虎丘区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
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虎丘区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 对于任意两个正整数m ,n ,定义某种运算“※”如下:当m ,n 都为正偶数或正奇数时,m ※n=m+n ;当m ,n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n=mn .则在此定义下,集合M={(a ,b )|a ※b=12,a ∈N *,b ∈N *}中的元素个数是( ) A .10个 B .15个 C .16个 D .18个
2. 若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线: 011=-+y x 和2l :01=-+y x 上移动,则AB 中点M 所在直线方程为( )
A .06=--y x
B .06=++y x
C .06=+-y x
D .06=-+y x 3. 下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数为( ) A .y=x ﹣1
B .y=lnx
C .y=x 3
D .y=|x|
4. PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM 2.5监测点统计的数据(单位:毫克/每立方米)列出的茎叶图,则甲、乙两地浓度的方差较小的是( )
A .甲
B .乙
C .甲乙相等
D .无法确定
5. 若a=ln2,b=5
,c=
xdx ,则a ,b ,c 的大小关系( )
A .a <b <c
B B .b <a <c
C C .b <c <a
D .c <b <a
6. 已知x ∈R ,命题“若x 2>0,则x >0”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是( ) A .0
B .1
C .2
D .3
7. 直线在平面外是指( ) A .直线与平面没有公共点 B .直线与平面相交 C .直线与平面平行
D .直线与平面最多只有一个公共点
8. 设a=sin145°,b=cos52°,c=tan47°,则a ,b ,c 的大小关系是( )
A .a <b <c
B .c <b <a
C .b <a <c
D .a <c <b
9. 已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点,F 为抛物线的焦点.若线段MN 的中点的纵坐标为2,
||||10MF NF +=,则直线MN 的方程为( )
A .240x y +-=
B .240x y --=
C .20x y +-=
D .20x y --=
10.函数f (x )=3x +x 的零点所在的一个区间是( ) A .(﹣3,﹣2) B .(﹣2,﹣1) C .(﹣1,0) D .(0,1)
11.已知三棱锥S ABC -外接球的表面积为32π,0
90ABC ∠=,三棱锥S ABC -的三视图如图
所示,则其侧视图的面积的最大值为( )
A .4
B .
C .8
D .
12.已知等差数列{a n }中,a 6+a 8=16,a 4=1,则a 10的值是( ) A .15
B .30
C .31
D .64
二、填空题
13.已知曲线y=(a ﹣3)x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线,函数f (x )=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1,2]上单调递减,则a 的范围为 .
14.已知函数f (x )=(2x+1)e x ,f ′(x )为f (x )的导函数,则f ′(0)的值为 . 15.若直线:012=--ay x 与直线2l :02=+y x 垂直,则=a .
16.在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 .
17.已知圆C1:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,圆C2:(x﹣3)2+(y﹣4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值.
18.若P(1,4)为抛物线C:y2=mx上一点,则P点到该抛物线的焦点F的距离为|PF|=.三、解答题
19.已知命题p:x2﹣3x+2>0;命题q:0<x<a.若p是q的必要而不充分条件,求实数a的取值范围.
20.已知,数列{a n}的首项
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设,数列{b n}的前n项和为S n,求使S n>2012的最小正整数n.
21.已知函数f(x)=alnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2.
(I)求a、b的值;
(Ⅱ)当x>1时,不等式f(x)>恒成立,求实数k的取值范围.
22.已知抛物线C:x2=2y的焦点为F.
(Ⅰ)设抛物线上任一点P(m,n).求证:以P为切点与抛物线相切的方程是mx=y+n;
(Ⅱ)若过动点M(x0,0)(x0≠0)的直线l与抛物线C相切,试判断直线MF与直线l的位置关系,并予以证明.
23X
(I)求该运动员两次都命中7环的概率;
(Ⅱ)求ξ的数学期望Eξ.
24.求同时满足下列两个条件的所有复数z:
①z+是实数,且1<z+≤6;
②z的实部和虚部都是整数.
虎丘区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)
一、选择题
1.【答案】B
【解析】解:a※b=12,a、b∈N*,
若a和b一奇一偶,则ab=12,满足此条件的有1×12=3×4,故点(a,b)有4个;
若a和b同奇偶,则a+b=12,满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组,故点(a,b)有2×6﹣1=11个,
所以满足条件的个数为4+11=15个.
故选B
2.【答案】D
【解析】
考点:直线方程
3.【答案】D
【解析】解:选项A:y=在(0,+∞)上单调递减,不正确;
选项B:定义域为(0,+∞),不关于原点对称,故y=lnx为非奇非偶函数,不正确;
选项C:记f(x)=x3,∵f(﹣x)=(﹣x)3=﹣x3,∴f(﹣x)=﹣f(x),故f(x)是奇函数,又∵y=x3区间(0,+∞)上单调递增,符合条件,正确;
选项D:记f(x)=|x|,∵f(﹣x)=|﹣x|=|x|,∴f(x)≠﹣f(x),故y=|x|不是奇函数,不正确.
故选D
4.【答案】A
【解析】解:根据茎叶图中的数据可知,甲地的数据都集中在0.06和0.07之间,数据分别比较稳定,
而乙地的数据分布比较分散,不如甲地数据集中,
∴甲地的方差较小.
故选:A.
【点评】本题考查茎叶图的识别和判断,根据茎叶图中数据分布情况,即可确定方差的大小,比较基础.5.【答案】C
【解析】解:∵a=ln2<lne即,
b=5=,
c=xdx=,
∴a,b,c的大小关系为:b<c<a.
故选:C.
【点评】本题考查了不等式大小的比较,关键是求出它们的取值范围,是基础题.
6.【答案】C
【解析】解:命题“若x2>0,则x>0”的逆命题是“若x>0,则x2>0”,是真命题;
否命题是“若x2≤0,则x≤0”,是真命题;
逆否命题是“若x≤0,则x2≤0”,是假命题;
综上,以上3个命题中真命题的个数是2.
故选:C
7.【答案】D
【解析】解:根据直线在平面外是指:直线平行于平面或直线与平面相交,
∴直线在平面外,则直线与平面最多只有一个公共点.
故选D.
8.【答案】A
【解析】解:∵a=sin145°=sin35°,b=cos52°=sin38°,c=tan47°>tan45°=1,
∴y=sinx在(0,90°)单调递增,
∴sin35°<sin38°<sin90°=1,
∴a<b<c
故选:A
【点评】本题考查了三角函数的诱导公式的运用,正弦函数的单调性,难度不大,属于基础题.
9.【答案】D
【解析】解析:本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法.
设1122(,)(,)M x y N x y 、,那么12||||210MF NF x x +=++=,128x x +=,∴线段MN 的中点坐标为(4,2).
由2114y x =,2224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-,
而1222y y +=,∴12
12
1y y x x -=-,∴直线MN 的方程为24y x -=-,即20x y --=,选D . 10.【答案】C
【解析】解:由函数f (x )=3x +x 可知函数f (x )在R 上单调递增,
又f (﹣1)=﹣1<0,f (0)=30
+0=1>0,
∴f (﹣1)f (0)<0,
可知:函数f (x )的零点所在的区间是(﹣1,0). 故选:C .
【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性,属于基础题.
11.【答案】A 【解析】
考
点:三视图.
【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图. 12.【答案】A
【解析】解:∵等差数列{a n }, ∴a 6+a 8=a 4+a 10,即16=1+a 10, ∴a 10=15, 故选:A .
二、填空题
13.【答案】 .
【解析】解:因为y=(a ﹣3)x 3
+lnx 存在垂直于y 轴的切线,即y'=0有解,即
y'=
在x >0时有解,
所以3(a ﹣3)x 3
+1=0,即a ﹣3<0,所以此时a <3.
函数f (x )=x 3﹣ax 2
﹣3x+1在[1,2]上单调递减,则f'(x )≤0恒成立,
即f'(x )=3x 2
﹣2ax ﹣3≤0恒成立,即
,
因为函数在[1,2]上单调递增,所以函数
的最大值为
,
所以,所以.
综上.
故答案为:
.
【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用,要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用.
14.【答案】 3 .
【解析】解:∵f (x )=(2x+1)e x
,
∴f ′(x )=2e x +(2x+1)e x
, ∴f ′(0)=2e 0+(2×0+1)e 0
=2+1=3.
故答案为:3.
15.【答案】1 【解析】
试题分析:两直线垂直满足()02-12=⨯+⨯a ,解得1=a ,故填:1. 考点:直线垂直
【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系,属于基础题型,当直线是一般式直线方程时,0:1111=++c y b x a l ,0:2222=++c y b x a l ,当两直线垂直时,
需满足02121=+b b a a ,当两直线平行时,需满足01221=-b a b a 且1221c b c b ≠,或是2
12121c c
b b a a ≠=,当直线是斜截式直线方程时,两直线垂直
121-=k k ,两直线平行时,21k k =,21b b ≠.1
16.【答案】.
【解析】解:过CD作平面PCD,使AB⊥平面PCD,交AB与P,
设点P到CD的距离为h,
则有V=×2×h××2,
当球的直径通过AB与CD的中点时,h最大为2,
则四面体ABCD的体积的最大值为.
故答案为:.
【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识,考查运算求解能力,考查空间想象力.属于基础题.
17.【答案】5﹣4.
【解析】解:如图,圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(2,﹣3),半径为1,圆C2的圆心坐标(3,4),半径为3,
|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,
即:﹣4=5﹣4.
故答案为:5﹣4.
【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法,考查两个圆的位置关系,两点距离公式的应用,考查转化思想与计算能力,考查数形结合的数学思想,属于中档题.
18.【答案】5.
【解析】解:P(1,4)为抛物线C:y2=mx上一点,
即有42=m,即m=16,
抛物线的方程为y2=16x,
焦点为(4,0),
即有|PF|==5.
故答案为:5.
【点评】本题考查抛物线的方程和性质,考查两点的距离公式,及运算能力,属于基础题.
三、解答题
19.【答案】
【解析】解:对于命题p:x2﹣3x+2>0,解得:x>2或x<1,
∴命题p:x>2或x<1,
又∵命题q:0<x<a,且p是q的必要而不充分条件,
当a≤0时,q:x∈∅,符合题意;
当a>0时,要使p是q的必要而不充分条件,
需{x|0<x<a}⊊{x|x>2或x<1},
∴0<a≤1.
综上,取并集可得a∈(﹣∞,1].
【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断方法,考查了一元二次不等式的解法,是基础题.
20.【答案】
【解析】解:(Ⅰ),
,
.
数列是以1为首项,4为公差的等差数列.…
,
则数列{a n}的通项公式为.…
(Ⅱ).…①
.…②
②﹣①并化简得.…
易见S n为n的增函数,S n>2012,
即(4n﹣7)•2n+1>1998.
满足此式的最小正整数n=6.…
【点评】本题考查数列与函数的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意错位相减求和法的合理运用.21.【答案】
【解析】解:(I)∵函数f(x)=alnx+的导数为
f′(x)=﹣,且直线y=2的斜率为0,又过点(1,2),
∴f(1)=2b=2,f′(1)=a﹣b=0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解得a=b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(II)当x>1时,不等式f(x)>,即为(x﹣1)lnx+>(x﹣k)lnx,
即(k﹣1)lnx+>0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
令g(x)=(k﹣1)lnx+,g′(x)=+1+=,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
令m(x)=x2+(k﹣1)x+1,
①当≤1即k≥﹣1时,m(x)在(1,+∞)单调递增且m(1)≥0,
所以当x>1时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)单调递增,
则g(x)>g(1)=0即f(x)>恒成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
②当>1即k<﹣1时,m(x)在上(1,)上单调递减,
且m(1)<0,故当x∈(1,)时,m(x)<0即g′(x)<0,
所以函数g(x)在(1,)单调递减,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当x∈(1,)时,g(x)<0与题设矛盾,
综上可得k的取值范围为[﹣1,+∞)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
22.【答案】
【解析】证明:(Ⅰ)由抛物线C:x2=2y得,y=x2,则y′=x,
∴在点P(m,n)切线的斜率k=m,
∴切线方程是y﹣n=m(x﹣m),即y﹣n=mx﹣m2,
又点P(m,n)是抛物线上一点,
∴m2=2n,
∴切线方程是mx﹣2n=y﹣n,即mx=y+n …
(Ⅱ)直线MF与直线l位置关系是垂直.
由(Ⅰ)得,设切点为P(m,n),则切线l方程为mx=y+n,
∴切线l的斜率k=m,点M(,0),
又点F(0,),
此时,k MF====…
∴k•k MF=m×()=﹣1,
∴直线MF⊥直线l …
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,导数的几何意义,直线垂直的条件等,属于中档题.
23.【答案】
【解析】解:(1)设A=“该运动员两次都命中7环”,
则P(A)=0.2×0.2=0.04.
(2)依题意ξ在可能取值为:7、8、9、10
且P(ξ=7)=0.04,
P(ξ=8)=2×0.2×0.3+0.32=0.21,
P(ξ=9)=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39,
P(ξ=10)=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36,
∴ξ的分布列为:
ξ7 8 9 10
P 0.04 0.21 0.39 0.36
ξ的期望为Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07.
【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用.
24.【答案】
【解析】解:设z+=t,则z2﹣tz+10=0.∵1<t≤6,∴△=t2﹣40<0,
解方程得z=±i.
又∵z的实部和虚部都是整数,∴t=2或t=6,
故满足条件的复数共4个:z=1±3i 或z=3±i.。