双星问题 文档

（11分）宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为的圆轨道上运行，如图甲所示。

另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示，设每个星体的质量均为，
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；
(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
解析：
(1)第一种形式下，如图甲所示，以某个运动的星体为研究对象，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有
，则求得星体运动的线速度。

又有可求得星体运动的周期为：。

(2)第二种形式下，设星体之间的距离为,如图乙所示，则三个星体做圆周运动的半径为，由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，由力的合成和牛顿第二定律，
有：，解得：。

宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起.设二者的质量分别为m1和m2，两者相距为L，运动情景如图7-3-3所示.求：
图7-3-3
(1)双星的轨道半径之比；
(2)双星的线速度之比；
(3)双星的角速度.
解析：在宇宙中的天体都绕着同一圆心做圆周运动，因此它们具有相同的角速度，且半径之和为L，即r1+r2=L.天体m1做圆周运动时，天体m2对天体m1的万有引力提供m1做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得：
G=m1r1ω2，同理可得天体m2做圆周运动时的向心力的表达式：G=m2r2ω2.联立以上各式解得：
r1∶r2=m2∶m1；又根据v=ωr得：v1∶v2=m2∶m1；根据r1∶r2=m2∶m1和r1+r2=L得：r2=L，将r2的值代入G=m2r2ω2中，得到ω=
答案：(1) (2)
(3)ω=
宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的
引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗
星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G。

（1）求星体做匀速圆周运动的轨道半径。

（2）若实验观测得到星体的半径为R，求星体表面的重力加速度。

（3）求星体做匀速圆周运动的周期。

解：（1）由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径
（2）由万有引力的定律可知则星体表面的重力加速度（3）
星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心
力公式得：解得：星体做匀速圆周运动的周期
天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。

双星系统在银河系中很普遍。

利
用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。

已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的
某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。

（引力常量为G）
设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为w1,w2。

根据题意有
w1=w2 ①
r1+r2=r ②
根据万有引力定律和牛顿定律，有
③
④
联立以上各式解得
⑤
根据角速度与周期的关系知
⑥
联立③⑤⑥式解得。