旬阳县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

旬阳县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列哪组中的两个函数是相等函数（ ）
A ．()()4
f x x =
g B ．()()24
=
,22
x f x g x x x -=-+
C ．()()1,01,1,0
x f x g x x >⎧==⎨<⎩ D ．()()=f x x x =，g
2． 设函数f （x ）=
则不等式f （x ）＞f （1）的解集是（ ）
A ．（﹣3，1）∪（3，+∞）
B ．（﹣3，1）∪（2，+∞）
C ．（﹣1，1）∪（3，+∞）
D ．（﹣∞，
﹣3）∪（1，3）
3． 已知集合{| lg 0}A x x =≤，1
={|
3}2
B x x ≤≤，则A B =（ ） A ．(0,3] B ．(1,2]
C ．(1,3]
D ．1
[,1]2
【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力．
4． 与椭圆有公共焦点，且离心率
的双曲线方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6 6． 某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S 的值为（ ）
A．9.6 B．7.68 C．6.144 D．4.9152
7．以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）
A．B．
C．D．
8．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊂α，n∥m⇒n∥αB．m⊂α，n⊥m⇒n⊥α
C．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β
9．如图所示，程序执行后的输出结果为（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
10．设a是函数x的零点，若x0＞a，则f（x0）的值满足（）
A．f（x0）=0 B．f（x0）＜0
C．f（x0）＞0 D．f（x0）的符号不确定
11．已知a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“a=0”是“点M在第四象限”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．设函数，则有（）
A．f（x）是奇函数，B．f（x）是奇函数，y=b x
C．f（x）是偶函数D．f（x）是偶函数，
二、填空题
13．对于映射f：A→B，若A中的不同元素有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，则称f：A→B为一一映射，若存在对应关系Φ，使A到B成为一一映射，则称A到B具有相同的势，给出下列命题：
①A是奇数集，B是偶数集，则A和B具有相同的势；
②A是平面直角坐标系内所有点形成的集合，B是复数集，则A和B不具有相同的势；
③若区间A=（﹣1，1），B=R，则A和B具有相同的势．
其中正确命题的序号是．
14．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是．15．对任意实数x，不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是．
16．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）＝lnx－m
x
（m∈R）在区间[1，e]上取得
最小值4，则m＝________．
17．一船以每小时12海里的速度向东航行，在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，到达C处，看到这个灯塔B在北偏东15°，这时船与灯塔相距为海里．
18．i是虚数单位，化简：=．
三、解答题
19．某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系；
(1) 求实验室这一天的最大温差；
(2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？
20．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，且这个几何体的体积为10．
（Ⅰ）求棱AA1的长；
（Ⅱ）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，且0AD AC ⋅=，sin 3
BAC ∠=，AB =BD ． （Ⅰ）求AD 的长； （Ⅱ）求cos C ．
22．已知函数f （x ）=ax 3+2x ﹣a ， （Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；
（Ⅱ）若a=n 且n ∈N *，设x n 是函数f n （x ）=nx 3
+2x ﹣n 的零点．
（i ）证明：n ≥2时存在唯一x n 且
；
（i i ）若b n =（1﹣x n ）（1﹣x n+1），记S n =b 1+b 2+…+b n ，证明：S n ＜1．
23．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足*2120()n n n a a a n N ++-+=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =++，求n S .
24．（本小题满分12分）已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、 2PF 构成等差数列． （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设经过2F 的直线m 与曲线C 交于P Q 、两点，若2
2
2
11PQ F P F Q =+，求直线m 的方程．
旬阳县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D111]
【解析】
考点：相等函数的概念.
2．【答案】A
【解析】解：f（1）=3，当不等式f（x）＞f（1）即：f（x）＞3
如果x＜0 则x+6＞3可得x＞﹣3，可得﹣3＜x＜0．
如果x≥0 有x2﹣4x+6＞3可得x＞3或0≤x＜1
综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞）
故选A．
3．【答案】D
【解析】由已知得{}
=01
A x x
<?，故A B
1
[,1]
2
，故选D．
4．【答案】A
【解析】解：由于椭圆的标准方程为：
则c2=132﹣122=25
则c=5
又∵双曲线的离心率
∴a=4，b=3
又因为且椭圆的焦点在x轴上，
∴
双曲线的方程为：
故选A
【点评】运用待定系数法求椭圆（双曲线）的标准方程，即设法建立关于a ，b 的方程组，先定型、再定量，
若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx 2+ny 2
=1（m ＞0，n ＞0，m ≠n ），双曲线方程可设为mx 2﹣ny 2
=1（m ＞0，n ＞0，m ≠n ），由题目所给条件求出m ，n 即可．
5． 【答案】B
【解析】
试题分析：设{}n a 的前三项为123,,a a a ，则由等差数列的性质，可得1322a a a +=，所以12323a a a a ++=，
解得24a =，由题意得1313
812a a a a +=⎧⎨=⎩，解得1326a a =⎧⎨=⎩或1362a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 是递增的等差数列，所以
132,6a a ==，故选B ．
考点：等差数列的性质． 6． 【答案】C
【解析】解：由题意可知，设汽车x 年后的价值为S ，则S=15（1﹣20%）x
， 结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）4
=6.144．
故选：C ．
7． 【答案】D 【解析】
解：双曲线的顶点为（0，﹣
2
）和（0，
2
），焦点为（0，
﹣4）和（0，4）．
∴椭圆的焦点坐标是为（0，﹣
2）和（0，
2
），顶点为（0，﹣4）和（0，4）． ∴
椭圆方程为．
故选D ．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．
8． 【答案】D
【解析】解：在A 选项中，可能有n ⊂α，故A 错误； 在B 选项中，可能有n ⊂α，故B 错误； 在C 选项中，两平面有可能相交，故C 错误；
在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D 正确． 故选：D ．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．9．【答案】B
【解析】解：执行程序框图，可得
n=5，s=0
满足条件s＜15，s=5，n=4
满足条件s＜15，s=9，n=3
满足条件s＜15，s=12，n=2
满足条件s＜15，s=14，n=1
满足条件s＜15，s=15，n=0
不满足条件s＜15，退出循环，输出n的值为0．
故选：B．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确判断退出循环时n的值是解题的关键，属于基础题．10．【答案】C
【解析】解：作出y=2x和y=log x的函数图象，如图：
由图象可知当x0＞a时，2＞log x0，
∴f（x0）=2﹣log x0＞0．
故选：C．
11．【答案】A
【解析】解：若a=0，则z=﹣2i（1+i）=2﹣2i，点M在第四象限，是充分条件，
若点M在第四象限，则z=（a+2）+（a﹣2）i，推出﹣2＜a＜2，推不出a=0，不是必要条件；
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．
12．【答案】C
【解析】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
又f（﹣x）===f（x），所以f（x）为偶函数．
而f（）===﹣=﹣f（x），
故选C．
【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．
二、填空题
13．【答案】①③．
【解析】解：根据一一映射的定义，集合A={奇数}→B={偶数}，不妨给出对应法则加1．则A→B是一一映射，故①正确；
对②设Z点的坐标（a，b），则Z点对应复数a+bi，a、b∈R，复合一一映射的定义，故②不正确；
对③，给出对应法则y=tan x，对于A，B两集合可形成f：A→B的一一映射，则A、B具有相同的势；∴
③正确．
故选：①③
【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查一一映射的定义，属于基础题型，考查考生对新定义题的理解与应用能力．
14．【答案】[1，）∪（9，25]．
【解析】解：∵集合，
得（ax﹣5）（x2﹣a）＜0，
当a=0时，显然不成立，
当a＞0时，原不等式可化为
，
若时，只需满足
，
解得；
若，只需满足
，
解得
9＜a≤25，
当a＜0时，不符合条件，
综上，
故答案为[1，）∪（9，25]．
【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．15．【答案】（﹣4，0]．
【解析】解：当a=0时，不等式等价为﹣4＜0，满足条件；
当a≠0时，要使不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，
则满足，
即，
∴
解得﹣4＜a＜0，
综上：a的取值范围是（﹣4，0]．
故答案为：（﹣4，0]．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，注意要对二次项系数进行讨论．
16．【答案】－3e 【解析】f ′（x ）＝1x ＋2m x ＝2x m x
，令f ′（x ）＝0，则x ＝－m ，且当x<－m 时，f ′（x ）<0，f （x ）单调递减，
当x>－m 时，f ′（x ）>0，f （x ）单调递增．若－m ≤1，即m ≥－1时，f （x ）min ＝f （1）＝－m ≤1，不可能等于4；
若1<－m ≤e ，即－e ≤m<－1时，f （x ）
min ＝f （－m ）＝ln （－m ）＋1，令ln （－m ）＋1＝4，得m ＝－e 3（－e ，－
1）；若－m>e ，即m<－e 时，f （x ）min ＝f （e ）＝1－m e ，令1－m
e
＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m
＝－3e.
17．【答案】 24
【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，
在△ABC 中，根据正弦定理得：BC==24
海里，
则这时船与灯塔的距离为24海里．
故答案为：24
．
18．【答案】 ﹣1+2i ．
【解析】解： =
故答案为：﹣1+2i ．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，函数取得最大值为10+2=12，
当t+=时，函数取得最小值为10﹣2=8，
故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃。

（2）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），
由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，
解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温。

20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设AA1=h，
由题设=﹣=10，
∴
即，解得h=3．
故A1A的长为3．
（Ⅱ）∵在长方体中，A1D1∥BC，
∴∠O1BC为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角）．
在△O1BC中，AB=BC=2，A1A=3，
∴AA1=BC1=，=，
∴，
则cos∠O1BC===．
∴异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值为．
【点评】本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）因为AD AC ⊥，所以sin sin cos 2BAC BAD BAD π⎛⎫
∠=+∠=∠ ⎪⎝⎭
,
所以cos BAD ∠=
．…… 3分 在ABD ∆中，由余弦定理可知，222
2cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠ 即28150AD AD -+=,解之得5AD =或3AD =, 由于AB AD >,所以3AD =．…… 6分
（Ⅱ）在ABD ∆中，由cos BAD ∠=可知1
sin 3BAD ∠= …… 7分
由正弦定理可知，sin sin BD AB
BAD ADB =∠∠,
所以sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==…… 9分
因为2ADB DAC C C π
∠=∠+∠=+∠，即cos 3
C =…… 12分
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f'（x ）=3ax 2
+2，
若a ≥0，则f'（x ）＞0，函数f （x ）在R 上单调递增；
若a ＜0，令f'（x ）＞0，∴或
，
函数f （x ）的单调递增区间为
和
；
（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）得，f n （x ）=nx 3
+2x ﹣n 在R 上单调递增，
又f n （1）=n+2﹣n=2＞0，
f n （）==
=
=﹣
当n ≥2时，g （n ）=n 2
﹣n ﹣1＞0，
，
n ≥2时存在唯一x n 且
（i i ）当n ≥2时，，∴
（零点的区间判定）
∴，（数列裂项求和）
∴
，
又f1（x ）=x3+2x ﹣1，
，（函数法定界）
，又
，
∴，
∴
，（不等式放缩技巧）
命题得证．
【点评】本题主要考查了导数的求单调区间的方法和利用数列的裂项求和和不等式的放缩求和技巧解题，属于难题．
23．【答案】（1）102n a n =-；（2）2
29(5)
940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩．
【解析】
试题分析：（1）由2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 是等差数列且18a =，42a =，即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）令0n a =，得5n =，当5n >时，0n a <；当5n =时，0n a =；当5n <时，0n a >，即可分类讨论求解数列n S ．
当5n ≤时，12||||||n n S a a a =++
2
129n a a a n n =+++=-
∴2
29(5)940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩.1
考点：等差数列的通项公式；数列的求和． 24．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．
（II ）①若m 为直线1=x ，代入
13
42
2=+y x 得23±=y ，即)23 , 1(P ，)23 , 1(-Q
直接计算知29PQ =，2
25||||2121=+Q F P F ，222
11PQ F P
F Q ?，1=x 不符合题意 ； ②若直线m 的斜率为k ，直线m 的方程为(1)y k x =-
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+
)1(1342
2x k y y x 得0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2221438k k x x +=+，2
2214312
4k k x x +-=⋅
由222
11PQ F P F Q =+得，11
0F P FQ ? 即0)1)(1(2121=+++y y x x ，0)1()1()1)(1(2121=-⋅-+++x k x k x x
0)1())(1()1(2212212=+++-++k x x k x x k
代入得0438)1()143124)(1(2
22222=+⋅-+++-+k k k k k k ，即0972
=-k 解得773±=k ，直线m 的方程为)1(7
7
3-±=x y。