江苏省江阴市南菁中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

江苏省江阴市南菁中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知平面向量a⃗=(0,1,0)，b⃗ =(0,−1
2,√ 3
2
)，则a与a+b⃗的夹角为( )
A. π
3B. 2π
3
C. π
6
D. 5π
6
2.已知过点P(2,2)的直线与圆(x−1)2+y2=5相切，且与直线ax−y+1=0平行，则a=( )
A. 2
B. 1
C. −1
2D. 1
2
3.坐标平面内有相异两点A(cosθ,sin2θ)，B(0,1)，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( )
A. [−π
4,π
4
] B. (0,π
4
]∪[3π
4
,π) C. [0,π
4
]∪[3π
4
,π) D. [π
4
,3π
4
]
4.已知实数x1，x2，y1，y2满足x12+y12=4，x22+y22=4，x1x2+y1y2=0，则|x1+y1−4|+|x2+y2−4|的最大值是( )
A. 6
B. 8
C. 6√ 2
D. 12
5.已知数列{a n}满足a n+1={2a n,n为奇数
a n+1,n为偶数
，若3≤a9≤15，则a1的取值范围是( )
A. [−1,0]
B. [−3
4,0] C. [0,3
4
] D. [0,1]
6.已知点A(−2,0)，B(5,7)，圆C：x2+y2−4x+m=0，若在圆C上存在唯一的点Q使得∠AQB=90°，则m 可以为( )
A. −2
B. 68
C. 2或−68或−12或−54
D. −2或−68或54
7.设拋物线C：y2=2px(p>0)的焦点是F，直线l与抛物线C相交于P，Q两点，且∠PFQ=2π
3
，线段PQ的
中点A到拋物线C的准线的距离为d，则(|PQ|
d
)2的最小值为( )
A. √ 3
B. √ 3
3C. 3 D. 1
3
二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

8.已知方程x 2
6−m +y
2
m−2
=1表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是( )
A. 当m>6或m<2时，曲线C是双曲线
B. 当2<m<6时，曲线C是椭圆
C. 若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则m >6
D. 若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则2<m <4 9.给出下列命题，其中正确的命题是( )
A. 若直线l 的方向向量为e ⃗ =(1,0,3)，平面α的法向量为n ⃗ =(−2,0,2
3
)，则直线l//α
B. 若对空间中任意一点O ，有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P ，A ，B ，C 四点共面
C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D. 已知向量a ⃗ =(9,4,−4)，b ⃗ =(1,2,2)，则a 在b ⃗ 上的投影向量为(1,2,2) 10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，下列说法正确的( ) A. 若S n =n 2+1，则{a n }是等差数列 B. 若S n =3n −1，则{a n }是等比数列 C. 若{a n }是等差数列，则S 9=9a 5
D. 若{a n }是等比数列，且a 1>0，q >0，则S 1⋅S 3>S 22
11.如图，经过坐标原点O 且互相垂直的两条直线AC 和BD 与圆x 2+y 2−4x +2y −20=0相交于A ，B ，C ，D 四点，M 为弦AB 的中点，有下列结论( ) A. 弦AC 长度的最小值为4√ 5 B. 线段BO 长度的最大值为10−√ 5 C. 点M 的轨迹是一个圆
D. 四边形ABCD 面积的取值范围为[20√ 5,45]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

12.正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______． 13.若圆x 2+y 2−4x −4y −10=0上至少有三个不同的点到直线l ：y =kx 的距离为2√ 2，则直线l 斜率的取值范围是______．
14.如图，已知双曲线
x 2
a 2
−
y 2b
2
=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，
F 2，|F 1F 2|=6，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1
的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是______．
15.记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知对任意的n ∈N ∗，a n +a n+1=2n +1，且存在k ∈N ∗，S k =S k+1=210，则a 1的取值集合为______(用列举法表示)．
四、解答题：本题共5小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题15分)
已知直线l ：kx −y +2k =0与圆C ：(x −1)2+(y −2)2=4交于A ，B 两点． (1)若圆心C 到直线l 的距离为
√ 2
2
，求k 的值．
(2)是否存在过点D(14,9
4
)的直线l′垂直平分弦AB ？若存在，求出直线l′与直线l 的交点坐标；若不存在，请说明理由． 17.(本小题15分)
如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC ⊥平面ABC ，PA =PC =AC =2，BC =4，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ． (1)证明：l ⊥平面PAC ；
(2)直线l 上是否存在点Q ，使得直线PQ 与平面AEF 所成的角的正弦值为√ 5
5若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题15分)
已知正项等比数列{a n }前n 项和为S n ,a 4=a 23
，当n ≥2时，S n =2S n−1+m ，m ∈R ．
(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{m⋅2n
S n S n+1
}的前n 项和T n ．
19.(本小题15分)
已知双曲线C：x 2
a2
−y2=1的右焦点为F，点M，N分别为双曲线C的左、右顶点，过点F的直线l交双曲线的
右支于P，Q两点，设直线MP，NP的斜率分别为k1，k2，且k1k2=1
3
．
(1)求双曲线C的方程；
(2)当点P在第一象限，且tan∠MPN
tan∠MQN =1
2
时，求直线l的方程．
20.(本小题15分)
记数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，S n+S n+1=3a n+1−4．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)设b n=a n log2a n，记{b n}的前n项和为T n.若t(n−1)2+2≤T n对于n≥2且n∈N∗恒成立，求实数t的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】AD
9.【答案】CD 10.【答案】BC 11.【答案】ACD 12.【答案】[0,4]
13.【答案】[2−√ 3,2+√ 3] 14.【答案】3 15.【答案】{−20,21}
16.【答案】解：(1)圆C ：(x −1)2+(y −2)2=4，则圆心C(1,2)，
∵直线l ：kx −y +2k =0，圆心C 到直线l 的距离为√ 2
2， ∴d =
√ k 2+1
=
√ 2
2
，即17k 2−24k +7=0，即(k −1)(17k −7)=0，解得k =1或k =
7
17
； (2)假设存在，
圆C ：(x −1)2+(y −2)2=4，则圆心C(1,2)，
要使过点D(14,9
4)的直线l′垂直平分弦AB ，则直线l′必经过圆心C ， ∴k l ′=
2−9
41−14
=−13，∴直线l′的方程为y −2=−13
(x −1)，即x +3y −7=0，
又AB ⊥CD ，且直线l ：kx −y +2k =0，∴k l ′⋅k =−1，即k =3， ∴直线l 的方程为3x −y +6=0，
联立直线l 与l′的方程得{3x −y +6=0
x +3y −7=0，解得{x =−11
10y =
2710， ∴直线l′与直线l 的交点坐标为(−1110,27
10).
17.【答案】解：(1)证明：连接CO 并延长，交圆O 于点S ，连接AS ，SB ，SF ，
则AB =SC ，四边形ASBC 为矩形，BC//AS ， 因为EF//BC ，所以EF//AS ，
故平面AEF 与平面ABC 的交线为AS 所在直线，即AS 所在直线为直线l ， 因为CS 为直径，所以AC ⊥AS ，
因为平面PAC ⊥平面ABC ，交线为AC ，AS ⊂平面ABC ， 所以AS ⊥平面PAC ，即l ⊥平面PAC ； (2)在AS 上取点Q ，连接PQ ，
以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，垂直CA ，CB 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为PA =PC =AC =2，BC =4，
所以P(1,0,√ 3),E(1
2,0,√ 3
2),A(2,0,0,),B(0,4,0),F(12,2,√ 3
2),Q(2,m,0)， 设平面AEF 的法向量为n
⃗ =(x,y,z)， 则{AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(−32,0,√ 32)⋅(x,y,z)=−32x +√ 32
z =0AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(−32,2,√ 32)⋅(x,y,z)=−32x +2y +√ 32z =0
，
得：y =0，令x =1，则z =√ 3，故n ⃗ =(1,0,√ 3)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,m,−√ 3)，
故|cos〈PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉|=|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n
⃗ |=
√2
=√ 5
5
，
得：m =±1， 故|AQ|=1，
即直线l 上存在点Q ，使得直线PQ 与平面AEF 所成的角的正弦值为√ 55
，且|AQ|=1．
18.【答案】解：(1)设正项等比数列{a n }的公比为q ，∵a n >0，∴q >0，
∴由a 4=a 23
得a 1q 3=(a 1q)3，解得a 1=1，
∵当n ≥2时，S n =2S n−1+m ，m ∈R ，∴S 2=2S 1+m ，S 3=2S 2+m ， 则S 3−S 2=2(S 2−S 1)，即a 3=2a 2， ∴q =a
3a 2
=2，
∴a n =a 1q n−1=2n−1(n ∈N ∗)． (2)由(1)得a 2=2，∵S 2=2S 1+m ，
∴a 1+a 2=2a 1+m ，∴m =a 2−a 1=1， ∵S n =1×(1−2n )1−2
=2n −1(n ∈N ∗)，
∴
m⋅2n S n ⋅S n+1
=
2n
(2n
−1)(2
n+1
−1)
=
12n
−1−1
2n+1−1
， ∴T n =(
1
21−1
−
1
22−1
)+(
1
22−1
−
123−1)+⋯+(
12n
−1−1
2n+1−1
)=1−
1
2n+1−1
．
19.【答案】解：(1)由双曲线C ：x 2
a 2−y 2=1，知左右顶点M ，N 的坐标为(−a,0)，(a,0)，
设P(x,y)，则k 1=
y
x+a
，k 2=
y
x−a ，∴k 1k 2=
y 2x 2−a 2
=1
3，
又x 2
a 2−y 2=1，∴y 2=x 2
a 2−1=x 2−a 2
a 2， ∴
1a 2
=13
，∴a 2=3，
∴双曲线C 的方程为x 2
3
−y 2=1；
(2)设直线PQ 的方程为x =my +2，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， tan∠MPN =
k 2−k 11+k 1k 2
=
1x 1−√ 3−1
x 1+√ 3
1+13
=34
×
y 1(x 1+√ 3−x 1+√ 3)
x 12−3=3
4
×
2√ 3y 1x 12−3
=3
4
×
2√ 3y 13y 1
2=
√ 3
2y 1
，
同理可得tan∠MQN =−√ 32y 2，又tan∠MPN tan∠MQN =12，∴−y
2y 1=1
2，∴y 1=−2y 2，
由{x =my +2
x 2−3y 2
=3，消去x 得(m 2−3)y 2+4my +1=0， ∴y 1+y 2=−4m m 2−3，y 1y 2=1
m 2−3，
∴−y 2=−4m m 2−3，−2y 22
=1m 2−3，∴−2(4m m 2−3)2=1m 2−3，解得m =√ 11或m =√ 11
舍去)，
∴直线l 的方程为x =
√ 11
+2，即√ 11x −y −2√ 11=0．
20.【答案】解：(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，S n +S n+1=3a n+1−4，①
则S n−1+S n =3a n −4，②
由①−②可得a n +a n+1=3a n+1−3a n ， 即a n+1=2a n ，(n ≥2)， 又a 1+a 1+a 2=3a 2−4， 即a 2=4， 即a 2=2a 1， 即a n+1=2a n ，
即数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， 即a n =2n ；
(2)已知b n =a n log 2a n ， 则b n =n ⋅2n ， 又{b n }的前n 项和为T n ，
则T n =1×21+2×22+3×23+...+n ×2n ，③ 则2T n =1×22+2×23+3×24+...+n ×2n+1，④ 由③−④可得：
−T n =21+22+23+...+2n −n ×2n+1， 即T n =n ×2
n+1
−
2(1−2n )1−2
=(n −1)×2n+1+2，
又t(n −1)2+2≤T n 对于n ≥2且n ∈N ∗恒成立， 则t(n −1)≤2n+1对于n ≥2恒成立， 即t ≤
2n+1
n−1对于n ≥2恒成立，
设c n =2n+1
n−1，n ≥2，
则
c n+1c n
=2n−2n
=1+n−2n
≥1，
当且仅当n =2时取等号， 即c 2=c 3<c 4<c 5<...<c n ， 又c 2=8，
即数列{c n }的最小值为8， 即t ≤8，
即实数t 的取值范围为(−∞,8]．。