//+a b c k =）（A ）4（B ）4- （C ）8（D ）8-（A ） （B ） （C ） （D ）6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与 x 满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）2464y x =+（A ） （B ） （C ） （D ）34567. “”是“曲线为双曲线”的（ ）3m >22(2)1mx m y --=（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. 在长方体中，，点为对角线上的动点，点为底1111ABCD A B C D-11AB BC AA ===P 1AC Q 面上的动点（点，可以重合），则的最小值为（ ）ABCD P Q 1B P PQ +第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 复数____.10i 3i=+10. 抛物线的准线的方程是____；以的焦点为圆心，且与直线相切的圆的24C y x =：l C l 方程是____.11．设函数则____；函数的值域是____.,11,1()2,.x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪-⎩≤[(2)]f f =()f x 12．在中, 角，，所对的边分别为， 若，，，ABC ∆A B C ,,a bc a =3b =2c = 则____；的面积为____.A =ABC ∆13. 若满足若的最大值为，则实数____.,x y ,2,1,y x y x x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤z x my =+53m =14. 如图，正方形的边长为2，为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至ABCD O AD OP OA O （A （B （C ）32（D ）2，在旋转的过程中，记为，所经过的在正方形内的区域（阴影部分）OD AOP ∠([0,π])x x ∈OP ABCD 的面积，那么对于函数有以下三个结论：()S f x =()f x ○1π()3f = 函数在区间上为减函数；○2()f x π(,π)2 任意，都有.○3π[0,]2x ∈()(π)4f x f x +-= 其中所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数.cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x +=-（Ⅰ）求函数的定义域；()f x （Ⅱ）求函数的单调增区间.()f x 16．（本小题满分13分）设数列的前n 项和为，且，．{}n a n S 11a =*11()n n a S n +=+∈N （Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）若数列为等差数列，且，公差为. 当时，比较与的大小．{}n b 11b a =21a a 3n ≥1nb +121n b b b ++++ 17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，，平面, 平面，E ABCD -AE DE ⊥CD ⊥ADE AB ⊥ADE ，，.6CD DA ==2AB =3DE =（Ⅰ）求棱锥的体积；C ADE -（Ⅱ）求证：平面平面；ACE ⊥CDE （Ⅲ）在线段上是否存在一点,使平面？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.DE F //AF BCE EFED18．（本小题满分13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（Ⅱ）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a >b 的概率；（Ⅲ）若a =1，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断b 为何值时，达到最小s 2s 2值．（只需写出结论） （注：方差，其中为，，…，2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++- x 1x 2x n x 的平均数）19．（本小题满分14分）设，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆的左顶点，点为椭1F 2F 2222 + 1(0)x y E a b a b =>>：A E B 圆的上顶点，且.E ||2AB =（Ⅰ）若椭圆的方程；E E （Ⅱ）设为椭圆上一点，且在第一象限内，直线与轴相交于点. 若以为直径的圆经P E 2F P y Q PQ 过点，证明：点在直线上.1F P 20x y +-=20．（本小题满分13分）已知函数，其中.21()1xf x ax -=+a ∈R （Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；14a =-()f x (1,(1))f（Ⅱ）当时，证明：存在实数，使得对任意的，都有成立；0a >0m >x ()m f x m -≤≤（Ⅲ）当时，是否存在实数，使得关于的方程仅有负实数解？当时的2a =k x ()()f x k x a =-12a =-情形又如何？(只需写出结论)北京市西城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）高三数学（文科）试题及答案第11页共11页。
北京市西城区(南片)普通中学2014-2015学年高二下学期数学(文科)期末综合测试题 含答案
北京市西城区（南片)普通中学2014 - 2015学年度第二学期高二数学(文科）期末综合测试题 满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1．设集合{,}A a b =,则满足{,,}A B a b c =的不同集合B 共有( )（A ）1 个（B ）2个（C ）3个 (D ）4个2．“0a b >>"是“11ab<"的( ) （A ）充分但不必要条件 (B ）必要但不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不是充分条件也不是必要条件3．已知函数10xy =的反函数为()y f x =,那么1()100f =（ ）(A ）2(B ）2-（C)1(D ）1-4．已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ，且50S>,那么下列结论中一定正确的是（ ） （A)30a<（B ）30S<(C ）30a>（D ）30S>5．设c ∈R ,函数2()2f x x x c =-+．关于函数()f x 的下述四个命题中，真命题为( ) (A)(0)(2)f f > （B ）(0)(2)f f < （C ）()1f x c ≥-（D)()1f x c ≤-6．已知数列{}na 的前n 项和3(2)2nn Sa =-,1,2,3,n =，那么na =（ )（A ）33n-（B ）23n⋅（C)123n -⋅（D ）133n +-7．函数21()log f x x x=-+的零点所在的区间是（ ） （A)1(0,)2(B)1(,1)2（C ）3(1,)2(D)3(,2)28．设集合A ⊆R ，如果实数0x 满足：对0r ∀>，总x A ∃∈,使得00||x x r <-<，则称0x 为集合A 的聚点．给定下列四个集合：①Z； ② {|0}x x ∈≠R ; ③{|1nn n ∈+Z ，0}n ≥； ④1{|n n∈Z ，0}n ≠． 上述四个集合中,以0为聚点的集合是（ ) （A)①、③（B)②、③ （C ）①、④ （D)②、④二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9．已知函数21,0,()2,0,x x f x x x -<⎧=⎨->⎩那么(1)(1)f f -+=_________.10．若幂函数y x α=的图象经过点1(2,)4,则α=_________.11．已知等差数列{}na 的公差是2,其前4项和是20-,则2a =_________。
最新版北京市西城区度第二学期期末考试高一数学试卷
北京市西城区2016 - 2017学年度第二学期期末试卷高一数学2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1[,)+∞2执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 11. 函数()f x =_______.12. 在等差数列{}n a 中,245a a +=，则3a =_______.13. 随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm ；样本数据的方差为 .14. 设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是_______.15. 有4张卡片，上面分别写有0，1，2，3. 若从这4张卡片中随机取出2张组成一个两位数，则此数为偶数的概率是_______.16. 在数列{}n a 中，312a =，115a =-，且任意连续三项的和均为11，则2017a =_______；设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得100n S ≤成立的最大整数n =_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中,12a =,3516a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）如果2a ，m a ，2m a 成等比数列，求正整数m 的值.18．（本小题满分13分）北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）给出图中实数a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户；（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.19．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =,1cos 4C =-. （Ⅰ）如果3b =,求c 的值；（Ⅱ）如果c =sin B 的值.20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，其中*n ∈N .吨a（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21n a n b =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （Ⅲ）若对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤，求实数λ的最小值.21．（本小题满分14分）已知函数2()(21)f x ax a x b =+++，其中a ，b ∈R .（Ⅰ）当1a =，4b =-时，求函数()f x 的零点；（Ⅱ）如果函数()f x 的图象在直线2y x =+的上方，证明：2b >； （Ⅲ）当2b =时，解关于x 的不等式()0f x <．22．（本小题满分14分）在无穷数列{}n a 中，1a p =是正整数，且满足1, ,25, .nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数 （Ⅰ）当39a =时，给出p 的值；（结论不要求证明） （Ⅱ）设7p =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求150S ；（Ⅲ）如果存在*m ∈N ，使得1m a =，求出符合条件的p 的所有值.北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3. B4. B5. D6. A7. C8. D9. C 10. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. [2,2]-； 12.52； 13. 172，45； 14. 73； 15. 59； 16. 4，29.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,则3512616a a a d +=+=, ………………………3分 又因为12a =，解得2d =. ………………………5分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………7分 （Ⅱ）解：因为2a ，m a ，2m a 成等比数列，所以222m m a a a =⋅， ………………………10分即2(2)44m m =⨯，m *∈N ，解得4m =. ………………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1-⨯+++⨯=，所以，图中实数0.120.050a =÷=. ………………………3分 （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为(0.0250.0750.225)20.65++⨯=， ………………………5分所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300⨯=(户). ………………………7分（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ， 由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404⨯⨯=.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402⨯⨯=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种， ………………………9分事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种， ………………………11分 所以8()15P A =. ………………………13分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， ………………………3分 得2149223()164c =+-⨯⨯⨯-=，解得4c =. ………………………5分（Ⅱ）解：（方法一）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C ==.……7分由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin a C A c ==. ……………………10分所以cos A ==. 因为πA B C ++=，所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+ ………………………12分1()4-+=. ………………………13分（方法二）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C …………7分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 得2124422()4b b =+-⨯⨯⨯-，解得4b =，或5b =-（舍）. ………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =，得sin sin b C B c ==………………………13分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1n =时，113a S ==-； ………………………1分 当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-， ………………………3分 因为13a =-符合上式，所以25n a n =-*()n ∈N . ………………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2521n n b -=+. ………………………5分 所以12n n T b b b =+++3125(21)(21)(21)n ---=++++++3125(222)n n ---=++++ ………………………6分32(14)14n n --=+-1(41)24n n =-+. ………………………9分（Ⅲ）解：122311111111131335(25)(23)n n a a a a a a n n +=-++++⨯⨯--+++2111111[(1)()()]323352523n n =-+-+-++---11646n =---， ………………………11分 当1n =时，12113a a =，（注：此时1046n <-） 由题意，得13λ≥； ………………………12分 当2n ≥时， 因为1046n >-， 所以1223111116n n a a a a a a +<-+++. 因为对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤，所以λ的最小值为13. ………………………13分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由2()340f x x x =+-=，解得4x =-，或1x =.所以函数()f x 有零点4-和1. ………………………3分 （Ⅱ）解：（方法1）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方，所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分所以当0x =时上式也成立，代入得2b >. ………………………8分 （方法2）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方， 所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分 当0a =时，显然2b >. 当0a ≠时，由题意，得0a >，且2(2)4(2)0a a b ∆=--<， ………………………6分 则24(2)40a b a ->>， 所以4(2)0a b ->，即2b >.综上，2b >. ………………………8分（Ⅲ）解：由题意，得不等式2(21)20ax a x +++<，即(1)(2)0ax x ++<. …………9分当0a =时，不等式化简为20x +<，解得2x <-； ………………………10分 当0a ≠时，解方程(1)(2)0ax x ++=，得根12x =-，21x a=-. 所以，当0a <时，不等式的解为：2x <-，或1x a>-； ………………………11分 当102a <<时，不等式的解为：12x a-<<-； ………………………12分 当12a =时，不等式的解集为∅； ………………………13分当12a >时，不等式的解为：12x a-<<-. ………………………14分 综上，当0a <时，不等式的解集为{|2x x <-，或1}x a >-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <-；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-；当12a =时，不等式的解集为∅；当12a >时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-.22.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：36p =，或13. ………………………3分 （Ⅱ）解：由题意，17a =，代入，得212a =，36a =，43a =，58a =，64a =，72a =，81a =，96a =，所以数列{}n a 中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：39a a =）， ………5分 故15012348345624()S a a a a a a a a a =+++++++++71224(638421)6384=+++++++++++ 616=.………………………8分（Ⅲ）解：由数列{}n a 的定义，知*n a ∈N .设t 为数列{}n a 中最小的数，即min{}i t a i =∈N *， 又因为当n a 为偶数时，12nn a a +=， 所以t 必为奇数. ………………………9分 设k a t =，则15k a t +=+，252k t a ++=， 所以52t t +≤，解得5t ≤. 所以{1,3,5}t ∈. ………………………10分 如果3k a t ==，那么由数列{}n a 的定义，得18k a +=，24k a +=，32k a +=，41k a +=， 这显然与3t =为{}n a 中最小的数矛盾，所以3t ≠. ………………………12分精品如果5k a t ==，当1k =时，5p =； 当2k ≥时，由数列{}n a 的定义，得1k a -能被5整除，…，得1a p =被5整除； 所以当且仅当*15()a p r r ==∈N 时，5t =. ………………………13分 这与题意不符.所以当*15()a r r ≠∈N 时，数列{}n a 中最小的数1t =， 即符合条件的p 值的集合是*{|r r ∈N ，且r 不能被5整除}. …………………14分。
2015年高三二模数学(文)北京市西城区试题Word版带解析
北京市西城区2015年高三二模文科数学试卷2015.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =（ ）（A ）(1,3)- （B ）(1,3] （C ）[1,3) （D ）[1,3]- 【考点】集合的运算 【难度】1 【答案】B 【解析】因为{|1}A x x => ，所以{|13}AB x x =<≤。
故选B 。
2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（ ） （A ）4 （B ）4- （C ）8（D ）8-【考点】平面向量的线性运算，平面向量的坐标运算 【难度】1 【答案】D 【解析】由已知条件有(1,4)a b +=，因(2,)k =-c 为 ()//a b c +所以有214k-= ，故选D 3. 设命题p ：函数1()e x f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数. 则 下列命题中真命题是（ ）（A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∧⌝ 【考点】简单的逻辑联结词【难度】1 【答案】D 【解析】因1()x f x e -=在R 上是增函数，故p 命题为真；而()cos(2)cos2()f x x x f x -=-==,所以()f x 为偶函数，故q 命题为假， 则q ⌝为真，从而()p q ∧⌝为真命题，选D.4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈，则输出的s 属于（ ） （A ）{1,2} （B ）{1,3} （C ）{2,3} （D ）{1,3,9}【考点】算法和程序框图 【难度】1 【答案】A 【解析】当n=1时，经过判断后重新赋值得到n=3，所以输出的s=1；当n=2时经过判断后重新赋值得n=9，此时输出s=2； 当n=3时，判断为是，直接输出s=1， 所以s 的集合为｛1，2｝.选A5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和 侧(左)视图如图所示，则俯视图不可能为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【考点】空间几何体的三视图 【难度】1 【答案】C 【解析】结合正视图和侧视图，且注意到正视图中间为虚线，可知应选C 6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【考点】均值定理的应用 【难度】1 【答案】B 【解析】设年平均花费为t ，则2464164()32y x t x x x x+===+≥（当且仅当16x x=时，即x=4时，取等号）。
北京市西城区2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题(word版含答案)
北京市西城区2015-2016学年下学期高一年级期末考试数学试卷试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知数列}{n a 满足21+=+n n a a ，且21=a ，那么5a ＝（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 112. 如果0<<b a ，那么下列不等式正确的是（ ） A. 2a ab > B. 22b a < C.b a 11< D. ba 11-<- 3. 在掷一个骰子的试验中，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件B A 发生的概率为（ ）A.31 B. 21 C. 32 D. 654. 下图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩在区间[50，70）中的学生人数是（ ）A. 30B. 25C. 22D. 205. 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的i 值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66. 在不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x 表示的平面区域内任取一个点),(y x P ，使得1≤+y x 的概率为（ ）A. 21B. 41C. 81D. 1217. 若关于x 的不等式a xx ≥+4对于一切),0(+∞∈x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. ]5,(-∞B. ]4,(-∞C. ]2,(-∞D. ]1,(-∞8. 在△ABC 中，若C bacos <，则△ABC 为（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形9. 某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如下表所示：体积（升/件）重量（公斤/件）利润（元/件）甲 20108乙10 20 10在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为（ ）A. 65元B. 62元C. 60元D. 56元 10. 设R b a ∈,，给出下列判断：①若111=-a b ，则1≤-b a ； ②若133=-b a ，则1≤-b a ；③若b a ,均为正数，且122=-b a ，则1≤-b a ；④若b a ,均为正数，且1=-b a ，则1≥-b a 。
北京市西城区2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试卷 Word版含解析
北京市西城区2014－2015学年下学期高二年级期末考试数学试卷（文科）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 设集合，则＝（）A. B. C. D. 2. 在实数范围内，下列不等关系不恒成立的是（） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数又在上是单调递增函数的是（） A. B. C. D. 4. 命题“存在实数x，使得”的否定是（） A. 不存在实数x，使 B. 存在实数x，使 C. 对任意实数x，都有 D. 对任意实数x，都有 5. 已知是等差数列，，则公差等于（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知为不相等的两个正数，且，则函数和的图象之间的关系是（）A. 关于原点对称B. 关于y轴对称C. 关于x轴对称D. 关于直线对称7. 已知是实数，则“且”是“且”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 过曲线C：上一点作曲线C的切线，若切线的斜率为－4，则等于（） A. 2 B. C. 4 D. 9. 已知函数在R上满足：对任意，都有，则实数a的取值范围是（） A.B. C. D. 10. 已知函数，给出下列结论：①是的单调递减区间；②当时，直线与的图象有两个不同交点；③函数的图象与的图象没有公共点。
其中正确的序号是（）A. ①②③B. ①③C. ①② D. ②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把答案填在题中横线上。
11. 若，则的最小值为___________。
12. ＝___________。
13. 不等式的解集为___________。
14. 已知定义在R上的奇函数满足，且当时，＝，则＝___________；＝___________。
15. 函数的极值是___________。
北京市西城区(南片)普通中学2015-2016学年高二下学期数学(理科)期末综合测试题 含答案
北京市西城区(南片）普通中学2015 — 2016学年度第二学期高二数学（理科)期末综合测试题满分:150分 时间：120分钟一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.1．在复平面内，复数12i-对应的点位于( ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限2．设函数1()(sin cos )2f x x x =-的导函数为()f x '，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()sin f x f x x '+=- (B ）()()cos f x f x x '+=- （C ）()()sin f x f x x '-=(D ）()()cos f x f x x '-=3．据天气预报，春节期间甲地的降雪概率是0.4，乙地的降雪概率是0.3．这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响，那么春节期间两地都不降雪的概率是( ） （A)0.7（B ）0.42 (C)0.12 （D ）0.14．甲、乙等5人排一排照相，要求甲、乙2人相邻但不排在两端,那么不同的排法共有（ ）（A ）36种（B ）24种 (C ）18种 （D ）12种5．若3230123(21)x a a x a x a x +=+++,则0123a a a a -+-+的值为（）（A ）27- （B ）27 (C ）1-（D ）16．函数2()e x f x x -=⋅的单调递增区间是（）（A ）(2,0)- （B ）(,2)-∞-,(0,)+∞ （C ）(0,2)（D ）(,0)-∞，(2,)+∞7．口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球,每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同,则为中奖。
每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（ ） (A)80243(B ）100243（C)80729（D ）1007298．已知函数()nf x x =，其中n ∈Z ，2n ≥．曲线()y f x =在点0(,())P x f x0(0)x >处的切线为l ，l 与x 轴交于点Q ，与y 轴交于点R ,则||||PQ PR =( ）（A ）11n - （B ）1n（C)21n - （D)2n二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分。
北京市西城区高一数学下学期期末试卷(含解析)
2014-2015学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分．共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（） A． P1=P2＜P3 B． P2=P3＜P1 C． P1=P3＜P2 D． P1=P2=P32．从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（）A． B． C． D．3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A． 2 B． C． D．4．某校对高一年级学生的数学成绩进行统计，全年级同学的成绩全部介于60分与100分之间，将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图．现从全体学生中，采用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析，则从成绩在[90，100]内的学生中抽取的人数为（）A． 24 B． 18 C． 15 D． 125．投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是（）A． A，C为对立事件B． A，B为对立事件C． A，C为互斥事件，但不是对立事件D． A，B为互斥事件，但不是对立事件6．下图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s 1和s2，那么（）（注：标准差s=，其中为x 1，x2，…，x n的平均数）A．＜，s1＜s2 B．＜，s1＞s2C．＞，s1＞s2 D．＞，s1＜s27．如图给出的是计算的一个程序框图，则判断框内应填入关于i的不等式为（）A． i＜50 B． i＞50 C． i＜51 D． i＞518．袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球．设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（）A． B． C． D．二、解答题：本大题共2小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．9．从某校高一年级随机抽取n名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：组号分组频数频率1 [5，6）2 0.042 [6，7） 0.203 [7，8） a4 [8，9） b5 [9，10） 0.16（I）求n的值；（Ⅱ）若a=10，补全表中数据，并绘制频率分布直方图；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替．若上述数据的平均值为7.84，求a，b的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0，其中a，b∈R．（I）若a随机选自集合{0，1，2，3，4}，b随机选自集合{0，1，2，3}，求方程有实根的概率；（Ⅱ）若a随机选自区间[0，4]，b随机选自区间[0，3]，求方程有实根的概率．一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．11．数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n﹣3（n∈N*），则a4=（）A． 10 B． 8 C．﹣8 D．﹣1012．设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A．＞l B．＜ C． |a|＞|b| D． a3＞b313．在等比数列{a n}中，a1=2，a4=．若a m=2﹣15，则m=（）A． 17 B． 16 C． 14 D． 1314．若实数x，y满足则z=x+3y的最大值是（）A． 6 B． 4 C． D． 015．在△ABC中，若asinA=bsinB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若S2k+1＞0，则一定有（）A． a k＞0 B． S k＞0 C． a k+l＞0 D． S k+l＞017．已知数列{a n}的前n项的乘积为T n=2n﹣c，其中c为常数，n∈N*．若a4=3，则c=（） A． 4 B． 3 C． 2 D． 118．设不等式组表示的平面区域是W，则W中的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数是（）A． 231 B． 230 C． 219 D． 218二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．19．不等式x2＜2x的解集为．20．在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= ．21．已知等差数列{a n}的各项均为正整数，且a8=2015，则a1的最小值是．22．函数f（x）=x+（x＞1）的最小值是；此时x= ．23．设a∈R，n∈N*，求和：l+a+a2+a3+…+a n= ．24．设数列{a n}的通项公式为a n=3n（n∈N*）．数列{b n}定义如下：对任意m∈N*，b m是数列{a n}中不大于32m的项的个数，则b3= ；数列{b m}的前m项和S m= ．三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．（10分）（2015春•西城区期末）已知数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列．（Ⅰ）证明：当0＜q＜1时，{a n}是递减数列；（Ⅱ）若对任意k∈N*，都有a k，a k+2，a k+1成等差数列，求q的值．26．（10分）（2015春•西城区期末）已知△AB C为锐角三角形，a，b，c分别为角A，B，C 所对的边，且a=2csinA．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）当c=2时，求：△ABC面积的最大值．27．（12分）（2015春•西城区期末）设m∈R，不等式mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）＞0的解集记为集合P．（I）若P=（x|﹣1＜x＜2），求m的值；（Ⅱ）当m＞0时，求集合P；（Ⅲ）若{x|﹣3＜x＜2}⊆P，求m的取值范围．28．（12分）（2015春•西城区期末）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n+（﹣1）n+1•（1+λn），其中是常数，n∈N*．（I）当a n=﹣1时，求λ的值；（Ⅱ）数列{a n}是否可能为等差数列？证明你的结论；（Ⅲ）若对于任意n∈N*，都有a n＞0，求λ的取值范围．2014-2015学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分．共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（） A． P1=P2＜P3 B． P2=P3＜P1 C． P1=P3＜P2 D． P1=P2=P3考点：简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．解答：解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．点评：本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．2．从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（）A． B． C． D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个，其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）．据此可得出答案．解答：解：从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）．其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）．故所求事件的概率P==，故选：C．点评：把所有的基本事件一一列举出来，再找出所要求的事件包含的基本事件个数即可．3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A． 2 B． C． D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．某校对高一年级学生的数学成绩进行统计，全年级同学的成绩全部介于60分与100分之间，将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图．现从全体学生中，采用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析，则从成绩在[90，100]内的学生中抽取的人数为（）A． 24 B． 18 C． 15 D． 12考点：频率分布直方图．专题：计算题；概率与统计．分析：根据频率分布直方图，求出成绩在[90，100]内的频率，再利用分层抽样原理计算应抽取的学生数．解答：解：根据频率分布直方图，得；成绩在[90，100]内的学生的频率为0.03×10=0.3，所以，从成绩在[90，100]内的学生中抽取的人数为60×0.3=18．故选：B．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样原理的应用问题，是基础题目．5．投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是（）A． A，C为对立事件B． A，B为对立事件C． A，C为互斥事件，但不是对立事件D． A，B为互斥事件，但不是对立事件考点：互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：结合已知中基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，分析A，B，C是否满足互斥事件和对立事件的定义，可得结论．解答：解：∵投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是Ω={1，2，3，4，5，6}．事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，当掷出的点数3时，A，B同时发生，故A，B不是互斥事件，故A，B也不是对立事件；即B，D错误；A，C不可能同时发生，故A，C为互斥事件，但A∪B={1，2，3，4，6}≠Ω，故A，C不是对立事件，故A错误，C正确，故选：C点评：本题考查的知识点是互斥事件与对立事件，熟练掌握并正确理解对立事件和互斥事件的概念是解答的关键．6．下图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s 1和s2，那么（）（注：标准差s=，其中为x 1，x2，…，x n的平均数）A．＜，s1＜s2 B．＜，s1＞s2C．＞，s1＞s2 D．＞，s1＜s2考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：将题中的茎叶图还原，结合平均数、方差计算公式，分别算出第1组7位同学和第2组7位同学的平均数和方差，再将所得结果加以比较，即得本题的答案解答：解：由茎叶图，得第1组的7名同学的体重分别为53 56 57 58 61 70 72，∴第1组的7名同学体重的平均数为：=（53+56+57+58+61+70+72）=61kg因此，第1组的7名同学体重的方差为：s2=[（53﹣61）2+（56﹣61）2+…+（72﹣61）2]=43.00kg2，同理，第2组的7名同学体重的平均数为：=（54+56+58+60+61+72+73）=62kg因此，第2组的7名同学体重的方差为：s2=[（54﹣62）2+（56﹣62）2+…+（73﹣62）2]=63.14kg2，∴＜且s 1＜s2故选：A点评：本题给出茎叶图，要我们求出数据的平均数和方差，着重考查了茎叶图的认识、样本特征数的计算等知识，属于基础题．7．如图给出的是计算的一个程序框图，则判断框内应填入关于i的不等式为（）A． i＜50 B． i＞50 C． i＜51 D． i＞51考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：框图给出的是计算的值的一个程序框图，首先赋值i=1，执行s=0+时同时执行了i=i+1，和式共有50项作和，所以执行完s=后的i值为51，再判断时i=51应满足条件，由此可以得到正确答案．解答：解：框图首先给变量s，n，i赋值s=0，n=2，i=1．判断，条件不满足，执行s=0+，n=2+2=4，i=1+1=2；判断，条件不满足，执行s=+，n=4+2=6，i=2+1=3；判断，条件不满足，执行s=++，n=6+2=8，i=3+1=4；…由此看出，当执行s=时，执行n=100+2=102，i=50+1=51．在判断时判断框中的条件应满足，所以判断框中的条件应是i＞50？．故选：B．点评：本题考查了程序框图中的直到型循环，虽然是先进行了一次判断，但在不满足条件时执行循环，直到满足条件算法结束，此题是基础题．8．袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球．设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（）A． B． C． D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：从口袋中5个小球中随机摸出3个小球，共有10种选法，则既没有黑球也没有白球只有1种，根据互斥事件的概率公式计算即可．解答：解：从口袋中5个小球中随机摸出3个小球，共有C53=10种选法，则既没有黑球也没有白球只有1种，∴每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为1﹣=，故选：D．点评：本题考查了古典概型的概率计算公式和组合数的计算公式，属于基础题二、解答题：本大题共2小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．9．从某校高一年级随机抽取n名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：组号分组频数频率1 [5，6）2 0.042 [6，7） 0.203 [7，8） a4 [8，9） b5 [9，10） 0.16（I）求n的值；（Ⅱ）若a=10，补全表中数据，并绘制频率分布直方图；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替．若上述数据的平均值为7.84，求a，b的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（I）根据频率=，求出n的值；（II）根据频率、频数与样本容量的关系，求出表中空余的数值，补全数表，并绘制频率分布直方图；（III）根据平均数的定义，列出方程组，求出a、b的值，计算日平均睡眠时间不少于8小时的概率．解答：解：（I）∵小组[5，6）内的频数是2，对应的频率是0.04，∴样本容量为n=；（1分）（II）小组[6，7）内的频数为50×0.20=10，小组[7，8）内的频率为=0.20，小组[8，9）内的频数为50﹣2﹣10﹣10﹣8=20，频率为=0.40，小组[9，10）内的频数为50×0.16=8，由此补全数据见下表（3分）；组号分组频数频率1 [5，6）2 0.042 [6，7） 10 0.203 [7，8） 10 0.204 [8，9） 20 0.405 [9，10） 8 0.16绘制频率分布直方图见下图：（5分）（III）根据题意，得，（7分）解得；（8分）设“该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时”为事件A，则P（A）=．（9分）点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数与概率的计算问题，是基础题目．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0，其中a，b∈R．（I）若a随机选自集合{0，1，2，3，4}，b随机选自集合{0，1，2，3}，求方程有实根的概率；（Ⅱ）若a随机选自区间[0，4]，b随机选自区间[0，3]，求方程有实根的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：应用题；概率与统计．分析：（I）根据判别式△≥0得出一元二次方程有实根的条件为事件A，由a∈{0，1，2，3，4}，b∈{0，1，2，3}，列出基本事件数，计算对应的概率即可；（II）利用几何概型求出对应的概率即可．解答：解：（I）设“关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0有实根”为事件A，由△=（﹣2a）2﹣4b2≥0，得a2≥b2；因为a≥0，b≥0，所以a≥b时事件A发生；又a∈{0，1，2，3，4}，b∈{0，1，2，3}，所以它的基本事件共20个：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3）；（3分）且事件A包含的基本事件有14个：（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3）；（4分）所以P（A）=；（5分）（II）因为a∈[0，4]，b∈[0，3]，则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3}，Ω的面积为μΩ=3×4=12；（6分）事件A所构成的区域A={（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，a≥b}，A的面积为，如图所示；（8分）所以P（A）=．（9分）点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，也考查了几何概型的应用问题，是基础题目．一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．11．数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n﹣3（n∈N*），则a4=（）A． 10 B． 8 C．﹣8 D．﹣10考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由a n+1=a n﹣3得到数列{a n}是等差数列，进行求解即可．解答：解：∵a n+1=a n﹣3，∴a n+1﹣a n=﹣3得数列{a n}是公差d=﹣3的等差数列，则a4=a1+3d=1﹣9=﹣8，故选：C．点评：本题主要考查等差数列的应用，根据条件判断数列是等差数列是解决本题的关键．12．设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A．＞l B．＜ C． |a|＞|b| D． a3＞b3考点：不等式的基本性质．专题：不等式．分析：对于A，B，C，举反例即可判断，对于D，根据幂函数的性质即可判断．解答：解：对于A，若a=1，b=﹣1，则＜1，故A不成立，对于B，若a=1，b=﹣1，则＞，故B不成立，对于C，若a=1，b=﹣1，则|a|=|b|，故C不成立，对于D，对于幂函数y=x3为增函数，故a3＞b3，故D成立，故选：D．点评：本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题13．在等比数列{a n}中，a1=2，a4=．若a m=2﹣15，则m=（）A． 17 B． 16 C． 14 D． 13考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项公式进行求解即可．解答：解：∵a1=2，a4=．∴q3===，则q=，∵a m=2﹣15=a1q m﹣1=2×（）m﹣1=22﹣m，∴2﹣m=﹣15，即m=17，故选：A．点评：本题主要考查等比数列通项公式的应用，根据条件求出公比是解决本题的关键．14．若实数x，y满足则z=x+3y的最大值是（）A． 6 B． 4 C． D． 0考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，当直线z=x+3y表示直线y=x+，当过点B（1，1）时，z最大是4；故选：B点评：本小题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15．在△ABC中，若asinA=bsinB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得sinA=sinB，故有a=b，可得△ABC为等腰三角形．解答：解：∵△ABC中，已知asinA=bsinB，∴由正弦定理可得 sinAsinA=sinBsinB，∴sinA=sinB，∴a=b，故△ABC为等腰三角形，故选：A．点评：本题主要考查正弦定理的应用，考查运算能力，属于基本知识的考查．16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若S2k+1＞0，则一定有（）A． a k＞0 B． S k＞0 C． a k+l＞0 D． S k+l＞0考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的性质以及前n项和公式进行推导即可．解答：解：∵S2k+1=×（2k+1）=a k+l×（2k+1）＞0，∴a k+l＞0，故选：C．点评：本题主要考查等差数列的性质，利用等差数列的前n项和公式进行转化是解决本题的关键．17．已知数列{a n}的前n项的乘积为T n=2n﹣c，其中c为常数，n∈N*．若a4=3，则c=（） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用a4==3计算即得结论．解答：解：∵T n=2n﹣c，a4=3，∴a4===3，解得：c=4，故选：A．点评：本题考查数列递推式，注意解题方法的积累，属于基础题．18．设不等式组表示的平面区域是W，则W中的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数是（）A． 231 B． 230 C． 219 D． 218考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，求出可行域内点的横坐标的范围，然后分别取范围内的整数x，求出对应的整数y，得到整点个数．解答：解：由约束条件作出平面区域是W，联立，解得A（﹣80，﹣60）；联立，解得B（60，40）．分别取x=﹣80，﹣79，﹣78，﹣77，…，60，求出满足不等式组的整数y值，可得总的整点个数为231．故选：A．点评：求平面区域的整点个数是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后分析平面区域内的点，易求出平面区域内的整点个数，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．19．不等式x2＜2x的解集为（0，2）．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：通过提公因式可因式分解，求对应方程的根，比较两根大小，写出不等式的解集．解答：解：不等式x2＜2x化为：x2﹣2x＜0，可因式分解为x（x﹣2）＜0，对应方程的实数根为：x1=0，x2=2，不等式x2＜2x的解集为：（0，2）．故答案为：（0，2）．点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，用到了通过提公因式因式分解、比较两根大小．20．在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= ．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，代入数据，即可得到答案．解答：解：由余弦定理知，c2=a2+b2﹣2abcosC==3，所以c=．故答案为：点评：本题考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题．21．已知等差数列{a n}的各项均为正整数，且a8=2015，则a1的最小值是 6 ．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的通项公式表示出a1=2015﹣7d，则当d取最大值时，即可得到结论．解答：解：设公差为d，则d为整数（d＞0），由a8=a1+7d=2015，得a1=2015﹣7d，∵2015=7×287+6，∴当d=287时，a1=6最小，故答案为：6．点评：本题主要考查等差数列通项公式的应用，比较基础．22．函数f（x）=x+（x＞1）的最小值是 3 ；此时x= 2 ．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：由x＞1可得x﹣1＞0，函数y=+x=x﹣1++1，利用基本不等式即可得出．解答：解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．∴函数y=+x=x﹣1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号．∴函数y=+x的最小值是3．此时x=2．故答案为：3，2．点评：本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形：x=x﹣1+1，属于基础题．23．设a∈R，n∈N*，求和：l+a+a2+a3+…+a n= ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：分a=0、a=1、a≠0且a≠1分别求解得答案．解答：解：当a=0时，l+a+a2+a3+…+a n=0；当a=1时，l+a+a2+a3+…+a n=1+1+…+1=n+1；当a≠0且a≠1时，l+a+a2+a3+…+a n=．验证当a=0时，上式成立．∴l+a+a2+a3+…+a n=．故答案为：．点评：本题考查等比数列的前n项和，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．24．设数列{a n}的通项公式为a n=3n（n∈N*）．数列{b n}定义如下：对任意m∈N*，b m是数列{a n}中不大于32m的项的个数，则b3= 243 ；数列{b m}的前m项和S m= ．考点：等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：利用数列{b n}定义如下：对任意m∈N*，b m是数列{a n}中不大于32m的项的个数，可得b m=32m﹣1，即可得出结论．解答：解：由题意，3n≤36，∴n≤243，∴b3=243；由3n≤32m，∴n≤32m﹣1，∴b m=32m﹣1，∴S m==．故答案为：243，．点评：本题考查等比数列的性质与求和，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．（10分）（2015春•西城区期末）已知数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列．（Ⅰ）证明：当0＜q＜1时，{a n}是递减数列；（Ⅱ）若对任意k∈N*，都有a k，a k+2，a k+1成等差数列，求q的值．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）运用等比数列的通项公式，求得a n，再由a n+1﹣a n，分解因式，结合条件即可得证；（II）运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，化简整理，计算即可得到q．解答：（I）证明：因为数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列，所以a n=q n﹣1，n∈N*．所以a n+1﹣a n=q n﹣q n﹣1=q n﹣1（q﹣1），当0＜q＜1时，有q n﹣1＞0，q﹣1＜0，所以a n+1﹣a n＜0，n∈N*．所以{a n}是递减数列．（II）解：因为a k，a k+2，a k+1成等差数列，所以2a k+2﹣（a k+a k+1）=0，其中k∈N*．即2q k+1﹣（q k﹣1+q k）=0，整理得q k﹣1•（2q2﹣q﹣1）=0．因为q≠0，所以2q2﹣q﹣1=0，解得q=1，或q=．点评：本题考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查数列的单调性的证明，考查运算能力，属于中档题．26．（10分）（2015春•西城区期末）已知△ABC为锐角三角形，a，b，c分别为角A，B，C 所对的边，且a=2csinA．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）当c=2时，求：△ABC面积的最大值．考点：正弦定理的应用；三角形的面积公式．专题：综合题；解三角形．分析：（Ⅰ）由a=2csinA，利用正弦定理，结合△ABC为锐角三角形，a求角C；（Ⅱ）当c=2时，利用余弦定理，结合基本不等式，可得ab≤12，即可求：△ABC面积的最大值．解答：（I）解：由正弦定理得，（1分）将已知代入得sinC=．（2分）因为△ABC为锐角三角形，所以0＜C＜，（3分）所以C=．（4分）（II）证明：由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，（5分）即12=a2+b2﹣ab，（6分）又a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab所以ab≤12．（8分）所以△ABC的面积S=absinC=ab≤3，（9分）当且仅当a=b，即△ABC为等边三角形时，△ABC的面积取到3．所以△ABC面积的最大值为3．（10分）点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．27．（12分）（2015春•西城区期末）设m∈R，不等式mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）＞0的解集记为集合P．（I）若P=（x|﹣1＜x＜2），求m的值；（Ⅱ）当m＞0时，求集合P；（Ⅲ）若{x|﹣3＜x＜2}⊆P，求m的取值范围．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）因为P={x|﹣1＜x＜2}，所以方程mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）=0的两根为﹣1和2，根据根与系数的关系即可求出m的值；（Ⅱ）不等式mx2﹣（3x+1）x+2（2m+1）＞0可化为（x﹣2）[mx﹣（m+1）]＞0，需要分类讨论，即得到不等式的解集；（Ⅲ）依题意，当x∈（﹣3，2）时，不等式mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）＞0恒成立，分类讨论即可求出m的范围．解答：解：（I）因为P={x|﹣1＜x＜2}，所以方程mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）=0的两根为﹣1和2．将x=﹣1代入上述方程，得m（﹣1）2﹣（3m+1）（﹣1）+2（m+1）=0，解得m=．（II）不等式mx2﹣（3x+1）x+2（2m+1）＞0可化为（x﹣2）[mx﹣（m+1）]＞0．当m＞0时，方程m（﹣1）2﹣（3m+1）（﹣1）+2（m+1）=0的两根为和2．①当=2，即m=1时，解得x≠2．②当＞2，即0＜m＜1时，解得x＜2或x＞．③当＜2，即m＞1时，解得x＜或x＞2．综上，当0＜m＜1时，P={x|x＜2或x＞}；当m=1时，P={x|x∈R，且x≠2}；当m＞1时，P={x|x＜或x＞2}．（III）依题意，当x∈（﹣3，2）时，不等式mx2﹣（3m+1）x+2（m+1）＞0恒成立．当m=0时，原不等式化为﹣x+2＞0，即P={x|x＜2}，适合题意．当m＞0时，由（II）可得0＜m≤1时，适合题意．当m＜0时，因为=1+，所以P={x|＜x＜2}．此时必有≤﹣3成立，解得．综上，若{x|﹣3＜x＜2}⊆P，则m的取值范围是[]．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论是关键，属于中档题．28．（12分）（2015春•西城区期末）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n+（﹣1）n+1•（1+λn），其中是常数，n∈N*．（I）当a n=﹣1时，求λ的值；（Ⅱ）数列{a n}是否可能为等差数列？证明你的结论；（Ⅲ）若对于任意n∈N*，都有a n＞0，求λ的取值范围．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）通过在a n=2n+（﹣1）n+1•（1+λn）中令n=2，计算即得结论；（II）通过a n=2n+（﹣1）n+1•（1+λn）（n∈N*）求出前4项的值，假设存在λ使{a n}为等差数列，利用2a2=a1+a3可知λ=，验证即可得出结论；（III）通过a n＞0可知（﹣1）n，分n为正奇数、正偶数两种情况讨论即可．解答：解：（I）因为a n=2n+（﹣1）n+1•（1+λn）（n∈N*），所以n=2时，a2=3﹣2λ．（1分）由3﹣2λ=﹣1，解得λ=2．（2分）（II）结论：数列{a n}不可能为等差数列．证明如下：由a n=2n+（﹣1）n+1•（1+λn）（n∈N*），得a1=3+λ，a2=3﹣2λ，a3=7+3λ，a4=7﹣4λ．（4分）若存在λ，使{a n}为等差数列，则2a2=a1+a3，（5分）即2（3﹣2λ）=（3+λ）+（7+3λ），解得λ=．（6分）于是，a2﹣a1=﹣3λ=，a4﹣a3=﹣7λ=，这与{a n}为等差数列矛盾！所以，对任意实数λ，{a n}都不可能是等差数列．（7分）（III）由a n＞0，得2n+（﹣1）n+1•（1+λn）＞0，将上式变形为（﹣1）n，其中n∈N*．①（i）当n为正偶数时，①式化简为．因为2﹣随着正偶数n的增大而增大，欲使上式对于任意正偶数恒成立，则λ＜2=．（9分）（ii）当n为正奇数时，①式化简为．因为随着正奇数n的增大而增大，欲使上式对于任意正奇数恒成立，则λ≥﹣2．（11分）综上，若对于任意n∈N*，都有a n＞0，则λ的取值范围是[﹣2，）．（12分）点评：本题考查数列的递推式，注意解题方法的积累，属于中档题．。
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北京市西城区（南区）2012-2013学年下学期高一期末质量检测数学试卷本试卷满分100分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。
1. 与角－70°终边相同的角是A. 70°B. 110°C. 250°D. 290°2. sin43°cos17°＋cos43°sin17°的值为 A. 21- B. 21 C. 23 D. 23- 3. 已知向量a ＝)1,(x ，b ＝),4(x ，若向量a 和b 方向相同，则实数x 的值是A. －2B. 2C. 0D. 58 4. 函数)3sin(π-=x y 的单调递增区间是 A. )](265,26[Z k k k ∈++-ππππ B. )](2611,265[Z k k k ∈++ππππ C. )](234,23[Z k k k ∈++ππππD. )](23,232[Z k k k ∈++-ππππ 5. 若直线过点（1，1），（2，31+），则此直线的倾斜角的大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 在等差数列}{n a 中，1091=+a a ，则5a 的值为A. 5B. 6C. 8D. 107. 如图所示，M 是△ABC 的边AB 的中点，若b a ==,，则CB ＝A. b a 2-B. b a -2C. b a 2+D. b a +28. 与直线012=+-y x 关于直线1=x 对称的直线的方程是A. 012=-+y xB. 012=-+y xC. 032=-+y xD. 032=-+y x9. 设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，已知23,233243-=-=a S a S ，则公比q 等于A. 3B. 4C. 5D. 610. 已知直线过点A （1，2），且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是A. 0543=+-y x 和1=xB. 0534=+-y x 和1=yC. 0543=+-y x 和1=yD. 0534=+-y x 和1=x11. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≤+21y x y y x ，则y x z +=3的最大值为A. －8B. 3C. 5D. 712. 点),(y x P 是函数)25,21(sin 23)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=x x x f π图象上的点，已知点Q （2，0），O 为坐标原点，则⋅的取值范围为A. ]0,1[-B. ]2,1[-C. ]3,0[D. ]13,1[--二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
把答案填在题中横线上。
13. 如果21cos =α，且α为第四象限角，那么αtan 的值是__________。
14. 在△ABC 中，若===C AC BC ,2,2150°，则△ABC 的面积为__________。
15. 将函数x y 2sin =的图象向左平移)20(πϕϕ<<个单位，得到函数)12sin(+=x y 的图象，则ϕ的值是__________。
16. 102110813412211++++ ＝__________。
17. 已知点)0)(2,(>a a A 到直线03=+-y x 的距离为1，则=a __________。
18. 定义运算符号：“ ”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n 记作∏=∈n i Nn i 1*)(，记 ni i n a T 1==，其中i a 为数列)}({*N n a n ∈中的第i 项。
①若23-=n a n ，则4T ＝__________；②若)(2*2N n n T n ∈=，则n a ＝__________。
三、解答题：本大题共5小题，共46分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19. （9分）已知向量),2(),2,1(x b a -==。
（Ⅰ）当1-=x 时，求向量a 与b 的夹角的余弦值；（Ⅱ）当)4(b a a +⊥时，求｜b ｜。
20. （9分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为c b a ,,，且2,54cos ==b B 。
（Ⅰ）当A ＝30°时，求a 的值；（Ⅱ）当△ABC 的面积为3时，求c a +的值。
21. （9分）已知直线01:,03:21=--=-+y x l y x l 。
（Ⅰ）求过直线1l 与2l 的交点，且垂直于直线012:3=-+y x l 的直线方程； （Ⅱ）过原点O 有一条直线，它夹在1l 与2l 两条直线之间的线段恰被点O 平分，求这条直线的方程。
22. （10分）已知函数R x x x x x x f ∈-+=,2cos 21cos sin 32sin )(2。
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若)20(00π≤≤x x 为)(x f 的一个零点，求02sin x 的值。
23. （9分）已知等差数列}{n a 中，公差0>d ，其前n 项和为n S ，且满足4542=⋅a a ，1451=+a a 。
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式及其前n 项和n S ； （Ⅱ）令)(11*2N n a b n n ∈-=，若数列}{n c 满足)(,41*11N n b c c c n n n ∈=--=+。
求数列}{n c 的通项公式n c ； （Ⅲ）求)(9)(*N n c b n n f nn ∈-=的最小值。
【试题答案】一、选择题（每小题3分，共36分）二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 3-； 14. 1； 15. 21； 16. 102156- 17. 12-；18. 280，⎪⎩⎪⎨⎧≥-==).2()1(),1(22n n n n a n20. （9分） （Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B 。
由正弦定理B b A a sin sin =，可得31030sin =︒a 。
所以35=a 。
（Ⅱ）因为△ABC 的面积53sin ,sin 21==B B ac S ， 所以10,3103==ac ac 。
由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=， 得165842222-+=-+=c a ac c a ，即2022=+c a 。
所以40)(,202)(22=+=-+c a ac c a ，所以102=+c a 。
21. （Ⅰ）由⎩⎨⎧=--=-+01,03y x y x 得⎩⎨⎧==1.2y x∵所求的直线垂直于直线012:3=-+y x l ，∴所求直线的斜率为21， ∴所求直线的方程为02=-y x 。
4分 （Ⅱ）如果所求直线斜率不存在，则此直线方程为0=x ，不合题意。
所以设所求的直线方程为kx y =。
所以它与21,l l 的交点分别为)1,11(),13,13(k k k k k k --++。
由题意，得01113=-++kk 。
解得2=k 。
所以所求的直线方程为02=-y x 。
9分因为0>d ，所以 解方程组⎩⎨⎧==+.45,144242a a a a 得⎩⎨⎧==.9,542a a 所以.2,31==d a 所以12+=n a n 。
因为d n n na S n )1(211-+=，所以n n S n 22+=。
所以数列}{n a 的通项公式12+=n a n ，前n 项和公式n n S n 22+=。
4分 （Ⅱ）因为12),(11*2+=∈-=n a N n a b n n n ，所以)1(41+=n n b n 。
因为数列}{n c 满足)1(41,4111+=--=+n n c c c n n ， 所以)111(411nn c c n n --=-+， )111(411nn c c n n --=--， …，… )211(4112-=-c c ， 所以)1(4)111(4111+=+-=-+n n n c c n 。
因为411-=c ，所以)1(4)111(4111+=+-=-+n n n c c n ， 所以)1(411+-=+n c n 。
),1(*N n n ∈≥ 所以nc n 41-=。
6分 （Ⅲ）因为n c n n b c b n n f n n n n 41,)1(41,9)(-=+=-=，所以119)(++=n n n f 。
因为911191119)(-+++=++=n n n n n f ， 所以9111912911191-+⋅+≥-+++n n n n 。
所以959132)(=-≥n f ，当且仅当1191+=+n n ，即2=n 时等号成立。
所以 当2=n 时，)(n f 最小值为95。
9分。