第2章 随机信号和噪声(第4讲_130918new)

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随机过程的数字特征
☆互协方差函数
C XY (t1 , t2 )
互相关系数
E {[ X (t1 ) − mX (t1 ) ][Y (t2 ) − mY (t2 ) ]} = RXY (t1 , t2 ) − mX (t1 ) mY (t2 )
ρ XY =
σ XσY
C XY
则称 X (t ) 和 Y (t ) 为正交过程。 • 若对任意t1,t2
C XY (t1 , t2 ) = 0,
ρ XY = 0,
RXY (t1 , t2 ) = E[ X (t1 )Y (t2 )] = E[ X (t1 )]E[Y (t2 )]
则称 X (t ) 和 Y (t ) 互不相关。 若统计独立 互不相关
∂n Fn ( x1，x2， ，xn；t1，t2， ，t n ) fn ( x1，x2， ，xn；t1，t2， ，tn ) = ∂x1∂x2 ∂xn
n 维联合概率密度函数为:
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通信工程中常用的是一维和二维的分布，即 n=1或2
随机过程X (t ) 的一维分布函数和密度函数：
☆
CXY (t1, t2 ) = RXY (t1, t2 ) − mX (t1)mY (t2 ) =0
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2.1.4 随机过程分类
☆根据r.p.的状态和时间参量的取值是连续的还是离 散的，可以分为四类：
(1)如果随机过程的取值是连续的，时间参量也是连续的，称 这类过程为连续随机过程。典型的例子就是热噪声电压,正 弦波过程。 (2) 如果随机过程的取值是连续的，时间参量是离散的，这类 过程称为连续随机序列。对连续随机过程采样就得到连续随 机序列。 (3)如果随机过程的取值是离散的，时间参量是连续的，则称 这类过程为离散随机过程。一个典型的例子就是泊松过程。 (4)如果随机过程的取值是离散的，时间参量也是离散的，则 称这类过程为离散随机序列。一个典型的例子就是贝努利过 程。
RX (t1 , t2 )
E { X (t1 ) X (t2 )} = mX1 X 2 =∫
∞ −∞ −∞ 1 2
∫
∞
x x f X ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1 x2
◇反映同一随机过程在两个不同时刻状态的相关程度. 当 t1 = t2 = t 时，有
RX (t1 , t2 ) = E[ X (t ) X (t )] = E[ X 2 (t )]
2013年9月18日
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2.1.2 随机过程概率分布及密度函数描述
☆r. p. X(t) 是依赖于时间t的一簇 r. v. 。 其分析归结为对多维 r. v.的分析与描述。 r.p.X(t)在n 个时刻的状态可用n 维r.v.向量来表示, 统计特性用n 维联合分布函数(或联合p.d.f.)来描述。 取 t1 < t 2 < < t n ,可得n 个r.v. : X i X (ti ), i = 1, 2,..., n , 构成一n 维随机向量,其对应的 n 维联合概率分布函数为: Fn ( x1 , x2 , xn ; t1 , t2 , tn ) = P { X 1 ≤ x1 , X 2 ≤ x2 , X n ≤ xn }
x1
x2 −∞
f X ( x '1 , x ' 2 ; t 1 , t 2 ) d x '1 x ' 2
∂ 2 F 2 ( x 1 , x 2 ; t1 , t 2 ) f 2 ( x 1 , x 2 ; t1 , t 2 ) = ∂ x1 ⋅ ∂ x 2
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2.1.3 随机过程(r.p.)的数字特征 (统计平均):期望与方差,相关函数，协方差
1. r.p.的期望与方差（一维p.d.f.已知） ☆期望( 均值）:表征随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。
E { X (t )}
∫
∞
−∞
xf X ( x, t )dx
mX (t )
☆方差(二阶中心矩):表征随机过程在时刻t对于均值 mX(t) 的偏离程度。σ x (t ) = σ x 2 = D[ X (t )] 称为:标准离差.
统计特征及分类22广义平稳随机过程及各态遍历性信息传输与处理实验室212随机过程概率分布及密度函数描述个时刻的状态可用n维rv
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第二章 随机信号和噪声
第4讲 通信系统传输与处理的通常是随机信号 系统中的噪声与干扰也可用随机过程描述
2.1 随机过程的定义,刻划(分布函数;统计特征)及分类 2.2 广义平稳随机过程及各态
−∞
x1
y2 −∞
f
XY
( x '1 , t1 ; y ' 2 , t 2 ) dx '1 d y ' 2
RXY (t1 , t2 )
E { X (t1 )Y (t2 )} =∫
+∞ −∞
∫
+∞
−∞
x1 y2 f XY ( x1 , t1 ; y2 , t2 ) dx1dy2
随机过程的数字特征:互相关函数
3.互相关函数,互协方差和相关系数 考虑两个实随机过程X (t ) 和 Y (t ) 。设 t1 , t2 ∈ T , 对应有两个随机变 量 X 1 = X (t1 ) ，Y2 = Y (t2 ) ，构成一个二维随机向量（X1,Y2）。 设存在联合概率分布和密度
F X Y ( x1 , t 1 ; y 2 , t 2 ) =
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根据r.p.的概率特性的分类
☆根据r.p.的概率特性可做如下分类: 平稳随机过程 泊松过程 马尔可夫过程 二阶矩过程
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2.2 广义平稳随机过程及各态遍历性
2.2.1 广义平稳过程及相关函数 RX (τ ) 的性质 1.平稳随机过程的定义
☆
∵ mX (t ) = 0 a2 ∴ C X (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) = cos [ωcτ ] 2
☆
∵ B ∼ N (0,1), E[ B ] = 0 ∴ mY (t ) = E { B cos ωc t} = E { B} cos ωc t = 0
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则称该r.p.为广义平稳过程。
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广义平稳随机过程的判据
★若X(t)为广义平稳r.p. , 则有:
(1)
E{ X (t )} = ∫ xf X ( x)dx =mX
−∞
∞
为常量
D{ X (t )} = σ X 2
(2)
为常量
RX (t1 , t2 ) = ∫
xn ; t1 + ε , t2 + ε ,
tn + ε )
则称 X(t) 为n 阶平稳过程。若 n → ∞ ,则称该过程为严格平稳过程。 ☆广义平稳：若只满足 n=1,2 成立，即
⎧ f X ( x1, t1) = f X ( x1, t1 + ε ) = f X ( x1) ⎨ ⎩ f X (x1, x2 , t1, t2 ) = f X (x1, x2 , t1 + ε , t2 + ε ) = f X ( x1, x2 , t2 − t1)
当 t1 = t2 = t 时，有:
C X (t , t ) = R X (t , t ) − m X 2 (t ) = E [ X 2 ( t )] − E 2 ( X ( t ))
2 = D [ X ( t )] = σ X ( t )
◇(自)协方差函数即为方差.
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式中 a 、ωc 为已知常量， 和θ 为独立随机变量， B R C Var 求 mX (t ) ， [ X (t )] ， X (t1 , t2 ) ，C X (t1 , t2 )，mY (t ) ，RY (t1 , t2 ) ，Y (t1 , t2 ) RXY (t1 , t2 ) ，和 C XY (t1 , t2 ) .
随机过程的数字特征: 相关函数
2. 相关函数和协方差函数（二维p.d.f.已知） 对于r.p. X(t),在t1 t2时刻的状态为两个r.v.,构成一个二 维r.v.向量, ( X (t1 ), X (t2 )) = ( X 1 , X 2 ) 若二维联合概率 密度函数为 f X ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) ，则 ☆定义自相关函数：
, σ X = D ( X (t1 ) , σ Y = D (Y (t2 )
☆相关关系
E [ X Y ] = ρ X Y ( t1 , t 2 )σ X σ
Y
+ E [ X ] E [Y ]
◇表征两个不同的r.p.之间的相关性.
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若对任意t1,t2,
RXY (t1 , t2 ) = 0 or C XY (t1 , t2 ) = −mx (t1 )m y (t2 )
反之，并不成立。（高斯随机过程例外）
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例2.2
X (t ) = a cos(ωc t + θ ) , 例2.2 设过程 随机变量 θ 的概率密度为 1
⎧ 2π fθ (θ ) = ⎨ ⎩0
(−π ≤ θ ≤ π ) (其余)
另一过程
Y (t ) = B cos ωc t
,随机变量 B为高斯分布.
例2.2
RY (t1 , t2 ) = E { B 2 cos ωc t1 cos ωc t2 } = cos ωc t1 cos ωct2 = CY (t1 , t2 )
☆
☆
RXY (t1 , t2 ) = E {a cos(ωc t1 + θ ) ⋅ B cos ωc t2 } = aE {cos(ωc t1 + θ )} ⋅ E { B} cos ωc t2 = mX (t1 )mY (t2 ) = 0
F1 ( x 1 , t 1 ) = f 1 ( x 1 , t1 ) =
∫
x1 −∞
f X ( x ' , t1 )d x '
∂ F1 ( x 1 , t 1 ) ∂ x1
随机过程X (t ) 的二维联合分布函数和联合密度函数：
F X ( x 1 , x 2 ; t1 , t 2 ) =
∫ ∫
−∞
◇此时相关函数即为均方值。
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随机过程的数字特征: 协方差函数
☆协方差函数（相关矩）:
CX (t1, t2 ) E {[ X (t1 ) − mX (t1 )][ X (t2 ) − mX (t2 )]} = M X1X 2 = RX (t1 , t2 ) − mX1 (t1 )mX 2 (t2 )
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π
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例2.2
☆
RX (t1 , t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] = E {a 2 cos(ωc t1 + θ ) cos(ωc t2 + θ )} a2 = E {cos(ωc t1 − ωc t2 ) + cos(ωc t1 + ωc t2 + 2θ )} 2 a2 a2 = cos [ωc (t1 − t2 ) ] = cos ωcτ 2 2
☆
Var [ X (t )] = E { X 2 (t )} − mX 2 (t ) = E {a 2 cos 2 (ωct + θ )} a2 a2 = + E {cos(2ωct + 2θ )} 2 2 1 a2 a2 π = + ∫ cos(2ωct + 2θ ) ⋅ dθ −π 2 2 2π a2 = 2
☆若一个随机过程(r.p.) 的n维p.d.f. 与时间起点无关,则称为平稳随 机过程 (狭义平稳、严平稳)。 ☆严平稳过程: 对于任意 t1 , t2 ,
tn 和ε ，若 X(t) 的n维 p.d.f.满足
f X ( x1 , x2 ,
xn ; t1 , t2 ,
tn ) = f X ( x1 , x2 ,
2 σ X (t ) = D { X (t )} E{[ X (t ) − mX (t )]2 } = E[ X 2 (t )] − mX 2 (t )
E[ X 2 (t )] 。 ☆ n 阶原点矩: 二阶原点矩为均方值
E { X (t )}
n
∫
∞
−∞
x n f X ( x, t )dx
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⎧ b2 ⎫ 1 f B (b) = exp ⎨− ⎬ − ∞ < b < ∞ 2π ⎩ 2⎭
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例2.2
解: ☆ m (t ) = E[ X (t )] = E {a cos(ω t + θ )} X c
1 dθ = 0 = a ∫ cos(ωct + θ ) ⋅ −π 2π