2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.1直线的倾斜角与斜率--教师用

2011年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）
§9.1直线的倾斜角与斜率
★知识梳理★
1、直线的倾斜角与斜率:
对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向
旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[00，1800
)
直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α0
90≠时， k 与α的关系是αtan =k ；α
090=时，直线斜率不存在；
经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是1
21
2x x y y k --=
；
三点C B A ,,共线的充要条件是AC AB k k =
1.设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α＋45°，则α的范围为 . 答案 0°＜α＜135°
2.（2008·全国Ⅰ文）曲线y ＝x 3－2x ＋4在点（1，3）处的切线的倾斜角为 . 答案 45°
3.过点M （－2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为 . 答案 1
4.已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l 的斜率取值范围是 . 答案 （－∞,－1）∪［0，＋∞）
5.若直线l 经过点（a －2，－1）和（－a －2，1）且与经过点（－2，1），斜率为－3
2的直线垂直，则实数a 的值为 . 答案 －3
2
基础自测
例1 若α∈⎪⎭⎫
⎢⎣⎡2,6ππ，则直线2xcos α＋3y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是 .
答案 ⎪⎭
⎫⎢⎣⎡ππ,6
5
例2 （14分）已知直线l 1:ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2:x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.
解 （1）方法一 当a ＝1时，l 1:x ＋2y ＋6＝0, l 2:x ＝0,l 1不平行于l 2; 当a ＝0时，l 1:y ＝－3,
l 2:x －y －1＝0,l 1不平行于l 2; 2分 当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y ＝－x a 2
－3,l 2:y ＝
x a
-11
－(a ＋1), l 1∥l 2⇔⎪⎩
⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a a a
，解得a ＝－1, 5分 综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分 方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a （a －1）－1×2＝0， 由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a(a 2－1)－1×6≠0,
2分
∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨
⎧≠⨯--=⨯--0
61)1(021)1(2
a a a a
4分
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧≠-=--6)1(0
22
2a a a a ⇒a ＝－1, 5分 故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分 （2）方法一 当a ＝1时，l 1:x ＋2y ＋6＝0,l 2:x ＝0, l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立.
8分
当a ≠1时，l 1:y ＝－2
a
x －3, l 2:y ＝x a
-11
－(a ＋1),
12分
由⎪⎭⎫
⎝⎛-2a ·
a
-11＝－1⇒a ＝3
2. 14分
方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，
信心、专心、恒心
第 3 页 共 6 页
得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝3
2.
14分
例3 已知实数x,y 满足y ＝x 2－2x ＋2 (－1≤x ≤1). 试求：2
3
++x y 的最大值与最小值. 解 由
2
3
++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （－2，－3）与曲线段AB 上任一点（x,y)的直线的斜率k,
如图可知：k PA ≤k ≤k PB , 由已知可得：A （1，1），B （－1，5）， ∴3
4≤k ≤8， 故23++x y 的最大值为8，最小值为3
4
.
1.直线xcos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是 .
答案 ⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,656,0 2.已知两条直线l 1:(3＋m)x ＋4y ＝5－3m,l 2:2x ＋(5＋m)y ＝8.当m 分别为何值时，l 1与l 2: （1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 解 m ＝－5时，显然，l 1与l 2相交；
当m ≠－5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为 k 1＝－
43m +，k 2＝－m
+52
， 它们在y 轴上的截距分别为b 1＝435m -，b 2＝m
+58
. （1）由k 1≠k 2,得－
43m +≠－m
+52
， m ≠－7且m ≠－1.
∴当m ≠－7且m ≠－1时，l 1与l 2相交.
（2）由⎩⎨⎧≠=,,2121b b k k ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+≠
-+-=+-m m m
m
584
355243，m ＝－7. ∴当m ＝－7时，l 1与l 2平行.
（3）由k 1k 2＝－
1,
得－
4
3m +·⎪⎭⎫
⎝⎛+-
m 52＝－1，m ＝－313. ∴当m ＝－
3
13
时，l 1与l 2垂直. 3.若实数x,y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么x
y
的最大值为 . 答案 3
一、填空题
1.直线xcos θ＋y －1＝0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 .
答案 ⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,4
34,0 2.（2009·姜堰中学高三综合练习）设直线l 1:x －2y ＋2＝0的倾斜角为1α,直线l 2:mx －y ＋4＝0的倾斜角为2α,且2α＝1α＋90°,则m 的值为 .
答案 －2
3.已知直线l 经过A （2，1），B （1，m 2）（m ∈R ）两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是 .
答案 ⎪⎭
⎫
⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0 4.已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝x 对称，直线l 3⊥l 2，则l 3的斜率为 . 答案 －2
5.若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是 . 答案 －3
1
6.（2008·浙江理，11）已知a ＞0,若平面内三点A （1，－a ），B （2，a 2），C （3，a 3）共线，则a ＝ .
答案 1＋2
7.已知点A （－2，4）、B （4，2），直线l 过点P （0，－2）与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .
答案 （－∞，－3］∪［1，＋∞） 8.已知两点A （－1，－5），B （3，－2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案
31
信心、专心、恒心
第 5 页 共 6 页
二、解答题
9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（－1，1）、（2，2），若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围.
解 方法一 直线x ＋my ＋m ＝0恒过A （0，－1）点. k AP ＝1011+--＝－2，k AQ ＝2021---＝2
3
， 则－
m 1≥23或－m 1
≤－2， ∴－3
2≤m ≤2
1且m ≠0.
又∵m ＝0时直线x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点， ∴所求m 的取值范围是－32
≤m ≤2
1. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 y －1＝
1212+-(x ＋1),即y ＝31x ＋3
4
, 代入x ＋my ＋m ＝0, 整理，得x ＝－3
7+m m
. 由已知－1≤－
37+m m ≤2, 解得－32≤m ≤2
1
. 10.已知直线l 1:x ＋my ＋6＝0,l 2:(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0,求m 的值，使得：
（1）l 1与l 2相交；（2）l 1⊥l 2;(3)l 1∥l 2;(4)l 1,l 2重合. 解 （1）由已知1×3≠m(m －2), 即m 2－2m －3≠0, 解得m ≠－1且m ≠3.
故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交. （2）当1·（m －2）＋m·3＝0，即m ＝2
1
时，l 1⊥l 2. (3)当
21-m ＝3m ≠m 26
,即m ＝－1时，l 1∥l 2. （4）当
21-m ＝3
m ＝m 26
， 即m ＝3时，l 1与l 2重合. 11.已知A （0，3）、B （－1，0）、C （3，0），求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）. 解 设所求点D 的坐标为（x ，y ），如图所示，由于k AB ＝3，k BC ＝0， ∴k AB ·k BC ＝0≠－1，
即AB 与BC 不垂直，故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边
.
①若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∵k BC ＝0，∴CD 的斜率不存在，从而有x ＝3. 又k AD ＝k BC ，∴
x
y 3
-＝0，即y ＝3. 此时AB 与CD 不平行.
故所求点D 的坐标为（3，3）. ②若AD 是直角梯形的直角边， 则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ， k AD ＝
x y 3-，k CD ＝3-x y . 由于AD ⊥AB ，∴x
y 3
-·3＝－1. 又AB ∥CD ，∴3-x y ＝3. 解上述两式可得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==,
59,5
18y x
此时AD 与BC 不平行. 故所求点D 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛59,518, 综上可知，使ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为（3，3）或⎪⎭
⎫ ⎝⎛59,518. 12.已知两点A （－1，2），B （m ，3）. （1）求直线AB 的方程； （2）已知实数m ∈⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡
---
13,133
，求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 解 （1）当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1, 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1
1
+m (x ＋1). （2）①当m ＝－1时，α＝
2
π; ②当m ≠－1时，m ＋1∈(]
3,00,33 ⎪⎪⎭
⎫
⎢⎢⎣
⎡-
， ∴k ＝
11+m ∈（－∞，－3］∪⎪⎪⎭
⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33， ∴α∈⎥⎦⎤
⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,22,6ππππ . 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
32,
6
ππ
.。